Politechnika Waszawska Wydział Fizyki Laboatoium Fizyki I Płd. Maek Kowalski ELEKTROMAGNETYZNE RGANIA WYMUSZONE W OBWOZIE RL. Podstawy fizyczne gania są zjawiskiem powszechnie występującym w pzyodzie i w technice. W zjawisku tym stan fizyczny układu dgającego opisywany jest pzez wielkości fizyczne zależne okesowo od czasu. Najważniejszym, a także najpostszym odzajem dgań są tzw. dgania hamoniczne, w któych zależność od czasu można opisać funkcjami sinus lub/i cosinus. uże znaczenie tego odzaju dgań polega na tym, że dowolne dganie można pzedstawić w postaci kombinacji liniowej óżnych dgań hamonicznych (tzw. analiza Fouiea). Swobodne dgania hamoniczne wykonuje układ fizyczny, do któego została jednoazowo dostaczona pewna pocja enegii i nie ma dalszego wpływu otoczenia na układ. Jeśli występuje niewielkie tłumienie liniowe (popocjonalne do pochodnej po czasie podstawowego paametu opisującego stan układu, np. wychylenia z położenia ównowagi w dganiach mechanicznych, lub ładunku na kondensatoze w dganiach elektomagnetycznych), to zachodzą pawie okesowe dgania zanikające. gania hamoniczne opisywane są za pomocą liniowych ównań óżniczkowych, czyli takich, w któych występuje kombinacja liniowa (suma ze stałymi współczynnikami) funkcji i jej pochodnych po czasie. Jeśli na układ dgający działa hamoniczne (sinusoidalne) wymuszenie, dostaczające okesowo enegię, to mimo występowania tłumienia liniowego zachodzą ustalone dgania wymuszone. Takie oddziaływanie zewnętzne nie powinno zmieniać własności układu dgającego, a także amplituda, częstość i faza tego oddziaływania nie powinny zależeć od stanu układu dgającego. Założenia te mają oczywiście chaakte modelowy, gdyż w układach zeczywistych występują pewne spzężenia między układem pobudzanym do dgań i źódłem wymuszania. Aby pzewidywania modelu teoetycznego zgadzały się z doświadczeniem ważne jest aby te odstępstwa były niewielkie, a więc do pominięcia... Elektomagnetyczne dgania hamoniczne swobodne. Modelowym układem fizycznym, w któym zachodzić mogą elektomagnetyczne dgania hamoniczne swobodne jest zamknięty obwód elektyczny o oponości ównej zeu, zawieający cewkę o indukcyjności L i kondensato o pojemności. L -q +q Rys.. Obwód L - elektomagnetyczny oscylato hamoniczny swobodny. W obwodzie pzedstawionym na ys. kondensato został naładowany ładunkiem q. Gdy w chwili t = zamkniemy obwód, to kondensato zacznie się ozładowywać i zmieniający się pąd ozładowania spowoduje powstanie w cewce siły elektomotoycznej samoindukcji. Stan fizyczny obwodu można opisać za pomocą II pawa Kichhoffa:
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL U L + U =, gdzie: di U L = L, q U =, dq i =. () Po podstawieniach i pzekształceniach otzymujemy ównanie elektomagnetycznego oscylatoa hamonicznego swobodnego: d q = q. () L Rozwiązaniem tego ównania, spełniającym waunki początkowe: q() = q, i() = jest funkcja: q ( t ) = q cos t, (3) gdzie: = - częstość dgań własnych obwodu L, (4) L t - faza dgań, q - amplituda dgań. Mając funkcję q(t) można obliczyć napięcie na kondensatoze U (t), natężenie pądu i(t) oaz napięcie na cewce U L (t): q( t) q q U ( t) = = cos t = U cost, U = ; (5) dq i ( t) = = q sint = i cos( t + π / ), i = q; (6) di U L ( t) = L = Lq cost = U L cos( t + π ), q U Lq L = = (7) Wato zauważyć, że napięcia na kondensatoze i cewce mają ówne amplitudy i pzeciwne fazy (pzesunięcie fazowe wynosi -π), zaś natężenie pądu jest pzesunięte w fazie o -π/. Z powyższej analizy wynika, że po dostaczeniu do obwodu L pocji enegii (naładowanie kondensatoa) i baku dalszej ingeencji zewnętznej, zachodzą w nim dgania hamoniczne swobodne - wielkości opisujące stan układu są funkcjami hamonicznymi. Poównanie z mechanicznym oscylatoem hamonicznym swobodnym (np. klocek o masie m zaczepiony do spężyny o współczynniku spężystości k) pokazuje, że ładunek na kondensatoze jest wielkością analogiczną do wychylenia z położenia ównowagi a natężenie pądu do pędkości. Pełne zestawienie analogii między dganiami elektomagnetycznymi i dganiami mechanicznymi pzedstawiono w tabeli n. Okes i częstotliwość dgań swobodnych (inaczej dgań własnych) obwodu L są ówne: T π = π L. = υ = = =. (8) T π π L Pzejdźmy teaz do ozważań enegetycznych. Iloczyn napięcia i natężenia pądu jest ówny mocy, a zatem możemy obliczyć moc P E i enegię W E pola elektycznego w kondensatoze: dw dq q P E E = = U i = WE = dq = q = q cos t (9) oaz moc P B i enegię W B pola magnetycznego w cewce:
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 3 dw di P B B = = U L i = L i WB = Lidi = Li = q sin t. () Jak widać, enegie pól w kondensatoze i w cewce mają takie same amplitudy, ale są pzesunięte w fazie o π/. ałkowita enegia układu dgającego będąca sumą enegii pola elektycznego w kondensatoze i pola magnetycznego w cewce W = WE + WB = q = const () jest stała i ówna enegii dostaczonej do obwodu. Z powyższych ozważań wynika, że elektomagnetyczne dgania swobodne w obwodzie L można taktować jak okesowe pzemiany enegii pola elektycznego w kondensatoze w enegię pola magnetycznego w cewce i na odwót. Okes tych pzemian jest ówny połowie okesu dgań własnych, czyli okesu zmienności napięć na kondensatoze i cewce oaz natężenia pądu. W zeczywistych obwodach elektycznych występuje zawsze niezeowy opó elektyczny, a więc wydziela się enegia cieplna. W takim pzypadku enegia układu dgającego maleje i po pewnym czasie dgania zanikają. Tabela. Swobodne dgania hamoniczne RGANIA MEHANIZNE RGANIA ELEKTROMAGNETYZNE siła hamoniczna napięcie na kondensatoze F h = kx U = q d x k d q = x = q m L x ( t) = x cos( t φ) q ( t) = q cos( t φ) k = m masa ciała m = L indukcyjność cewki L współczynnik spężystości spężyny k odwotność pojemności kondensatoa / położenie względem stanu ównowagi x ładunek zgomadzony w kondensatoze q pędkość liniowa natężenie pądu dx dq v = i = pzyspieszenie liniowe d x d q a = enegia potencjalna enegia pola elektycznego w kondensatoze WP = kx Q W E = enegia kinetyczna enegia pola magnetycznego w cewce m WK = v WB = Li
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 4.. Elektomagnetyczne dgania wymuszone Elektomagnetyczne dgania wymuszone można zaobsewować w obwodzie RL (zawieającym cewkę o indukcyjności L, kondensato o pojemności oaz ezysto o ezystancji R), do któego dołączone zostało źódło napięcia sinusoidalnego (ys. ). R L U(t) U ( t) = U sint Rys.. Obwód RL ze źódłem napięcia wymuszającym dgania. Stan fizyczny tego układu opisuje w dowolnej chwili II pawo Kichhoffa: U L + U + U = U sin t, czyli : () R di q L + Ri + = U sin t. (3) Po podzieleniu ównania (3) pzez L i podstawieniu dq R = i = β = (4) L L gdzie: β - współczynnik tłumienia, - częstość dgań swobodnych, otzymujemy ównanie elektomagnetycznych dgań wymuszonych: d q dq U + β + q = sin t. (5) L W ównaniu tym bezpośednie paamety układu fizycznego, jakimi są w pzypadku obwodu RL: indukcyjność L, pojemność i ezystancja R zostały zastąpione pzez uniwesalne paamety występujące w opisie dgań hamonicznych dowolnego układu fizycznego (np. oscylato hamoniczny mechaniczny), a mianowicie pzez częstość dgań własnych i współczynnik tłumienia β. Ponieważ napięcie wymuszające jest sinusoidalną funkcją czasu, to ozwiązania tego ównania poszukujemy w postaci funkcji: q ( t) = q sin( t φ) (6) a zatem pzewidujemy, że ładunek na kondensatoze będzie się zmieniać sinusoidalnie z częstością taką jak częstość napięcia wymuszającego oaz, że będzie pzesunięty w fazie o φ względem tego napięcia. Po podstawieniu pzewidywanej funkcji q(t) do ównania (5) i zażądaniu, aby ównanie to stało się tożsamością (funkcja q(t) musi spełniać to ównanie w każdej chwili czasu) otzymamy wzoy okeślające amplitudę ładunku q i pzesunięcie fazowe φ: U q = L, ( ) + 4β β φ = a ctg (7)
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 5 Pzy ustalonych paametach układu R, L,, a więc ównież i β amplituda ładunku oaz pzesunięcie fazowe są funkcjami częstości napięcia wymuszającego. Po pzepowadzeniu badania funkcji q () można stwiedzić, że amplituda ładunku na kondensatoze osiąga watość maksymalną dla częstości wymuszania okeślonej wzoem : = β, gdzie β β g =. (8) Zjawisko wymuszania dgań z taką częstością pzy któej amplituda dgań osiąga watość maksymalną nazywamy ezonansem. Rezonans w obwodzie RL zachodzi pzy częstości wymuszania, zwanej częstością ezonansową, gdy współczynnik tłumienia β jest mniejszy od watości ganicznej β g. Gdy tłumienie jest większe ( β ), układu RL nie udaje się wpowadzić w stan ezonansu. Amplitudę dgań i pzesunięcie fazowe w stanie ezonansu można wyazić wzoami: U ( q ) max = L, β β β φ = a ctg. (9) β Szczególny pzypadek ezonansu występuje w pzypadku gdy współczynnik tłumienia β=. la takiego układu ezonans zachodzi pzy częstości wymuszania ównej częstości dgań własnych = i objawia się wzostem amplitudy do nieskończoności oaz pzesunięciem fazowym φ =π/. W takiej sytuacji dochodzi pzeważnie do zniszczenia układu dgającego zanim amplituda dgań osiągnie watość nieskończoną. Ganiczne watości amplitudy dgań q i pzesunięcia fazowego φ dla częstości wymuszania dążącej do zea wynoszą: lim q = U, lim φ =. () la częstości znacznie pzekaczających częstość własną, watości ganiczne amplitudy dgań i pzesunięcia fazowego wynoszą: lim q =, lim tgφ =, a więc lim φ = π. () Wato zaznaczyć, że niezależnie od watości współczynnika tłumienia, pzesunięcie fazowe φ osiąga watość π/ pzy częstości wymuszania ównej częstości dgań własnych układu. Wzoy opisujące dgania wymuszone i ezonans można zapisać w uniwesalnej postaci bezwymiaowej, słusznej zaówno dla dgań elektomagnetycznych, jak i dla dgań mechanicznych. W tym celu wpowadza się tzw. paamety zedukowane: zedukowany współczynnik tłumienia: zedukowana częstość dgań: β u =, () w =, (3)
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 6 zedukowana amplituda dgań X 5 4 3 u g =,77 u =, u =,,3,4,5,6,,..5..5..5 3. zedukowana częstość dgań w 3.4 π pzesunięcie fazowe φ.355.57 u =,,,3,4,5,6 u g =,77,, 3π/4 π/.785 π/4...5..5..5 3. zedukowana częstość dgań w Rys. 3. Zależność zedukowanej amplitudy dgań X oaz pzesunięcia fazowego φ od zedukowanej częstości dgań w dla kilku watości zedukowanego współczynnika tłumienia u.
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 7 8 6 pzesunięcie fazowe φ π/ π/4....3.4.5.6.7 zedukowany współczynnik tłumienia u 4 - w (u) - X (u) 3 - X(u) w= 3....3.4.5.6.7 zedukowany współczynnik tłumienia u Rys. 4. Wpływ zedukowanego współczynnika tłumienia u na: zedukowaną częstość ezonansową w, amplitudę dgań X w stanie ezonansu, amplitudę X pzy częstości zedukowanej w = oaz pzesunięcie fazowe φ w stanie ezonansu. zedukowana amplituda dgań wymuszonych X q q ( ) ( ) = =. (4) q ( ) U Po zastosowaniu powyższych podstawień wzoy okeślające: amplitudę dgań i pzesunięcie fazowe dla dowolnej częstości wymuszania (wzó 7), częstość ezonansową (wzó 8) oaz amplitudę dgań i pzesunięcie fazowe w stanie ezonansu (wzó 9) pzyjmą postać: X =, ( w ) + 4u w uw φ = a ctg, (5) w w u =, (6) X = X ( ) =, u u u φ = φ( ) = a ctg. (7) u
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 8 Na ys.3 pzedstawiono wykesy zależności zedukowanej amplitudy dgań X i pzesunięcia fazowego φ od zedukowanej częstości dgań w dla kilku watości zedukowanego współczynnika tłumienia u. W miaę wzostu współczynnika tłumienia ezonans pojawia się dla częstości coaz mniejszych i watość amplitudy dgań w stanie ezonansu jest coaz mniejsza. Po pzekoczeniu ganicznej watości współczynnika tłumienia ezonans nie pojawia się (kzywa X(w) nie posiada maksimum). Wykesy pzedstawione na ys.4 pokazują wpływ zedukowanego współczynnika tłumienia u na zedukowaną częstość ezonansową w, zedukowaną amplitudę dgań X i pzesunięcie fazowe φ w stanie ezonansu oaz na zedukowaną amplitudę X dla w=. Wato zauważyć, że dla małych watości współczynnika tłumienia amplituda dgań wymuszonych (amplituda ładunku) w stanie ezonansu X jest funkcją szybkozmienną, zaś częstość ezonansowa funkcją wolnozmienną (jej watość jest bliska częstości własnej układu). Gdy współczynnik tłumienia zbliża się do watości ganicznej, to - odwotnie - amplituda dgań jest niemal stała (bliska watości ganicznej dla częstości wymuszania bliskiej zeo, zaś częstość ezonansowa w jest funkcją szybkozmienną. Watość zedukowanej amplitudy X dla w = jest mniejsza od X. Znając funkcję q(t) można wyznaczyć pozostałe funkcje opisujące stan fizyczny układu dgającego: napięcie na kondensatoze, natężenie pądu, napięcie na oponiku oaz napięcie na cewce..3. Napięcie na kondensatoze U U q( t) t) = = L sin( t φ) = U sin( t φ), (8) ( ) + 4β ( U = U, ( ) + 4β β φ = a ctg. (9) Zależność amplitudy napięcia na kondensatoze od częstości wymuszania jest oczywiście taka sama jak amplitudy ładunku. Napięcie na kondensatoze jest zgodne w fazie z ładunkiem, a więc φ okeśla ównież jego pzesunięcie fazowe względem napięcia wymuszającego. W stanie ezonansu, czyli dla częstości wymuszania ównej, amplituda napięcia na kondensatoze osiąga watość maksymalną: ( q ) max ( U ) max = = U dla β β a pzesunięcie fazowe względem napięcia wymuszającego wynosi: = β, (3) φ β = a ctg = a ctg. (3) β β Watości ganiczne: gdy częstość wymuszania dąży do zea, to amplituda napięcia na kondensatoze dąży do watości U, zaś dla częstości znacznie większych od częstości własnej dąży do zea. Pzesunięcie fazowe zmienia się od zea dla badzo małej częstości wymuszania do π dla częstości badzo dużej. Pozostałe funkcje opisujące stan fizyczny układu dgającego: natężenie pądu, napięcie na ezystoze oaz napięcie na cewce zostały pzedstawione w odatku n.
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 9.3. Współczynnik doboci W celu ilościowego wyażenia ezonansowych własności układu dgającego wpowadzono współczynnik Q zwany dobocią. oboć układu dgającego okeśla ile azy amplituda q ustalonych dgań wymuszonych w stanie ezonansu jest większa od amplitudy z dala od ezonansu, czyli w obszaze częstości tak małych, że amplitudę dgań wymuszonych można taktować jako niezależną od częstości. Q = q ( ). (3) q ( ) Podstawiając do tego wzou odpowiednie watości amplitudy ładunku (wzoy (9), ()) i pamiętając, że = otzymujemy: L Q =. (33) β β W pzypadku dużego tłumienia, tzn. gdy współczynnik tłumienia zbliża się do watości ganicznej β g = doboć maleje do jedności. la współczynników tłumienia znacznie mniejszych od watości ganicznej otzymujemy wzó pzybliżony: Q. (34) β Według innej, często stosowanej definicji doboć układu dgającego jest popocjonalna do stosunku śedniej enegii zgomadzonej w stanie ezonansu W do enegii staconej w czasie jednego okesu dgań W : s Wz Q = π. (35) ( Ws ) Po obliczeniu enegii W z i W i podstawieniu do wzou (35) otzymamy wzó (33). s Z ozważań enegetycznych wynika jeszcze jeden sposób okeślania doboci układu dgającego. W pzypadku małego tłumienia doboć układu dgającego jest ówna odwotności względnej szeokości Δ ν ezonansu : ν Q =. (36) Δν ν Szeokość ezonansu Δ ν okeślamy na podstawie kzywej zależności amplitudy dgań od częstotliwości (óżnica częstotliwości dla któych amplituda jest ówna z amplitudy w stanie
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL ezonansu) lub na podstawie kzywej zależności pzesunięcia fazowego od częstotliwości (óżnica π 3π częstotliwości dla któych φ = i φ = ). 4 4. Metoda pomiaowa i układ pomiaowy elem ćwiczenia jest badanie dgań elektomagnetycznych w obwodzie RL wymuszonych pzez sinusoidalne zmienne napięcie geneatoa. Wygodną wielkością opisującą to zjawisko, zaówno ze względów pomiaowych jak też ze względu na opis teoetyczny, jest napięcie na kondensatoze. Wykonywane pomiay powinny powadzić do znalezienia zależności amplitudy oaz pzesunięcia fazowego napięcia na kondensatoze od częstotliwości napięcia wymuszającego. W układzie pomiaowym pzedstawionym na ys.5 znajduje się geneato, mienik częstotliwości, oscyloskop i płytka pomiaowa umożliwiająca połączenie elementów R,L,i obwodu oaz dołączenie geneatoa i oscyloskopu. Rezystoy, cewki i kondensatoy są zamknięte w pzezoczystych klockach, któe można wkładać w gniazdka płytki pomiaowej. Y X X y B A R Y L x GENERATOR MIERNIK ZĘSTOTLIWOŚI Rys.5. Schemat układu pomiaowego oaz obaz na ekanie oscyloskopu. Metoda pomiaowa polega na wykozystaniu oscyloskopu i mienika częstotliwości. Geneato dostacza do obwodu RL napięcie sinusoidalne o ustalonej częstotliwości. okładny odczyt częstotliwości umożliwia mienik częstotliwości podłączony ównolegle do wyjścia z geneatoa. Napięcie z geneatoa jest podawane na płytki odchylania poziomego (wejście X) a napięcie z kondensatoa na płytki odchylania pionowego (wejście Y). U X = U t) = U sin t (37) G ( G UY = U ( t) = U sin( t φ) (38) W wyniku składania dwóch dgań hamonicznych o jednakowych częstotliwościach (pzykładane napięcia są sinusoidalnymi funkcjami czasu) na ekanie oscyloskopu powstaje elipsa (patz odatek ), któej kształt zależy od amplitud oaz od pzesunięcia fazowego (ys.5). W punktach, w któych elipsa pzecina oś OY chwilowa watość napięcia z geneatoa jest ówna zeo: UG ( t) = UG sin t =, zatem sin t = i cos t = ±. (39) Stąd wynikają chwilowe watości napięcia na kondensatoze: U ( t) = U sin( t φ) = U (sin t cosφ cos t sinφ) = ± U sinφ. (4)
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL A zatem: gdzie K x = U G, AK y = U, BK y = U sinφ, (4) K x i K y - czułości wejścia X i wejścia Y oscyloskopu ([K] = V/cm). Mieząc na ekanie oscyloskopu odcinki, A i B możemy wyznaczyć odpowiednio amplitudę napięcia z geneatoa, amplitudę napięcia na kondensatoze i pzesunięcie fazowe między tymi napięciami: B UG = K x, U = AK y, sinφ =, (4) A dla danej watości częstotliwości wymuszania dgań. 3. Wykonanie ćwiczenia 3.. Wybó paametów piewszej seii pomiaowej Wybieamy cewkę o indukcyjności L, kondensato o pojemności i obliczamy teoetyczne watości częstości własnej ( ) i częstotliwości własnej ν ) : t ( ) ( ), ( ν ) t = t = (43) L π Ustalamy taką oponość obwodu R (suma ezystancji ezystoa i ezystancja omowa cewki), aby uzyskać dość silne tłumienie dgań, tzn. aby obliczona watość teoetyczna współczynnika tłumienia była nieco mniejsza od watości ganicznej: R β t = < β g =. (44) L Obliczamy też teoetyczne watości częstości ezonansowej i częstotliwości ezonansowej: ( ) ( ) ( ) β, ( ν ) t t = t t t =. (45) π 3.. Zestawienie układu pomiaowego Wkładamy do płytki pomiaowej klocki zawieające elementy obwodu o wybanych watościach ezystancji, indukcyjności i pojemności. Podłączamy geneato i wejścia oscyloskopu do odpowiednich gniazdek w płytce pomiaowej za pomocą kabli koncentycznych w ten sposób, aby napięcie z geneatoa było podłączone do wejścia X oscyloskopu a napięcie z kondensatoa do wejścia Y (patz schemat układu pomiaowego ys.5). o wyjścia z geneatoa podłączamy ównolegle mienik częstotliwości. Pzy ealizowaniu połączeń należy zwócić uwagę na takie połączenie kabli, aby końcówki tzw. masy geneatoa i oscyloskopu były ze sobą połączone. Ustawiamy taką watość amplitudy sinusoidalnego napięcia wyjściowego geneatoa, aby pzy danej czułości wejścia X oscyloskopu napięcie to mieściło się na ekanie. Ustalonej watości amplitudy nie należy zmieniać podczas pomiaów. 3.3. Pzepowadzanie pomiaów. Po ustaleniu częstotliwości napięcia z geneatoa (zbliżonej do obliczonej watości częstotliwości ezonansowej danego układu) i dobaniu odpowiednich czułości K i wejść oscyloskopu na ekanie oscyloskopu otzymujemy pochyloną elipsę. Zmieniając częstotliwość napięcia z geneatoa zmieniamy kształt tej elipsy. Uwaga: niektóe typy oscyloskopów nie mają cechowanej egulacji czułości wejścia X. W takim pzypadku watość K x można wyznaczyć w następujący sposób. Ustalamy amplitudę napięcia z geneatoa, napięcie to podłączamy do wejścia Y oscyloskopu pzy wyłączonym geneatoze podstawy ( t x K y
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL czasu. Miezymy długość l K = y y U G l y pionowej keski któa pojawiła się na ekanie i kozystając z elacji możemy watość podwojonej amplitudy napięcia z geneatoa wyazić w woltach. Następnie podłączamy napięcie z geneatoa do wejścia X i pzy ustalonej, nieznanej watości czułości K x miezymy długość lx poziomej keski, któa pojawiła się na ekanie. zułość K x obliczamy ze wzou: l xk x = UG = l y K y l y K x = K y l (46) x Należy ównież obliczyć błąd ΔK x.. Wyznaczenie częstotliwości własnej układu ν. Ze wzou na pzesunięcie fazowe między napięciem na kondensatoze a napięciem z geneatoa β βν φ = a ctg = a ctg (47) π ( ν ) ν wynika, że dla ν = ν pzesunięcie fazowe wynosi π /. A zatem częstotliwość, pzy któej osiami symetii elipsy będą osie OX i OY na ekanie oscyloskopu jest częstotliwością własną badanego układu dgającego. Należy wyznaczyć ją jak najdokładniej oaz oszacować jej błąd, gdyż watość ta będzie badzo potzebna pzy opacowaniu wyników dalszych pomiaów. 3. Oszacowanie watości częstotliwości ezonansowej ν, tzn. takiej częstotliwości wymuszania, pzy któej długość odcinka A (ys.5), czyli podwojona amplituda napięcia na kondensatoze jest największa. 4. Wyznaczanie zależności amplitudy i pzesunięcia fazowego napięcia na kondensatoze od częstotliwości napięcia wymuszającego z geneatoa (piewsza seia pomiaowa). W tym celu należy wykonać pomiay odcinków A, B i na ekanie oscyloskopu (ys.5) dla kilkunastu częstotliwości z zakesu (.ν ν ), zagęszczając punkty pomiaowe w okolicach częstotliwości ezonansowej. Wato zauważyć, że w okolicy ezonansu amplituda napięcia z geneatoa zaczyna się zmieniać (maleje). Efekt ten wynika ze zwiększonego pobou mocy z geneatoa pzez układ dgający. Należy oczywiście oszacować dokładności pomiaów: ΔA, ΔB, Δ, oaz Δν. Wyniki pomiaów należy zanotować w tabeli, któa dla danej seii pomiaowej powinna zawieać: a) bezpośednie paamety układu dgającego, czyli indukcyjność L, pojemność oaz ezystancję całkowitą R, b) obliczone watości teoetyczne: częstości i częstotliwości własnej układu, współczynnika tłumienia, częstości i częstotliwości ezonansowej, c) wyznaczone doświadczalnie watości częstotliwości własnej i ezonansowej, d) wyniki pomiaów odcinków A, B i dla óżnych częstotliwości, Popozycja wzou tabeli z wynikami obliczeń i pomiaów została pzedstawiona na końcu niniejszej instukcji. 3.4. Wybó paametów następnych seii pomiaowych W dugiej seii pomiaowej zachowujemy watość indukcyjności L i pojemności, a zatem częstotliwość własna układu nie zmienia się. Zmieniamy natomiast ezysto, wybieając najmniejszą watość ezystancji, a więc najmniejszą watość współczynnika tłumienia β. Poównanie wyników pomiaów seii piewszej i dugiej pokaże, jaki jest wpływ watości ezystancji, a więc i współczynnika tłumienia na zjawisko dgań wymuszonych w obwodzie RL. Wybieając oponość tak dużą (pzy nie zmienionych watościach L i ), aby współczynnik tłumienia był większy od watości ganicznej można zaobsewować, że amplituda dgań jest malejącą funkcją częstotliwości. W takim pzypadku nie występuje zjawisko ezonansu. W tzeciej seii pomiaowej zachowujemy watość indukcyjności L a zmieniamy watość pojemności na mniejszą, co powoduje zmianę częstotliwości dgań własnych układu. Ustalenie oponości układu takiej jak w seii piewszej powadzi do takiej samej watości współczynnika tłumienia.
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 3 Zmienia się natomiast elacja między częstością dgań własnych a współczynnikiem tłumienia. Poównanie seii piewszej i tzeciej pokaże jaki jest wpływ tej elacji na zjawisko dgań wymuszonych w obwodzie RL. 4. Opacowanie wyników pomiaów Uzupełnić tzecią część tabeli wyników (st.4) obliczając dla każdej częstotliwości: amplitudę napięcia na kondensatoze U, amplitudę napięcia z geneatoa U G, amplitudę zedukowaną X, pzesunięcie fazowe φ oaz częstotliwość zedukowaną w. Pzedstawić na wykesach pzetwozone wyniki pomiaów, tzn. obliczone watości zedukowanej amplitudy X i pzesunięcia fazowego φ w funkcji zedukowanej częstotliwości w. Wyznaczyć szeokość ezonansu Δ ν z wykesu amplitudy (óżnica częstotliwości dla któych amplituda jest ówna / amplitudy w ezonansie) i z wykesu pzesunięcia fazowego (óżnica częstotliwości dla któych φ = π / 4 i φ = 3π / 4 ). Obliczyć względną szeokość ezonansu Δ ν /ν. Spoządzić zestawienie wyznaczonych dla óżnych seii pomiaowych (identyfikowanych pzez watości R,L i ) watości teoetycznych i doświadczalnych: częstości i częstotliwości własnej, współczynnika tłumienia, częstości i częstotliwości ezonansowej, doboci i względnej szeokości ezonansu. Poównać watość doboci układu i odwotności względnej szeokości ezonansu. Sfomułować wnioski dotyczące wpływu bezpośednich paametów układu dgającego na pzebieg zjawiska dgań wymuszonych i zjawiska ezonansu oaz na wyznaczone paamety dgań. Ocenić zgodność pzewidywań teoetycznych z wynikami doświadczalnymi i zastanowić się nad pzyczynami ewentualnych ozbieżności. 5. Pytania kontolne. o to są dgania hamoniczne swobodne? Podać i omówić ównania opisujące to zjawisko w obwodzie RL oaz jego ozwiązanie.. o to są dgania wymuszone? Podać i omówić ównanie opisujące to zjawisko w obwodzie RL. 3. Podać i omówić funkcję opisującą dgania wymuszone. 4. Na czym polega zjawisko ezonansu? zy każdy układ dgający można dopowadzić do stanu ezonansu? 5. Od jakich paametów zależy częstość ezonansowa? 6. Od jakich paametów zależy amplituda dgań w stanie ezonansu? 7. Jaką olę odgywa tłumienie w zjawisku dgań wymuszonych? 8. Podać i omówić analogie między dganiami elektomagnetycznymi i dganiami mechanicznymi. 9. Poównać zależność od częstości wymuszania amplitud napięcia na kondensatoze, na oponiku i na cewce. zy amplitudy tych napięć osiągają watość maksymalną dla takiej samej częstości? 6. Liteatua A. Januszajtis, Fizyka dla Politechnik, tom III Fale, Waszawa 99, ozdz. I, st.7 8, 86 89
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 4 Tabela. Wyniki pomiaów. SERIA POMIAROWA NR... Bezpośednie paamety układu: L =... =... R =... WARTOŚI Δ teoetyczne doświadczalne ± ν Δν ± β Δβ ± ± Δ ν Δν ± Q ± ΔQ nume pomiau 3............ ν ± Δν [ khz] [ V cm] K y ± ΔK y / Α ± ΔΑ[ cm] Β ± ΔΒ[ cm] ± Δ[ cm] K x =... ±... U = O. 5AK Δ V U G ΔU X ΔX U [ V ] [ ] y [ V ] =.5K [ V ] G = U / U G sin φ = w φ ± Δφ Δw B / A = ν /ν Watości teoetyczne: = = R L L β R = β = L L π = ν R = = ν = π L π π L L Q = β β = R L R 4L
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 5 Watości doświadczalne: Ze wzou (8) β = π ν ν Ze wzoów (8,33) Q = ν ν 4 ν 4 Uwaga: do wzoów tych należy podstawić watości ν i ν wyznaczone doświadczalnie. OATEK Znając funkcję q(t) (patz wzoy (6) i (7)) można wyznaczyć pozostałe funkcje opisujące stan fizyczny układu dgającego: natężenie pądu, napięcie na oponiku oaz napięcie na cewce. Natężenie pądu dq i( t) = = i sin( t φr ), (48) U i =, L ( ) + 4β φr = a ctg. (49) β Pzedstawione wzoy pokazują, że faza natężenia pądu óżni się od fazy ładunku i napięcia na kondensatoze, a amplituda natężenia pądu jest inną funkcją częstości wymuszania. Badając funkcję i () możemy stwiedzić, że osiąga ona watość maksymalną dla częstości wymuszania ównej częstości własnej układu, niezależnie od watości współczynnika tłumienia: U U ( i ) max = = L β R i φ R = dla =. (5) Napięcie na ezystoze U R ( R R t) = R i( t) = U sin( t φ ), (5) β U R = R i = U, ( ) + 4β φr = a ctg. (5) β Zależność amplitudy napięcia na ezystoze od częstości napięcia wymuszającego jest oczywiście taka sama jak dla amplitudy natężenia pądu. Amplituda napięcia na oponiku osiąga największą watość ( U R ) max = U dla =, (53) a napięcie na ezystoze jest wtedy zgodne w fazie z napięciem wymuszającym, tzn. φ R =.
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 6 Napięcie na cewce U L ( L L t) = U sin( t φ ), (54) β U L = U, φ L = a ctg π. (55) ( ) + 4β Badanie zależności amplitudy napięcia na cewce od częstości napięcia wymuszającego powadzi do ustalenia, że osiąga ona watość maksymalną: ( U L ) max = U dla β β =, (56) β a pzesunięcie fazowe względem napięcia wymuszającego wynosi wtedy: φ L = actg β β π = actg π. (57) β Napięcie na cewce ma fazę pzeciwną względem napięcia na kondensatoze, zaś amplituda osiąga watość największą dla częstości większej od częstości ezonansowej, a nawet większej od częstości własnej. Gdy współczynnik tłumienia zmienia się od zea do watości ganicznej to częstość ta ośnie od watości do nieskończoności. OATEK Składanie postopadłych dgań hamonicznych o jednakowych częstościach Pzyjmijmy, że punkt mateialny znajdujący się w śodku układu współzędnych XOY wykonuje wzdłuż osi układu dgania hamoniczne o jednakowych częstościach, óżnych amplitudach, pzesunięte w fazie o φ. gania te są opisane ównaniami: x( t) = sin t (58) y ( t) = Asin( t φ). (59) Aby znaleźć ogólne ównanie tou punktu mateialnego należy z powyższych ównań wyeliminować czas. Na podstawie piewszego ównania obliczamy x sin t = i x cos t = sin t =, (6) a dugie ównanie pzekształcamy do postaci y = A(sin t cosφ cos t sinφ). (6) Po podstawieniu (6) do (6) otzymamy ównanie:
Elektomagnetyczne dgania wymuszone w obwodzie RL 7 y A x x = cosφ sinφ. (6) Po podniesieniu stonami do kwadatu i edukcji otzymamy ównanie : x xy cos A φ y + = sin A φ, (63) któego wykesem jest elipsa wpisana w postokąt o bokach i A ównoległych do osi układu. Kształt elipsy zależy od watości pzesunięcia fazowego φ. Rozważmy kilka pzypadków dla chaakteystycznych watości φ. - la φ = (fazy zgodne) otzymujemy: x xy + A y A = x y czyli =, (64) A skąd wynika, że punkt pousza się po odcinku postej A y = x. - la φ = π/ otzymujemy: x y + =, (65) A a więc toem punktu jest elipsa, któej osiami są osie układu współzędnych. - la φ = π (fazy pzeciwne) otzymujemy: x xy + + A y A = x y czyli + = A, (66) skąd wynika, że punkt pousza się po odcinku postej Zestawienie tych pzypadków pzedstawia ys.6. A y = x. φ = < φ < π/ φ = π/ π/ < φ < π φ = π Rys. 6. Składanie postopadłych dgań hamonicznych.