COMPLEXITY CHARACTERISTICS OF CURRENCY NETWORKS A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka Zakład Teorii Sstemów Złożoch, Isttut Fizki Jądrowej PAN, Kraków
Układ o wielkiej złożoości moża przedstawiać jako sieci oddziałującch elemetów-węzłów WWW (World Wide Web i sieci komputerowe; sieci komuikacje trasport; sieci komuikacje łączość; sieci eergetcze; sieci euroowe; sieci ctacji; sieci relacji międzludzkich; G.W. Domhoff (1967+ 4 etworks theor of Power ideologicza, ekoomicza, militara i politcza sieci w fiasach i ie sociolog.ucsc.edu/whorulesamerica/ FENS, 22 kwietia 2006 2
GRAFY -- podstaw L.Euler 7 mostów Królewca (1736; prawa Kirchhoffa (1845; problem 4 kolorów (F.Guthrie 1852 => Appel & Hake 1976; Graf przpadkowe (XX w.: własości wzaczają rozkład prawdopodobieństwa; zmiea liczba węzłów i połączeń; graf spóje i ieplaare; przejścia fazowe powżej progu komplikacji; Teoria grafów => grafami statcze, bez ewolucji w czasie FENS, 22 kwietia 2006 3
SIECI (ewolucja w czasie początki powstawaie/zikaie połączeń; zmiee w czasie wagi; SIECI NEURONOWE* : model McCullocha-Pittsa (1943; ieliiowa trasformacja sgału: i = f ( Wij j j sprzężeia zwrote, architektura rekurecja ==> Hopfield i ii, 1928 + uczeie (zmiaa wag, Hebb 1949; Perceptro (patter recogitio Roseblatt-Wightma 1957-Corell; * Termi euro (jak i chromosom! wprowadził H.W. Gottfried vo Waldeer-Hartz w 1891 roku. FENS, 22 kwietia 2006 4
SIECI ZŁOŻONE małe świat (Small Worlds 6th degree of separatio [Milgram 1967] efekt podob jak dla grafów przpadkowch; tworzeie klastrów clusterig coefficiet C i dla i-tego węzła: C i = k i 2Ei ( k i k i liczba połączeń z węzła (stopień, k i (k i 1/2 ma. liczba połączeń w klastrze, E i faktcza liczba połączeń; potęgow rozkład stopi węzłów sieci bezskalowe (scale free: prwadopodobieństwo zalezieia węzła w stopiu k jest potęgowe: P ( k k PROBEM: Jak ilościowo zdefiiować połączeia i węzł w sieci ekoofizczej? Jak wgląda rozkład stopi węzłów? 1 α FENS, 22 kwietia 2006 5
SIECI W FIZYCE - zaczeie liczb połączeń/sąsiadów model Isiga (E. Isig 1924 L. Osager 1944 i uogólieia: proste sieci spiów wkazują przejścia fazowe prz zmiaie temperatur; modele pochode; oddziałwaia długozasięgowe ==> zwiększeie liczb oddziałującch sąsiadów ==> efekt jak zwiększeie wm. przestrzei (Kac model 1963; powoduje to wzrost stopia komplikacji sstemu przejścia fazowe; ieskończeie zasięgowe oddziałwaia ==> wielka komplikacja (grawitacja struktur kosmologicze, elektromagetzm struktur biochemicze; aalogiczie: wielka ilość połączeń (sąsiadów w sieci euroów mózgowch, jak i w sieciach społeczch ; WNIOSEK: Ilość połączeń (oddziałującch sąsiadów sieci ważiejsza iż wmiar! FENS, 22 kwietia 2006 6
FENS, 22 kwietia 2006 7 SERIE CZASOWE STÓP ZWROTU stopa zwrotu dla serii fiasowej =(t wrażoej w jakiejś walucie dla serii FOREX wartość walut jest wrażoa poprzez walutę dla K walut mam K(K-1 serii postaci serie te są zależe co w jęzku zwrotów daje dla 3 walut mam dodatkow waruek RAGUŁĘ TRÓJKĄTA a w jęzku zwrotów mam tożsamość G / ( l l ( 1 1 = + + ( ( l l, ( 1 1 G G G = = + +, (, ( G G = 1 = z z 0, (, (, ( = + + z G z G G 1 =
MACIERZ KORELACJI serii czasowch asze serie czasowe: dae dziee, lata 1998-2005 (ok. 1700 puktów, filtr 5σ, źródło: http://f.sauder.ubc.ca (Uiv. B.C., Bak of Caada; dla N serii czasowch zwrotów G i (t smetrcza macierz współczików korelacji N(N-1/2 iezależch: Gi ( t Gj( t T Gi ( t T Gj( t T gdzie T oko uśrediaia, Cij = a ślad macierz = N σ ( Gi σ ( Gj WARTOŚCI WŁASNE rozkład pomiędz semi-circle (Wiger a Wisharta; duża maksmala wartość własa kolektwość serii stóp zwrotu; mod zerowe dla serii silie skorelowach (p. USD i SAR; Jak przełożć jęzk macierz korelacji a jęzk grafów? FENS, 22 kwietia 2006 8
SPEKTRUM MACIERZY KORELACJI Wg teorii dla macierz przpadkowch dla serii o długości serii czasowej T, ilości serii N i q = T/N, mam widmo w zakresie: λ mi = 1+ 1 q 2 q oraz 1 λ ma = 1+ + q 2 q co w tm przpadku daje umerczie: λ 0.658 oraz λ 1. 413 mi ma FENS, 22 kwietia 2006 9
SPEKTRUM MACIERZY KORELACJI (1 Serie tasowae, ieskorelowae (rd zaczie różią się od pozostałch! FENS, 22 kwietia 2006 10
SPEKTRUM MACIERZY KORELACJI (2 Waluta losowa ieskorelowaa (fictitious zachowuje się podobie do walut słabch FENS, 22 kwietia 2006 11
GRAFY Miimal Spaig Tree (MST macierze korelacji wiele elemetów ==> problem z wizualizacją; Wprowadzam metrkę d ij : d ij = ij ij 2( C 1 (0 d 2 algortm kostrukcji grafu opart a tej metrce; zastosowaie MST dla rku akcji: Matega [Eur. Phs. J. B11 (1999 193] dla FX EFEKT TRÓJKĄTA moża pokazać, że implikuje to (N-1 iezależch otowań/zwrotów spośród N(N-1 możliwch; graf wrażae są dla serii o ustaloej walucie bazowej, co daje (N-1 węzłów; wbór walut bazowej uwidaczia klastrzację w jęzku pozostałch walut; tasowaie serii wraźie zmieia strukturę grafu [Oford group, Phs. Rev. 2005] FENS, 22 kwietia 2006 12
Potęż klaster USD (EUR jako waluta bazowa FENS, 22 kwietia 2006 13
Słabsz klaster EUR (USD walutą bazową FENS, 22 kwietia 2006 14
Dwa rwalizujące klastr EUR i USD (PLN walutą bazową FENS, 22 kwietia 2006 15
Losowe serie czasowe dla walut zdecdowaa różica... FENS, 22 kwietia 2006 16
Potęgow rozkład krotości węzłów. Grubsz ogo dla EUR, cieńsz dla USD USD: 1.91 (±0.18 0.978 EUR: 1.33 (±0.08 0.972 PLN: 1.67 (±0.08 0.975 rd: 2.33 (±0.63 0.906 FENS, 22 kwietia 2006 17
PODSUMOWANIE układ złożoe traktować możem jako sieci grafowa reprezetacja macierz korelacji dla FX (MST reguła trójkąta dodatkowe więz dla zwrotów spektrum m. korelacji: mod zerowe, kolektwość; tasowaie drastczie zmieia spektrum; walut słabe bliskie losowm widocza klastrzacja wokół silch walut potęgowe skalowaie krotości węzłów, wkładik 1 < α < 2 dla fitów: -- kilkuprocetowe odchleia stadardowe -- współcziki korelacji r-pearsoa > 0.97 FENS, 22 kwietia 2006 18