Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podobne dokumenty
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia

Pytania i polecenia podstawowe

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

Wstęp do matematyki listy zadań

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

Lista zadań - Relacje

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Indukcja matematyczna

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Lista 1 (elementy logiki)

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie.

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Elementy logiki matematycznej

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

RACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

S n = a 1 1 qn,gdyq 1

FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

1. Równania i nierówności liniowe

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Przykładowe zadania z teorii liczb

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ

Równoliczność zbiorów

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

Elementy logiki i teorii mnogości

Tematy: zadania tematyczne

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Zbiory, relacje i funkcje

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Relacje. Relacje / strona 1 z 18

Zadania do samodzielnego rozwiązania

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Wstęp do topologii Ćwiczenia

1. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH, POTĘGACH I PIERWIASTKACH Zad.1 Oblicz: d) + e) (0,15+(-1,15)) 3. g) 15 (45,2 : : 6 )

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

1. Liczby zespolone i

Przykładowe rozwiązania

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań (kpn) Zadania...

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1 Relacje i odwzorowania

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Matematyka ETId Elementy logiki

Skrypt 31. Powtórzenie do matury Liczby rzeczywiste

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

Transkrypt:

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7 7 Relacje porządku i równoważności 8 8 Funkcje 9 9 Działania uogólnione 11

Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0 a) p q e)[(p q) = p)] (p q) b) (p q) f) (p q) ( p q) c) (p q) q g)(p = q) (q p) d) (p = q) = p h)p = (q = p) Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadania przy podstawieniu w(p) = 0, w(q) = 1. Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0, w(r) = 1 a) ( p q) r b) p (q r) c) (p q) r d) (p q) r e) ( p = q) = r f) p = (q = r) g) (p = q) r h) (p = q) r Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdania oraz podaj jego negację a) (2 < 3) (2 > 3) b) (2 < 3) = (2 > 3) c) (2 < 3) (2 > 3) d) (2 < 3) (2 = 3) e) (2 = 3) (2 > 3) f) (2 = 3) (2 > 3) g) (2 = 3) (2 > 3) h) (2 = 3) = (2 > 3) Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki. [(p q) ( p)] q [(p q) [(p r) q] [(p q) (p q)] (q p) p [( p) q] p [( p) q] Zadanie 1.6. Wiedząc, że w(p q) = 0 określ wartość logiczną (p q) = (p q). Zadanie 1.7. Wiedząc, że w(p q) = 1 określ wartość logiczną (p q) = ( p q). Zadanie 1.8. Wiedząc, że w(q = p) = 0 określ wartość logiczną p (q = p). Zadanie 1.9. Wiedząc, że w((p q) = r) = 0 określ wartość logiczną wyrażenia (q r) ( p) (q = r). Zadanie 1.10. Wiedząc, że w((p q) = (r s)) = 0 określ wartość logiczną wyrażenia [(p s) ( q)] [(p q) (r s)]. Renata Wiertelak 1

Zestaw 2. Zdania logiczne i tautologie c.d. Zadanie 2.1. Wiedząc, że w(p q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń (p q) (p q) r (p q) {[r = (p q)] [(p q) = ( r)]} = (p q r). Zadanie 2.2. Wiedząc, że w(p q) = 0 określ wartość logiczną wyrażeń (p q) (p q) (p q) r {[(p q) = r] [(p q) = ( r)]} = (p q r). Zadanie 2.3. Wiedząc, że w(p q) = 1 określ wartość logiczną wyrażeń (p q) (p q) r (p q) [(p q) = (p q)] = [r (p q)]. Zadanie 2.4. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki. [( p) q] [( (q p)) (p q)] [(p q) r] [(r p) (r q)] [(p s) (q r)] [(p q) (r s)] [(p r) (q r)] [(p q) r] [(q p) (p q)] [( p) q] [( p) q] [( (q p)) (p q)] [(p q) (r s) (t u)] [(p r t) (q s u)] Zadanie 2.5. Określ wartość logiczną zdania i zapisz jego negację: a) Słowacja jest sąsiadem Polski lub Hiszpania jest sąsiadem Polski. b) Jeżeli Paryż jest stolicą Czech, to Ewa jest matematykiem. c) Pies jest ptakiem wtedy i tylko wtedy, gdy kot jest rośliną. d) Jeżeli słoń ma trąbę, to kot fruwa lub ryba pływaja. e) Jeżeli mysz je ser lub ryba miauczy, to koza je wilka i pies wyje. Zadanie 2.6. Sformułuj negację podanych zdań. a) Jeżeli Zosia ma psa, to Zosia nie ma psa lub Zosia jest alergikiem. b) Jeżeli Piotr ma kota, to Piotr jest informatykiem i Piotr ma chomika. c) Jeżeli Adam ma kota i Adam nie ma kota, to Adam ma rybki. d) Jeżeli Ania ma kota lub Ania jest matematykiem, to wtedy Ania jest informatykiem. Renata Wiertelak 2

Zestaw 3. Algebra zbiorów Zadanie 3.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je (jeśli jest to możliwe). Zakładamy, że a b c a A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}} C = {x N: x 2 25} D = {x Q: x 2 = 16} E = {x R: x 2 + 9 < 0} F = {x R: x 2 + 9 > 0} Zadanie 3.2. Jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A i B? a) A = (3, 5) B = (2, 6) b) A = (0, 1) {2} B = {0, 1, 2} c) A = [1, 2] B = (0, 1) {2} d) A = {x R: x 2 = 16} B = {4} Zadanie 3.3. Oblicz A B, A B, A \ B, B \ A, A, B. a) A = {x N: x 6} B = {x N: x > 2}; b) A = [2, ) B = (1, 6); c) A = (, 2) B = [3, ); d) A = (, 3] B = (3, 6); e) A = (0, 2) {3} B = [2, 3] {1}; f) A = [2, 3] B = (3, 6); g) A = [1, 2] {3} B = (2, 3) {1}; h) A = [2, 3] B = [3, 6]; Zadanie 3.4. Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości: A \ B = (A B) \ B A \ B = A \ (A B) A B = (A \ B) B A B = A \ (A \ B) A (A B) = B (A B C) \ (A B) = C (A \ C) B = A B A \ (B C) = (A \ B) \ C Renata Wiertelak 3

Zestaw 4. Różnica symetryczna Zadanie 4.1. Oblicz: a) {1, 2, 3} {3, 4, 5}; b) {1, 2, 3} [1, 3]; c) (2, 5) [6, 8]; d) (0, ) (5, 8]; e) (0, ) (, 2); f) [2, ) (0, 2]; g) (0, 2) (, 2); h) (3, ) (0, 3); Zadanie 4.2. Rozwiąż równanie: a) {1, 2} A = {4, 5}; b) A {1, 2, 3} = {3, 4}; c) [1, 3] A = (1, 3); d) A (2, 6] = (0, 4]; e) (5, ) A = (0, 2]; f) A [2, ) = (4, 6); g) (5, ) A = (, 5]; h) A [2, ) = (0, 6); Zadanie 4.3. Uprość wyrażenie: a) A \ (A B) b) (A B) \ A c) (A B) A d) (A \ B) B e) (A \ B) B f) (A \ B) \ C g) A \ (A B) h) (A B) \ A i) (A B) A Zadanie 4.4. Jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami jeśli: a) A \ (A B) = A b) (A B) \ A = B \ A c) (A B) \ C = A d) A (B \ C) = e) (A B) \ C = f) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) Zadanie 4.5. Podaj przykład niepustych zbiorów dla których podana równość zachodzi oraz przykład zbiorów dla których podana równość nie zachodzi: a) (A B) \ A = B b) (A B) = A c) (A B) \ C = d) A (B \ C) = e) (A B C) \ (A B) = C f) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) Zadanie 4.6. Czy podana implikacja jest prawdziwa? a) (A B) = (A C) B = C b) (A \ B) = (A \ C) B = C c) (A B) = (A C) B = C Renata Wiertelak 4

Zestaw 5. Kwantyfikatory. Zadanie 5.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a) x R x 2 = 2x; b) x R x 2 = 2x; c) x R x 2 < 0; d) x R x 2 > 0; e) x N x 2 = 3; f) x N x 2 + 1 > 0; Zadanie 5.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a) x R (x = 2 x < 0); b) x R x = 2 x R x < 0; c) x R (x = 2 x < 0); d) x R x = 2 x R x < 0; e) x R (x 2 > 0 x < 0); f) x R x 2 > 0 x R x < 0; Zadanie 5.3. Wyznacz zmienne wolne i związane podanych funkcji zdaniowych oraz narysyj ich wykresy. Zbiory X, Y oznaczają zakres zmienności zmiennych x i y. a) x 2 1 0, X = R; b) x x, X = Z; c) x x = y, X = Y = R; d) xy 1, X = Y = R; e) x xy = 1, X = Y = R; f) y xy 1, X = Y = R; Zadanie 5.4. Zapisz następujące zdania za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicznych i działań arytmetycznych. Następnie określ wartość logiczną podanego wyrażenia oraz zapisz jego negację. a) Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2; b) Dla wszystkich liczb rzeczywistych x mamy, że 2x = x; c) Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 = 0; d) Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 = 0; e) Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 0; f) Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 0; g) x jest liczbą nieparzystą; h) Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y większa od niej; i) Nie istnieje największa liczba naturalna; j) Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że iloczyn tych liczb jest mniejszy niż 5. Renata Wiertelak 5

k) Istnieje liczba naturalna x taka, że dla każdej liczby naturalnej y suma tych liczb jest większa niż 5. l) Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że różnica tych liczb jest niewiększa niż 5. Zadanie 5.5. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a) n N d) x R nm = 10 b) m N x R\{0} xy = 0 e) y R y R\{0} xy = 1 y R\{0} xy = 1 x R\{0} c) y = y R x R x2 f) y = x R y R x2 g) 4x + 5y = 0 x R y R h) 3x 5y = 0 x R y R i) 2x + 3y = 0 y R x R Zadanie 5.6. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕ(x), ψ(x) oraz X dla których podane zdania są fałszywe. ( ) ϕ(x) ψ(x) = (ϕ(x) ψ(x)) x X x X x X [ ] ϕ(x) ψ(x) = [ϕ(x) ψ(x)] x X x X x X [ ] [ϕ(x) ψ(x)] = ϕ(x) ψ(x) x X x X x X ( ) (ϕ(x) ψ(x)) = ϕ(x) ψ(x) x X x X x X ( ) ϕ(x) ψ(x) = (ϕ(x) ψ(x)) x X x X x X ( ) ( ϕ(x) ψ(x) x X x X ϕ(x) ψ(x) x X x X ) = x X [ϕ(x) ψ(x)] = x X [ϕ(x) ψ(x)] Renata Wiertelak 6

Zestaw 6. Relacje Zadanie 6.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R S T. 1. (x, y) R x + y 10; 2. (x, y) R x + y = 11; 3. (x, y) R x + y jest nieparzyste; Zadanie 6.2. Niech S = {2, 4, 6, 8}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R S S. Następnie zbadaj które własności (zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja? 1. (x, y) R x + y 10; 2. (x, y) R x + y = 10; 3. (x, y) R x + y jest parzyste; Zadanie 6.3. Które własności (zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja? 1. x, y S, xϱy x + y jest nieparzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 2. x, y S, xϱy x y = 2, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 3. x, y N, xϱy x = y ; 4. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 5. x, y R, xϱy x < y ; 6. x, y R, xϱy x y < 1; 7. x, y R, xϱy xy < 0; 8. A, B R, AϱB A B; 9. A, B N, AϱB A \ B jest zbiorem skończonym; 10. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 11. x, y-ludzie, xt y x nie jest niższy niż y; 12. (a, b), (n, m) N 2, (a, b)s(n, m) a + m = n + b; 13. (a, b), (n, m) Z 2, (a, b)t (n, m) am = nb; Renata Wiertelak 7

Zestaw 7. Relacje porządku i równoważności Zadanie 7.1. Czy podana relacja jest relacją częściowego porządku lub równoważności? 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2 y 2 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 0, 1, 2}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. (a, b), (n, m) N 2, (a, b)ϱ(n, m) ( 1) a+b = ( 1) m+n ; 6. (a, b), (n, m) Z 2, (a, b)ϱ(n, m) ( 1) ab = ( 1) mn ; 7. (a, b), (n, m) N 2, (a, b)ϱ(n, m) a n b m; 8. A, B R, AϱB 5 (A B) (5 / (A B); 9. x, y-ludzie, xry x i y mają tego samego rodzica; 10. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 11. (a, b), (n, m) Z Z \ {0}, (a, b)s(n, m) am = nb; Zadanie 7.2. Dla podanej relacji równoważności wyznacz jej klasy abstrakcji. 1. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. (a, b), (n, m) N 2, (a, b)ϱ(n, m) ( 1) a+b = ( 1) m+n ; 4. (a, b), (n, m) Z 2, (a, b)ϱ(n, m) ( 1) ab = ( 1) mn ; 5. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 6. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 7. (a, b), (n, m) N 2, (a, b)r(n, m) a + m = n + b; Zadanie 7.3. Dla podanej relacji częściowego porządku wyznacz elementy minimalne oraz maksymalne. 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy (x 3) (y 3) 0 x 3 y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy (x 2) (y 2) 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 1, 3}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. (a, b), (n, m) N 2, (a, b)ϱ(n, m) a n b m; Renata Wiertelak 8

Zestaw 8. Funkcje Zadanie 8.1. Czy podana relacja R X Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można tak zmienić zbiory X, Y aby była. 1. (x, y) R x = y, R R R; 2. (x, y) R x 2 = y 3, R N Z; 3. (x, y) R x 3 = y 2, R N Z; 4. (x, y) R x = y 2, R R R; 5. (x, y) R x 4 = y 3, R N Z; 6. (x, y) R x = y 3, R R R; 7. (x, y) R x 2 + y 2 = 9, R R R; Zadanie 8.2. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości podanej funkcji a) f(x) = 3 2x + 3; b) f(x) = 4 x2 ; c) f(x) = x 2 + 1; d) f(x) = 3 + 1 x 1 ; g) f(x) = 1 x 1 ; h) f(x) = 1 + x e) f(x) = 4 x 2; f) f(x) = 2 x 4 3x x 2; 1 x2 4 ; i) f(x) = 2 x 4 + 3x x 2 ; Zadanie 8.3. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S S są różnowartościowe, "na" S? a) f(n) = 6 n; b) f(n) = max{n, 3}; c) f(n) = n; d) f(n) = min{2, n}; e) f(n) = min{n, 5}; f) f(n) = max{5, n}; Zadanie 8.4. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na" R? a) f(x) = 2x + 3; b) f(x) = x 2 4; c) f(x) = x + 3 ; d) f(x) = x 3 1; e) f(x) = (x 1) 3 ; f) f(x) = 3 x 1; Renata Wiertelak 9

Zadanie 8.5. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na" R? a) f(x) = 3x 1; b) f(x) = 1 x ; c) f(x) = x + 2 ; d) f(x) = x 2 1; e) f(x) = (x 1) 2 ; f) f(x) = (x 2) 2 + 2; Zadanie 8.6. Wyznacz f([0, 1)), f((0, 1)), f 1 ([0, 1)), f 1 ((0, 1)). a) f(x) = 3x 1; b) f(x) = 3 2x; c) f(x) = x + 2 ; d) f(x) = 1 x ; e) f(x) = x 2 1; f) f(x) = (x 2) 2 ; Zadanie 8.7. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem { 2x + 4 dla x < 0 f(x) = x 2 dla x 0 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f([ 2, 2]), f((0, 3)), f 1 ([0, 4]), f 1 (( 3, 0)). Zadanie 8.8. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem { 1 x dla x < 1 f(x) = x 1 dla x 1 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f(( 2, 1)), f([0, 3]), f 1 (( 3, 0]), f 1 (( 4, 2)). Zadanie 8.9. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem { 4 x dla x 2 f(x) = 3 2x dla x > 2 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f([ 3, 0]), f((0, 2)), f 1 ([0, 3]), f 1 ([ 2, 2]). Zadanie 8.10. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem { 3x + 1 dla x > 2 f(x) = x 3 dla x 2 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f([ 3, 0]), f((0, 2)), f 1 ([0, 3]), f 1 ([ 2, 2]). Renata Wiertelak 10

Wstęp do matematyki Ćwiczenia 2016 Zestaw 9. Działania uogólnione Zadanie 9.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów oraz ich dopełnień jeśli ( n N A n = 1 n + 1, 1 + 1 ] [ 1 B n = n n + 1, 2 1 ) C n = [0, n); n ( D t = ( 1) n, 2 1 ] ( E t = 1 1 n + 2 4n, 3 1 ) F n = [ n, n + 1); n [ ) ( 1) n G n = {1, 2,..., n} H n = n, 5 I n = (n, n + 1); Zadanie 9.2. Oblicz n N A n, n N A n, n N (R \ A n), n N (R \ A n). a) A n = {x R: x > 2n}, n Z b) A n = {x R: x n}, n N c) A n = {x R: x + 3 < n}, n N d) A n = e) A n = } {x R: 1 + ( 1) n x 3 + ( 1)n, n N n {x R: ( 1)n n } < x < n, n N f) A t = { x R: ( 1) n < x < 3 n}, n N g) A n = {x R: n x < n + 1}, n N h) A n = {x R: n x n + 1}, n Z Zadanie 9.3. Wyznacz n N A n, n N A n jeżeli a) n N (R \ A n) = [ 3, 0), n N (R \ A n) = ( 2, 1] b) n N (R \ A n) = (0, ), n N (R \ A n) = [5, ) c) n N (R \ A n) = R, n N (R \ A n) = R \ N d) n N (R \ A n) = R \ N, n N (R \ A n) = e) n N (R \ A n) = Z, n N (R \ A n) = N Renata Wiertelak 11