Fizyka elektyczność i magnetyzm W1 1. Elektostatyka 1.1. Ładunek elektyczny. Cała otaczająca nas mateia składa się z elektonów, potonów i neutonów. Dwie z wymienionych cząstek - potony i elektony - obdazone są właściwością zwaną ładunkiem elektycznym. Właściwość ta spawia, że cząsteczki działają wzajemnie na siebie siłą elektostatyczną. Cząstki tego samego odzaju tzn. dwa elektony lub dwa potony odpychają się wzajemnie, natomiast elekton z potonem działają na siebie siłą pzyciągającą (ys 1.1). Dla odóżnienia pzyjęto nazywać ładunek elektonu ładunkiem ujemnym, a ładunek potonu ładunkiem dodatnim. Co do watości bezwzględnej ładunki potonu i elektonu są ówne. Ładunek elektonu ówny 1,6 1 19 C nazywany jest ładunkiem elementanym i oznaczany symbolem e. Naładowane ciało, tzn. takie któe ma w swoim składzie nieówną liczbę potonów i elektonów, może mieć ładunek ówny jedynie całkowitej wielokotności ładunku e. Rys.1.1 Kieunki siły elektostatycznej dla ładunków o óżnych znakach Ładunki elektyczne podlegają zasadzie zachowania ładunku. To podstawowe pawo fizyki oznacza, że w zamkniętym układzie wypadkowa ilość ładunku będzie pozostawała stała. Zasada ta obowiązuje nawet w pzypadku anihilacji naładowanych cząstek. 1.. Pawo Coulomba Pawo Coulomba mówi, że watość siły jaką działają na siebie dwa ładunki jest wpost popocjonalna do iloczynu tych ładunków q 1 i q i odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości między nimi q1 q F = k 1.1 gdzie k jest wyznaczonym doświadczalnie współczynnikiem popocjonalności noszącym nazwę stałej Coulomba. Do obliczeń siły można pzyjąć z dostatecznym pzybliżeniem watość współczynnika k = 9 * 1 9 N m /C. 1
Siła elektostatyczna jest podobna w swoim działaniu do siły gawitacyjnej, ale jest od niej wielokotnie silniejsza. Obliczając stosunek siły elektostatycznej do siły gawitacyjnej dla dwóch potonów otzymamy: q1 q k 9 19 Fe 9 1 ( 1,6 1 ) 6 = k e = = = 1, 1 11 7 F m 1 m g G m G p 6,7 1 ( 1,67 1 ) W pzypadku gdy mamy do czynienia z większą liczbą ładunków, wypadkową siłę działającą na poszczególne ładunki możemy obliczyć z zasady supepozycji (ys 1.). W paktyce często zamiast ładunków punktowych spotykamy ozciągłe jednoodnie naładowane ciała, np. naładowany pęt lub płyta będąca okładką kondensatoa. W takim pzypadku siła Coulomba będzie ówna F = df, gdzie df jest siłą pochodzącą od każdego elementu naładowanego ciała. Rys.1. Zasada supepozycji sił elektostatycznych 1.. Pole elektyczne Siły elektostatyczne działają na odległość, co oznacza, że wokół każdego ładunku istnieje pewien obsza lub inaczej pole działania sił elektostatycznych nazywane polem elektycznym. Natężenie pola elektycznego E! w danym punkcie pzestzeni definiujemy jako siłę elektyczną działającą na ładunek póbny umieszczony w tym punkcie podzieloną pzez watość ładunku.!! F E = 1. q Natężenie pola elektycznego jest wielkością wektoową, a jego kieunek jest zgodny z kieunkiem siły działającej na dodatni ładunek póbny. Jednostką natężenia pola z definicji jest niuton na kulomb, w paktyce częściej używana jest ównoważna jej jednostka ówna volt na met. W najpostszym pzypadku, pole w punkcie P odległym o od ładunku punktowego można opisać zależnością:!! F 1 q!! E = = k k = 1. q q Gdzie! jest wektoem jednostkowym skieowanym od do P Podobnie jak w pzypadku sił elektostatycznych pole elektyczne pochodzące od n ładunków punktowych będzie ówne sumie wektoowej pól pochodzących od poszczególnych ładunków. W pzypadku naładowanych ciał ozciągłych do obliczenia pola użyjemy całki.
Jako pzykład obliczmy pole elektyczne pochodzące od naładowanego pieścienia o pomieniu R i ładunku całkowitym. Będziemy liczyć pole wzdłuż osi pieścienia w odległości x od jego śodka (ys 1.) Rys.1.. Pole wytwazane pzez jednoodnie naładowany pieścień Podzielmy pieścień na odcinki dl. Każdy taki odcinek możemy taktować jak ładunek punktowy ówny λdl, gdzie λ = /πr jest liniową gęstością ładunku ozłożonego na pieścieniu. Pole w punkcie P pochodzące od tak zdefiniowanego odcinka pieścienia można opisać zależnością: λdl de = k Ze względu na symetię układu składowa E y pola będzie ówna zeo, natomiast pochodząca od odcinka dl składowa E x będzie ówna: λdl λdl x de x = k cosα = k Aby policzyć sumayczne pole pochodzące od wszystkich elementów pieścienia obliczymy całkę po kzywej zamkniętej jaką stanowi pieścień λ x λ x E = Ex = k λ x dl = k dl = k ( πr) = k ( x + R ) gdzie: = (x + R ) 1/, = πrλ. Z analizy otzymanego wyniku: dla x = E =, a dla x >>R natężenie pola E=k /x będzie takie samo jak dla ładunku punktowego. Kieunek pola elektycznego E! w pzestzeni można pzedstawić za pomocą linii nazywanych liniami sił lub liniami stumienia elektycznego. Linie pola elektycznego opócz kieunku pokazują także natężenie pola, ponieważ keśli się je w taki sposób, by liczba linii na jednostkę powiezchni była liczbowo ówna natężeniu pola. Pzykład linii pola wokół ładunków punktowych pokazuje ys 1.4. x Rys.1.4 Obazy linii sił pola elektycznego dla ładunków punktowych
1.4. Pawo Gaussa W opaciu o linie sił pola można zdefiniować pojęcie stumienia elektycznego będącego iloczynem skalanym wektoa natężenia pola E! ównego co do watości liczbie linii sił, pzez wekto A! postopadły do pola powiezchni pzez któą pzenikają linie sił i ówny temu polu. W ogólnym pzypadku dla pól niejednoodnych stumień możemy obliczyć całkując natężenie pola E! po całej inteesującej nas powiezchni A. Φ E da 1.4 = s Rozpatzmy stumień elektyczny pochodzący od ładunku punktowego i pzechodzący pzez powiezchnie kulistą o pomieniu otaczającą ładunek (ys.1.5). Rys.1.5.Linie sił pola ładunku punktowego pzecinające powiezchnię kuli o pomieniu Ze względu na symetię układu oaz ównoległość wektoa natężenia pola i wektoa postopadłego do powiezchni kuli stumień możemy obliczyć mnożąc watość natężenia pola na powiezchni otaczającej kuli pzez powiezchnię tej kuli. W ezultacie otzymamy: Φ = E ( 4π 1 ) = k ( 4π 1 ) = 4π k 1.5 1 Otzymana watość stumienia nie zależy od 1. Całkowita liczba linii sił wychodzących z ładunku punktowego jest ówna 4π k, a linie te ciągną się aż do nieskończoności. Można wykazać że liczba linii sił pozostaje ówna φ = 4π k nawet wtedy, gdy zamknięta powiezchnia ma dowolny kształt całkowicie otaczający ładunek. Taką całkowicie zamkniętą powiezchnię nazywamy powiezchnią Gaussa. Można udowodnić że w pzypadku kiedy powiezchnia Gaussa obejmuje nie jeden a wiele ładunków punktowych całkowity stumień pzez tę powiezchnię będzie ówny Φ = E da = π k 1.6 4 wewn. Gdzie wewn. jest wypadkowym ładunkiem zawatym wewnątz zamkniętej powiezchni. Zależność powyższa nosi nazwę pawa Gaussa. Pawo to mówi, że całkowita liczba linii sił pola wychodzących z naładowanego ciała jest ówna wypadkowemu ładunkowi tego ciała pomnożonemu pzez czynnik 4π k. Jeżeli jest ujemne, to linie wchodzą do ciała. Linie mogą zaczynać się lub kończyć jedynie na ładunkach, a wszędzie indziej są ciągłe. Pawo Gaussa pozostaje w mocy niezależnie od tego, czy na zewnątz zamkniętej powiezchni znajdują się ładunki, czy też nie. 4
1.5. Indukcja elektyczna Większość ciał stałych można podzielić dwa odzaje: pzewodniki i izolatoy. Jeżeli naładowanym elektycznie ciałem jest izolato, to nadmiaowy ładunek może być ozmieszczony na powiezchni lub wewnątz izolatoa i będzie się tam utzymywał. Natomiast pzewodniki zawieają dużą liczbę swobodnych elektonów, któe nie są związane z atomami sieci kystalicznej. Z tego względu pole elektyczne wewnątz pzewodnika może istnieć jedynie do czasu, kiedy swobodne elektony pzemieszczając się wytwozą ówne co do wielkości, lecz pzeciwnie skieowane pole, kompensujące pole zewnętzne. Dlatego też ładunek wpowadzony do pzewodnika zawsze musi się zbieać na jego powiezchni, nawet wtedy, gdy został wpowadzony do wydążonego wnętza pzewodnika (ys.1.6). Rys1.6. Ładunek umieszczony wewnątz wydążonego pzewodnika kulistego. Na wewnętznej i zewnętznej powiezchni pzewodnika pojawiają się ładunki indukowane. Rysunek 1.6 jest pzykładem zjawiska indukcji elektycznej. Jeżeli obojętne elektycznie ciało znajdzie się w obszaze działania pola elektycznego, zawsze na jego powiezchni zgomadzą się indukowane ładunki. W pzewodniku ładunki te zównoważą ładunek znajdujący się w pobliżu pzewodnika tak, aby pole elektyczne wewnątz było ówne zeo. W doskonałych izolatoach także będą indukowane ładunki, lecz nigdy nie zównoważą one całkowicie pola wewnątz ciała. Taki izolato nazywamy dielektykiem. 1.6. Rozkłady ładunków W uządzeniach technicznych najczęściej spotykamy się nie z pojedynczymi ładunkami punktowymi, lecz z naładowanymi powiezchniami óżnych kształtów. W takich pzypadkach ważna jest umiejętność wyznaczania pól elektycznych dla podstawowych ozkładów ładunków: kulistego, walcowego i płaskiego. Do obliczania natężenia pola elektycznego wykozystamy pawo Gaussa. Rozkład kulisty Rys.1.7. Jednoodnie naładowana powiezchnia kulista Rozpatujemy naładowaną powiezchnie kulistą o całkowitym ładunku ównym. Obliczamy pole na zewnątz kuli w odległości od jej śodka. Ze względu na symetię linie pola ozchodzą się adialnie ze śodka z jednakową gęstością. 5
Jako powiezchnię całkowania pzyjmujemy powiezchnię kuli o pomieniu. W dowolnym punkcie kuli możemy napisać E! d A! = E da co po scałkowaniu daje: E da = E da = E( 4π ) Zgodnie z pawem Gaussa całka ta jest ówna E (4π ) = 4π k, skąd po pzekształceniu otzymamy E = k dla R. 1.7 Analogiczne ozumowanie dla pola wewnątz powiezchni kulistej powadzi do wyniku E =, ponieważ powiezchnia całkowania obejmuje ładunek =. Rozkład liniowy Rys.1.8 Jednoodnie naładowany pęt Poszukujemy pola w odległości od naładowanego pęta o długości znaczne większej od. Niech λ będzie liniową gęstością ładunku. Jako powiezchnię Gaussa pzyjmujemy powiezchnię walca o długości L i pomieniu. Z pawa Gaussa otzymamy: E da = 4π k ( λl) Wykozystując symetię układu zauważmy, że wektoy E! i A! twozą kąty poste na powiezchniach podstawy walca, a na powiezchni bocznej są ównoległe. Oznacza to, że całka będzie ożna od zea jedynie na powiezchni bocznej walca i wyniesie: E da = E π L ( ) Pzyównując oba wyażenia otzymamy: k E = λ 1.8 Rozkład płaski Rys. 1.9. Jednoodnie naładowana nieskończona płyta Analogiczne ozważania jak pzy ozkładzie liniowym powadzą do wyniku, że pole wytwazane pzez jednoodnie naładowaną nieskończoną płytę wynosi E = π k σ, 1.9 6
gdzie σ jest gęstością powiezchniową ładunku zgomadzonego na płycie. Wato zauważyć, że watość pola nie zależy od odległości od płyty. Jeżeli dwie płaskie ównolegle płyty naładowane ładunkami pzeciwnego znaku umieścimy obok siebie, to otzymamy kondensato płaski (ys 1.1). Rys.1.1. Pole między dwiema płytami naładowanymi ładunkami jednakowej wielkości i pzeciwnych znaków Sumując pola wytwazane pzez obie płyty w poszczególnych obszaach oznaczonych na ysunku cyfami I do III stwiedzimy, że pole óżne od zea istnieje jedynie w obszaze między płytami i wynosi E = 4π k σ. 1.1 1.7. Potencjał elektyczny Każdemu ładunkowi q znajdującemu się w polu elektycznym E! możemy pzypisać enegię opisaną wzoem: U ( ) = q E ds 1.11 W pzypadku, gdy źódłem pola jest ładunek punktowy, enegia ta będzie ówna pacy wykonanej pzeciw sile elektycznej podczas pzenoszenia ładunku q z nieskończoności do punktu odległego o od ładunku punktowego. Zależność 1.11 pzyjmie wówczas postać: 1 q U( ) = q k d qk = k = 1.1 Jeżeli enegię opisaną wzoem 1.11 odniesiemy do ładunku jednostkowego, to zdefiniujemy paamet pola elektycznego zwany potencjałem elektycznym. U V = 1.1 q Jednostką potencjału elektycznego jest dżul na kulomb, znany pod nazwą wolt. W pzypadku ładunku punktowego potencjał będzie wynosił: k V = 1.14 Fizycznie potencjał oznacza pacę potzebną do pzeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności do punktu odległego o od ładunku punktowego. Potencjał elektyczny jest enegią potencjalną na jednostkowy ładunek, tak jak natężenie pola elektycznego jest siłą na jednostkowy ładunek. 7
W paktyce najczęściej używamy wielkości zwanej napięciem, będącej óżnicą potencjałów między dwoma punktami. b V V = E ds 1.15 b a a W inżynieii mateiałowej do opisu zjawisk w skali atomowej często używana jest jednostka enegii zwana elektonowoltem. Jest to ilość enegii jaką uzyskuje elekton podczas pzyspieszania w polu elektycznym o óżnicy potencjałów ównej jeden volt. 1 ev = 1,6 *1-19 J 1.8. Pojemność elektyczna Obliczmy óżnicę potencjałów między dwiema ównoległymi płytami o polu A znajdującymi się w odległości x od siebie (ys 1.11). Ładunki na płytach są ówne + i, co odpowiada gęstości powiezchniowej σ = /A i /A. Rys.1.11. Dwie ównoległe płyty z ładunkami pzeciwnych znaków Natężenie pola między płytami obliczymy ze wzou 1.1. E = 4π k σ. Różnica potencjałów w opaciu o zależność 1.15 dla jednoodnego pola: ΔV = E x Po podstawieniu otzymamy 4 π k x Δ V = 4 π k σ x = 1.16 A Taki układ dwóch położonych blisko siebie pzewodników (zwanych okładkami) nazywamy kondensatoem płaskim. Chaakteystyczną cechą kondensatoa jest zdolność do gomadzenia ładunku okeślona paametem zwanym pojemnością. Pojemność C jest zdefiniowana jako stosunek nagomadzonego ładunku do óżnicy potencjałów ΔV. C = 1.17 ΔV Jednostką pojemności jest faad 1F = 1C / 1V (kulomb na wolt). W paktyce używane są jednostki mniejsze takie jak µf = 1-6 F lub nf = 1-9 F. 8
Podstawiając zależność 1.16 do 1.17 otzymamy wzó na pojemność kondensatoa płaskiego: C = A = 4π k x 4π k x 1.18 A Pzestzeń między okładkami kondensatoa wypełnia się często dielektykiem. Pojemność C takiego kondensatoa zmienia się w stosunku okeślonym stałą ε. C ' ε = 1.19 C gdzie C jest pojemnością kondensatoa bez dielektyka między okładkami. Stała ε jest cechą chaakteystyczną mateiału dielektycznego i nazywa się stałą dielektyczną. Ładowanie kondensatoa polega na pzenoszeniu ładunku z jednej okładki na dugą. Pacę potzebną na pzeniesienie ładunku dq z ujemnej okładki na dodatnią można opisać zależnością: du = V dq 1. Całkowitą pacę potzebną do naładowania kondensatoa, czyli enegię zgomadzoną w kondensatoze możemy obliczyć całkując zależność 1.. q 1 q 1 U = V dq = dq = = 1.1 C C C Pzekształcając zależność 1.1 otzymamy badziej paktyczną postać wzou na enegię zgomadzoną w kondensatoze: 1 1 1 U = = C = CV 1. C C W kolejnym pzekształceniu wyazimy enegię zgomadzona w kondensatoze płaskim za pomocą natężenia pola elektycznego wypełniającego pzestzeń między okładkami. W tym celu do zależności 1. podstawimy wzó 1.18 na pojemność kondensatoa płaskiego oaz zależność V = E x 1 1 A E U = CV = ( E x ) = A x 1. 4π k x 8π k Dzieląc zależność 1. pzez S = Ax, czyli pzez objętość pzestzeni miedzy okładkami kondensatoa, otzymamy wzó na gęstość enegii pola elektycznego U E = 1.4 S 8π k Zależność 1.4 wypowadziliśmy dla jednoodnego pola zawatego między okładkami kondensatoa płaskiego. Można wykazać, że całkowita enegia potzebna do wybudowania dowolnego ozkładu ładunku jest ówna całce z E /8π k obliczonej dla całej pzestzeni. Wykład opacowany na podstawie książki: Oea Jay Fizyka - tom 1 9