8 Metody numeryczne w zagadnieniach przepływów. 8.1 Metoda różnic skończonych

Transkrypt

1 8 Mtod mrcz w zagadach przpłwów 8. Mtoda różc skończoch Mtoda różc skończoch MRS st dą z aprostszch mtod mrczgo rozwązwaa zagadń opsach przz kład rówań różczkowch. Ida t mtod polga a zastąp pochodch wstępącch w tch rówaach przz odpowd loraz różcow. Pw trdośc w zastosowa t mtod wążą sę z warkam brzgowm oraz z rglarm kształtm brzg. Rs. 8. Satka pktów węzłowch oraz wark brzgow Na obszar w którm spło ma bć rozwązwa rówa akładam alp rglarą satkę pktów węzłowch rs. 8.. Wartośc poszkwa fkc w węzłach satk będą staowł zbór wadomch. Nalż traz wzaczć odpowd do rzęd rówaa loraz różcow któr pozwolą przkształcć rówa różczkow a kład rówań algbraczch. Prostm sposobm a otrzma tch lorazów st zastosowa rozwęca poszkwa fkc w szrg Talora wokół pktów węzłowch. 8.. Fkca d zm Rozwęc w szrg Talora poszkwa fkc wokół pkt o współrzęd rs. 8.. moża zapsać w postac: d d d d d d 5 8.! d! d! d 5! d d d d d d... d!!! 5! 5 8. d d d d 8-

2 Przkształcaąc rówaa otrzmam: d d d d O - loraz różcow w przód 8. O - loraz różcow wstcz 8. a oblczaąc wartość śrdą z lb odmąc 8. od 8.: d d O - ctral loraz różcow 8.5 któr charaktrz sę mszm błędm. W rówaach tch ozacza odlgłość mędz węzłam satk w krk a O ozacza rsztę rzęd O ozacza rsztę rzęd d ozacza wartość pochod oblczoą w pkc o współrzęd d Stcza + + Różca ctrala Różca "w przód" Różca "wstcz" + + Rs 8. Aproksmaca fkc wlomam II stopa Wk t moża tż otrzmać aproksmąc poszkwaą fkcę w przdzal wlomam -go stopa: = a + a + a 0 rs. 8.. Stał a alż wzaczć z warków: 0 = - = - = + co prowadz do rówaa: 8.6 któr po zróżczkowa względm oblcz pochod w pkc =0 da ctral loraz różcow

3 a d d b d d Rs. 8. Schmat różcow: d/d a oraz d/d b Jak łatwo oblczć borąc 5 początkowch wrazów w szrg Talora zawraącgo drga pochoda moż bć wrażoa wzorm różcowm: aż do czło d d O. 8.7 Borąc w rozwęc Talora wraz aż do rzęd 6 włącz wkoąc śrd podob ak to zroblśm w rówa 8.6 otrzmm wraża a różc ctral: d d d d d d O 8.8 O O

4 a d d b d d Rs. 8. Schmat różcow: d /d a d /d b 8.. Przpadk fkc dw zmch Aalogcz do różc w przpadk dowmarowm ozaczaąc smbolm kolość przrostów w krk os oraz kolość przrostów w krk os zapszm odpowd różc skończo: O 8. O 8. O 8. O. 8. Pochod msza zastąpć moża różcam oblczom przz złoż formł 8. oraz 8. co da: O 8.5 Iloraz różcow wgod tż moża przdstawć prz pomoc schmatów grafczch. Schmat odpowadaąc rówaom przdstawo został a rskach:

5 b a Rs. 8.5 Schmat różcow / a oraz prz = = b Zastosowa szrgów Talora do wzaczaa lorazów różcowch wższch rzędów omówo st szczgółowo w obszr moograf T. J. Chga [00]. Zastosowa satk rglarch omawa J. Orksz w trzc częśc moograf Klbr. [995]. Oprator różcow wższch rzędów stosowa prz rozwązwa rówań tor płt mtod względa warków brzgowch poda są obszr w moograf Z. Kączkowskgo [980]. 8.. Uwzględa warków brzgowch Rówaa rzęd prwszgo gdz dm warkam brzgowm są wartośc poszkwa fkc w brzgowch węzłach satk wark Drchlta astręczaą żadch kłopotów prz zstawa kład rówań MRS. Jżl ograczć rozważaa do rówań różczkowch rzęd prwszgo drggo to ak wdać a rskach: oprator różcow zawraą tlko wartośc fkc w węzłach bzpośrdo sąsadącch z węzłm dla którgo zapsm oprator. Poważ wartośc fkc w pktach brzgowch są w warkach Drchlta zada to msm dla tch pktów zapswać rówań różcowch pozostaą tlko pkt wwętrz obszar rs Zatm tworzo kład rówań będz zawrał żadch wartośc fkc w pktach lżącch poza obszarm rozwązaa. Y = = 0 X Rs. 8.6 Obszar prostokąt aa oraz wark brzgow Drchlta 8-5

6 Problm powstaą w przpadk rówań wższch rzędów gdz oprator różcow zawraą wartośc fkc tlko w węzłach sąsdch al tż odlgłch o dal od węzła środkowgo por. Kączkowsk [980]. I atr lcz podob w sktkach problm powstaą gd w węzłach brzgowch okrślo są pochod fkc wark Nmaa. Iloraz różcow prwszgo rzęd rówa 8.5 zapsa dla pkt brzgowgo wprowadz zatm do kład rówań wartość fkc w węźl lżącm poza obszarm rozwązaa rs Wartośc t alż wlczć a podstaw pochod zada w pkc brzgowm. T dt/d = T T T 0 T T/ 0 a a + a + 8-6

7 możm dzęk 8.6 wlmować wadomą z rówaa 8.7 któr przbra traz postać: a T T = zawraącą tlko wadom wartośc fkc w pktach alżącch do obszar rozwązaa. W rówaach różczkowch wższch rzędów wark brzgow mogą zawrać takż zada wartośc pochodch wższgo rzęd co prowadz do bardz złożoch zwązków możlwaącch rdkcę wadomch w pktach alżącch do trsącgo as obszar p. w rówaach statk płt gdz wstępą rówaa rzęd wark a brzg swobodm zawra pochod rzęd oraz. 8.. Przkład zastosowaa do rozwązwaa rówań lptczch Przkładm zastosowaa mtod różc skończoch do rozwązaa problmów opsach lptczm rówaam różczkowm moż bć rówa Possoa. Rówa to ops wl ważch problmów fzk z którch aprostszm są por. Babcz. [970]: problm stacoargo rozkład tmpratr w cl zotropowm por. Wśwsk [979] stalo przpłw ccz ścślw w obszarz zawraącm źródła pst potcał pola lktrostatczgo w obszarz zawraącm ładk por. Lada Lfszc [979] wtoowsk potcał pola grawtacgo w obszarz zawraącm mas zagad skręcaa przmatczgo pręta por. Tmoshko Goodr [96] zagad statcz dformac mmbra podda dzała cśa rozcągaa. Rozwąza tgo ważgo rówaa klkoma mtodam mrczm będz opsa takż w astępch pktach tgo rozdzał. Rówa Possoa Rozwążm rówa Possoa: p 8.9 z warkam =0 a brzg obszar pokazago a rs Rówa to ops p. odkształcoą w wk dzałaa cśa powrzchę ck bło apęt słam lżącm w płaszczź mmbra. Fkca p wraża stosk cśa do apęca. Wstępąc w rówa 8.9 oprator Laplac a: po zastosowa rówań moża wrazć za pomocą formł: O

8 lb prz założ satk kwadratow = : O. 8. Schmat grafcz tgo rówaa przdstawo st a rs Przmąc satkę kwadratową o bok a ałożoą a obszar pokaza a rs. 8.6 rozwążm rówaa Possoa p0 gdz p 0 =cost. z warkam = 0 a brzg. Po zastosowa opratora 8. otrzmam kład rówań: węzł Nr 5: = a p 0 8. węzł Nr 8: = a p 0 8. węzł Nr : = a p Po względ warków brzgowch : = 0 = 0 6 = 0 7 = 0 9 = 0 0 = 0 = 0 = 0 kład rdk sę do trzch rówań lowch: a p którch rozwązam st : 5 = = 057 a p 0 8 = 0857 a p 0. Dokładm rozwązam tgo zadaa st fkca por. Tmoshko Goodr [96]: L p0 k 5 k k ch k cos k gdz ch k L L L L L st dłgoścą a L szrokoścą obszar rs Przmąc L =a L =a =0 =0 otrzmam =05 oraz formłę możlwaącą oblcz wartośc fkc w pkc środkowm: k 8 00 a p0 k chk k 5 która po zsmowa dwdzst prwszch wrazów szrg da 8 = 0559 a p 0. Błąd sm dwdzst wrazów st msz ż wk t moża węc zać za dokład. Błąd rozwązaa 8.5 st węc rów -59% co prz tak rzadk satc dskrtzac st wlkoścą bardzo małą. 8-8

9 8..5 Przkład zastosowaa do rozwązwaa rówań parabolczch Przkładm różczkowgo rówaa parabolczgo st rówa Forra lb rówa dfz. Na przkładz tch rówań pokażm aczęśc stosowa mtod ch rozwązwaa za pomocą MRS. Rówa Forra - stalo przpłw cpła Rozpatrzm traz róż mtod rozwązwaa zagadń staloch a prostm przkładz dowmarowgo cała o stałm współczk przwodctwa cplgo bz wwętrzch źródł por. Wswsk [979]. T t T 8.6 gdz Tt st tmpratrą cała t ozacza czas współrzędą przstrzą a współczk zalż od stałch matrałowch. Aalogcz rówa różczkow ops dowmarow problm dfz. Mtod FTCS Bdra-Schmdta Zamaąc pochodą względm czas a loraz różcow oblczo zgod z rówam 8. a pochodą przstrzą zastępąc ctralm lorazm oblczom zgod z 8. otrzmam w -tm węźl satk : T T t T T T 8.7 a po przkształc: T T T T T 8.8 gdz t ozacza przrost czas przrost współrzęd współczk t / azwa st lczbą Forra Fo - w rówaach opsącch przpłw cpła lb lczbą dfz - w rówaach opsącch problm dfz. Idks gór ozaczaą mr krok czasowgo a dks dol mr węzła satk przstrz. Otrzma sposób całkowaa rówaa przwodctwa cplgo lb dfz azwa st mtodą awą w ltratrz aglskoęzcz - plct schm gdż pozwala wzaczć wartość węzłową poszkwa fkc w astęp chwl a podstaw wartośc aktalch. Mtoda ta st mrcz stabla dla 0 05 por. Chg [00]. Nazwaa st mtodą FTCS Forward-Tm Ctral-Spac z względ a rodza lorazów różcowch żtch do dskrtzac czasow przstrz. Dla szczgól wartośc lczb Forra = Fo = 05 otrzmm rówaa mtod Bdra-Schmdta: T T T T

10 Stablość mrcza ozacza ż błąd growa w kolch tracach roś tz. + / gdz st marą błęd -t trac. Błąd trac st fkcą krok czasowgo t rozmar satk dskrtzac. Mtoda Rchardsoa Borąc ctral loraz różcow zamast pochod czasow otrzmm ą awą mtodę rozwązaa rówaa przwodctwa cplgo: T T T T T 8.0 zaą ako mtoda Rchardsoa. Mtoda ta st bzwarkowo stabla por. Chg [00] a węc zawsz prowadz do rozbżch trac moża węc zastosować w aalzach mrczch. Mtoda Dforda-Frakla Po podstaw w rówa 8.0 zamast T śrdo wartośc: T T zskm stabl algortm całkowaa rówaa 8.6 za pod azwą mtod Dforda-Frakla: T T T T 8. która st bzwarkowo stabla mrcz tz. zawsz prowadz do zbżch trac. Mtoda Laasoa Borąc w rówa 8.8 prawą stroę w chwl + otrzmam schmat całkowaa rówaa Forra za pod azwą mtod Laasoa: T T T T T. 8. Mtoda ta st bzwarkowo stabla alż oa do tzw. schmatów wkłach mplct któr wmagaą wększgo akład czas oblczń gdż macrz kład rówań przsta bć macrzą dagoalą ak to ma msc w mtodach awch plct a sta sę macrzą tródagoalą. Mtoda Craka-Ncolsoa Uśrdaąc praw stro rówań otrzmam mtodę Craka-Ncolsoa: T T T T T T T T 8. bzwarkowo stablą mrcz. Poważ rówa 8. zawra część awą łatwaącą trac rozwąza kład rówań mtoda Craka-Ncolsoa st bardzo często stosowaa. 8-0

11 Uogólaąc tą mtodę borąc lową kombacę prawch stro otrzmm tzw. mtodę która zawra mtod FTCS Laasoa Craka-Ncolsoa ako szczgól przpadk: T T T T T T T T. 8. Wartośc współczka z przdzał 05 daą bzwarkową stablość mrczą mtod Przkład zastosowaa do rozwązwaa rówań hprbolczch Sposob rozwązwaa rówań różczkowch tp hprbolczgo omówm a prostm przkładz rówaa Elra któr azwa st tż rówam trasport lb apłw adwkc : t gdz > 0 st stałą o wmarz prędkośc. Mtod rozwązaa tgo rówaa aalogcz ak to mało msc w przpadk rówaa parabolczgo różć sę będą rodzaam lorazów różcowch którm zastępowa będą pochod cząstkow wstępąc w 8.5. Zastosowa różc w przód któr są opsa rówam 8. do ob pochodch da schmat całkowaa azwa FTFS Forward Tm Forward Spac. T schmat całkowaa rówaa Elra prowadz do astępącch zalżośc: 8.6 gdz t / st lczbą Corata ozaczaą tż smbolm Co lb CFL Corat Frdrchs Lw. Schmat t st schmatm awm plct gdż poza poszkwaą wartoścą + w rówa wstępą tlko wartośc węzłow oblczo w aktalm krok czasowm macrz kład rówań st węc macrzą dagoalą. Mtoda st bzwarkowo stabla mrcz. Zastosowa ctral różc do aproksmac pochod przstrz da schmat FTCS Forward Tm Ctral Spac: 8.7 któr st rówż bzwarkowo stabl mrcz. Różca wstcz aproksmąca pochodą przstrzą w połącz z różcą w przód da schmat FTBS Forward Tm Backward Spac: 8-

12 8.8 stabl warkowo. Jżl w schmac FTCS 8.7 żm śrdo przstrz wartośc to otrzmam schmat Laa: 8.9 któr st stabl mrcz dla. Ctral różc aproksmąc ob pochod daą schmat CTCS za ako mtoda żabgo skok lapfrog. Źródłm t azw st zapw fakt pomęca przskocza węzła przstrz satk MRS:. 8.0 Schmat lapfrog st stabl mrcz dla oraz ma wększą dokładość O t ż poprzdo opswa schmat któr charaktrzował sę rsztą rzęd prwszgo: O t. Wadą mtod lapfrog st dodatkow wark początkow dla chwl -t któr moż spowodować błęd lb dozaczość rozwązaa. Opsa powż mtod alżą do grp schmatów awch plct moża t takż podob ak w schmatach rozwązwaa rówań parabolczch zastosować schmat wkła mplct któr daą rszt wższch rzędów ż schmat aw. Jżl prawą stroę rówaa 8.7 przdstawm w krok czasowm + otrzmm wkłaa mtodę FTCS o rszc rzęd O t. Zapsąc za wartośc węzłow fkc w krok czasowm + po lw stro rówaa otrzmam:. 8. Podstawaąc zamast praw stro rówaa 8.7 śrd czasow: otrzmm mtodę Craka-Ncolsoa:. 8. Porówa wków otrzmwach za pomocą tch schmatów całkowaa oraz formac o ch mtodach mtod tp prdctor-corrctor lb wlopktow zalźć moża w obszr moograf Comptr Fld Damcs T. J. Chga oraz Comptatoal Mthods for Fld Damcs Frzgra Prća. 8-

13 8..7 Przkład zastosowaa mtod wlopktowch Mtod wlopktow polgaą a aproksmac poszkwa fkc wlomam zawraącm przrost t wższgo stopa. Z tch mtod omówm dw często stosowa: mtod Adamsa-Bashforha mtod Rggo-Ktt. Zapszm dowol rówa różczkow zawraąc pochod prwszgo rzęd względm czas w astępąc sposób: t f t. 8. Aproksmąc fkcę wlomam drggo stopa względm t dobraąc tak współczk wloma ab zskać zgodość pochodch w pktach czasowch t oraz t- t rs. 8.8 otrzmam mtodę Adamsa-Bashfortha drggo rzęd: t f t f t t. 8. d/dt + d/dt - Rozwąza dokład Mtoda Adamsa-Bashfortha wloma -go stopa t - t t + t t t Rs. 8.8 Mtoda Adamsa-Bashfortha -go rzęd Mtoda Rggo-Ktt drggo rzęd posłg sę przwdwaą wartoścą fkc w połow krok czasowgo rs. 8.9 a astęp a podstaw wzacza wartość fkc w kolm krok czasowm: t f t f t. t

14 t d/dt +/ +/ + d/dt 0 Rozwąza dokład Mtoda Rggo-Ktt -go rzęd wloma -go stopa t t +/ t + t / t / t Rs. 8.9 Mtoda Rggo-Ktt -go rzęd Mtoda drggo rzęd st mtodą samostartącą tz. wmaga żadch dodatkowch warków początkowch. Naczęśc stosowaa st mtoda czwartgo rzęd którą zapsać moża astępąco: f f t t f t f f f f t f t t f f f t t f f f f Mtod Rggo-Ktt daą dokładość wększą ż mtod Adamsa-Bashfortha wlopktow mtod tgo samgo rzęd są dak bardz czasochło gdż wmagaą m-krotgo prz m-tm rzędz mtod wlczaa wartośc pochodch a każdm krok czasowm. 8. Mtod obętośc skończoch Mtod obętośc skończoch lb obętośc kotrolch obszarów kotrolch został zbdowa a zasadz osłaba warków opsach rozwązwam rówam różczkowm. Zamast spła wark w dowolm pkc obszar żądam ab został o spło w sposób całkow w małm obszarz kotrolm. Dża dowolość kształtowaa tch obszarów kotrolch powod łatwość growaa odpowdch rówań wzaczaącch wartośc węzłow poszkwa fkc. Z tgo powod mtod 8-

15 obętośc skończoch wparł w wększośc zastosowań praktczch zaprztowaą w poprzdm pkc mtodę różc skończoch. Rs. 8.0 Obszar kotrol zbdowa wokół węzła satk D Z względ a sposób wbraa obszar kotrolgo mtod obętośc skończoch moża wróżć dwa podśca: obszar kotrol zbdowa st wokół węzła satk rs. 8.0 obszar kotrol rówoważ st komórc satk rs. 8.. W prwszm przpadk wadomm będą wartośc fkc w węzłach satk a obszar kotrol zbdowa st przz połącz krawędzam środków komórk o wspólm węźl ak a rs. 8.0 lb przz tworz podrzęd satk rozdzlaąc obszar kotrol poszczgólch węzłów. Podśc drg powod ż wadomm są wartośc fkc w pktach środkowch aczęśc są to środk cężkośc komórk rs Wzacza wartośc pośrdch lżącch mędz węzłam satk odbwa sę t zwkl mtodą trpolac low lb przz śrd sąsdch wartośc. Możlw st dak aw wprowadz dowol fkc trpolac aalogcz ak ma to msc w Mtodz Elmtów Skończoch p. 8. co azwa st zwkl mtodą hbrdową. Zastosowa mtod pokaza zosta a przkładz rozwązaa rówaa Possoa w obszarz D. Rozwąza ch rodzaów rówań w szczgólośc opsącch procs stalo zalż od czas odbwa sę wdłg schmatów aalogczch ak opsa w p Obszar kotrol zbdowa wokół węzła satk Jako przkład lstrąc zastosowa mtod obętośc skończoch kotrolch wbrzm rozwąza dobrz zago rówaa Possoa 8.9 któr traz zapszm w co postac: p Całkąc to rówa w obszarz kotrolm otrzmam: 8-5

16 p d gdz ozaczoo. Stosąc twrdz Gassa-Ostrogradskgo moża wrazć całkę powrzchową lb obętoścową gd rozwązm zada D w obszarz przz całkę oblczoą a kotrz lb powrzch obszar: d p d gdz ozacza brzg obszar a są składowm wktora ormalgo do tgo brzg. Wrażaąc prwszą całkę prz pomoc sm oraz zastępąc pochod lorazam różcowm otrzmam: p d gdz ozacza smowa różc skończoch a wszstkch odckach brzg obszar. Drgą całkę moża oblczć dowolą mtodą mrczą p. stosąc kwadratrę Gassa. Wrażaąc ą w aprostsz postac mam: p d p gdz p ozacza śrdą wartość p w obszarz Rs. 8. Obszar kotrol w postac 0-co bok Na rs. 8. przdstawo st obszar kotrol w postac dzsęcobok otaczaącgo węzł 0. Zakładaąc ż składowa ormala wktora gradt: d/d st stała a ob odckach brzg a 0 b 0 sąsadącch krawędzą 0- otrzmam: 8-6

17 gdz: a 0 0 b 0 a 0 N 0 b W rówa tm wlmowa został składow ormal dzęk zwązkom: a a 0 a a a a 0 a b b 0 b b b 0 a b b 0 b. Smbolm N ozaczoo lczbę krawędz satk przchodzącch przz węzł 0 N=5 dla przpadk przdstawogo a rs. 8. dks a ozacza wrzchołk obszar kotrolgo lżąc w częśc poprzdzaąc krawędź 0- a b wrzchołk w częśc astęp. Rozwąząc zada dtcz z opsam w pkc 8.. otrzmam zgod z ozaczam podam a rsk 8. : a p p0 a a a a a a a a a a a a gdz zrowm wartoścam zastąpo został loraz tp 0/0 co odpowada zka locz skalargo wktora gradt wktora ormalgo Rs. 8. Kwadratow obszar kotrol węzła Nr 8 Zapsąc traz rówa 8.50 dla obszar zbdowago wokół węzła Nr 8 otrzmam po względ zwązków rówa: = a p któr po porządkowa przm postać: = a p

18 dtczą z rówam 8.. Podob zapsąc rówaa dla węzłów Nr 5 otrzmam zwązk któr po względ warków brzgowch dadzą to samo rozwąza któr poda zostało w p W przpadk ortogoal satk dskrtząc obszar rozwązaa mtoda obętośc skończoch sta sę dtcza z mtodą różc skończoch. 8.. Obszar kotrol rówoważ komórc satk Na rs. 8. przdstawo st obszar kotrol którm st komórka ograczoa krawędzam satk dskrtząc obszar rozwązaa. Nwadomm w tm przpadk są wartośc fkc w pktach środkowch A B C D.. lżącch w wętrz komórk: A B C D. Wartośc węzłow wstępąc w rówaach oblcza sę zwkl aprostszą w obszarach mtodą śrdaąc sąsd wartośc : A czworokątch lb w obszarach trókątch. A C B D E A G F A Rs. 8. Obszar kotrol rówoważ komórc satk D Rówa 8.50 pozosta t dal w moc al szczgółow wraz sm będą traz odm od Dla przkład gd obszar kotrol st czworokątm rs. 8. mam A B C D gdz O O Oblczaąc aprostszm sposobm współrzęd pktów środkowch śrdaąc współrzęd sąsadącch węzłów satk otrzmam: 8-8

19 N N N N A A B B C C D D. Pozwala to łożć rówaa dla wszstkch pktów środkowch lżącch wwątrz satk. E A H B O D C F G A B A O D B D C C Rs. 8. Czworokąt obszar kotrol 8.. Podśc wzorowa a Mtodz Elmtów Skończoch Borąc obszar kotrol tworzo wokół węzła satk wprowadzaąc aw fkc aproksmąc otrzmam wrsę Mtod Obętośc Skończoch Kotrolch podobą do Mtod Elmtów Skończoch MES por. p. 8.. Aaloga okaz sę szcz blższa gd zastosm sposób bdowaa agrgac kład rówań w którm bdm macrz współczków w kolośc oczk satk lmtów co pozwala tworzć macrz gomtrcz aalogcz ak tworzo są macrz sztwośc w MES por. Podgórsk Błazk-Borowa [00]. Podśc to pokażm a przkładz trókątgo oraz prostokątgo lmt satk zastosowago do opsago poprzdo rówaa Possoa. W ksążc T. J. Chga [00] moża zalźć przkład zastosowaa lmt czworokątgo o dowolm kształc co możlw st po wprowadz kośokątch lokalch kładów współrzędch. Zastosowa takch lmtów pokaza zosta w p. 8. któr pośwęco st mtodz lmtów skończoch. Wrazm poszkwaą fkcę w obszarz lmt przz smę loczów wartośc węzłowch fkc aproksmącch N : Lw N 8.57 gdz Lw ozacza lczbę węzłów lmt. Fkc t w mtodz lmtów skończoch oszą azwę fkc kształt por. Zkwcz [97] [99] oraz Podgórsk Błazk- Borowa [00] lb fkc próbch por. Chg [00]. 8-9

20 Po podstaw tgo wraża do 8.9 otrzmam całkę po brzg obszar kotrolgo zbdowago wokół węzła k : Lw k k N N d Lw k G k k g k 8.58 gdz gór dks ozaczaą mr lmt połączogo z rozważam węzłm k st mrm prwszgo lmt a k mrm ostatgo lmt połączogo z węzłm k fragmtm obwod obszar kotrolgo wokół węzła k alżącgo do lmt. W rówa 8.58 ozaczoo: Gk N N Składow Gk k d oraz macrz gomtrcz G ozaczaą wpłw -tgo węzła lmt a wartość całk po brzg obszar kotrolgo tworzogo wokół węzła k składowa wktora węzłowgo g st dzałm całgo lmt w t całc rówa Elmt trókąt Przmm low fkc kształt: N = a 0 + a + a gdz stał a 0 a a są tak dobra ab fkca N przbrała w węźl wartość dostkową zrow wartośc w pozostałch węzłach lmt. Wark t moża wrazć w zwęzł postac astępąco: N 8.59 g k Lw G k g k. gdz dlta Krockra = gd = lb 0 gd. Przęc low kształt pozwala łatwo oblczć wartość całk w rówa 8.58: G a k a k k k 8.60 gdz k ozacza tą część obwod obszar kotrolgo wokół węzła k która alż do lmt a k k są składowm wktora ormalgo do tgo brzg smowa odbwa sę po wszstkch odckach brzg. b _ b h b b 8-0

21 8- a b Rs. 8.5 Elmt trókąt lokal kład współrzędch Oblczm traz wartośc składowch G k macrz gomtrcz lmt trókątgo pokazago a rs Tak przęt lokal kład współrzędch da astępąc wartośc stałch a fkc N : a 0 = 0 a = 0 a =/h gdz h st wsokoścą trókąta poprowadzoą z wrzchołka. Poważ fragmt brzg obszar kotrolgo wokół węzła alżąc do dgo lmt składa sę z dwóch odcków o dłgośc to składowa G sm 8.60 w obszarz lmt trókątgo oblczoa dla fkc N ma wartość: ctg ctg h b h G 8.6 gdz b st dłgoścą bok lżącgo aprzcw wrzchołka są kątam trókąta lżącm prz węzłach. Podob oblcza dla fragmt brzg wokół węzła daą: ctg h b h G 8.6 ctg h b h G 8.6 gdz b b są dłgoścam boków lżącch aprzcw wrzchołków. Podob oblcza alż przprowadzć dla fkc kształt N oraz N. Zbraąc wszstk oblczo składow w macrz otrzmam zalżość: g = G 8.6 lb w postac rozwt: c c c c c c c c c c c c g g g 8.65 gdz c = ctg a wktor = [ ] zawra wartośc węzłow poszkwa fkc w węzłach sąsadącch z lmtm Elmt prostokąt Rówaa pozostaą rówż w moc dla ch tpów lmtów. Pokażm traz przkład wzaczaa macrz gomtrcz G lmt prostokątgo o bokach b b któr pokaza st a rs. 8.6.

22 Fkc kształt N gdz =.. st lokalm mrm węzła lmt pow spłać wark Naprostszą postacą tak fkc st wloma postac: N= a 0 + a + a + a któr moża otrzmać borąc locz fkc lowch: = /b = = /b =. Odpowd wloma przmą wtd postać: N = N = N = N = b b Rs. 8.6 Elmt prostokąt o bokach b b Po wkoa całkowaa w obszarz lmt otrzmm macrz gomtrczą G lmt prostokątgo w postac: G = gdz b b. W przpadk satk o oczkach kwadratowch mam: = = Przkład tworza kład rówań Wk otrzma w rówaach posłżą traz do porówaa różch postac kład rówań któr otrzmm w cl wzaczaa wartośc węzłowch poszkwa fkc stosąc opsa tp lmtów. Posłżm sę w tm cl tm samm przkładm któr przdo rozwąza został mtodą różc skończoch oraz mtodą obętośc skończoch w p a a a lmt b satka Nr c satka Nr 8-

23 Rs. 8.7 Elmt trókąt oraz dw róż satk dskrtząc obszar rozwązaa Elmt trókąt o bokach: b a b a b a powrzch A pokaza a rsk 8.7a. Wartośc kotagsów woszą: c = ctg = 0 c = ctg = c = ctg =. Macrz gomtrcza tgo lmt st zatm rówa: a G = 0 0. Bdąc obszar kotrol wokół węzła Nr 8 rs. 8.7b otrzmam: g 8 = p 0 lb w postac rozwęt: = p któr po porządkowa przm postać: = p podobą do otrzma w rówa 8.. Wlkość obszar kotrolgo st t co A msza ż w rówa 8. wos a. Przmąc satkę lmtów o A co m kształc rs. 8.7c otrzmam 8 a a zatm węc ż w rówa 8.. Wartość śrda obszarów kotrolch ob satk st rówa =a tz. tl l oblczoa w rówa 8.. Elmt kwadratow o bok a zastosowa do dskrtzac tgo samgo obszar da zacz bardz rozbdowa kład rówań co spowodowa st wższm stopm wloma trpolacgo zastosowago ako fkca kształt tgo lmt por. rówa Macrz gomtrcza lmt kwadratowgo = =0 oblczoa a podstaw 8.67 st rówa: G =. Obszar kotrol zbdowa z tch lmtów wokół węzła Nr 8 rs. 8.0 mplk rówa: 8-

24 = p któr po wlkch przkształcach przm postać: = a p Powrzcha obszar kotrolgo = a st t taka sama ak w rówa 8.. Wpsąc podob rówaa dla węzłów 5 por. rs. 8.6 względaąc wark =0 a brzgach obszar otrzmam astępąc kład rówań: a p Po go rozwąza otrzmm wartośc węzłow poszkwa fkc 5 = = 076 a p 0 8 = a p 0 co różąc sę od rozwązaa rówaa 8.5. Porówąc to rozwąza z wartoścą dokładą podaą w p. 8.. dostam błąd rów +% a węc co msz ż błąd rozwązaa zskago mtodą różc skończoch. 8. Mtoda lmtów skończoch Początków mtod lmtów skończoch MES doszkwać sę moża w latach 0 0 XX wk kd w USA G. B. Ma H. Cross oraz A. Ostfld w Holad korzstaąc z prac J. C. Mawlla A. Castlao oraz O. Mohra zapropoowal mtodę rozwązwaa zagadń mchak kostrkc zaą dzsa ako mtoda przmszczń. Uogóla t mtod dzęk pracom R. Corata a mchakę kotm dokoal w połow XX wk J. Argrs P. C. Patta S. Kls M. Trr R. Clogh. W latach mtoda lmtów skończoch przszła szrg modfkac m.. dzęk pracom O. C. Zkwcza Y. K. Chga R. L. Talora A. J. Bakra któr czł z współczs wrsal arzędz słżąc do rozwązwaa zagadń mchak cała stałgo przpłwów cpła mchak płów pól lktromagtczch tp. Krótk rs hstorcz MES zalźć moża w ksążc Gallaghra [975] podstaw tortcz mtod wl przkładów zastosowań zalźć moża w ksążkach Zkwcza [97] Zkwcza Talora [99] Hghs a [987] Chga [00] Klbra. [995]. 8.. Podstawowa kocpca mtod lmtów skończoch Współczs kocpc MES bazą a mtodz Galrka która możlwa przęc przblżogo rozwązaa problm opsago rówam różczkowm w postac low kombac fkc: L U

25 T Gdz st wktorm okrślaącm położ pkt w przstrz [ z] L st lczbą fkc aproksmącch. Fkc aproksmąc U spłać mszą wark brzgow al mszą spłać samgo rówaa różczkowgo. Przblżo spł rówaa zsk sę mtodą mmalzac błęd aproksmac przz go ortogoalzacę z kążdą z fkc U w obszarz rozwązaa: U D d gdz D st opratorm rówaa różczkowgo: D 0 a ozacza obszar rozwązaa. Trdośc w doborz odpowdch fkc aproksmącch któr mszą spłać wark brzgow o obszarz o dokrot skomplkowam kształc moża pokoać przz zlokalzowa fkc aproksmącch. Obszar rozwązaa dzl sę a L rozłączch podobszarów o prostch kształtach trókąt czworokąt a płaszczź czworośca pęco szścośca w przstrz podobszar t azwa są lmtam skończom. Fkc aproksmąc U dobra sę tak ab mał wartośc rów zr poza obszarm a wwątrz bł prostm gładkm fkcam sparamtrzowam przz wartośc węzłow. Węzł są zwkl arożam wloboków wloścaów w przstrz lb środkam ch krawędz. Od fkc U żąda sę tż warków cągłośc a brzgach obszar. Cągłość pochodch rzęd m- gdz m st rzędm rówaa różczkowgo ozacza spł warków zgodośc a cągłość pochodch rzęd m warkm zpłośc. Fkc aproksmąc w obszarz lmt przm sę zwkl w postac sm fkc bazowch zwa są o tż fkcam kształt fkcam trpolacm fkcam próbm: U W N 8.75 gdz ozacza wartośc węzłow poszkwa fkc N st fkcą bazową tgo węzła w obszarz lmt W ozacza lczbę węzłów tgo lmt st lokalm mrm węzła. Po podstaw 8.7 do 8.7 względ 8.75 otrzmam kład rówań któr pozwol wzaczć poszkwa wartośc węzłow fkc : L Lw N N d 0.. Lw D 8.76 gdz Lw st lczbą węzłów satk dskrtzac. Prwsza sma dotcz tlko tch lmtów któr połączo są z węzłm st mrm prwszgo a L ostatgo z lmtów dołączoch do węzła. Drga sma dotcz tlko tch węzłów któr alżą do lmt st globalm mrm prwszgo węzła połączogo z lmtm a Lw globalm mrm ostatgo z tch węzłów. Szczgół procs zstawaa agrgac tgo kład rówań przdstawo są w wl ksążkach pośwęcoch MES p. Podgórsk Błazk-Borowa [00]. 8-5

26 8.. Rozwązaa rówaa Possoa Przdstawm traz zastosowa MES a przkładz wlokrot p ż rozwązwago rówaa Possoa w obszarz D: D p Po wstaw tgo rówaa do 8.7 względ zalżośc 8.75 otrzmam: N pd 0 =..W A po zastosowa twrdza Gassa-Gra przkształcm do postac: [ N ] d [ N ] d N pd 0 =..W 8.79 gdz ozacza brzg lmt. Zstawaąc t rówaa w postac macrzow otrzmam: K = p - q 8.80 gdz K os azwę macrz sztwośc dfz lpkośc tp. lmt st wktorm macrzą kolmową wartośc węzłowch poszkwa fkc p st wktorm sł węzłowch lmt lb wktorm źródł q st wktorm warków brzgowch Nmaa. Wstawaąc smę fkc bazowch zamast rów. 8.7 otrzmam: K N N N N d 8.8 p N p d 8.8 q N d 8.8 gdz K są składowm macrz sztwośc K p ozacza składową wktora źródł p q składową wktora warków brzgowch Nmaa q. Pokażm traz szczgół tworza tch macrz a przkładach dwóch lmtów: trókątgo czworokątgo. 8-6

27 8.. Elmt trókąt Trókąt lmt zbdowa dla rozwazaa rówaa Possoa przpoma trókąt lmt tarczow słżąc rozwązwa zagada statk tarcz por. Podgórsk Błazk- Borowa [00] st dak co prostsz gdż oblczam t podńcz wartośc węzłow. Zastosm low fkc bazow fkc kształt w postac: N = a 0 + a + a gdz stał a 0 a a są tak dobra ab fkca N przbrała w węźl wartość dostkową zrow wartośc w pozostałch węzłach por tz. N = 8.8 gdz st dltą Krockra. Ozaczm os globalgo kartzańskgo kład współrzędch dżm ltram: XY a os lokalgo kład małm ltram: ak a rsk 8.8. Początk kład założm w środk trókąta: X X X Y Y Y. Lokal 0 X 0 Y współrzęd moża węc oblczć z wzor: = X X 0 = Y Y 0. Lokala mraca węzłów ms bć tak dobraa ab wzaczk: A 8.85 mał wartość dodatą A ozacza t pol powrzch lmt. Y X Rs. 8.8 Układ współrzędch lmt trókątgo Wstawaąc do rówaa 8.8 współrzęd kolch węzłów trókąta otrzmam kład rówań z którgo moża wzaczć stał a wstępąc w rówa fkc kształt: a a a Rozwąza tgo kład rówań da astępąc wartośc stałch: 8-7

28 a a A a 0 k k 8.87 gdz dks k tworzą ckl: ; ;. Pochod fkc kształt woszą: N a N a. Wstawaąc t wartośc do rówaa 8.8 otrzmam: A a a aa d A aa aa K Poważ w rówa 8.88 wstępą stał a 0 a a oraz a zalżą od położa środka lokalgo kład współrzędch moża w rówaach 8.87 wstawć współrzęd global żl kład lokal st obróco względm globalgo. Moża traz zstawć całą macrz sztwośc lmt trókątgo: a a aa aa aa aa K Aa a a a a a aa aa a a a a a a a a a a Dla porówaa z macrzą gomtrczą obszar trókątgo oblczm składow t macrz dla lmt opsago w p Współrzęd węzłów stał fkc kształt poda został w tablc 8.. Tablca 8. Paramtr lmt trókątgo X Y a a 0 0 -/a /a 0 -a 0 -/a a 0 /a 0 Po względ ż A = a / otrzmam macrz sztwośc lmt: K 0 0 która róż sę tlko zakm od macrz gomtrcz G wzaczo w pkc Elmt czworokąt Elmt czworokąt słżąc rozwązwa rówań Possoa Laplac a zbdm stosąc mtodę zapropoowaą przz Zkwcza któr zastosował t sam fkc bazow do tworza fkc aproksmąc rozwąza ak tż do trasformac lokalch współrzędch lmt do globalgo kład kartzańskgo. Elmt 8-8

29 zbdowa tą mtodą oszą azwę lmtów zoparamtrczch por. Zkwcz [97] [99] Chg [00]. Na rsk 8.9 pokaza został czworokąt lmt wraz z kładm lokalch współrzędch. Początk tgo kład założo st w środk cężkośc czworokąta współrzęd są bzwmarow przmąc w węzłach wartośc =. Nmr węzłów pokaza a rsk są mram lokalm maącm zacz tlko dla tgo lmt. Y Rs. 8.9 Czworokąt lmt zoparamtrcz oraz stosowa kład współrzędch Fkc bazow fkc kształt bdm z wlomaów II stopa przmąc podob ak w rówaach 8.66: X N N N N Nco a postać fkc bazowch zwązaa st t z m przęcm środka kład współrzędch. Global współrzęd kartzańsk XY zwąza są zatm z lokalm kładm w astępąc sposób: X N X Y N Y. 8.9 Wstawaąc fkc bazow 8.90 do rówaa 8.8 otrzmam składow macrz sztwośc lmt: K N N N N d N N N N J d d k d d

30 gdz d = d d = J d d J ozacza wzaczk Jakoba: J = dtj J J J. J J Fkc k wstępąc w ostat całc 8.9 alż przkształcć tak ab zawrał pochod względm współrzędch lokalch : k JN JN J N JN J N J N J N J N. 8.9 Z względ a wgodę całkę zawraącą k oblcza sę zwkl mrcz stosąc kwadratrę Gassa. Wzór 5-co pktow wstarcza ab całk 8.9 oblczć dokład. Tak węc składowa macrz sztwośc lmt czworokątgo moż bć oblczoa z wzor: K k L G L G d d w w k 8.9 m m m gdz L G ozacza lczbę pktów Gassa w m w współczk wagow a m współrzęd pktów Gassa. W tablc 8. poda są por. Bakr [98] współczk wagow współrzęd tch pktów dla L G = 5. Tablca 8. Współczk wagow współrzęd pktów Gassa m m w m Składow macrz sztwośc lmt kwadratowgo o bok a oblczo zgod z tm formłam są astępąc podao tlko 6 msc zaczącch: K = różą sę węc stot od składowch macrz gomtrcz G oblczoch w p Ograczaąc sę tlko do lmtów prostokątch podob ak to zroblśm w rówaach otrzmam macrz sztwośc: 8-0

31 8- K = gdz podob ak poprzdo b b. Macrz sztwośc lmt kwadratowgo = oblczoa a podstaw 8.96 st rówa: K = 6 a węc dtcza z dokładoścą do -go msca zaczącgo z macrzą podaą w rówa Składow wktora źródł p rów prz stał wartośc p = p 0 w obszarz lmt są rów: p = a p 0. Zstawaąc szcz raz kład rówań rozwązącch rówa Possoa por. rów otrzmam: p a Po go rozwąza dostam wartośc węzłow poszkwa fkc 5 = = 058 a p 0 8 = 0887 a p 0. Wartość 8 róż sę co od rozwązaa rówaa 8.5. Porówąc 8 z wartoścą dokładą podaą w p. 8.. dostam błąd rów +6% porówwal al przcw co do zak z błędm rozwązaa zskago mtodą różc skończoch. Błąd t st praw dwkrot wększ ż błąd rozwązaa mtodą obętośc kotrolch rów al prz t gęstośc satk dskrtząc obszar rozwązaa trdo wcągać ogól wosk co do dokładośc ob mtod Przkład agrgac globalgo kład rówań Agrgaca zstawa kład rówań MES moż zostać wkoaa przz zsmowa loczów macrz sztwośc lmtów macrz połączń alokac. Mtoda ta por. Podgórsk Błazk-Borowa [00] zastosowaa bzpośrdo w komptrow ralzac algortm st dak bardzo czasochłoa wmaga rzrwowaa dżch obszarów pamęc oprac komptra a przchowa dżch macrz alokac. Dlatgo tż st praktcz stosowaa. Przdstawm traz praktcz algortm

32 agrgac stosowa w wększośc komptrowch ralzac. Algortm zapsa zosta w psdokodz o skład zblżo do poplargo skrptowgo ęzka Prl. Zak # hash oraz drk pochł ozacza t wrsz komtarza blok polcń wkowach w pętl zazacza są przz odpowd wcęc wrsza. Nazw psa z sparatorm w postac dol krsk p. Utwórz_macrz ozaczaą wwoła odpowd procdr ralząc złożoą opracę. # Agrgaca_K Ic_Globalą_Macrz_Sztwośc_K[NN] # Tworzm wpłoą zram tablcę K o rozmarach NN # w któr przchowwa będą składow global macrz sztwośc. # N ozacza lczbę wadomch wstępącch w zada. Dla każdgo lmt wkoa: o Utwórz_macrz_K # Tworzm macrz sztwośc lmt o wmarach WW # gdz W st lczbą węzłów lmt o Dla każd składow K[] wkoa: Czta_global_mr_węzłów # Nalż odcztać global mr NN węzłów o mrach # lokalch: Wstaw K[NN] K[NN] + K[] # Do zawartośc komórk K[NN] global macrz sztwośc # alż dodać składową K[] macrz sztwośc lmt o # Koc Dla każd składow # Koc Dla każdgo lmt # Koc agrgac Oczwśc macrz sztwośc moż bć przchowwaa w tablcach prostokątch lb wktorach w cl zaoszczędza pamęc. W rówaach lowch gdz macrz sztwośc st smtrcza moża przchowwać tlko górą lb dolą połowę. Ostat blok algortm wstawa w tm przpadk alż zmodfkować tak ab N N ozaczał położ składow K[] w zmodfkowa tablc global. Algortm t dostosowa do składowaa macrz sztwośc w tablc dowmarow bz zapamętwaa zrowch składowch macrz wkorzsta został w program PossoD któr powstał w Katdrz Mchak Bdowl Poltchk Lblsk. Ab zadmostrować go dzała pokażm składow global macrz zwąza z rówam Possoa w obszarz prostokątm o wmarach aa por. rs. 8.6 przd względm warków brzgowch. Macrz globala K ma w tm przpadk wmar 55 przdstawoa została w tablc 8.. Pomęt t został z względ a zwększ cztlośc składow lżąc poż przkąt oraz zrow składow lżąc powż górgo pasma. Tablca 8. Składow macrz sztwośc obszar

33 Smtra Rozwąza kład rówań lowch któr powsta po agrgac macrz sztwośc względ warków brzgowch st zagadm dosć prostm żl lczba rówań st wlka co obc ozacza zwkl klka tsęc rówań. Stosowa są wtd mtod klascz ak lmaca Gassa lb faktorzaca Baachwcza-Cholsk'go dla kładów smtrczch dostosowa do pasmow strktr macrz. Poważ macrz sztwośc st macrzą rzadką tz. macrzą w któr tlko wlka lczba składowch st róża od zra to bardzo fktwm mtodam rozwązwaa rówań okazą sę w tm przpadk mtod trac ak mtoda Gassa-Sdla oraz mtod gradtow por. Saad[00] Przkład rozwązań rówaa Possoa Oblczo w poprzdm pkc składow macrz sztwośc trókątgo kwadratowgo lmt skończogo posłżą am traz do pokazaa wpłw kształt gęstośc satk a dokładość rozwązaa. Rozwążm zada rozwązwa poprzdo mtodą różc skończoch p. 8.. mtodą obętośc skończoch p Obszar prostokąt o wmarach a a podzlo został klkoma satkam kwadratowm: W obszarz satk zastosowao kwadratow rs. 8.0 trókąt lmt o dwóch schmatach rs. 8. a b. W satc A rs. 8.a węzł środkow Nr 8 otoczo st cztrma lmtam trókątm a w satc B rs. 8.b - ośmoma Rs. 8.0 Satka a a zbdowaa z lmtów kwadratowch 8-

34 a satka A b satka B Rs. 8. Satk zbdowa z lmtów trókątch W wszstkch węzłach brzgowch założoo zrow wartośc fkc fkca źródł rówaa Possoa przęta została ako stała w całm obszarz: p = p 0 = cost. Zada rozwązao za pomocą program PossoD otrzmąc węzłow wartośc fkc. Porówwao wartość w węźl ctralm z rozwązam dokładm oraz mędz kolm schmatam. Wk przdstawo został a wkrs rs. 8. oraz w tablc 8.. w zalżośc od lczb lmtów a krótszm bok obszar. Tablca 8. Wartośc /a p 0 w pkc środkowm N Lczba wadomch kwadratowa Kształt satk trókąta A trókąta B Wk dokład Wdocza st t szbsza zbżość wk do wartośc dokład dla satk kwadratow. Satka trókąta da rzltat wol zbż w węzłach otoczoch przz cztr lmt a szbc zbż dla węzłów otoczoch przz osm lmtów. Dokładość rozwązaa sta sę dostatcz dokłada błąd msz ż % prz podzal krótszgo bok prostokąta a 6 odcków. 8-

35 0.9 s - przmszcz pkt środkowgo Elmt kwadratow Elmt trókąt A Elmt trókąt B Rozwąza dokład N - Lczba lmtów wzdłż krótszgo bok Rs. 8. Zalżość wk od gęstośc kształt satk Na rsk 8. przdstawoo mapę fkc zskaą dla satk lmtów 6. Rs. 8. przdstawa mapę fkc która st rozwązam rówaa Possoa w obszarz pokazam a rsk 8. prz aalogczch ak w zada poprzdm warkach brzgowch t sam fkc źródł. Rs. 8. Rozwąza rówaa Possoa w obszarz prostokątm aa - satka kwadratowa 8-5

36 Rs. 8. Rozwąza rówaa Possoa w obszarz o brzg krzwolowm - satka trókąta 8-6