0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A"

Transkrypt

1 WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy je aksjomatami), definicji i twierdzeń, które wynikają z innych, już otrzymywanych przy użyciu wnioskowania logicznego Logika leży zatem u podstaw matematyki A (Definicja: zdania) Przez zdanie (w sensie logicznym) rozumiemy wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe albo fałszywe O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną, natomiast o zdaniu fałszywym mówimy, że ma ono wartość logiczną A2 (Przykłady) Zdanie jest liczbą niewymierną jest prawdziwe to jest ma wartość logiczną ; natomiast zdanie jest liczbą naturalną jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną Zdanie gramatyczne (pytania): Jaka jest liczba? nie będziemy uważali za zdanie w sensie logicznym Ono nie jest prawdziwe ani fałszywe A+B3 (Ćwiczenie) Zbadać, czy następujące wypowiedzi są zdaniami: ) jest dużą liczbą, 2) ile pierwiastków stopnia n ma liczba zespolona?, 3) 2, 4) 5 2, 5) nieprawda, że jest liczbą naturalną Zdania będziemy oznaczali małymi literami alfabetu Jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to piszemy p ; jeżeli zdanie q jest fałszywe, to piszemy q A+B4 (Funktory) Niech p i q będą dwoma zdaniami Z tych zdań można utworzyć zdanie złożone, korzystając ze spójników, zwanych w logice funktorami Funktory te przedstawiamy w tabeli:

2 Wartość Funktor Zdania złożone logiczna zdanie Symbol Nazwa Czytamy Symbol Nazwa Czytamy p q złożone nie p ~ czyli Negacja negacja -, - nie ~ p (nieprawda, (zaprzeczenie) zdania p - że p) Koniunkcja (iloczyn logiczny) Alternatywa (suma logiczna) Implikacja (wynikanie) Równoważność Nierównoważność (alternatywa wykluczająca) i p q lub p q jeżeli, to wtedy i tylko wtedy, gdy p q p q albo p q Koniunkcja zdań p i q alternatywa zdań p i q implikacja o poprzedniku p i następniku q równoważność zdań p i q Nierównoważność zdań p i q p i q p lub q jeżeli p, to q p wtedy i tylko wtedy, gdy q p albo q A+B5 (Uwaga: przykłady do hamowania ) 5 Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, to ~p jest zdaniem fałszywym i na odwrót Na przykład zaprzeczeniem zdania każda liczba naturalna jest liczbą parzystą nie jest zdanie każda liczba naturalna jest liczbą nieparzystą dlatego, że oba zdania są fałszywe Zaprzeczeniem będzie zdanie nieprawda, że każda liczba naturalna jest liczbą parzystą lub istnieje liczba naturalna, która jest liczbą nieparzystą 52 Implikacja jest prawie zawsze prawdziwa, w szczególności jest prawdziwa, jeśli następnik implikacji jest prawdziwy Zdanie Jeżeli 2 jest liczbą nieparzystą, to 2 jest liczbą parzystą jest prawdziwe z definicji ( w sensie logicznym) 53 Jeżeli p q jest zdaniem prawdziwym, to zdanie p q jest także

3 prawdziwe, ale nie na odwrót Na przykład zdanie sin lub cos jest 2 prawdziwe, ale zdanie sin albo cos jest fałszywe 2 B+C6 (Ćwiczenie) Podać interpretację geometryczną i fizyczną funktorów Wskazówka: zdania p i q będziemy interpretowali jako przekaźniki w układzie elektrycznym: zamknięty odpowiada zdaniu prawdziwemu, natomiast otwarty odpowiada zdaniu fałszywemu B7 (Reguły wnioskowania) Każda reguła wnioskowania, czyli reguła otrzymania wniosków z przesłanek musi być taka, żeby od zdania prawdziwego prowadziła zawsze do zdania prawdziwego, np: 7 Reguła dołączania koniunkcji Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie q, to należy uznać za prawdziwe zdanie pq 72 Reguła opuszczania koniunkcji Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie pq, to należy uznać za prawdziwe zdanie p i należy uznać za prawdziwe zdanie q 73 Reguła dołączania alternatywy Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p, to należy uznać za prawdziwe zdanie p q, gdzie q jest dowolnym zdaniem 74 Reguła opuszczania alternatywy Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie ~p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q 75 Reguła odrywania Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p i uznajemy za prawdziwe zdanie p q, to należy uznać za prawdziwe zdanie q 76 Reguła przechodniości implikacji Jeżeli uznajemy za prawdziwe zdanie p q i zdanie q r, to należy uznać za prawdziwe zdanie p r A+B8 (Schematy zdań) Mając do dyspozycji funktory logiczne możemy tworzyć zdania składające się z wielu zdań podrzędnych Abstrakcyjne wersje takich zdań złożonych, zbudowane z funktorów logicznych i zmiennych zdaniowych nazywamy schematami zdaniowymi lub wyrażeniami (formułami) rachunku zdań Zwracamy uwagę, że zmienne zdaniowe nie mają jednak ustalonej wartości logicznej Oznaczamy je podobnie jak zdania, na przykład p, q, r itd Zdania i funktory są elementami rachunku zdań Funktory odgrywają w tym rachunku rolę działań, zdania są obiektami, do których się te działania odnoszą A9 (Przykłady) Schematy ~p, p q, p q p q są to wszystkie wyrażenia rachunku zdań, natomiast p~q nie jest wyrażeniem rachunku zdań, ponieważ negacja jest funktorem jednoargumentowym (odnoszącym się do jednego tylko zdania) Każde wyrażenie rachunku zdań jest funkcją zdaniową zmiennych zdaniowych, która każdemu układowi wartości logicznych tych zmiennych przyporządkowuje wartość logiczną całego zdania

4 A (Definicja: tautologia) Prawo rachunku zdań lub tautologia jest to takie wyrażenie tego rachunku, które niezależnie od wartości logicznych podstawianych zdań zawsze dają zdanie złożone prawdziwe A+B (Przykłady: niektóre tautologii) Nazwa tautologii Zapis Prawo wyłączonego środka (~p) p Prawo podwójnego zaprzeczenia ~(~p) p Prawo rozdzielności (pq) (p r) (q r) zaprze- alternatywy [(~p) (~q)] czenie koniunkcji [~(pq)] [(~p) (~q)] Prawo zaprzeczania implikacji ~(pq) [p(~q)] ~(~p q) ~(~p)(~q) Prawo sprzeczności ~[p(~p)] Prawa de Morgana p (q r) p (p q) (p r) [~(p q)] Uwaga Gdy brak jest nawiasów, operacje wykonujemy w następującej kolejności: ~,,,, (prz: pq ~p q) A+C2 (Uwaga-ćwiczenie) Do sprawdzania tautologii może służyć metoda zero-jedynkowa, która polega na rozważeniu wszystkich układów wartości logicznych zmiennych zdaniowych, które występują w badanym wyrażeniu Zrobić to dla 4A+B A3 (Definicja) Funkcja (forma) zdaniowa (jednej lub większej liczby zmiennych) jest to wyrażenie zawierające zmienną, które staje się zdaniem, gdy za zmienną podstawiamy element, należący do dziedziny (zakresu) funkcji zdaniowej A4 (Przykład) Wyrażenie jest większy od 2 (4A+B3) jest funkcją zdaniowa; jej dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych Dla pewnych liczb otrzymane zdanie będzie prawdziwe, dla innych fałszywe, ale zawsze będzie miało wartość logiczną A5 (Kwantyfikatory) Kwantyfikator ogólny, oznaczamy przez i czytamy dla każdego, oznacza, że w funkcji zdaniowej podstawiamy wszystkie dopuszczalne wartości zmiennej Kwantyfikator szczegółowy, oznaczamy przez i czytamy istnieje, oznacza, że wybieramy z zakresu zmiennej tylko jeden element

5 Niech będzie formą zdaniową z dziedziną Wtedy zdanie X : A( ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego zdanie jest prawdziwe Zdanie X : A( ) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element, dla którego utworzone zdanie jest prawdziwe X A ( ) A ( ) X X A ( ) A6 (Przykłady) Zdanie : A( ), gdzie oznacza 5 2, jest fałszywe, ale zdanie : A( ) jest prawdziwe (mamy: : A( ) " 7" ) A ( ) A7 (Prawo de Morgana dla kwantyfikatorów) Mamy: 7) ( : A( )) ( :(~ A( ))) ; 72) ( : A( )) ( :(~ A( ))) A8 (Reguły rozdzielania dla zdań z kwantyfikatorami) 8) : P( ) Q( ) ( : P( )) ( : Q( )) ; 82) : P( ) Q( ) ( : P( )) ( : Q( )) B9 (Ćwiczenie) Sprawdzić, że zdanie : P( ) Q( ) może nie być równoważne zdaniu ( : P( )) ( : Q( )) A2 (Uwaga) Zamiast czasami pisze się, natomiast zamiast pisze się A+B2 (Definicja: algebra Boole a) Struktura algebraiczna ( B,,,';,) o dwóch działaniach dwuargumentowych, nazywanych odpowiednio dodawaniem i mnożeniem oraz jednym działaniu jednoargumentowym (uzupełnianie) i o wyróżnionych elementach i nazywamy algebrą Boole a jeśli spełnione są następujące warunki: ) oba działania i są przemienne i łączne: a, b, cb, a b b a, a b b a; def ( a b) c a ( b c) a b c, ( a b) c a ( b c) a b c; 2) mnożenie jest rozdzielne względem dodawania i odwrotnie: a ( b c) ( a b) ( a c), a ( b c) ( a b) ( a c) ; 3) wyróżnione elementy (zero) i (jedynka) spełniają warunki: a B, a a, a a; 4) uzupełnianie ' spełnia warunki: a a', a a' def '

6 A22 (Przykład: dwuelementowa algebra Boole a) Algebra ta jest złożona z zera i jedynki (to jest B={,}) i ma następujące tabelki działań: Ponad to: ' =, ' = A23 (Przykład) Rachunek zdań, zwany tez algebrą zdań, jest klasycznym przykładem dwuelementowej algebry Boole a Tutaj jest modułem (elementem neutralnym) dodawania, jest modułem (elementem neutralnym) mnożenia, suma każdego elementu i jego negacji jest modułem mnożenia, iloczyn każdego elementu i jego negacji jest modułem dodawania A+B24 (Optymalizacja (minimalizacja) form rachunku zdań) Forma rachunku zdań jest minimalna, jeżeli jest ona złożona z najmniejszego zbioru działań Przykład: [(p ~q) (q~p)] p q A+B25 (Interpretacja fizyczna działań dwuelementowej algebry Boole a) Ciekawym przykładem algebry Boole a jest algebra sieci elektrycznych (algebra rachunku zdań), budowanych z dwubiegunowych elementów (dwójników) poprzez szeregowe i równolegle ich łączenie Przypuśćmy, ze każdy z elementów sieci znajduje się w jednym z dwóch wykluczających sie stanów: przewodzi prąd () albo nie przewodzi () prądu Ćwiczenie (B) Zrobić interpretację fizyczną działań )-4) w 4A+B2 y = = = y z y z

7 B26 (Przykład algebry Boole a) Niech X będzie dowolnym zbiorem Zbiór wszystkich podzbiorów tego zbioru oznaczamy przez Wtedy zespół X ( 2,,, C;, X ) jest algebrą Boole a Dodawaniem tutaj jest wzięcie sumy zbiorów, mnożeniem wzięcie części wspólnej, rolę zera pełni zbiór pusty, a jedynki cały zbiór X, uzupełnianiem jest wzięcie dopełniania do pełnego zbioru X 2 X 5 GRAFY 5 Grafy podstawowe pojęcia: macierz incydencji, drogi i ich długości, cykle Eulera Grafy (wykresy), którymi się zajmujemy, są jak mapy drogowe, rysunki obwodów, schematy blokowe itd W tym sensie, że przedstawiają one połączenia lub relacje zachodzące między rożnymi fragmentami wykresu 5A (Definicja) Graf skierowany (digraf) G składa się z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V(G) wierzchołków grafu G i zbioru E(G) krawędzi grafu G oraz z funkcji ze zbioru E(G) w zbiór def V ( G) V ( G) {( p, q): pv ( G), q V ( G)} uporządkowanych par wierzchołków Jeśli e jest krawędzią grafu G i ( e) ( p, q), to p nazywamy początkiem krawędzi e, a q końcem krawędzi e i mówimy, że e biegnie od p do q Rysunkiem grafu skierowanego G jest wykres składający się z punktów, odpowiadających elementom zbioru V(G) oraz strzałek, odpowiadających elementom zbioru E(G) Różne krawędzie o danym początku i końcu nazywamy krawędziami wielokrotnymi Drogą w grafie skierowanym G nazywamy ciąg krawędzi taki, że koniec jednej krawędzi jest początkiem następnej Jeśli e,, e n należą do zbioru E(G), to e,, e n jest drogą, o ile istnieją wierzchołki, 2,, n, n takie, że ( ei ) ( i, i ) dla i,, n Mówimy, że e,, e n jest drogą (ścieżką) długości n od wierzchołka do wierzchołka n Droga jest zamknięta, jeśli n Jeśli każda krawędź jest jedyną krawędzią od i do i, to ten ciąg wierzchołków jednoznacznie określa drogę i możemy opisać tę drogę wypisując po kolei te wierzchołki Drogę zamkniętą długości co najmniej z ciągiem wierzchołków 2 n nazywamy cyklem, jeśli wszystkie wierzchołki,, n są różne (niektórzy e i

8 autorzy cyklem nazywają drogę zamkniętą) Graf skierowany (droga) nie mający cykli nazywamy grafem (drogą) acyklicznym Jeśli opuścimy strzałki (tzn kierunki) na krawędziach, to zamiast uporządkowanych par wierzchołków będziemy używać nieuporządkowany zbiór wierzchołków, wtedy mamy 5A2 (Definicja) Graf nieskierowany składa się z dwóch zbiorów, zbioru V(G) wierzchołków grafu G i zbioru E(G) krawędzi grafu G oraz z funkcji ze zbioru E(G) w zbiór {{ u, w}: u, w V( G)} wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V(G) Dla danej krawędzi e ze zbioru E(G) elementy ( e) { u, w} nazywamy wierzchołkami krawędzi e lub końcami e Wtedy mówimy, że krawędź e łączy swoje końce Pętla jest krawędzią tylko z jednym końcem Różne krawędzie e i f takie, że ( e) ( f) nazywamy krawędziami wielokrotnymi Rysunkiem grafu nieskierowanego G jest wykres składający się z punktów, odpowiadających wierzchołkom zbioru G, łuków czy odcinków odpowiadających krawędziom Ciąg krawędzi, które łączą się ze sobą, nazywamy drogą Długością drogi jest liczba krawędzi w tej drodze Drogą długości n od wierzchołka u do wierzchołka w nazywamy ciąg e,, e n wraz z ciągiem n wierzchołków, taki, że ( ei ) { i, i } dla i,, n oraz u, n w Wtedy e n e jest drogą od w do u Obie te drogi możemy nazywać drogami między wierzchołkami u i w Jeśli u=w, to drogę nazywamy zamkniętą Drogę nazywamy drogą prostą, jeśli jej wszystkie krawędzie są różne Mówimy, że wierzchołek w jest sąsiedni w stosunku do wierzchołka u, jeśli istnieje krawędź w E(G) z końcami w i u W podobny sposób definiujemy relacje sąsiedztwa dla krawędzi 5A+B3 (Uwaga) To, co opisaliśmy, niektórzy autorzy nazywają multigrafem, a termin graf lub graf prosty rezerwują dla takich grafów, które nie mają pętli czy krawędzi wielokrotnych Jeśli nie ma krawędzi wielokrotnych, to funkcja jest różnowartościowa i zbiór () e jednoznacznie określa krawędź e Wtedy po prostu wypisujemy krawędzie jako zbiory { u, w},{ u, u} { u} lub jako ciągi wierzchołków: uw, uu 5A+B4 (Definicja) Niech graf G nie ma pętli i jest skończony, tzn zbiory V( G) {,, m} i E( G) { e,, en} są skończone Wtedy macierzą incydencji grafu G nazywamy macierz [ a ], której elementy są określone wzorem: ij mn a) aij jeśli wierzchołek i jest początkiem krawędzi e j i aij jeśli i jest końcem e j, aij jeśli i nie należy do e j dla grafu skierowanego i

9 b) a ij jeśli wierzchołek przypadku dla grafu nieskierowanego i jest końcem krawędzi e j i aij w przeciwnym 5B5 (Definicja) Macierzą sąsiedztwa nazywamy macierz [ ] wyraz bij b ij jest liczbą krawędzi od wierzchołka jeśli nie istnieje krawędź od i do j i b ij mn do wierzchołka, której każdy j Zatem 5B6 (Fakt) Macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest macierzą symetryczną 5A+B7 (Definicja) Graf H jest podgrafem grafu G, jeśli V( H) V( G), E( H) E( G) oraz funkcje grafu G i grafu H są równe na E(H) Jeśli droga jest acykliczna, wtedy podgraf składający się z wierzchołków i krawędzi tej drogi jest również acykliczny 5A+B8 (Fakt) Każda droga zamknięta różnych wierzchołkach jest cyklem,, n e,, en długości co najmniej 3, o 5A+B9 (Fakt) Droga ma wszystkie wierzchołki różne wtedy i tylko wtedy, gdy jest prosta i acykliczna 5A+B (Fakt) Jeśli u i w są różnymi wierzchołkami grafu G i jeśli istnieje w grafie G droga z u do w, to istnieje prosta droga acykliczna z u do w 5A+B (Fakt) Jeśli e jest krawędzią w zamkniętej drodze prostej w grafie G, to e należy do jakiegoś cyklu 5A2 (Definicja) Stopień wierzchołka v oznaczamy symbolem deg(v) i definiujemy jako liczbę dwuwierzchołkowych krawędzi z v jako jednym z wierzchołków, plus podwójna liczba pętli o wierzchołku v 5B+C3 (Fakt) Liczba D k (G) wierzchołków stopnia k w grafie G jest niezmiennikiem izomorfizmu 5B4 (Fakt) Suma stopni wierzchołków grafu jest dwa razy większa od liczby krawędzi: deg( v) 2 E( G) Mamy też: D ( G) 2D2 ( G) 3D3 ( G) 2 E( G) vv ( G) 5A5 (Definicja) Drogę zamkniętą w grafie przechodzącą przez każdą krawędź dokładnie jeden raz nazywamy cyklem Eulera w tym grafie

10 5B6 (Fakt) Graf, który ma cykl Eulera, musi mieć wszystkie wierzchołki stopnia parzystego 5A7 (Definicja) Graf jest spójny, jeśli każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie 5B8 (Fakt) Skończony graf spójny, w którym każdy wierzchołek ma stopień parzysty, ma cykl Eulera 5B9 (Definicja) Drogę zamkniętą, która przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie jeden raz, z wyjątkiem ostatniego wierzchołka, którym ponownie jest pierwszy wierzchołek, nazywamy cyklem Hamiltona 52 Przykłady 5A+B+C2 (Przykład) Problem mostów królewieckich: czy można przejść się po mieście, pokazanym na Rysunku (a), przechodząc przez każdy most dokładnie jeden raz i wrócić do domu? rzeka wyspa wyspa 2 2 l2 l l3 3 3 l7 l5 l 6 l4 4 4 Graf (b) Graf (c) Znaleźć graf mostów królewieckich Rozważyć wszystkie pojęcia 5A-5B9 dla grafow (b) i (c)

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 1 października 2018 Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

10. Kolorowanie wierzchołków grafu

10. Kolorowanie wierzchołków grafu p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3 Indukowane Reguły Decyzyjne I Wykład 3 IRD Wykład 3 Plan Powtórka Grafy Drzewa klasyfikacyjne Testy wstęp Klasyfikacja obiektów z wykorzystaniem drzewa Reguły decyzyjne generowane przez drzewo 2 Powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe. dr inż. Artur Cichowski

Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe. dr inż. Artur Cichowski Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe dr inż. Artur Cichowski ix jy i j {0,1} {0,1} Dla układów kombinacyjnych stan dowolnego wyjścia y i w danej chwili czasu zależy wyłącznie od aktualnej kombinacji stanów

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo