WYZNACZANIE STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH DREWNA METODĄ HOMOGENIZACJI

Transkrypt

1 ZSZYTY NOW DMII MRYNRI WOJNNJ RO XLVII NR Lsł aw zoł adma Marar Wojj WYZNZNI STŁ YH MTRIŁ OWYH DRWN MTODĄ HOMOGNIZJI STRSZZNI Podao mtodę, za pomocą tórj możlw jst dduowa z opsu mrosopowgo odpowadającgo mu opsu marosopowgo. Poważ prodczość strutur upraszcza aalzę, załada sę, ż aalzowa ośrod mają właś taą struturę. lmtm struturalm drwa sosowgo jst jgo warstwowość częśc blastj sładającj sę aprzm z warstw drwa wczsgo późgo. W aalz założoo, ż ażda z warstw jst zbudowaa z matrału jdorodgo traswrsal zotropowgo. Zwąz fzcz sprężstośc sładów ośroda przjęto jao low zalżośc Hoo a. Warstwowość strutur drwa wraz z waruam prodczośc mplują zalżośc pola przmszczń, pola odształca oraz pola apręża tlo od jdj mrosopowj współrzędj przstrzj. Na tj podstaw opracowao zalżośc matmatcz pozwalając orślć zastępcz stał matrałow a podstaw ustaloch dośwadczal stałch matrałowch pojdczch warstw drwa wczsgo późgo. Słowa luczow: homogzacja, prodczość, mrostrutura, marostrutura, jdorodość, jdorodość, warstw drwa wczsgo późgo, stał matrałow pojdczch warstw, zastępcz stał matrałow. WSTĘP Obsrwacja cał rzczwstch wsazuj, ż racja matrału jdorodgo, po odpowdm uśrdu jgo sładów, jst taa, ja gdb bł o jdorod. ażd osob sład msza a pozom mro, jst tratowa

2 Lsław zoł jao ośrod cągł z jgo własm rówam osttutwm, prawam zachowaa oraz waruam brzgowm a grac rozdzału faz. Rówaa a pozom mrosopowm są uśrda w clu otrzmaa rówań marosopowch. Mtoda przjśca z pozomu jdorodośc do pozomu marosopowgo jdorodgo os azwę homogzacj. Stosując mtodę homogzacj, alż dooać opsu matmatczgo rozważago procsu przz przosz do sal marosopowj formacj dostępj a pozom mro jdorodośc. Poadto, jżl zaa jst gomtra wwętrza ośroda oraz paramtr loal, mtoda ta umożlwa jdozacz orśl wartośc paramtrów zastępczch ośroda. W ops marosopowm mrostrutura ajczęścj jaw wstępuj, jst atomast urta pod wartoścam paramtrów zastępczch opsu marosopowgo. W zwązu z tm, ab aalzować ort wartośc paramtrów zastępczch oraz ch zmość, alż aalzować wpłw mrostrutur a ch wartośc. MTOD HOMOGNIZJI W mtodz homogzacj poszuuj sę wwaltgo opsu marosopowgo, gd za jst ops mrostrutur. W sal mro muszą bć da: gomtra; rówaa rówowag dla ażdj faz słada uładu; waru brzgow a grac rozdzału faz sładów; zwąz osttutw wraz z paramtram. Procs homogzacj mus dać w sal marosopowj : rówa rówowag; zwąz osttutw wraz z paramtram zastępczm; prawo loalzacj, tz. zwąz pozwalając orślć wszst pola fzcz a pozom mrosopowm, gd za są marosopow pola fzcz. Mtoda homogzacj zastępczch stałch sprężstośc drwa sformułowaa została jao matmatcza tora homogzacj. Procs przjśca z opsm matmatczm z sal mrosopowj do marosopowj doouj sę poprzz paramtrzację opsu matmatczgo paramtrm ε >, będącm param- Zszt Nauow MW

3 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj trm sal p. rprztującm tpow wmar włó drwa, a astęp poprzz żąda, ab ε. Jdą z mtod poszuwaa opsu wwaltgo dla ośroda mrojdorodorodgo jst mtoda asmptotczj homogzacj,,. Podstawowm założm tj mtod jst prodczość strutur rs... Rs.. Strutura prodcza podstawowa omóra prodczośc Paramtrzacj opsu mrosopowgo doouj sę paramtrm ε l/l, rprztującm stosu wmarów pojdczj omór prodczośc l, z tórj wgrowa jst przz prodczość cał ośrod, oraz L, będąc jdm z wmarów objętośc rozważago ośroda rs... Mtoda asmptotczj homogzacj poszuuj grac paramtrzowago rozwązaa, załadając, ż paramtrzowa pol opsu mrosopowgo wazuj asmptotcz charatr względm paramtru ε moż bć przdstawo w postac rozwęca asmptotczgo zalżgo od dwóch zmch przstrzch oraz ε ε ε ε u u, u, u,.... ε ażd czło rozwęca asmptotczgo, tj. jao Y-prodcz względm, tz. dla ustalogo wartośc u,, przjmuj sę poadto u w odpowadają-

4 Lsław zoł cch sob putach a rańcach pojdczj omór prodczośc powęszoj w jdoładośc o sal ε - są ta sam, tj. u, u,. Zm tratuj sę węc jao dw zalż zm przstrz, modfując rówoczś oprator pochodj przstrzj, tj. f, d d d d d d f f f f ε ε ε. Poszuwa wwaltgo opsu marosopowgo polga a wprowadzu rozwęca do opsu mrosopowgo z rówoczsą zmaą opratorów pochodj przstrzj wdług, a astęp dtfacj rówań stojącch prz odpowdch potęgach paramtru ε. W rzultac otrzmuj sę cał szrg rówań dla poszczgólch wrazów rozwęca. Nałożo a poszczgól lmt rozwęca asmptotczgo u, waru loalj prodczośc powoduj, ż rozwązaa ta otrzmach rówań poszuuj sę w obręb pojdczj omór. Po dooau uśrda po zmj opsa procs prowadz do rówań spłoch przz prwsz czło rozwęca, tór są czm m, ja poszuwam wwaltm opsm marosopowm rozważago zagada. Łatwość dochodza do opsu marosopowgo jst wm zastąpa paramtrzowago pola szrgm asmptotczm, dlatgo mtoda jst azwaa mtodą dwusalowch rozwęć asmptotczch. Z putu wdza matmatczgo mtoda asmptotczj homogzacj daj w ścsł, jżl paramtrzowa pol rzczwśc wazuj charatr asmptotcz w postac. b w bł matmatcz spło, pow bć uzupło o dowód, ż ε u lm u ε. Zszt Nauow MW

5 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj Bra dowodu cz w otrzma mtodą asmptotczj homogzacj wm waruowm, tj. ops marosopow jst popraw, jżl paramtrzowa pol moż bć zastąpo szrgm asmptotczm lub rówoważ jśl jst prawdzw, to otrzma w jst popraw. Podstawą mtod asmptotczj homogzacj jst przjęc, ż prz odpowdo małj wartośc paramtru ε paramtrzowa pol u oraz gradt tgo pola mogą bć aprosmowa przz bzpośrda oswcja prawa trasformacj pochodj przstrzj u u ; ε u u u. ε, PRMTRY FTYWN DRWN O STRTRZ WRSTWOWJ Podstawowm założm mtod asmptotczj homogzacj jst prodczość strutur rs... Paramtrzacj opsu mrosopowgo dooao paramtrm l ε, rprztującm stosu wmarów pojdczj omór prodczośc l, sładają- L cj sę z warstw drwa wczsgo późgo, oraz L, będąc jdm z wmarów objętośc rozważago ośroda. Rs.. Strutura prodcza drwa podstawowa omóra prodczośc

6 Lsław zoł lmtm struturalm drwa jst jgo warstwowość. Oblcza loścow przprowadzoo dla sosowgo drwa częśc blastj sładającj sę aprzm z warstw drwa wczsgo późgo. W aalz założoo, ż ażda z warstw jst zbudowaa z matrału jdorodgo traswrsal zotropowgo. Zwąz fzcz sprężstośc sładów ośroda przjęto jao low zalżośc Hoo a. Założoo, ż w aalz wróża sę dodatowo cch mchaczch powrzch otatu. Założ o traswrsalj zotrop warstw drwa wdaj sę rozsąd, poważ warstw dla ruu aatomczgo stczgo T promowgo R wazują podob uład przjrzst. Poadto ta założ pozwala w bardzo przjrzst sposób przdstawć mtodę orślaa własośc ftwch strutur warstwowch. DFORMJ SPRĘŻYST Omawaą struturę przdstawoo a rsuu. przz ozaczoo udzał drwa wczsgo, a przz - udzał drwa późgo. omóra drwa została przdstawoa w uładz R, T, L. Dla ruu właścwośc ażdj z tch warstw są ta sam. Warstwowość strutur wraz z warum loalj prodczośc mplują zalżość pola przmszcza, pola odształca oraz pola apręża tlo od jdj mrosopowj współrzędj przstrzj, tj. rs... Rs.. omóra drwa w uładz artzjańsm Zszt Nauow MW

7 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj Zalżość apręża od odształca dla pojdczj warstw drwa w postac macrzowj przdstawa sę ja pożj Dalj przdstawoo zwąz osttutw dla dwu warstw: matrał. drwo wczs. j jh ; h matrał. drwo póź j jh. 7 h OPIS MIROSOPOWY Poszuujm pola przmszcza. Rówaa rówowag j 8,,,,. Pola przmszcza omór zalżą od, zalżą atomast od,, ε,

8 Lsław zoł Waru prodczośc j,, j,,. 9a Ozacza o, ż w odpowdch sob putach a rańcach lmtu mrostrutur wartośc przmszcza apręża są ta sam. Waru cągłośc wtora przmszcza,,,. Ozacza o, ż a powrzchach otatu mędz sładam warstwam przmszcza są rów. Waru cągłośc wtora apręża,,,,,,. Ozacza o, ż wtor apręża jst cągł a powrzch otatu. Pol sładów przmszcza lcz sę tlo względm współrzędj,, ε,... ażd czło tgo rozwęca przjmuj sę jao Y-prodcz względm, tz. dla ustalogo wartośc u w odpowadającch sob putach a rańcach pojdczj omór prodczośc są ta sam. Zm tratuj sę 8 Zszt Nauow MW

9 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj jao dw zalż zm przstrz, modfując rówoczś oprator pochodj przstrzj, tj. d d ε. Przz j ozaczoo sładową tsora odształca wwątrz lmtu mrostrutur, tóra dla małch odształcń jst orśloa zalżoścą u u j j u. Worzstując oprator u j j j j u j u j ε j u j u u ε, j gdz: j j ε u j u j ; u u j j, rozwęc asmptotcz tsora odształca zalżgo od dwóch zmch przstrzch oraz ε u ε, u, u, ε u, ε u,..., j j j stąd u u j u u u j j j u j j ε j ε u j u j u ε u ε j ε u j ε j... ε u u j ε rzędu wlośc smbol Ladau... z wzgldu a u u u, j j j 9

10 Lsław zoł u u u u u u u j u u, u u u u u u,, pozostał pochod taż są rów zro. ROZWIĄZNI PRZDSTWIONGO ZGDNINI j Worzstując ogól rówa rówowag 8, wszst rówaa zawrając, są spło tożsamoścowo ; Rówaa rówowag. 7a 7b. 7c Worzstując zalżośc apręża od odształca dla pojdczj warstw drwa wczsgo późgo dla matrału w postac ogólj ; ; 7 Zszt Nauow MW

11 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj oraz worzstując zalżośc Gór ds ozacza matrał. drwo wczs. alogcz zalżośc są dla. matrału drwo póź, gór ds ozaczoo. Przchodzm do rówań rówowag w matral. Worzstując zalżośc 7a uwzględając zalżość 8, to a moc zalżośc. a Z zalżośc 7b, to a moc zalżośc. b Z zalżośc 7c, to a moc zalżośc. c Przmszczow waru rówowag przjmują postać rówań różczowch jdorodch II rzędu d d d ; ;. d d

12 Lsław zoł Dwurot scałowa powższch rówań pozwala a ch rozwąza dla matrału. B B B dla matrału. B B B Współcz B są sładowm przmszcza w jdm ruu. Worzstujm waru cągłośc przmszcza, tór dla obu sładów są dtcz. Waru brzgow B B B B B B B ; B ; B. orzstając z waruów cągłośc wtora apręża,, oraz zalżośc 8, orślm cągłość wtora apręża a otac powrzch obu warstw drwa, zalżość 8 wstawam do oraz u przjmując u ; u B u, dla. matrału zapszm dla. matrału atomast odjmując stroam,,,, ; a 7 Zszt Nauow MW

13 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj u worzstując zalżość, u, stąd a moc zalżośc 9 aalogcz dla matrału. ; b u worzstując zalżość, u, stąd a moc zalżośc 9 aalogcz dla matrału.. c 7

14 Lsław zoł 7 Zszt Nauow MW Waru prodczośc aprężń spłają rówaa. Wartośc tch aprężń zalżą od współrzędj. Na grac a brzgach przdzałów wartośc aprężń są jdaow. Worzstując zalżośc 9a, sprawdzam waru prodczośc, przjmując za B B B B B B, stąd a b. c Podstawając do c zalżość c dooując przształcń, otrzmujm. Podstawając do b zalżość b dooując przształcń, otrzmujm

15 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj 7. Podstawając do b zalżość b dooując przształcń, otrzmujm. Warstwowość strutur drwa wraz z waruam prodczośc mplują zalżośc pola przmszczń, pola odształca oraz pola apręża tlo od jdj mrosopowj współrzędj przstrzj, tj. rs... OPIS WILOŚI W SLI MROSOPOWJ Po ozaczu sładowch tsora maroapręża maroodształca moża zapsać zwąz osttutw sprężstośc. Tsor maroapręża j j j j. Tsor maroodształca j j j j j j j. Na moc rówaa rówa prodczośc,...,,, ε ε d du j.

16 Lsław zoł Dfując wlośc marosopow jao śrd objętoścow po obszarz lmtu, otrzmujm V V du j dv du V d V dv du V V ds ds z dfcj stąd j j V V V V V V j dv j dv V j V j j, ds j j marosopow zwąz osttutw j jh h 7 h h. Zalżośc apręża od odształca matrału drwa w sal maro w postac macrzowj przdstawoo pożj Worzstując zalżość,, oraz. 8, 7 Zszt Nauow MW

17 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj 77 stąd 9 9 Z zalżośc oraz d du u u 8 Z zalżośc oraz u u 7 Z zalżośc oraz

18 Lsław zoł 78 Zszt Nauow MW ; ; Z zalżośc oraz

19 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj 79. Po przształcach podstawach Z zalżośc oraz

20 Lsław zoł 8 Zszt Nauow MW dla 7

21 Wzacza stałch matrałowch drwa mtodą homogzacj BIBLIOGRFI urault J. L., Damc bhavour of porous mda, d. J. Bar ad M. Y. o-rapcoglu, Trasport Procsss Porous Mda, luwr cadmc Publshrs, 99, pp Bsoussa., Los J. L., Papacolau G., smptotc aalss for prodc structurs, North-Hollad Publshg ompa, mstrdam 978. Bsl J. G., Tlga J. J., ffctv proprtrs of gomatrals: rocs ad porous mda, Pobl. Ist. Gophs. Pol. cad. Sc., 997, - 8. d Buha P., Talrco., homogzato approach to th ld strgth of compost matral, ur. J. Mch., 99, /Sold, No, pp. 9. Łdżba D., Zastosowaa mtod asmptotczj homogzacj w mchac grutów sał, Ofca Wdawcza Poltch Wrocławsj, Wrocław. Sachz-Palca., No-homogous Mda ad Vbrato Thor, Lctur Nots Phss, 7, Sprgr-Vrlag, Brl 98. BSTRT Th papr prsts a mthod whch ca us a mcroscop dscrpto to dduc a macro scop dscrpto corrspodg to t. Sc prodc apparac of th structur smplfs th aalss, t s assumd that th aalzd mda hav such structur. Lar structur of wht part whch cossts of lars of arl ad lat wood s th structural lmt of p-wood. It was assumd th aalss that ach lar s composd of homogous ad trasvrsl sotropc matral. Phscal dpdcs of rslc of compots wr assumd as Hoo s lar dpdcs. Lar structur of wood alog wth codtos of prodc apparac mpl dpdcs of dslocato fld, of dformato fld ad of stra fld o ol o mcroscop spatal co-ordat. Ths was usd to wor out mathmatcal dpdcs whch tur ca b usd to dtrm substtut matral costats basd o prmtall dtrmd matral costats for sgl lars of arl ad lat wood. Rczt dr hab. ż. Zbgw Powrża, prof. adzw. M w Gd 8