ZADANIE 1 DRGANIA PRĘTA Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań cieki pręt stalowy zamocoway w imadle dostarcza modelowego układu rządzoego rówaiem falowym. W modelu tym wyzaczaa jest częstość drgaia podstawowego i wyŝszych wzbudzeń, jak rówieŝ zaleŝość częstości tych drgań od długości pręta i od jego grubości. Celem ćwiczeia jest sprawdzeie słuszości modelowych związków. Masz do dyspozycji: kilka stalowych prętów o róŝej średicy; geerator drgań siusoidalych wraz z układem umoŝliwiającym pomiar częstości drgań; statyw z uchwytem do prętów i elektromagesów; układ pobudzający pręt do drgań; układ rejestrujący drgaia pręta; wzmaciacz sygału wejściowego do oscyloskopu; oscyloskop; suwmiarkę lub śrubę mikrometryczą. Wykoaie ćwiczeia Pręt jest pobudzay do drgań elektromagesem (z amagesowaym rdzeiem) podłączoym do geeratora RC o regulowaej częstości. Pomiar amplitudy drgań odbywa się za pomocą drugiego, idetyczego, elektromagesu, który przez wzmaciacz podłączoy jest do wejścia oscyloskopu. NaleŜy wykoać pomiary: grubości wszystkich prętów; kolejych częstości rezoasowych dla wybraego pręta przy ustaloej jego długości; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od długości pręta dla wybraego pręta; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od grubości pręta. Uwagi praktycze: Dla otrzymaia ostrego rezoasu aleŝy dbać, aby sprzęŝeie geeratora z prętem ie było zbyt sile (ie umieszczać elektromagesów, a szczególie pobudzającego, zbyt blisko pręta). Przy ostrym rezoasie moŝa łatwo omiąć iektóre mody. Aby tego uikąć, moŝa zaleźć częstość drgań podstawowych lekko odchylając i puszczając woly koiec pręta (drgaia włase). Częstości wyŝszych modów aleŝy poszukiwać w okolicach odpowiadających proporcjom kwadratów liczb µ i, gdzie µ 1 = 1,875; µ = 4,694; µ 3 = 7,855; µ = ( ½)π dla > 3. Iym powodem trudości w obserwacji iektórych drgań własych moŝe być umieszczeie jedego z elektromagesów w węźle drgań. Literatura F.C. Crawford, Fale, Warszawa, 197.. H. Szydłowski, Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, szereg wydań w latach 003 01; Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 013.
DRGANIA PRĘTA str. 1 ZADANIE 1 DRGANIA PRĘTA Cel ćwiczeia Pobudzay do drgań cieki pręt stalowy zamocoway w imadle dostarcza modelowego układu rządzoego rówaiem falowym. W modelu tym wyzaczaa jest częstość drgaia podstawowego i wyŝszych wzbudzeń, jak rówieŝ zaleŝość częstości tych drgań od długości pręta i od jego grubości. Celem ćwiczeia jest sprawdzeie słuszości modelowych związków. Wprowadzeie Najczęściej spotykay przykład ruchu falowego to fala podlegająca klasyczemu rówaiu falowemu, którego jedowymiarowa wersja ma postać: 1 ψ ψ = 0, v t x gdzie v jest tzw. prędkością fali, atomiast ψ to wielkość fizycza podlegającą, w pukcie o współrzędej x, dyamiczym zmiaom w czasie t. Takimi wielkościami fizyczymi są p.: połoŝeie cząsteczek powietrza lub ciśieie w fali akustyczej, wychyleia poprzecze struy gitary, podłuŝe wychyleie jedorodego pręta o stałym przekroju a całej długości lub jego kąt skręceia. RozwaŜmy pręt ułoŝoy wzdłuŝ osi X, a wychyleie z połoŝeia rówowagi odbywa się wzdłuŝ osi Y, a więc jest prostopadłe, wtedy rówaie opisujące wychyleie y puktu, który w połoŝeia rówowagi y = 0 zajdował się a osi X w pukcie x ie będzie juŝ miało postaci klasyczego rówaia falowego, lecz będzie to 4 1 y y + = 0, (1) 4 a t x gdzie wielkość a jest zadaa związkiem: EJ a =, ρs w którym E jest modułem Youga, ρ gęstością masy, S polem przekroju poprzeczego pęta, a J to tzw. geometryczy momet bezwładości (momet bezwładości przekroju poprzeczego). Wielkość ta dla pręta o przekroju prostokąta o rozmiarach b h, przy czym h jest wymiarem w kieruku osi Y (czyli kieruku ruchu pręta), wyosi: 3 bh J =, 1 podczas gdy dla przekroju kołowego o średicy d: 4 π d J =. 64 Rówaie (1) zwae jest często rówaiem fal giętych. RozwaŜmy, czy rówaie (1) dopuszcza rozwiązaia w postaci fali harmoiczej, czyli: i( kx ωt) y x, t = Ae, gdzie π π k =, ω = = πν, λ T gdzie wielkość k zwaa jest liczbą falową, ω częstością kołową fali, a wyraŝeie kx ωt fazą fali. Wielkość λ to długość fali, T jej okres i obie wielkości ukazują a ściśle okresowy charakter zmieości wychyleia y w czasie i przestrzei w fali harmoiczej. Wspomimy teŝ, Ŝe obok częstości kołowej ω, mierzoej w radiaach a sekudę, do opisu zmieości w czasie stosowaa jest teŝ odwrotość okresu, czyli częstość ν = 1/T (bez dodatkowego przymiotika) mierzoa w Hertzach (Hz). W defiicji fali harmoiczej rówie dobrze moŝemy wykorzystać fukcję sius lub cosius, a odwołaie się do fukcji wykładiczej od czysto urojoego argumetu to tylko i wyłączie kwestia
DRGANIA PRĘTA str. wygody. Podstawiając harmoiczą postać fali do rówaia zajdujemy, Ŝe jest oa jego rozwiązaiem, wszakŝe pod warukiem, Ŝe częstość i liczba falowa związae są ze sobą relacją: ω = a k 4, zwaą związkiem dyspersyjym. PoiewaŜ dla częstości mamy dwa rozwiązaia: ω = ±ak, moŝemy więc utworzyć dwa rozwiązaia rówaia falowego: ( ) y x, t = Aexp i kx ak t, y x, t = B exp i kx + ak t. 1 ZauwaŜmy, Ŝe dla klasyczego rówaia falowego związek dyspersyjy ma postać ω = v k. Przyjrzyjmy się teraz fazie kx ω(k)t fali harmoiczej. W chwili czasu t 0, w pukcie opisaym współrzędą x 0, faza ta wyosi ϕ 0 = kx 0 ak t 0. Jeśli odczekamy czas t, to tę samą wartość fazy zajdziemy w pukcie x = x 0 + ak t, a więc przesuęła się oa o odciek ak t, podróŝując z prędkością v f = ω/k = ak. Prędkość tę azywamy prędkością fazową i widzimy, Ŝe zaleŝy oa od długości fali. Podobą prędkość, ale ujemą: v f = ak otrzymujemy dla fali z fazą kx + ω(k)t. Wróćmy teraz do rówaia (1). Jest oo liiowe, więc suma fal harmoiczych o róŝych częstościach takŝe będzie rozwiązaiem rówaia falowego. Stąd wioskujemy, Ŝe moŝemy utworzyć ogóle rozwiązaie postaci: i( kx ak t) i( kx+ ak t) y x t = A k e dk + B k e dk (, ). () gdzie A(k) oraz B(k) to dowole fukcje, których postać wyzaczamy z waruków początkowych: y ( x, t) y ( x, t = t0 ) = y0 ( x) oraz = v 0 ( x). (3) t Wcześiej wskazaliśmy a fakt zaleŝości prędkości fazowej od liczby falowej. Własość ta ozacza, Ŝe jeśli uformujemy grupę fal, p. w postaci rozwiązaia (), to w trakcie propagacji rozwiązae to będzie zmieiało swój kształt będzie ulegało rozmyciu. Zajmiemy się teraz rozwiązaiem rówaia (1). Zastosujemy w tym celu metodę Fouriera, czyli rozdzieleia zmieych, tj. postulujemy rozwiązaie w postaci y(x,t) = f(t)g(t) iloczyu dwóch fukcji, z których jeda zaleŝy tylko od czasu, druga zaś tylko od połoŝeia. Taką specyficzą postać rozwiązań azywamy falą stojącą. Rozwiązaie to podstawiamy do rówaia, co prowadzi do: 4 1 f a g =. 4 f t g x PoiewaŜ lewa stroa zaleŝy jedyie od czasu, prawa zaś od połoŝeia, a to moŝliwe będzie tylko wtedy, gdy faktyczie obie stroy są po prostu rówe pewej iezaej stałej κ, co wiedzie do separacji rówań 4 f g κ = κ f, = g. 4 t x a Widzimy, Ŝe otrzymae rówaie rządzące zaleŝością czasową jest rówaiem oscylatora harmoiczego, jeśli liczba κ jest ujema lub rówaiem, którego rozwiązaia zachowują się wykładiczo, jeśli liczba ta jest dodatia. Ta druga moŝliwość jest ie do utrzymaia z fizyczego puktu widzeia, gdyŝ sakcjouje arastającą w czasie wykładiczo amplitudę drgań, dla czego w warukach postawioego zadaia trudo zaleźć uzasadieie. Z tego teŝ powodu przyjmiemy, Ŝe iezaa stała jest ujema, co zapiszemy jako κ = ω i otrzymamy dwa rówaia: 4 f g ω = ω f, = g. 4 t x a ZaleŜość od czasu zajdujemy w formie: f t = A ωt + B ωt. cos si Dla dalszej wygody, współczyik ω /a w rówaiu a fukcję g zamieimy wielkością k = ω a, (4) co daje rówaie: t= t0
DRGANIA PRĘTA str. 3 o rozwiązaiu: 4 g = 4 x g ( x) = C cos kx + Dsi kx + E cosh kx + F sih kx. Rozwiązaie to ie ma charakteru okresowego w przestrzei psują je wyraŝeia z fukcjami hiperboliczymi. Choć wielkość k moŝemy, stosując dość luźy język, azwać liczbą falową, to fale, które tu się pojawiają, ie są falami harmoiczymi. Zajmiemy się teraz kwestią waruków brzegowych. W ćwiczeiu pręt jest zamocoway jest jedym końcem, p. tym, którego współrzęda określimy jako x = 0, w imadle, więc w kaŝdej chwili czasu musimy mieć spełioy waruek y(x = 0,t) = 0, co daje: C + E = 0. PoiewaŜ pręt jest sztywy, więc przyjmiemy, Ŝe ie moŝe o być zgięty (przeciwie iŝ dla struy), a więc pochoda fukcji y(x,t) musi zikać w pukcie x = 0 w kaŝdej chwili czasu, a skoro: d g ( x ) = Ck si kx + Dk cos kx + Ek sih kx + Fk cosh kx, więc: D + F = 0. Musimy się jeszcze zająć drugim końcem pręta, opisaym współrzędą x = L. W doświadczeiu koiec te pozostaje swobody, więc ie mamy tu waruków ai a wartość fukcji ai a jej pochodą. Mamy, za to, waruek braku mometu siły i samej siły. Waruki te tłumacza się jako: a poiewaŝ: więc: d g x 0 x= L = oraz 4 k g 3 d g x 0 3 x= L =, d g ( x ) = Ck kx Dk kx + Ek kx + Fk kx cos si cosh sih, 3 d 3 3 3 3 3 g ( x ) = Ck kx Dk kx + Ek kx + Fk kx si cos sih cosh, C cos kl Dsi kl + E cosh kl + F sih kl = 0, C si kl D cos kl + E sih kl + F cosh kl = 0. W te sposób otrzymaliśmy układ czterech rówań a cztery iezae współczyiki. PoiewaŜ są to rówaia jedorode, wiec ich jedye rozwiązaia to rozwiązaia zerowe, ozaczające brak drgań, chyba Ŝe rówaia te są liiowo zaleŝe. Waruek liiowej zaleŝości moŝemy arzucić, wymagając zikaia wyzaczika układu rówań, co prowadzi do rówości: 1 cos( kl) + 0 cosh kl =. Wykres rówowaŝej fukcji cos ( π z) h z 1 = + cosh ( π z) zamieszczoy jest a Rys. 1, z którego widać, jak ze wzrostem argumetu z maleje rola składika z fukcją hiperboliczą i zarówo wykres jak i zera fukcji h(z) zbliŝają się do wykresu i zer fukcji cosius. Waruek zikaia wyzaczika prowadzi do rówaia przestępego, które musimy rozwiązać umeryczie. Pierwsze trzy zera wypadają w puktach: k 1 L = µ 1 = 1,875, k L = µ = 4,694 oraz k 3 L = µ 3 = 7,855. Wartości, dla których występują astępe zera fukcji moŝa, z dokładością do trzech cyfr zaczących po przeciku, przybliŝyć przez zera fukcji cosius, czyli k L = ( ½)π dla > 3. Zajomość miejsc zerowych, przez związek (4) i relację ω = πν, prowadzi do częstości
DRGANIA PRĘTA str. 4 h (z ),0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Rys. 1. Wykres fukcji h(z) aµ ν =, π L która wyosi odpowiedio dla drgań pręta o przekroju prostokątym: µ h E ν = 4π L 3ρ i o przekroju kołowym µ d E ν = 8π L ρ. Częstość ν 1 drgań azywamy podstawową. Na koiec wróćmy do postaci rozwiązań, tj. fukcji g(x). PoiewaŜ rówaia a współczyik C, D, E oraz F uczyiliśmy liiowo zaleŝymi, więc aby je wyzaczyć, musimy jedo z rówań odrzucić, a pozostałe rozwiązać w zaleŝości od jedego wybraego współczyika, do którego pozostałe współczyiki będą proporcjoale. Te wybray współczyik będziemy mogli włączyć do współczyików A i B w zaleŝości czasowej, więc ie musimy go uwzględiać w postaci fukcji g(x), która wyosi: cos( kl) + cosh ( kl) g ( x) = cos( k x) cosh ( k x) ( si ( k x) sih ( k x) ). si k L + sih k L Wykres tej fukcji dla pierwszych trzech drgań własych przedstawia Rys.. Jak widać, forma fali dla pręta jest ieco ia iŝ dla struy. Tu teŝ widać węzły, czyli miejsca zerowaia się fukcji y(x,t). Występują oe dla x/l = 0,774 w drugim modzie oraz dla x/l = 0,500 i 0,868 w trzecim modzie. Nie są oe rówomierie rozmieszczoe, bo fukcja opisująca falę ie jest periodycza w fukcji współrzędej wzdłuŝ pręta. z = 3 = Dyskreta wartość liczby falowej k implikuje dyskrete wartości częstości kołowej ω, a liiowość rówaia falowego dla pręta dyktuje am ogólą postać rozwiązaia tego rówaia: y x, t = = 1 Rys.. Kształt pręta dla trzech pierwszych modów jego drgań wasych ( kl) + cosh ( kl) ( k L) + sih ( k L) cos ( A cosωt + B siωt ) cos( k x) cosh ( k x) si k x sih k x = 1 si w którym iezae stałe A oraz B wyzaczamy z waruków początkowych (3). ( )
DRGANIA PRĘTA str. 5 Gdy w ustaloym pukcie x 0 pobudzamy pręt siłą harmoiczą Q(t) = Q 0 siωt, to do powyŝszego rozwiązaie swobodego aleŝy dodać wymuszoy ruch postaci: C cos kx + D si kx + E cosh kx + F sih kx si ωt. Współczyik C, D, E oraz F, róŝe w obszarach x < x 0 i x > x 0, mają dość skomplikowaą postać, ale wszystkie mają osobliwość przy częstości ω = ak. NaleŜy mieć świadomość, Ŝe powyŝszy opis, zarówo w odiesieiu do drgań swobodych jak i wymuszoych, to obraz wyidealizowaego modelu. W kaŝdym doświadczeiu prowadzoym w realych warukach występuje rozproszeie eergii pierwotie zmagazyowaej w pręcie i zaik drgań swobodych, a zachowae są jedyie, dzięki stałemu dopływowi eergii dostarczaej przez siłę zewętrzą, drgaia wymuszoe, które azywamy rozwiązaiem stacjoarym. Jak powiedzieliśmy, gdy częstość ω siły wymuszającej jest rówa jedej z częstości własych ω pręta, to rozwiązaia maja osobliwość. W ramach rozpatrywaego modelu iterpretujemy to jako brak rozwiązań stacjoarych. MoŜemy oczekiwać, Ŝe w rzeczywistości dyssypacja eergii usuwa tę osobliwość, choć dalej prowadzi do pojawieia się wzrostu amplitudy drgań, ukazującego zjawisko rezoasu (wiiśmy jedak mieć a uwadze fakt, Ŝe w warukach silego rezoasu wychyleia pręta mogą być a tyle duŝe, Ŝe zawodzą przybliŝeia stosowae przy wyprowadzaiu rówaia falowego). Spodziewamy się, Ŝe rezoas taki objawi się ajsiliej wtedy, gdy pukt x 0 przyłoŝeia siły zajdzie się w połoŝeiu strzałki drgaia własego. Gdybyśmy mieli pecha i siłę wymuszającą o częstości ω przyłoŝyli do puktu, który jest węzłem drgaia własego o tejŝe częstości ω, to drgań ie spowodujemy. Masz do dyspozycji: kilka stalowych prętów o róŝej średicy; geerator drgań siusoidalych wraz z układem umoŝliwiającym pomiar częstości drgań; układ pobudzający pręt do drgań; układ rejestrujący drgaia pręta; wzmaciacz sygału wejściowego do oscyloskopu; oscyloskop; statyw z uchwytem do prętów i elektromagesów; suwmiarkę lub śrubę mikrometryczą. Wykoaie ćwiczeia Schemat układu pomiarowe przedstawia Rysuek 3. Pręt jest pobudzay do drgań elektromagesem (z amagesowaym rdzeiem) podłączoym do geeratora RC o regulowaej częstości. Pomiar amplitudy drgań odbywa się za pomocą drugiego idetyczego elektromagesu, który przez wzmaciacz podłączoy jest do wejścia oscyloskopu. detekcja pręt Wzmaciacz IN OUT Oscyloskop IN pobudzaie 50 khz Geerator OUT imadło Rys.3. Schemat układu pomiarowego
DRGANIA PRĘTA str. 6 NaleŜy wykoać pomiary: grubości wszystkich prętów; kolejych częstości rezoasowych dla wybraego pręta przy ustaloej jego długości; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od długości pręta dla wybraego pręta; zaleŝości podstawowej częstości rezoasowej od grubości pręta. Uwagi praktycze: Częstość rezoasową odczytujemy a geeratorze drgań. Decyzję co do jej wartości moŝa podjąć w jedym z dwóch trybów pracy oscyloskopu, do którego podłączoy jest, do wejścia Y, sygał ze wzmaciacza. Zmieiając częstość drgań wymuszających moŝemy prowadzić obserwację amplitudy drgań pręta jako fukcję czasu przy częstości rezoasowej amplituda ta powia być ajwiększa. W drugim trybie, sygał wymuszający drgaia podłączamy do tzw. wejścia X oscyloskopu, podczas gdy sygał ze wzmaciacza pozostaje podłączoy do wejścia Y, a sam oscyloskop przełączamy w tzw. tryb XY. Wtedy teŝ częstości drgań pręta złoŝoe z częstością geeratora utworzą a ekraie oscyloskopu figury, zwae figurami Lissajous, o przykładowych kształtach ukazaych a Rysuku 4. ν 1 :ν = 1:1 ϕ = 0 45 90 135 180 5 70 315 360 ν 1 :ν = 1: ν 1 :ν = 1:3 ν 1 :ν = :3 Rys.4. Przykłady krzywych Lissojous dla róŝych stosuków częstości i róŝicy faz. Dla otrzymaia ostrego rezoasu aleŝy zadbać, aby sprzęŝeie geeratora z prętem ie było zbyt sile (ie umieszczać elektromagesów, a szczególie pobudzającego, zbyt blisko pręta). Przy ostrym rezoasie moŝa łatwo omiąć iektóre mody. Aby tego uikąć, moŝa zaleźć częstość drgań podstawowych lekko odchylając i puszczając woly koiec pręta (drgaia włase). Częstości wyŝszych modów aleŝy poszukiwać w okolicach odpowiadających proporcjom kwadratów liczb µ i, gdzie µ 1 = 1,875; µ = 4,694; µ 3 = 7,855; µ = ( ½)π dla > 3. Zadbaj o to, by ie umieścić elektromagesu wymuszającego drgaia w węźle drgań. Aaliza wyików pomiarów Celem aalizy daych jest sprawdzeie stosowalość modelowego wzoru: µ i h E ν i = 4π L 3ρ wyraŝającego częstość (w Hertzach) drgań pręta prostokątego lub częstość µ i d E ν i = 8π L ρ w przypadku pręta o przekroju kołowym. We wzorach tych h jest grubością pręta o przekroju prostokątym (mierzoą w kieruku jego drgań), d jest średicą pręta o przekroju kołowym,
DRGANIA PRĘTA str. 7 L długością części drgającej pręta, E modułem Youga, ρ = (7,87 ± 0,01) 10 3 kg/m 3 gęstością pręta, a wartości liczb µ i podae są wyŝej. Aby tego dokoać, aaliza daych wia obejmować astępujące elemety: ustaleie realistyczych, dopuszczalych błędów graiczych wielkości bezpośredio mierzoych i wyzaczeie odpowiadających im iepewości stadardowych pamiętaj, Ŝe zdolość rozdzielcza przyrządu ie musi gwaratować sesowych błędów graiczych (oczywiście, moŝesz teŝ od razu oszacować iepewości stadardowe, bez przechodzeia przez etap błędów graiczych); wyzaczeie, w kaŝdym z kroków aalizy, iezbędych iepewości stadardowych wielkości mierzoych pośredio; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstościami róŝych drgań własych a wartościami liczb µ i ; wyzaczeie, z tych samych daych, ocey, wraz z iepewością, modułu Youga materiału pręta, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością drgaia podstawowego a długością pręta; wyzaczeie, z tych samych daych, ocey, wraz z iepewością, modułu Youga materiału pręta, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; weryfikację, z zastosowaiem metod statystyczej aalizy daych, słuszości modelowej relacji między częstością podstawowego drgaia własego a grubością pręta; wyzaczeie, z tych samych daych, ocey, wraz z iepewością, modułu Youga materiału pręta, o ile uzasz taki krok za uzasadioy; stosowe wyzaczeie wartości modułu Youga ze wszystkich lub części pomiarów, o ile uzasz taki krok za uzasadioy. Jeśli a którymś z etapów aalizy prowadzisz dopasowaie modelowej zaleŝości do daych metodą ajmiejszych kwadratów, obowiązkowo podaj jawą formę wielkości miimalizowaej, jako Ŝe postać ta jedozaczie defiiuje, który z wariatów metody wybierasz, a więc jaką postać przybierają wzory a ocey iezaych współczyików modelowej zaleŝości oraz ich iepewości stadardowe i ie musisz cytować stosowych wzorów dla tych obiektów. Dodatkowe uwagi odośie do raportu W raporcie zamieść, w stosowie dobraych tabelach, wszystkie surowe wyiki pomiarów tak, aby sięgając jedyie do raportu i bez potrzeby odwoływaia się do protokołu z doświadczeia moŝa było wykoać pełą i iezaleŝą aalizę Twych daych. Zadbaj o wiere przeiesieie zmierzoych wartości do raportu. Nim przygotujesz raport, zazajom się z uwagami zawartymi w opracowaiu Istrukcja - Jak pisać raport końcowy oraz z przykładową realizacją tych uwag w postaci Przykładowy raport końcowy jakie zamieszczoe są a stroie http://aipw.igf.fuw.edu.pl Pracowi wstępej. Wymagaia ukazae w tych opracowaiach będą bezwzględie egzekwowae przy sprawdzaiu Twego raportu. W szczególości pamiętaj o kowecji odoszącej się do precyzji przedstawiaia iepewości, a co za tym idzie, rówieŝ wartości ocey wielkości zmierzoej. Absolutie zalecae jest świadome przyjrzeie się redakcji tekstu a takŝe tabel, rysuków i wzorów, sposobów ich umerowaia, tytułowaia i opisywaia w dowolym, ale wydaym przez uzae wydawictwo, akademickim podręcziku do fizyki, jak rówieŝ zajrzeie do kilku publikacji w róŝych czasopismach aukowych, co moŝe ułatwić podjęcie decyzji w kwestii podziału Twego raportu a części. Literatura F.C. Crawford, Fale, Warszawa, 197.. H. Szydłowski, Pracowia fizycza wspomagaa komputerem, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, szereg wydań w latach 003 01;
DRGANIA PRĘTA str. 8 Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa, 013. Pytaia i zadaia defiiujące wymagaia do ćwiczeia Problem 1. W jaki sposób wyzaczysz iepewość częstości drgaia pręta? Problem. Podaj postać prawa Hooke a i zdefiiuj precyzyjie wszystkie wielkości, które występują w jego sformułowaiu. Problem 3. Rówaie fali dźwiękowej, opisującej wychyleia ψ cząsteczek powietrza z połoŝeia rówowagi, ma postać ψ(x,t) = Acos(kx ωt), gdzie A = 6,0 10 mm, k = 5,3 m 1 oraz ω = 1800 s 1. Oblicz stosuek amplitudy drgań cząsteczek ośrodka i długości fali. Oblicz maksymalą prędkość drgań cząsteczek ośrodka i jej stosuek do prędkości fali. Naszkicuj a wykresie kieruki prędkości cząsteczek powietrza w chwili t = 0. Problem 4. W jedorodym ośrodku spręŝystym utworzoo falę stojącą ψ(x,t) = Acos(kx)cos(ωt). Naszkicuj a wykresie wychyleie ψ cząsteczek ośrodka z połoŝeia rówowagi dla chwil czasu: t = 0 oraz t = T/, gdzie T jest okresem fali oraz ich prędkości w chwili t = T/4. Problem 5. W struie o długości L = 10 cm wywołao falę stojącą. W dwóch puktach struy odległych od siebie o l = 15 cm, amplituda A fali jest rówa 3,5 mm. Ile wyosi maksymala amplituda fali? Której harmoiczej odpowiada ta fala? Problem 6. Wyzacz moduł Youga stalowego pręta o gęstości ρ = 7,8 g/cm 3, o długości L = 5 cm i średicy d = mm, jeśli zamocoway a jedym końcu drga z częstością podstawową ν = 3 Hz. Pytaia i zadaia przybliŝające, uzupełiające lub poszerzające treść ćwiczeia Problem 7. PokaŜ, Ŝe fukcja y(x,t) zadaa związkiem () jest rozwiązaiem rówaia fal giętych. Problem 8. PokaŜ, Ŝe jeśli fukcje f 1 (x,t) oraz f (x,t) są rozwiązaiem rówaia fal giętych, to fukcja f(x,t) = af 1 (x,t) + bf (x,t), gdzie a oraz b to dowole stałe, jest takŝe rozwiązaiem tego rówaia. Problem 9. Dae są dwie podłuŝe fale ψ 1 (x,t) = Asi(k 1 x ω 1 t) oraz ψ (x,t) = Bsi(k x ω t) rozchodzące się w ośrodku spręŝystym. Zajdź róŝicę fazy fali wypadkowej względem fazy fali A i fali B. Jakie waruki muszą spełiać k 1, ω 1, k, ω 1 aby fala wypadkowa była falą stojącą? Problem 10. W powietrzu rozchodzą się dwie podłuŝe fale: jeda wzdłuŝ osi X i ma postać ψ 1 (x,t) = Acos(kx ωt) i druga, wzdłuŝ osi Y, zadaa wzorem ψ (y,t) = Acos(ky ωt). Opisz ruch cząsteczek ośrodka w płaszczyźie XY. Problem 11. Wyzacz rozwiązaie rówaia fal giętych, jeśli w chwili t = 0 ieskończeie długiemu prętowi adao kształt x y0 ( x) = Aexp, σ gdzie A i σ to zadae stałe, a astępie ją uwolioo bez prędkość początkowej. Problem 1. Wyzacz związek dyspersyjy dla rówaia ψ h ψ ih =, t m x gdzie i = 1, i podaj ogólą postać jego rozwiązaia. Problem 13. PokaŜ, Ŝe tor puktu o współrzędych x(t) = Asi(ωt), y(t) = Acos(ωt), to parabola. Problem 14. Strua o masie m, zamocowaa a obu końcach, drga z częstością podstawową ω, przy czym maksymale wychyleie struy wyosi A. Wyzacz maksymalą eergię kietyczą struy oraz jej średią eergię kietyczą w czasie jedego okresu. Problem 15. Rówaie falowe ma postać ψ = α ψ + β ψ. t x y Ile wyosi prędkość fali w wzdłuŝ osi X? A wzdłuŝ osi Y? Opracował: Ja Gaj. Uzupełił: Roma J. Nowak, 18 listopada 014.