ROZKŁAD OBJĘTOŚCI SUMARYCZNEJ W SYSTEMIE M/M/n/m

Transkrypt

1 ROZKŁAD OBJĘTOŚC SUMARYCZNEJ W SYSTEME M/M// Wtę Wy ż badzo zadko oży uzykać wzoy aw a dytybuatę obętośc uaycz zgłozń zaduących ę w tacoay yt obług chocaż w otatch latach udało ę coś zobć w ty kuku Chodz tu oczywśc o zyadkach tywalych t o ytach obług w któych cza obług zgłoza zalży od go obętośc W chwl obc oży: oblczyć dytybuatę tacoa uaycz obętośc zgłozń w yt M /G // któ obętość uaycza t ogaczoa żl obętość zgłoza a ozkład wykładczy a cza obług t oocoaly do obętośc; oblczyć dytybuatę obętośc uaycz dla ytu z awdlwy odzał ocoa zy odobych lcz tochę badz ogólych założach obętość uaycza tu tż t ogaczoa; 3 oblczyć dytybuatę obętośc uaycz dla ytu z awdlwy odzał ocoa ogaczo aęc w zyadku gdy długość zgłoza t oocoala do go obętośc aąc ozkład wykładczy Pzyoy ob yt obług M /G // z ogaczoą aęcą w tyb tacoay a gdz t wzy ot czau obług zgłoza a t aat tua wścowgo Nch będz obętoścą zgłoza go cza obług Nch t tacoaą obętoścą uayczą zgłozń zaduących ę w yt F t P { t} Pzz ozaczy odwó zkztałc Lalac'a-Stlta PLS dytybuaty F t Wówcza PLS dytybuaty D P { } tacoa obętośc uaycz a otać: a a a a gdz Oygał zkztałca Lalac'a / t oczywśc dytybuatą D Jdak oblcz otac aw D aczęśc t zada do ozwązaa W t chwl dla zalżych ZL y ay otać awą D tylko w ty zyadku zczgóly gdy ZL a ozkład wykładczy: L P{ }

2 oaz cza obług zgłoza t oocoaly do go obętośc c c Maowc b b b b gdy 4 b b D gdy gdz ac b b Zauważy ż zy tak okślo zalżośc ZL od ay / c gdz t uayczy cza obług zgłozń zaduących w yt w tyb tacoay T w zyadku ty zada ozukwaa ozkładu obętośc uaycz da ę owadzć do zadowaa ozkładu uayczgo czau obług Powta łuz yta: A czy udałoby ę tgo zobć dla ytu wlolowgo? Oa badago ytu May yt obług SO M / M / / w któy zgłoza ą chaaktyzowa loową obętoścą aącą ozkład wykładczy z aat Cza obług t oocoaly do obętośc c czyl a ozkład wykładczy z aat / c Jżl to baday yt oada tyb tacoay w zyadku gdy a / SO M / M / / oada tyb tacoay od wauk ż a / Nch będz lczbą zgłozń w SO w tyb tacoay Wyzy klaycz wzoy dla ozkładu ZL w badaych ytach Dla SO M / M / / ay: k { } P ; k k!! k k ; k! k P { k} k k! Dla SO M / M / / otzyao: k ; k k!!

3 k k ; k! k k k! W dalzy cągu będzy ówl o yt M / M / / oważ aalza ytu M / M / / owadza ę aalogcz Ozaczy zz tacoay uayczy cza obług obcych w yt zgłozń M t P { t} Nch będz PLS ZL May oczywśc D P { } P{ / c } P{ c} M c W oób aalogczy otzyuy ż / c Pla otzyaa ozwązaa azgo zadaa t atęuący: oblcz PLS dytybuaty uayczgo czau obług ; oblcz PLS uaycz obętośc ; 3 oblcz dytybuaty D a dodz odwóca zkztałca Lalac'a / 3 Oblcz PLS Załóży ż w w chwl w tyb tacoay w yt zadu ę zgłozń Wówcza obługwaych zgłozń w t chwl t k Ozaczy zz długość zdzału czaowgo od oczątku obługo -go zgłoza do wkaza chwl chwl obwac k Nch k d dk t awdoodobńtw tgo ż w dowol chwl czau w yt zadu ę zgłozń a od oczątku obług obługwago w da chwl -go zgłoza ęło ; d dotk czau k [ Załóży ż obługwa zgłoza t zgłoza z ua od do k ą ouowa loowo t w dowol chwl każd z ch oż ć u l l k z awdoodobńtw / k! Wówcza ukc k ą ytycz względ utac agutów Moży taz w oób zwykły wyać ówaa dla ukc k łącz z wauka gaczy boąc od uwagę ż ay do czya z akowowk w klayczy yt M / M / / W ówaach tych będzy zaat a al co wyka z ówośc a / W ówaach uwzględoo ytyczość ukc k ; y dy 3 ;

4 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 dy ; 7 y y dy ; 8 9 Wya ówaa oogą a w oblczau tot ch k H t będz dytybuatą waukową uayczgo czau obług obługwaych w da chwl k zgłozń zy wauku ż od oczątku ch obług ęło odowdo k dotk czau Pzz h k ozaczy PLS dytybuaty H t Na ocy właośc baku aęc ozkładu wykładczgo k oaz z tgo ż PLS dytybuaty tał t ów t B t t ów / a PLS ay h k k Wtdy PLS uayczgo czau obług oży zaać w otac: h k k h d d d d d d d d Dalz oblcza otzbuą zd wzytk oblczń całk tyu 4

5 k k k d dk Jt a ż dla oblcza k otzb t zd wzytk wyzacz k ukc czyl alży ozwązać układ ówań 8 Aby ułatwć oblcza udowody atęuąc twdza ooccz Lat Pawdzw ą atęuąc wyaża y dy ; y dy y dy Dowód Pwz wyaż wyka z u obabltyczgo y dyd P{ d [ ; P{ ; d } 5 [ Z właośc bak aęc ozkładu wykładczgo wyka ż ; d } P{ [ ; d } P{ [ ; d } kąd ay y dy Otatcz wz wyaż latu wyka z zaych wzoów a Dug wyaż dowodz ę w oób aalogczy Moży taz oblczyć całkę k dla óżych watośc k Dla zykładu ozważy zczgółowo zyadk k k T alży oblczyć całkę d Rówa dla a otać: y y dy kąd ay dy

6 Z wzgo wyaża z latu dla y dy ay czyl kąd wyka ż Całkuy zz częśc: d d d Z wzou 5 ay d Poważ d P{ [ ; d} P{ [ ; d } d ay d d k Wówcza z ówaa otzyuy: y dy Z wzgo wyaża latu ay: y dy czyl Wówcza ay: 6 d d d d d Całkę wwętzą oblczy zz częśc kozytay tu z latu: d

7 7 d d Z latu aktycz wyka ż gdz ak wyka z wzoów klayczych May węc Podtawaąc otzya wyaż do owyżz całk otzyuy: d d d d Otatcz ay:! W oób aalogczy otzyuy:! ; ;!! ] [!! ] [ Podtawaąc otzya całk do wzou a otzyuy:! ] [!! Wyka z tgo wzó a :

8 8! ] [!! W oób aalogczy oży otzyać wzó a w zyadku któy zy założu oża oczywśc oblczyć za oocą zśca gaczgo zy w wzoz a dla ytu M M / / / Potać awą dytybuaty D dla obu aalzowaych ytów uda ę oblczyć za oocą tadadowych tod odwóca zkztałca Lalac'a ukc / Potac t tu oday Odowd atał wkótc będz oublkoway