Standardowe zadanie programowania liniowego 1
Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci a x + a x +... + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2... a x + a x +... + a x = b m1 1 m2 2 mn n m (1) a ij, b i znane współczynniki 2
Standardowe zadanie programowania liniowego Dopuszczamy jedynie nieujemne wartości x j, czyli: Zakładamy również, że: x 0, j = 1,2,..., n (2) j b 0, i= 1,2,..., m (3) i Z procesem jest związana funkcja celu Z: Z = c1x1+ c2x2 +... + cnxn (4) c j, j = 1,2,,n znane współczynniki 3
Standardowe zadanie programowania liniowego Zagadnienie polega na maksymalizacji (minimalizacji) funkcji celu Z (4), spełniającej ograniczenia (1), (2), (3). Model matematyczny: FC : Z n = c x j= 1 MAX m ax ij j = bi j= 1 O : x j 0, j = 1,2,..., n bi 0, i = 1,2,..., m j j (5) 4
Standardowe zadanie programowania liniowego Zapis w postaci macierzowej FC : Z = T cx Ax = b O: x 0 b 0 MAX (6) a11 a12... a1 n c1 x1 b1 a21 a22... a 2n c 2 x 2 b 2 A= c= x= b=..................... a a... a c x b m1 m2 mn n n n 5
Standardowe zadanie programowania liniowego Przykład 1 Zakład zamierza rozpocząć produkcję dwóch wyrobów: W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w procesie produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą: dla środka pierwszego S 1 63 kilogramy, dla środka drugiego S 2 64 kilogramy. Aby wyprodukować jeden wyrób W 1 potrzeba 9 kg środka S 1 oraz 8 kg środka S 2. Aby wyprodukować jeden wyrób W 2 potrzeba 7 kg środka S 1 oraz 8 kg środka S 2. Wyrób W 1 będzie produkowany jednocześnie na 3 maszynach, a wyrób W 2 na 2 maszynach. Koszty przestrojenia maszyn zwrócą się po wyprodukowaniu łącznie 6 sztuk wyrobów. Wiedząc, że cena za wyrób W 1 będzie wynosić 6 zł, a cena za wyrób W 2 5 zł określić wielkość produkcji, która zoptymalizuje zysk ze sprzedaży. 6
Standardowe zadanie programowania liniowego W 1 W 2 S 1 S 2 ilość maszyn cena 7
Standardowe zadanie programowania liniowego Zmienne decyzyjne: x 1 x 2 8
Standardowe zadanie programowania liniowego Funkcja celu (FC): (, ) Z x x = 1 2 Ograniczenia (O): 1 2 3 Warunki brzegowe (WB): x, x 1 2 9
Standardowe zadanie programowania liniowego Zadanie programowania liniowego FC: (, ) Z x x = 1 2 O: WB: 1 2 3 x, x 1 2 10
Metoda geometryczna 11
Metoda geometryczna x 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 12
Metoda geometryczna A (2, 0) B (7, 0) Z (2, 0) = 6 2 + 5 0 = 12 Z (7, 0) = 6 7 + 5 0 = 42 C (3.5, 4.5) D (0, 8) E (0, 3) Z (3.5, 4.5) = 6 3.5 + 5 4.5 = 43.5 Z (0, 8) = 6 0 + 5 8 = 40 Z (0, 3) = 6 0 + 5 3 = 15 MAX Odpowiedź: 13
Zadanie dualne 14
Zadanie dualne Przykład 2 Zakład produkuje cztery wyroby (F 1, F 2, F 3 if 4 ). Wśród środków produkcyjnych, używanych w procesie wytwarzania wyrobów dwa są limitowane. Limity te, oraz ilości środków potrzebne do wytworzenia poszczególnych wyrobów zostały przedstawione w tabeli. Znając jednostkowe ceny wyrobów, określić taki plan produkcji, aby zysk był maksymalny. 15
Zadanie dualne F 1 F 2 F 3 F 4 S 1 1 3 1 1 600 S 2 4 1 1 5 1200 cena 8 9 6 10 Zmienne decyzyjne: x i wielkość produkcji wyrobu F i, i = 1 4 16
Zadanie dualne MODEL MATEMATYCZNY: Funkcja celu (FC): ( ) Z x, x, x, x = 8x + 9x + 6x + 10x MAX 1 2 3 4 1 2 3 4 Ograniczenia (O): x + 3x + x + x 600 1 2 3 4 4x + x + x + 5x 1200 1 2 3 4 Warunki brzegowe (WB): x 0, x 0, x 0, x 0 1 2 3 4 17
Zadanie dualne Zadanie pierwotne (ZP): FC: O: Z = WB: x 0 T cx Ax b MAX Zadanie dualne (ZD): FC: Z ˆ = O: T Ay WB: y 0 T by c MIN 18
Zadanie dualne MODEL MATEMATYCZNY ZADANIA DUALNEGO: Funkcja celu (FC): Ograniczenia (O): ( ) Zˆ y, y = 1 2 1 2 3 4 Warunki brzegowe (WB): y 1 2, y 19
Zadanie dualne Interpretacja zadania dualnego Zmienne decyzyjne w zadaniu dualnym: y 1 y 2 ( ) Zˆ y, y = 1 2 20
Zadanie dualne Interpretacja zadania dualnego c.d. Wyprodukowanie wyrobów wiąże się z kosztem środków S 1 is 2. Konkurent, aby zachęcić producenta do sprzedaży materiałów musi mu zapłacić co najmniej tyle, ile producent uzyskałby ze sprzedaży wyrobów, które produkuje 21
Zadanie dualne Twierdzenie o dualności Zadanie pierwotne ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie dualne ma rozwiązanie, oraz: Z ( MAX) = Zˆ ( MIN) 22
Zadanie dualne Na podstawie metody geometrycznej: A( 0,9 ) ( ) B( 3/2,9/2) ( ) Z ˆ A = 10800 Z ˆ ( B ) = 6300 Z ˆ ( C ) = 4200 C5,1 MIN D( 10,0) ( ) Z ˆ D = 6000 Aby koszt materiałów był najmniejszy i wynosił 4200 zł, konkurent musi zapłacić za jednostkę S 1 5 zł, a za jednostkę S 2 1 zł. 23
Zadanie dualne Na podstawie twierdzenia o dualności: Maksimum FC zadania pierwotnego jest równe minimum FC zadania dualnego. Zysk producenta wyniesie również 4200 zł. Jakie jest rozwiązanie zadania pierwotnego? TWIERDZENIE O RÓWNOWADZE. 24
Zadanie dualne Twierdzenie o równowadze Jeżeli i-ty warunek zadania pierwotnego (ZP) jest (chociaż w jednym) w optymalnym rozwiązaniu spełniony z nierównością (w sposób ostry), to odpowiadająca mu i-ta zmienna y i w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu zadania dualnego (ZD) przyjmuje wartość zero. Dla zmiennej x i >0 w rozwiązaniu optymalnym ZP odpowiadające jej i-te ograniczenie w ZD jest ograniczeniem równościowym. Twierdzenie o równowadze jest również słuszne w przeciwną stronę 25
Zadanie dualne Rozwiązanie przykładu: y = 5, y = 1 1 2 Sprawdzenie ograniczeń ZD: j =1: Nierówności ostre dla j = 2: j = 3: j = 4: W rozwiązaniu optymalnym ZP 26
Zadanie dualne Ponieważ: y = 5> 0, y = 1> 0 1 2 Ograniczenia 1 i 2 w ZP są ograniczeniami równościowymi (przy czym x 1 = 0, x 2 = 0): x x + x = 3 4 3 4 600 + 5x = 1200 x = 450, x = 150 3 4 FC: ( ) Z x, x, x, x = 8 0 + 9 0 + 6 450 + 10 150 = 4200 1 2 3 4 27
Zadanie dualne Odpowiedź do zadania pierwotnego: Aby zysk był maksymalny, producent musi wyprodukować 450 jednostek F 3 oraz 150 jednostek F 4. Zysk wyniesie 4200. 28
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego 29
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie pierwotne Zadanie dualne maksymalizacja minimalizacja 30
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie pierwotne Zadanie dualne Ograniczenia: i te: i te: i te: = Zmienne: y i 0 y i 0 y i dowolne 31
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie pierwotne Zadanie dualne Zmienne: x j 0 Ograniczenia: j te: x j 0 x j dowolne j te: j te: = 32
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Przykład 3 Dla podanego zadania pierwotnego zapisać zadanie dualne. FC: ( x) 1 2 3 4 Z = 2x + 3x + x + x MAX O: x + 2x 3x + x = 20 1 2 3 4 2x + x + 3x x 50 1 2 3 4 3x x + x + 2x 40 1 2 3 4 WB: x 0, x 0, x 0, x dowolne 1 2 3 4 33
Szczegółowe zasady formułowania zadania dualnego Zadanie dualne: FC: Ẑ ( y) = O: WB: 34