Sterowanie optymalne statkiem w obszarze ze zmiennym prądem problem czasooptymalnej marszruty. Zenon Zwierzewicz

Transkrypt

1 Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty Zeo Zwerzewcz Szczec

2 Zeo Zwerzewcz Sterowae otymale statem w obszarze ze zmeym rądem roblem czasootymalej marszrty W artyle tym rzedstawmy rozwązae tzw awgacyjego roblem Zermelo [] w oarc o metody teor sterowaa otymalego (SO) Podstawowym rezltatem tej teor jest twerdzee zae od azwą zasady masmm Potraga [] ozwalające wyzaczyć otymaly (w sese zadaego ryterm) rogram sterowaa obetem (rocesem) rzy założe ełej zajomośc jego model dyamczego Na wstęe rzedstawoe zostaą odstawowe faty z teor sterowaa otymalego w ostac ogólych sformłowań zarówo roblem SO ja zasady masmm W dalszym cąg sformłjemy roblem Zermelo - otymalej marszrty stat (otmal rotg roblem) oraz oażemy że jest o szczególym rzyadem ogólego zadaa sterowaa otymalego Bazjąc a odaych fatach rzedstawoe zostae szczegółowe rozwązae roblem Zermelo ajerw w forme ogólej (aaltyczej) a astęe w wersj meryczej (dla oretych daych lczbowych) włącze z rostym algorytmam omterowym w Matlabe/Sml [45] W artyle żyto owszeche rzyjętego w teor sterowaa zas wetorowo macerzowego Wetory macerze ozaczoo czcoa ogrboą Problem sterowaa otymalego ojęca odstawowe Nech day będze matematyczy model sterowaego obet lb roces w ostac rówaa sta: f ( ( t) ( t)) rzy warach oczątowych ( t ) gdze ( t ) D R jest -wymarowym wetorem sta oraz U R m rerezetje m -wymarowy wetor sterowań Zbór D jest obszarem atomast U domętym obszarem trajetora L zbór docelowy L Rys Trajetora obet sterowaego wraz ze zborem docelowym

3 Day jest oadto domęty zbór L R D tzw zbór docelowy (target set): L : l( ( t)) gdze l - fcja wetorowa r-wymarowa lasyc Przez L ozaczamy brzeg zbor L załadamy że l w otocze brzeg L gradet -tej wsółrzędej fcj wetorowej l ; = r 3 l ozacza ttaj Jao czas zaończea roces rozmemy erwszy momet osągęca rzez trajetorę staów ( t) ( t t ( t)) zbor L : + t = m t R : ( t) L Mara jaośc sterowaa daa jest za omocą tzw ryterm (wsaźa fcjoał) jaośc (oszt wyłaty): t ( o to J ) f ( ( t) ( t)) dt G( ( t )) (3) gdze f G są salarym ejemym fcjam lasy Sformłowae roblem sterowaa otymalego: Sośród sterowań doszczalych ( U ) rzerowadzających obet ze sta oczątowego do zbor docelowego L zaleźć tae tóre mmalzje wsaź jaośc J() Sterowae tae azywamy sterowaem otymalym ozaczamy * Zatem J * ( ) m J( ) U Na sładowe ( = m) wetora sterowaa ałada sę zwyle dodatowe war (ograczea) że są fcjam rzedzałam cągłym o wartoścach ze zbor U Sterowaa tae azywamy sterowaam doszczalym Przedstawoe zadae sterowaa jest bardzo ogóle Secyfjąc wystęjące t elemety możemy otrzymać tyowe często sotyae ostac zadaa : t - borąc fcje f o = G= mamy J ( ) dt t t a węc tzw roblem czasootymaly to (zaleźć sterowae rzerowadzające sta obet z t do zbor L w ajrótszym czase) - oszczając zbór docelowy L mamy roblem gdze e wystęją ograczea a ońcowy t trajetor rzy czym czas ońcowy t (czas trwaa roces) może być t zarówo staloy ja swobody - borąc ład lowy A B z fcjoałem jaośc ostac J ( ) T ( t ) ( t ) t t ( T Q T R) dt C m (gdze t jest z góry staloy) a m astęe omjając zbór docelowy L oraz ograczea a sterowae (tz borąc U R ) dostajemy tzw roblem reglatora lowo-wadratowego LQR (lear-qadratc reglator) Dla roblem LQR możlwe jest stosowo łatwe zysae tzw sytezy sterowaa otymalego

4 czyl sterowaa w srzęże zwrotym Decydje to o dżej wadze tego roblem zarówo w teor ja zastosowaach Zasada masmm Potraga Jedym z mocejszych arzędz rozwązywaa zadań sterowaa otymalego jest twerdzee zae od azwą zasady masmm Potraga tórego dość ogóle sformłowae odao ożej Przedtem jeda wrowadźmy ewe otrzebe ojęca: wetor sta srzężoego: hamltoa: ( t) [ ( t) ( t) ( t)] T gdze ( ( t) ( t) ( t)) ( t) f ( ( t) ( t)) f ( ( t) ( t)) f = f f f ; tz - ozacza możee salare Twerdzee (zasada masmm) Jeśl w sformłowaym robleme sterowaa otymalego () t () t ozaczają odowedo sterowae otymale odowadającą m trajetorę wychodzącą z zadaego sta oczątowego to steje wtedy ezerowa fcja wetorowa (t) (trajetora srzężoa) sełająca wraz z astęjące war : - rówae sta f ( ( t) ( t)) ; ( t) - war oczątowe - rówaa sta srzężoego ( t) ( ( t) ( t) ( t) ) z waram traswersalośc ( t ) G ( ( t )) l ( ( t )) gdze R G G G l l l 4

5 - rzy czym sterowae ( t) ( t) masymalzje amltoa : ( ( t) ( t) ( t)) ma ( ( t) ( t ) ) ; [ ] t t t 3 Sformłowae roblem Zermelo jao zadaa sterowaa otymalego oraz jego rozwązae z wyorzystaem zasady masmm W ramach rzedstawoego owyżej ogólego sformłowaa roblem SO rzedstawmy teraz roblem otymalej marszrty stat w obszarze z rądem Oczywśce ole wetorowe rerezetjące rądy może zawerać w sobe taże e oddzaływaa otoczea a state ja wływ watr Jao model sterowaego roces rzyjmemy ematyczy model rch stat: V cos ( ) V s ( ) gdze: ( t) ( t) wsółrzęde (ozycja) stat w czase t V rędość stat (stała) rs stat (zmea sterjąca) [ ( ) ( )] T ole wetorowe rozład rąd [ ] T t oczątowy trajetor stat [ ] [ ] t docelowy T T ole radowe V r trajetorja stat V w V Rys Trajetora stat w obszarze z slym rądem Kryterm jaośc mmaly czas roces sterowaa: 5

6 Zbór tów docelowych: t J( ) dt t m L ( ) : l ( ) l ( ) = ( ) : amltoma system: = [ ( t ) ( t)] [ V cos V s ] lb = { ( V cos + ( )) + ( V s + ( )) } = Rówaa sta srzężoego: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) War traswersalośc: cos ( t ) = G l λ l s czyl ( t ) cos ( t ) ( t ) s Masymalzjąc hamltoa w czase t możemy otrzymać ja róweż wartość ( t ) W tym cel sząc hamltoa: ma ( t ) = ma V[cos s ] [cos s ] ( cos s ) } wdzmy że t ( ) osąga masmm ze względ a gdy wetory a [cos s ] b [cos s ] będą oleare tz a b Wtedy loczy salary a b zatem (borąc a b ) mamy: *( t ) ( V cos s ) Stąd wartośc wsółrzędych ( t ) wyoszą: 6

7 ( t ) cos /( V - cos - s ) ( t ) s /( V - cos - s ) Po rozwąza rówań srzężoych czyl zysa fcj ( t) ( t ) w całym rzedzale [ t ] masymalzjemy w tym rzedzale hamltoa: ma ( t) ma{ V[ ( t) ( t)] [cos s ] ( )+ ( )) }= Wdzmy że t () osąga masmm ze względ a gdy sełoy jest : Stąd mamy: - ware olearośc cos s ta = s / cos = ( tt α) / ( tt α) lb ( t ) = π arcta( / ) Otrzymalśmy zatem rodzę arametryczą (arametr ) sterowań otymalych Startjąc teraz T ze sta ońcowego [ ] całjąc rówae sta wstecz w czase otrzymjemy odowadającą rodzę trajetor otymalych Parametr doberamy ta aby sełoe były róweż war oczątowe W tym cel moża wyorzystać jedą ze zaych rocedr meryczych bądź dla celów ratyczych łatwo jest to zrobć o rost metodą rób błędów 4 Przyład meryczy W rzyładze tym ogóle rozwązae odae w orzedm ce wysecjalzjemy dla oretych daych lczbowych zysjąc w te sosób możlwość rozwązaa meryczego z zastosowaem omtera Przyjmjemy astęjące dae (odległość merzymy w mlach morsch [m] atomast rędość w węzłach []): t oczątowy - A = ( )=( ) [m] zbór tów docelowych - B =( ) = () rędość stat - V = 5 lowo arastające ole rądowe: V cr gdze 5 rówaa rch stat: 7

8 V cos V s ryterm jaośc: t J ( ) dt m W cel zalezea otymalego sterowaa rsem dooamy astęjących dzałań Bdjemy hamltoa: ( t) ( t) V cosv s lb = V cos + (V s + ) } { War traswersalośc: (t ) = ( t ) ( t ) cosα/v sα/v Rówaa sta srzężoego: cost s / V Całjąc erwsze rówae otrzymjemy: ( t ) = ( ( t t)s α+ cos α )/V stąd lb ta = = arct ta Zatem ta α ( ( t t) ta α+ ) ( ( t t) ta ) t (cot( () ) cot ) / Otrzymae wy: 3 t ( ) () 345 8

9 oraz czas zaończea roces sterowaa t = 93 h Dla orówaa gdyby state łyął medzy tam A B o l rostej bez dzałaa rąd zajęłoby m to / 5 = 8 h a węc stosowo ewele mej Zaś awgacja tego rodzaj w rzyad dzałaa rąd jest (dla rzyjętych daych) w ogóle emożlwa gdyż sła rąd e ozwala a stawee wyadowego wetora rędośc wzdłż odca AB Należy ttaj rzyomeć że rs w awgacj merzoy jest względem os oowej (ółoc) zgode z rchem wsazówe zegara Rezltatem grafczym tych wyów jest czasommala trajetora rch stat ja a Rys 3 ole radowe B marszrta mmaloc zasowa V A [ ] Rys 3 Czasommala marszrta startjąca w ce A Powyższy wy został zysay rzy omocy astęjącego sryt rogram Matlab: % Calowae rowań ematy w robleme Zermelo % odwołae do fcj 'fzr' % Parametry fcj ode3; =[ ]; [t]=ode45('fzr'^(-7)); L=(:)>-86; =(L:); w=(:); z=(:); lot(zw366-86'o') ; gdze w strcj ode45 odwoływao sę do fcj: fcto r=fzr(t) % fcja do całowaa rówań roblem awgacyjego Zermelo V=5; =-5; a= 3*34/8; 9

10 % rówaa ematy r=zeros(); f (*t*s(a)+cos(a)) > ; r()=-v*cos(+ata(s(a)/(*t*s(a)+cos(a)))); r()=-v*s(+ata(s(a)/(*t*s(a)+cos(a))))-*(); else r()=-v*cos(*+ata(s(a)/(*t*s(a)+cos(a)))); r()=-v*s(*+ata(s(a)/(*t*s(a)+cos(a))))-*(); ed Alteratywym sosobem rozwązaa meryczego z życem Smla jest astęjący schemat z towarzyszącym m srytem fcyjym: cos -K- /s f() STOP Cloc MATLAB Fcto Mzerm Fc s red V -K- /s Fc Sto Smlato red V_ Sm -K- XY Grah Rys4 Schemat smlowy realzjący czasommalą trajetorę rch stat fcto = mzerm(t) % fcja =(t) w robleme Zermello =-5; a= 3*34/8; f (*t*s(a)+cos(a)) > ; = + ata(s(a)/(*t*s(a)+cos(a))); else = * + ata(s(a)/(*t*s(a)+cos(a))); ed Fcja Fc - oreślająca ware sto ma oczywśce ostać: [] 86 5 Uwag ońcowe Rozwązae rzedstawoego owyżej roblem odao taże (oza orygalą wersją []) w sążce Brysoa o [] Jeda w obydw rzyadach zastosowao odejśce z ozycj rach waracyjego W obecym ttaj rozwąza zastosowao sosób bardzej zoretoway a owoczesą techę oblczeową tóry stosowo łatwo moża ogólć a bardzej złożoe rzyad tego roblem [67] ( sytacja z ograczeam rzestrze staów gdze dodatowo ależy omjać melzy domey obcych statów obszary slych brz sztormów etc) Zacze bardzej zaawasoway roblem otymalej awgacj gdze zastosowao zasadę masmm odao w racy [8] Problem dotyczył dyamczego sterowaa statem w rocese aa olzj oraz roozycj atomatyczego telgetego system atyolzyjego

11 Lteratra [] Zermelo E: Uber das Navgatosroblem be rheder oder veradlcher Wdvertelg Z Agew Math Mech Bd o 93 [] Bryso AE o YC: Aled otmal cotrol Blasdel Pbl Co 969 [3] Potryag LS Boltyas WG Gamreldze RW Mshcheo EF: Matematcesaja teorja otmalych rocesow Izd "Naa" Moswa 983 [4] Mroze B Mroze Z: Matlab 5 Sml PLJ 998 [5] Zalews A Cegeła R: Matlab oblczea merycze ch zastosowaa Wyd Naom Pozań 996 [6] Zwerzewcz Z: O a Comter Oreted Aalytcal Method for Solvg Otmal Cotrol Problems va Mamm Prcle - Zermello Navgatoal Problem Thrd Iteratoal Symosm o Methods ad Models Atomato ad Robotcs Mędzyzdroje -3 Wrzeseń 996 [7] Abramows T Abramows P Zwerzewcz Z: Formal solto of sh weather rotg roblem va Potryag s mamm rcle Stess Tecologca Uversdad Astral de Chle 4 [8] Zwerzewcz Z: O a comter cotrolled collso avodace Eroea Cotrol Coferece ECC 97-4 Jly 997 Brssels Belgm