CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy ogródek Pierwszego dia przekopał 7 m Aby przyspieszyć prace, postaowił każdego astępego dia przekopywać o m więcej iż poprzediego W ciągu ilu di zakończy pracę, jeśli powierzchia ogródka wyosi 7, 8 a? Zadaie (6 pkt) Rozwiążemy rówaie: + 8 + + + = 80 Możemy to robić w astępujący sposób Zauważmy ajpierw, że lewa stroa jest sumą pewej liczby wyrazów ciągu arytmetyczego Ozaczmy: t =, liczba składików sumy po lewej stroie rówaia Wówczas, korzystając ze wzorów dla ciągu arytmetyczego, mamy: t = + ( ), + t 80 = t = + ( ) Rozwiązując układ rówań: + t = 80 = 6 lub = - 6 otrzymujemy: t = 6 Zatem = 6, skąd = 6 Wykorzystując powyższe rozumowaie, rozwiąż rówaie: 86 + 8 + 78 + 7 + + ( + ) = 968 Zadaie ( pkt) Dae są liczby: a =, b= ( ), c= ( ) Czy liczby a, b, c mogą być trzema pierwszymi wyrazami ciągu geometryczego? Zadaie ( pkt) Marek wpłacił do baku 000 zł a lokatę termiową Rocza stopa procetowa w tym baku wyosi, 6%, a bak kapitalizuje odsetki co kwartał Czy po latach od mometu wpłaceia suma, jaką wypłaci bak Markowi będzie większa od wpłacoej o, %? Odpowiedź uzasadij Nie uwzględiaj podatku od odsetek bakowych Zadaie 6 (6 pkt) Wyzaczymy te wyrazy ciągu o wyrazie ogólym całkowitymi a = + 0, które są wyrazami
Możemy to zrobić w astępujący sposób + 0 + Zauważmy ajpierw, że = = + Aby ostatie wyrażeie było liczbą całkowitą, miaowik ułamka musi być rówy jedej z liczb:, -,, - Mamy zatem = lub = - lub = lub = - Oczywiście iteresują as tylko te rozwiązaia tych rówań, które ależą do zbioru liczb aturalych Są imi: = oraz = Tak więc tylko wyrazy a i a są liczbami całkowitymi Wykorzystując powyższe rozumowaie, wyzacz te wyrazy ciągu o wyrazie ogólym a =, które są liczbami całkowitymi Zadaie 7 ( pkt) W pewym ciągu arytmetyczym (a ) mamy: a + a = 6 oraz a + a 9 = 6 Czy liczba a + a+ a+ + a jest podziela przez? Zadaie 8 ( pkt) Day jest ciąg a = 7 a) Zajdź sety wyraz tego ciągu b) Którym wyrazem tego ciągu jest? c) Ile wyrazów dodatich ma te ciąg? Zadaie 9 ( pkt) a określoy wzorem = + Day jest ciąg ( ) a) Zbadaj mootoiczość tego ciągu b) Między którymi kolejymi wyrazami tego ciągu różica jest rówa 8? a Zadaie 0 ( pkt) Zajdź liczbę, dla której liczby, +, 6 są kolejymi wyrazami ciągu geometryczego Zadaie ( pkt) Liczby + 9, +, są kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego Oblicz Zadaie ( pkt) Dae są dwa ciągi ( a ) i ( b ) Ciąg ( ) atomiast b = Oblicz a b + a określoy jest wzorem ogólym a =, + Zadaie ( pkt) Liczby 0, 0, 08,,, są kolejymi początkowymi wyrazami pewego ciągu a Zapisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu Oblicz sumę szesastu arytmetyczego ( ) początkowych, kolejych wyrazów tego ciągu
Zadaie ( pkt) Wszystkie liczby aturale dwucyfrowe, podziele przez 6 są kolejymi wyrazami pewego ciągu rosącego a) Zapisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu b) Oblicz, ile wyrazów ma te ciąg c) Oblicz sumę piętastu początkowych kolejych wyrazów tego ciągu Zadaie ( pkt) Aby rozwiązać rówaie + + + 8 + 6 + = 0, moża wykorzystać wiadomości dotyczące ciągu geometryczego Zauważmy ajpierw, że lewa stroa rówaia jest sumą sześciu początkowych kolejych wyrazów ciągu geometryczego, w którym a = i q= Stwierdzamy poadto, że liczba ie spełia tego rówaia Stosując wzór a sumę wyrazów ciągu geometryczego 6 ( ) przekształcamy rówaie wyjściowe do postaci = 0, stąd otrzymujemy rówaie ( ) 6 =, którego rozwiązaiami są liczby = oraz = Poieważ wiemy, że liczba ie jest rozwiązaiem daego rówaia, stwierdzamy ostateczie, że rozwiązaiem rówaia wyjściowego jest liczba Stosując aalogiczy sposób rozumowaia, rozwiąż rówaie: 6 + + + + + + + 7 = 0 Zadaie 6 ( pkt) Bak przyzał Mieczysławowi Mieciowi 0000 zł kredytu oprocetowaego a 9% w stosuku roczym Kredyt ma być spłacay przez lata w rówych miesięczych ratach Oblicz wysokość comiesięczej raty Poziom rozszerzoy Zadaie ( pkt) a = 9 Day jest ciąg, określoy astępująco: dla > a = a + 8, Zajdź i udowodij wzór a wyraz ogóly tego ciągu Moża to zrobić astępująco Najpierw wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu: a =, a =, a = 7 Przypuszczamy więc, że dla każdego N+ zachodzi a = ( + ) Udowodimy to metodą idukcji matematyczej Na mocy określeia ciągu a = 9 = ( + ) więc wzór asz jest prawdziwy dla = Wykażemy, że dla dowolego k N i k z faktu, że a k = ( k+ ) wyika, że a k + = ( k+ )
Dowód (idukcyjy): Zauważmy, że LT = ak+ = ak + 8( k+ ) (z określeia ciągu) Dalej, a mocy założeia idukcyjego, mamy więc: L T = ( k+ ) + 8( k+ ) = k + k+ + 8k+ 8= k + k+ 9= (k+ ) = P T Na mocy zasady idukcji matematyczej wioskujemy, że dla dowolego N, zachodzi a = ( + ), co kończy dowód Wykorzystując powyższe rozumowaie zajdź i udowodij wzór a wyraz ogóly ciągu, a = określoego astępująco: dla > a = a + 8+ 8 Zadaie ( pkt) Oblicz graice: a) lim( + + + + ), + + b) lim + + + Zadaie (6 pkt) Wyzacz zbiór rozwiązań ierówości + + + < Zadaie ( pkt) Udowodij, że jeżeli miary trzech kolejych kątów czworokąta wpisaego w okrąg tworzą ciąg arytmetyczy, to co ajmiej dwa kąty tego czworokąta są proste Zadaie (6 pkt) Wyzacz wartości a i b tak, aby ciąg -, a, b, -0 miał te własość, że trzy jego pierwsze wyrazy staowią trzy koleje wyrazy pewego ciągu geometryczego, zaś trzy ostatie trzy koleje wyrazy pewego ciągu arytmetyczego Zadaie 6 (8 pkt) W pewym ciągu geometryczym różica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wyosi, zaś różica kwadratów pierwszego i trzeciego wyrazu Zajdź piąty wyraz tego ciągu Zadaie 7 (7 pkt) Wyzacz wszystkie 0; π, dla których liczby si, si + cos, si + cos są trzema kolejymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetyczego, w którym suma czterech pierwszych wyrazów jest rówa 6 Zadaie 8 (6 pkt) Wyzacz wszystkie wartości, dla których liczby: 9, wyrazami ciągu geometryczego +, 9 9 są trzema kolejymi
Zadaie 9 ( pkt) Wykaż, że jeżeli ( a ) jest ciągiem geometryczym o wyrazach dodatich, to ciąg ( b ) o wyrazie ogólym b log = a jest ciągiem arytmetyczym Zadaie 0 ( pkt) Wyzacz wszystkie wartości, dla których pierwszy, drugi i czwarty wyraz ieskończoego,, są trzema kolejymi wyrazami ciągu arytmetyczego ciągu geometryczego ( ) Zadaie (6 pkt) Udowodij stosując zasadę idukcji matematyczej że, dla każdego całkowitego, dodatiego zachodzi rówość: + + 8+ + ( ) = + Zadaie ( pkt) Suma początkowych, kolejych wyrazów ciągu ( a ) S + + N Wykaż, że ciąg ( ) = ( ) a jest ciągiem arytmetyczym, jest obliczoa według wzoru Zadaie ( pkt) Rozwiąż ierówość + + + 0, ( 9), gdzie lewa stroa tej ierówości jest 8 sumą ieskończoego ciągu geometryczego Zadaie ( pkt) Zbadaj mootoiczość ciągu o wyrazie ogólym: 7+ 0 a = + + +
SCHEMAT PUNKTOWANIA CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Numer zadaia Etapy rozwiązaia zadaia puktów + 0 Ułożeie rówaia = + Rozwiązaie rówaia Wyzaczeie wyrazu a + 6 Wyzaczeie a + a = + 6+ 8 Zamiaa arów a metry Określeie a i r Zapisaie sumy wyrazów ciągu arytmetyczego S = ( + ) Zapisaie ierówości i wyzaczeie jej dziedziy ( + ) 78, N+ Rozwiązaie ierówości Sformułowaie poprawej odpowiedzi: w ciągu di Przyjęcie ozaczeia t = + t = 90 Utworzeie układu rówań 86+ t, gdzie liczba 968= składików po lewej stroie Rozwiązaie układu: t = = Obliczeie Odp = lub = Zapisaie waruku wykorzystującego własość ciągu geometryczego b c Sprawdzeie, że zachodzi rówość: = a b Obliczeie kwartalego oprocetowaia: 0,9% = 0,009 Obliczeie kwoty, jaką wypłaci bak K = 000( + 0,009) 6 08,8 [zł] Obliczeie, % kwoty 000 zł i udzieleie poprawej odpowiedzi (tak) 7 Przekształceie do postaci a = Wskazaie, że w miaowiku ułamka mogą być liczby, -, 7, -7 (dzieliki liczby 7) 6 Utworzeie i rozwiązaie rówań Wyzaczeie szukaych wartości i sformułowaie poprawej odpowiedzi ( a i a )
Numer zadaia 7 Etapy rozwiązaia zadaia puktów Utworzeie układu rówań z iewiadomymi a i r Wyzaczeie a i r Wyzaczeie sumy wyrazów ciągu Wykazaie, że jest oa podziela przez Obliczeie setego wyrazu ciągu: a 00 = - Obliczeie wartości, dla której a = : = a 8 0 Zapisaie układu waruków: i podaie poprawej odpowiedzi: N + 7 wyrazów 9 0 Wyzaczeie wyrazu a = + 6 + + Wyzaczeie różicy a + a = + Zapisaie odpowiedzi uwzględiającej założeie N+ : baday ciąg jest rosący Zapisaie i rozwiązaie waruku a a 8 : = + = Podaie poprawej odpowiedzi: między a a a Wykorzystaie własości ciągu geometryczego i ułożeie rówaia: + 6 p = + Wyzaczeie dziedziy rówaia Doprowadzeie rówaia do postaci: 0+ 9= 0 Rozwiązaie otrzymaego rówaia: = lub = 9 Wykorzystaie własości ciągu arytmetyczego i ułożeie rówaia: p + + 9 = + ( ) ( ) ( ) ( ) Doprowadzeie rówaia do postaci: ( )( + ) = 0 Rozwiązaie otrzymaego rówaia: = Wyzaczeie a : a = Wyzaczeie b : b = Obliczeie iloczyu a b : a b = 8 Wyzaczeie różicy r ciągu arytmetyczego: r = Wyzaczeie wzoru a -ty wyraz ciągu ( a ) : a = 99 dla N+ Obliczeie sumy: 6 Zauważeie, że pierwszy wyraz ciągu jest rówy, zaś różica rówa się 6 Zapisaie wzoru a -ty wyraz tego ciągu: a = 6 + 6 dla N+ Wyzaczeie ajwiększej liczby dwucyfrowej podzielej przez 6: 96 Wyzaczeie ilości wyrazów ciągu spełiającego waruki zadaia: = Obliczeie sumy:
Numer zadaia 6 Etapy rozwiązaia zadaia Zauważeie, że lewa stroa rówaia jest sumą ośmiu początkowych kolejych wyrazów ciągu geometryczego, w którym a = i q= ( ) 8 puktów Przekształceie rówaia do postaci = 0 i zapisaie założeia Rozwiązaie rówaia: = lub = Wybraie odpowiedzi uwzględiającej założeie: = Obliczeie miesięczego oprocetowaia: % = 0,007 Wyzaczeie ilości rat =8 Zapisaie wzoru: 8 (,007) (,007) R = 0000 0,007 8 Obliczeie wysokości comiesięczej raty: R = 97,70 zł Poziom rozszerzoy Numer zadaia Etapy rozwiązaia zadaia puktów Wypisaie kilku pierwszych wyrazów Zapisaie hipotezy dotyczącej szukaego wzoru a = ( + ) dla dowolego N+ Udowodieie wzoru metodą idukcji matematyczej Rozszerzeie różicy (w pukcie a)) o sumę idetyczych pierwiastków Obliczeie graicy ( ) Przekształceie ułamka (w pukcie b)) z wykorzystaiem działań a potęgach Obliczeie graicy (-0) Zauważeie, że lewa stroa ierówości jest sumą szeregu geometryczego, obliczeie jej i zapisaie ierówości z wykorzystaiem obliczoej sumy < Wyzaczeie dziedziy ierówości, Wyzaczeie rozwiązaia ierówości Podaie rozwiązaia ierówości z uwzględieiem jej dziedziy (, )
Numer zadaia 6 7 Etapy rozwiązaia zadaia puktów Aaliza zadaia (rysuek i ozaczeia) Wykorzystaie własości czworokąta wpisaego w okrąg do utworzeia jedego z rówań α + r+ β = α + α + r, gdzie α, α + r, α + r miary trzech kolejych kątów, których mowa w zadaiu, β miara czwartego kąta Wykorzystaie własości sumy miar kątów czworokąta do utworzeia drugiego rówaia α + α + r + α + r+ β = 60 Zauważeie, że z powyższych rówań wyika, że β = α + r = 90 Uzasadieie, że istieją co ajmiej dwa kąty proste Dla r > 0 są dokładie dwa, a dla r = 0 są cztery Aaliza zadaia a 0 = b Ułożeie układu rówań a = b Rozwiązaie rówaia a + a 0= 0 a = a = Obliczeie b i podaie odpowiedzi: b = b = a Utworzeie układu rówań ( q a ( q ) = ) = Podaie założeń: q, q Rozwiązaie układu a = a = a = a = lub lub lub q = q= q= q = Obliczeie piątego wyrazu ciągu : lub Wykorzystaie własości ciągu arytmetyczego i ułożeie rówaia: si + si + cos si + cos = Podaie rozwiązaia rówaia uwzględiającego dziedzię: 0, π Wyzaczeie różicy ciągu arytmetyczego: r = si Wyzaczeie czwartego wyrazu ciągu arytmetyczego: a = si + cos Wyzaczeie sumy: S = ( si + cos ) Doprowadzeie rówaia ( si + cos ) = 6 do postaci si = 0 Rozwiązaie rówaia: = kπ k C Wybór rozwiązaia spełiającego waruki zadaia: = 0 = π
Numer zadaia 8 Etapy rozwiązaia zadaia Wykorzystaie własości ciągu geometryczego i ułożeie rówaia: + = 9 9 9 Przekształceie rówaia wykładiczego do postaci: 6 ( ) 9 = 0 puktów Podstawieie: = t i zapisaie rówaia za pomocą t 9 0 Rozwiązaie rówaia: t = t = 8 9 Wybór rozwiązaia z uwzględieiem waruku, że t 0 : t = 9 Rozwiązaie rówaia = 9 i zapisaie odpowiedzi: = Zapisaie założeń: a 0, q 0 dla N+ i wyzaczeie b = + log a+ Zastosowaie defiicji ciągu geometryczego, twierdzeia dotyczącego działań a logarytmach i wyzaczeie różicy b+ b = log q Zauważeie, że log q R i apisaie wiosku Określeie dziedziy rówaia Wyzaczeie czwartego wyrazu ieskończoego ciągu geometryczego: Wykorzystaie własości ciągu arytmetyczego i ułożeie rówaia: + = Doprowadzeie rówaia do postaci: ( )( ) = 0 + Podaie odpowiedzi: = = = Sprawdzeie, że dla = zachodzi rówość Zapisaie założeia idukcyjego: + + 8+ + ( k ) = k + k, gdzie k jest ustaloą liczbą aturalą większą lub rówą Zapisaie tezy idukcyjej: + + 8+ + ( k ) + ( k+ ) = ( k+ ) + ( k+ ) Przeprowadzeie dowodu tezy idukcyjej Sformułowaie odpowiedzi Zapisaie, że a + = S + S + = + Wyzaczeie a Obliczeie -tego wyrazu ciągu: a = +
Numer zadaia Etapy rozwiązaia zadaia puktów Zapisaie różicy dwóch dowolych, kolejych wyrazów tego ciągu: r = a + a Obliczeie różicy ciągu i stwierdzeie, że ciąg jest arytmetyczy Obliczeie ilorazu q= Rozwiązaie ierówości : 0 Zapisaie lewej stroy ierówości jako sumy szeregu geometryczego: 0, 9 = Zamiaa ułamka ( ) Podstawieie = t t 0 Zapisaie ierówości za pomocą t: t t, t t, 0, Rozwiązaie ierówości: ( ) ( ) Wybór rozwiązaia spełiającego waruki zadaia: (,) Rozwiązaie ierówości < < i podaie odpowiedzi: ( 0,) Usuięcie iewymierości z miaowika Stwierdzeie i uzasadieie, że miaowik jest liczbą dodatią dla dowolego N+ Zbadaie zaku liczika Sformułowaie stąd wiosku: ciąg ie jest mootoiczy