1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:"

Transkrypt

1 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów logicznych. Wartość logiczna każdego zdania to prawda lub fałsz, albo krócej: 1 lub 0. Jeśli zdanie p jest prawdziwe to będziemy to oznaczać: w(p) = 1 lub p 1 lub [p] = 1 a jeśli jest fałszywe to: w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0 Operatory logiczne najłatwiej zdefiniować przy użyciu tabelek w których podane jest jaką wartość logiczną ma operator zależnie od wartości logicznych zdań składowych. Najważniejsze operatory logiczne to jednoargumentowa negacja oraz dwuargumentowe alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność: p p p q p q p q p q p q p q p q p q Prawem logicznym lub inaczej tautologią nazywamy zdanie które jest prawdziwe dla dowolnych wartości logicznych zdań składowych. Zdaniem spełnialnym nazywamy zdanie, które jest prawdziwe dla pewnych wartości logicznych zdań składowych, a zdaniem niespełnialnym nazywamy zdanie fałszywe dla dowolnych wartości logicznych zdań składowych. Nietrudno zauważyć, że zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy gdy jego negacja jest zdaniem niespełnialnym, a zdanie nie jest tautologią wtedy i tylko wtedy gdy jego negacja jest zdaniem spełnialnym. Najważniejsze prawa logiczne: Prawo podwójnej negacji : ( p) p Prawo wyłączonego środka : p p Pierwsze prawo de Morgana : (p q) ( p q) Drugie prawo de Morgana (p q) ( p q) Prawo zaprzeczenia implikacji : (p q) (p q) Prawo kontrapozycji : (p q) ( q p) Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy : (p q) r (p r) (q r) Rozdzielność alternatywy względem koniunkcji : (p q) r (p r) (q r) W rachunku zdań najczęściej interesuje nas rozstrzygnięcie czy jakieś zdanie jest tautologią. Istnieje kilka sposobów by to zrobić - omówimy je na przykładzie zdania: p [( p q) ( p q)] 1

2 1) Metoda zero-jedynkowa (tabelka). Ta metoda jest najprostsza (bo schematyczna), ale zarazem najczęściej najdłuższa. Polega na rozpatrzeniu wszystkich możliwych wartości logicznych zdań składowych i zbadaniu (stopniowo) jaką wartość logiczną ma w poszczególnych przypadkach całe zdanie. p q p q p [( p q) ( p q)] Poszczególne kolumny odpowiadają za poszczególne kawałki całego zdania - warto zwrócić uwagę, że nagłówki kolumn są takie, by było mniej pisania (nie jest to konieczne, ale wygodne). Najpierw wypełniamy kolumnę trzecią i czwartą, następnie szóstą i ósmą, na ich podstawie siódmą, a na koniec na podstawie pierwszej i siódmej - piątą, w której znajdą się wartości logiczne całego zdania: p q p q p [( p q) ( p q)] W piątej kolumnie są same jedynki, a zatem nasze zdanie jest zawsze prawdziwe. Z uwagi na to, że w przypadku n zdań składowych tabelka ma 2 n wierszy zdrowy rozsądek podpowiada by w praktyce używać tej metody tylko dla n 3 (wersja dla leniwych: dla n 2). 2) Skrócona metoda zero-jedynkowa. Powyższy schemat można skrócić, ale niestety w sposób nieschematyczny, to znaczy wymaga to od nas pewnej inwencji twórczej. Skrócenie polega na sprytnym rozpatrywaniu poszczególnych przypadków. W naszym zdaniu zauważmy, że całość jest prawdziwa jeśli p jest zdaniem prawdziwym (ta prosta obserwacja zastępuje całe dwa pierwsze wiersze tabelki). Jeśli natomiast zdanie p jest fałszywe, to p jest fałszywe i wtedy można zauważyć, że p q ma taką samą wartość logiczną jak q, a p q ma taką samą wartość logiczną jak q. Stąd nawias kwadratowy ma taką samą wartość logiczną jak q q, czyli jest zdaniem zawsze prawdziwym, bo to prawo wyłączonego środka. Tak więc i w tym wypadku całe zdanie jest prawdziwe. 3) Dowód nie wprost. Jeśli zdanie jest tautologią, to jego zaprzeczenie jest zdaniem niespełnialnym. Pomysł polega więc na założeniu, że zaprzeczenie jest spełnialne - jeśli to założenie doprowadzi nas do sprzeczności, to znaczy ze zaprzeczenie jest niespełnialne, czyli wyjściowe zdanie jest tautologią. A jeśli to założenie nie doprowadzi nas do sprzeczności, to doprowadzi nas do takiego wartościowania zdań składowych dla których zaprzeczenie jest prawdziwe i wtedy wyjściowe zdanie nie jest tautologią. W naszym przykładzie zaprzeczenie zdania jest kolejno równoważne (na mocy praw de Morgana): (p [( p q) ( p q)]) p [( p q) ( p q)] p ( p q) ( p q) p (p q) (p q) Jeśli zakładamy, że to zdanie jest prawdziwe, to prawdziwe muszą być zdania: p, p q, p q. Jeśli p prawdziwe, to p fałszywe. Ale w takim razie z prawdziwości trzeciego zdania wynika, że q jest prawdziwe, a z prawdziwości drugiego zdania wynika, że q jest prawdziwe, czyli q fałszywe. To zaś oznacza sprzeczność, a stąd wniosek, że niemożliwe jest by zaprzeczenie naszego zdania było prawdziwe. Skoro więc zaprzeczenie zdania jest niespełnialne, to wyjściowe zdanie jest tautologią. 2

3 Warto zauważyć, że dowodzenie nie wprost jest wygodne gdy wyjściowe zdanie jest alternatywą lub koniunkcją, bo wtedy negacja tego zdania jest koniunkcją, a zatem z założenia jej prawdziwości dostajemy dużo warunków. 4) Przekształcenie zdania. Czasem możliwe jest proste przekształcenie równoważne zdania do jakiegoś prawa logicznego i to oczywiście wystarcza. Ta sytuacja (przynajmniej z naciskiem na słowo proste ) jest niestety rzadka. W naszym przypadku z prawa rozdzielności alternatywy względem koniunkcji nasze zdanie jest równoważne: p [ p (q q)] Tutaj zaś w nawiasie okrągłym mamy prawo wyłączonego środka, zatem nawias kwadratowy ma taką samą wartość logiczną jak p, więc zdanie jest równoważne... p p...to zaś znów jest prawo wyłączonego środka, czyli zdanie zawsze prawdziwe. Ćwiczenia 1.1 Rozstrzygnij czy następujące zdania są tautologiami: a) (p (q r)) ((p q) r) b) [(p q) (q r)] (p r) c) [(p q) (q r)] (p r) d) [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] e) [(p q) p] q f) (q r) [(p q) (p r) g) (p q) [(p (q r)) (p r)] h) ([(p q) r] [(p q) r]) ( p q r) 1.2 Szalony ćwiczeniowiec zapytany przez studenta o to kiedy można przyjść na konsultacje odpowiedział: Będę we wtorek lub też, jeśli będę w poniedziałek, to będę w środę. Jeśli będę we wtorek, to nie będzie mnie w poniedziałek. Jeśli będę w środę, to będę w poniedziałek. Jeśli nie będzie mnie w poniedziałek, to będę w środę. Kiedy student może przyjść na konsultacje? 3

4 2 Rachunek kwantyfikatorów Funkcja zdaniowa zmiennej x to takie wyrażenie p(x) które staje się zdaniem dla ustalonej wartości x. Przykładowo jeśli p(x) znaczy tyle co x 2 4 = 0 to zdanie p(2) jest prawdziwe, a p(3) fałszywe. Funkcja zdaniowa sama w sobie nie jest zdaniem logicznym, ale stanie się nim jeśli poprzedzona zostanie kwantyfikatorami wiążącymi wszystkie zmienne. Zdaniami logicznymi są więc wyrażenia x p(x) (czyli: dla każdego x zachodzi p(x)) oraz x p(x) (czyli: dla pewnego x zachodzi p(x)). Pierwszy z tych kwantyfikatorów nazywamy ogólnym, a drugi szczegółowym. Warto jednak zwrócić, że wartość logiczna takiego zdania zależy od uniwersum, czyli zbioru w którym działają nasze kwantyfikatory. We wcześniejszym przykładzie zdanie x p(x) będzie zdaniem fałszywym w uniwersum R, ale zdaniem prawdziwym w uniwersum { 2}. Matematycy zwyczajowo podają uniwersum przy kwantyfikatorze, pisząc na przykład: x R p(x) (co z pewnych przyczyn nie zawsze pasuje informatykom). Zmiennych w funkcji zdaniowej może być więcej niż jedna, stąd sens mają też napisy p(x, y), p(x, y, z) itd. Zdanie z kwantyfikatorami nazwiemy prawem rachunku kwantyfikatorów jeśli dla dowolnych funkcji zdaniowych występujących w zdaniu oraz dla dowolnego uniwersum będzie zdaniem prawdziwym. Podstawowe takie prawa to prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( x p(x)) x ( x p(x)) x p(x) p(x) Warto zauważyć, że oznacza to tyle, że łatwo obalić zdanie poprzedzone kwantyfikatorem ogólnym (jeśli jest fałszywe), bo wtedy wystarczy podać jeden kontrprzykład, a trudno obalić zdanie poprzedzone kwantyfikatorem szczegółowym (jeśli jest fałszywe), bo wówczas trzeba przeprowadzić rozumowanie ogólne. Tak samo łatwo udowodnić zdanie poprzedzone kwantyfikatorem szczegółowym (jeśli jest prawdziwe), bo wtedy wystarczy podać jeden przykład, a trudno udowodnić zdanie poprzedzone kwantyfikatorem ogólnym (jeśli jest prawdziwe), bo wówczas trzeba przeprowadzić rozumowanie ogólne. Na przykład dowód prawdziwego zdania, że każda funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła wymaga odrobiny wysiłku (jak przekonają się Państwo na wykładzie), natomiast obalić fałszywe twierdzenie, że funkcja ciągła w punkcie jest w tym punkcie różniczkowalna jest łatwo, bo wystarczy podać jeden kontrprzykład, np. f(x) = x i punkt x 0 = 0. W ogólności sprawdzanie czy jakieś zdanie z kwantyfikatorami jest lub nie jest prawem rachunku kwantyfikatorów - jest trudne, bo nie ma żadnego schematu jak w przypadku zwykłego rachunku zdań. Każdy przykład trzeba więc analizować osobno i zdać się na zdrowy rozsądek. Warto przy tym traktować zdanie p(x) jako x ma własność p, co pomaga zrozumieć co w istocie znaczy dane zdanie. Rozstrzygnijmy na przykład czy prawem rachunku kwantyfikatorów będzie: x (p(x) q(x)) ( x p(x)) ( x q(x)) 4

5 Zgodnie z poprzednią uwagą po przetłumaczeniu na język polski to zdanie znaczy tyle co jeśli każdy x ma którąś z własności p i q, to każdy x ma własność p lub każdy x ma własność q. I w tej postaci widać, że to nie jest w ogólności prawda - łatwo więc skonstruować kontrprzykład. Niech na przykład uniwersum będzie zbiór studentów Informatyki Stosowanej, zdanie p(x) oznacza, że x zaliczy ćwiczenia z matematyki, a q(x) - że x nie zaliczy ćwiczeń z matematyki. Wówczas poprzednik implikacji niewątpliwie jest prawdziwy, bo każdy student zaliczy bądź też nie zaliczy ćwiczeń. Ale następnik jest fałszywy, bo nie jest prawdą, że każdy student zaliczy ćwiczenia (choć szczerze Państwu tego życzę) ani też, że wszyscy studenci obleją ćwiczenia (a przynajmniej miejmy nadzieję, że nie jest prawdą). Natomiast prawem rachunku kwantyfikatorów byłoby: x (p(x) q(x)) ( x p(x)) ( x q(x)) Oznacza to bowiem tyle co jeśli każdy x ma obie własności p i q, to każdy x ma własność p i każdy x ma własność q, co w sposób oczywisty jest prawdą. Kontrprzykład z poprzedniego przypadku oczywiście tu nie działa, bo tym razem poprzednik nie byłby prawdziwy. Zauważmy jeszcze, że z praw de Morgana łatwo wynika w jaki sposób negować zdania z kwantyfikatorami - wystarczy zmienić każdy kwantyfikator na przeciwny oraz zanegować formułę zdaniową. Na przykład: ( x y z x + y z) jest równoważne: x y z x + y > z. 2.1 Rozstrzygnij czy następujące zdania są prawdziwe: a) x N y N x < y b) y N x N x < y c) y R x R x y 2.2 Napisz zaprzeczenia zdań bez użycia symbolu negacji: a) x y (x > y 2 y x) b) x y z [y > z (x z + 1 y = x + 3)] 2.3 Rozstrzygnij czy następujące zdania są prawami rachunku kwantyfikatorów. a) ( x p(x) q(x)) ( x p(x)) ( x q(x)) b) x (p(x) q(x)) [ x p(x) x q(x)] c) x (p(x) q(x)) [ x p(x) x q(x)] d) x y p(x, y) y x p(x, y) e) x y p(x, y) y x p(x, y) 5

6 3 Rachunek zbiorów Używając języka rachunku zdań możemy ściśle definiować relacje między zbiorami: oraz operatory rachunku zbiorów: A B x (x A x B) A = B (A B B A) x (x A x B) x A B (x A x B) x A B (x A x B( x A B (x A x B) Naszym najczęstszym celem jest sprawdzenie czy jakaś równość lub zawieranie zbiorów, jest prawdziwa-e dla dla dowolnych występujących tam zbiorów A, B, C,.... Jeśli chcemy to wykazać, to musimy skorzystać z powyższych definicji, a jeśli chcemy to obalić, to wystarczy wskazać przykład konkretnych zbiorów A, B, C,... dla których nie jest to prawda. Przykładowo by pokazać, że równość: A (B C) = (A B) (A C) nie zachodzi dla dowolnych zbiorów A, B, C wystarczy wskazać kontrprzykład A = C = {1} i B = dla którego lewa strona to {1}, a prawa. Natomiast by pokazać, że równość: A (B C) = (A B) (A C) zachodzi dla dowolnych A, B, C musimy pokazać, że x L x P. Mamy: x P x (A B) (A C) x (A B) (A C) (x A x B) (x A x B) x A (x B x C) x A ( (x B) (x C) x A (x B x C) x A (x B C) x A x (B C) x A (B C) x L Oczywiście powstaje naturalne pytanie skąd wiadomo, że w pierwszym przypadku trzeba szukać kontrprzykładu (i jak go znaleźć), a w drugim przypadku należy dowodzić prawdziwość równości. Rozstrzygnąć to mogą diagramy Venna, czyli graficzna ilustracja zbioru (teoretycznie zawsze wykonalna, ale czytelna tylko gdy w napisie występują co najwyżej trzy zbiory A, B, C). Nietrudno sprawdzić, że w drugim przykładzie zbiór po obu stronach to: 6

7 a stąd wniosek, że równość musi być prawdziwa i tego należy dowodzić (uwaga: sam rysunek nie jest formalnym dowodem!). Natomiast w pierwszym przykładzie prawa strona jest taka sama, ale lewa to: skąd widać, że lewa i prawa strona się różnią (ale i w tym wypadku sam rysunek to za mało i należy wskazać kontrprzykład). A różnią się na przykład tym fragmentem, który siedzi w A i C, a nie w B. Stąd też właśnie się wziął kontrprzykład: wystarczyło podać przykład takich zbiorów dla których istnieje element należący do A i C, ale nie do B (i oczywiście najlepiej podać najprostszy taki kontrprzykład) Rozstrzygnij czy dla dowolnych zbiorów A, B, C, D prawdą jest, że: a) A (A B) = A f) (A B C) (B C) = A b) A (B C) = [(A B) C] (A C) g) A (A B) = A c) A (B C) = (A B) (A C) h) A B A B d) A (B C) = (A B) C i) (A B) C C (A B) e) A (B C) = (A B) C j) (A B) C (C A) C 7

8 4 Relacje Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazwiemy zbiór A B zawierający wszystkie pary elementów takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B. Formalnie: (x, y) A B (x A y B) Analogicznie można też zdefiniować iloczyn kartezjański większej liczby (nawet nieskończonej) zbiorów. Relacją dwuargumentową na zbiorze A nazwiemy dowolny podzbiór R iloczynu kartezjańskiego A A. Intuicyjnie należy rozumieć to w ten sposób, że relację definiuje się poprzez podanie które pary ze zbioru A są mają ze sobą ustalony związek (czyli są w tym co potocznie nazywa się relacją). Przykładowo relacja R = na zbiorze {1, 2, 3} to zbiór: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} Zwyczajowo przy tym zamiast pisać (1, 2) R piszemy 1R2, tak samo jak w szkole pisało się 1 2, a nie (1, 2). Relacje mogą mieć różne własności, które są w matematyce na tyle użyteczne, że nadano im nazwy. Powiemy, że relacja jest: ˆ zwrotna, jeśli x A xrx; ˆ przeciwzwrotna, jeśli x A ˆ symetryczna, jeśli x,y A xrx; xry yrx; ˆ antysymetryczna, jeśli x,y A xry yrx; ˆ słabo antysymetryczna, jeśli x,y A xry yrx x = y; ˆ przechodnia, jeśli x,y,z A xry yrz xrz; ˆ spójna, jeśli x,y A xry yrx x = y; ˆ równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia; ˆ częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia; ˆ liniowego porządku, jeśli jest częściowego porządku i spójna. Uwaga: terminologia bywa różna, w szczególności przyjętą konwencją jest też, żeby zamiast terminu antysymetryczna używać terminu asymetryczna i wówczas zamiast słabo antysymetryczna mówi się po prostu antysymetryczna. Patologiczna relacja określona na zbiorze pustym ma wszystkie powyższe własności. Natomiast porządne relacje (określone na zbiorach niepustych) mają intuicyjne własności: zwrotność i przeciwzwrotność się wykluczają, podobnie jak symetryczność i antysymetryczność; jedyną relacją symetryczną i słabo antysymetryczną jest relacja równości. Dzięki tym obserwacjom łatwiej sprawdzać własności danej relacji, bo często skraca to nam pracę. 8

9 Zbadajmy dla przykładu własności relacji R określonej na zbiorze liczb naturalnych i zdefiniowanej jako xry x + y = 3. Z uwagi na 2R2 wiadomo, że relacja nie jest zwrotna, ale nie jest też przeciwzwrotna, bo 3 2 R 3 2. Jest za to w oczywisty sposób symetryczna, bo warunek z definicji xry yrx to w tym przypadku tyle co x + y = 3 y + x = 3, a to naturalnie prawda. Wyklucza to więc antysymetroczność i słabą antysymetryczność. Relacja nie jest też przechodnia, bo 1R2 i 2R 1, ale nie 1R( 1); ani spójna, bo ani nie jest 2R3, ani też 3R2. Zbadajmy jeszcze własności relacji xry 5 (x y) określonej na zbiorze liczb całkowitych. Z uwagi na to, że jest to nieznacznie trudniejszy przykład, warto podejść do zadania systematycznie, to znaczy przy badaniu kolejnych własności ściśle przełożyć warunek z definicji na naszą konkretną relację i sprawdzić czy ten warunek zachodzi. 1. Zwrotność - w naszym wypadku oznacza ona: x Z 5 (x x) czyli x Z 5 0 a to oczywiście prawda. 2. Symetryczność - u nas to tyle co: x,y Z 5 (x y) 5(y x) i jest to prawda, ponieważ y x = (x y) oraz wiadomo, że jeśli piątka dzieli jakąś liczbę całkowitą, to dzieli też liczbę do niej przeciwną. 3. Przechodniość - dla naszej relacji to spełnianie warunku: x,y,z Z [5 (x y) 5 (y z)] 5 (x z) Tym razem by wykazać, że to prawda, możemy powołać się na równość x z = (x y) + (y z) i fakt, że suma dwóch liczb podzielnych przez pięć też jest podzielna przez pięć. 4. Z powyższych trzech własności wynika, że nasza relacja to relacja równoważności. Z relacją równoważności (i tylko z nią!) związane jest pojęcie klas abstrakcji, tzn. zbiorów: [x] R = {y R xry} W poprzednim przykładzie nietrudno sprawdzić, że: [0] R = {0, 5, 5, 10,...} [1] R = {1, 6, 4, 11,...} [2] R = {2, 7, 3, 12,...} [3] R = {3, 8, 2, 12,...} [4] R = {4, 9, 1, 13,...} i więcej klas abstrakcji już nie ma, bo np. [5] R to to samo co [0] R. Warto zwrócić uwagę, że powyższe zbiory wyznaczają nam tak zwany podział zbioru liczb całkowitych, to znaczy są parami rozłączne, ale ich suma to zbiór wszystkich liczb całkowitych. Ponadto każda liczba jest w relacji ze wszystkimi elementami swojej klasy abstrakcji i z żadnymi innymi. Każda relacja równoważności dzieli nam zbiór na takie klasy abstrakcji i co więcej można powiedzieć, że jest to podział z uwagi na jedną wyabstrahowaną cechę - w naszym przykładzie ta cecha to reszta z dzielenia przez pięć. Często w matematyce utożsamia się elementy jednej klasy abstrakcji - można to zaobserwować na przykład na znanym działaniu modulo któro de facto jest działaniem wyłącznie na klasach abstrakcji (resztach z dzielenia). 9

10 Wszystkie powyższe uwagi dotyczyły relacji R A A. Równie dobrze jednak relacja może być określona na dwóch (a wieloargumentowa nawet na wielu) różnych zbiorach i w ogólności relacja dwuargumentowa między elementami zbioru A i elementami zbioru B to dowolny pozdbiór R A B. W tym przypadku w szczególności jeśli dla dowolnego a A istnieje dokładnie jeden element b B taki, że (a, b) R, to relację R nazywamy funkcją i piszemy: y = f(x) (x, y) R (napis ten ma sens z uwagi na jedyność igreka) W teorii mnogości takie ujęcie funkcji jest bardzo przydatne, bo zamiast nieścisłej definicji mówiącej, że funkcja to pewne przyporządkowanie, mamy definicję bardzo ścisłą. Rzecz jasna w matematyce teoretycznej taka ścisłość jest niezbędna, ale w matematyce praktycznej z powodzeniem można pozostać przy rozumieniu funkcji jako pewnego przyporządkowania i potraktowaniu powyższej definicji głównie w ramach ciekawostki. Ćwiczenia 4.1 Zbadaj czy poniższe równości są prawami rachunku zbiorów: a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) A (B C) = (A B) (A C) d) (A B) (C D) = (A C) (B D) 4.2 Zbadaj własności następujących relacji: a) R R R, xry x 2 y 2 b) R N N, nrm n m c) R R R, xry xy = 0 d) R R R, xry y = x 2 e) R Z Z, xry x = 3 y = 3 f) r określona na zbiorze podzbiorów liczb rzeczywistych i taka, że ArB A B 4.3 Wykaż, że poniższe relacje są relacjami równoważności i wyznacz (opisz) ich klasy abstrakcji: a) R R R, xry x 2 = y 2 b) R R R, xry x y Q c) R R R, xry x = y d) R Z Z, nrm 7 (n 2 m 2 ) e) R (N N) (N N), (n, m)r(k, l) n + l = m + k f) r określona zbiorze wielomianów rzeczywistych i taka, że W rv W (0) = V (0) 10

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Relacje. Relacje / strona 1 z 18

Relacje. Relacje / strona 1 z 18 Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje

Logika I. Wykład 3. Relacje i funkcje Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

IVa. Relacje - abstrakcyjne własności

IVa. Relacje - abstrakcyjne własności IVa. Relacje - abstrakcyjne własności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny wiva. Krakowie) Relacje - abstrakcyjne własności 1 / 22 1 Zwrotność

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie.

Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. Logika Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. i) Wprowadźmy oznaczenie F (p, q) ((p q) = ( p q)). Funkcja zdaniowa F nie

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów

Semantyka rachunku predykatów Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (2)

Wstęp do Matematyki (2) Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 1 października 2018 Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

RELACJE I ODWZOROWANIA

RELACJE I ODWZOROWANIA RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

4 Klasyczny rachunek zdań

4 Klasyczny rachunek zdań 4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo