Grafy Alberta-Barabasiego

Transkrypt

1 Spis treści

2 Spis treści 1 Spis treści 2 Wielkości charakterystyczne 3 Cechy

3 Wielkości charakterystyczne Wielkości charakterystyczne Rozkład stopnie wierzchołków P(deg(x) = k) Graf jest bezskalowy jeżeli P(deg(x) = k) k γ

4 Wielkości charakterystyczne Wielkości charakterystyczne Średnia długość ścieżki w grafie L Współczynnik klasteryzacji C i = 2E i k i (k i 1) k i ilość sąsiadów E i ilość krawędzi pomiędzy sąsiadami Średni stopień wierzchołka k

5 Wielkości charakterystyczne Wielkości charakterystyczne Rozkład spektralny Macierz sąsiedztwa A, a ij = a ji = 1 (u i, u j ) E A posiada n wartości własnych λ i Rozkład spektralny ρ(λ) = 1 n n δ(λ λ i ) i=1

6 Cechy 1959r. Dane: V = n węzłów, p [0, 1] Dla każdej pary u, v V z prawdopodobieństwem p niezależnie dodaj do grafu krawędź {u, v}.

7 Cechy modelu ER Cechy Rozkład stopni B(n 1, p) Średni stopień wierzchołka k = p(n 1) Współczynnik klasteryzacji C = p Średnia długość ścieżki L ln(n) ln( k ) Rozkład spektralny { 4np(1 p) λ 2 ρ(λ) = 2πnp(1 p) λ < 2 np(1 p) 0 wpw

8 Cechy modelu ER Cechy Wykres z Albert, Barabasi 2002

9 Dane: V = n węzłów, p [0, 1] Rozpocznij z węzłami uporządkowanymi w topologii pierścienia Każdy z węzłów połącz z k najbliższymi sąsiadami (z obu stron) Każdą z krawędzi niezależnie z prawdopodobieństwem p przepisz do innego losowego węzła w grafie uniemożliwaijąc jednak krawędzie wielokrotne i połączenia do samego siebie.

10 Obserwacje: Sieci rzeczywiste nie powstają poprzez dodawanie krawędzi pomiędzy z góry ustalonymi wierzchołkami Sieć podlega ewolucji; co jakiś czas powstają w niej nowe wierzchołki Prawdopodobieństwo utworzenia krawędzi nie jest jednostajne na przestrzeni dostępnych wierzchołków

11 Rozpocznij z grafu składającego się z małej liczby wierzchołków m 0. (Wzrost ilości wierzchołków / growth) W każdym kroku ewolucji do sieci dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi (Preferencyjne dodawanie krawędzi / preferential attachment ) Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) = deg(v) w deg(w) jednakże wykluczając połączenia wielokrotne.

12 Cechy modelu AB Rozkład stopni wierzchołków potęgowy z wykładnikiem γ = 3 P(deg(x) = k) k 3 Średni stopień wierzchołków k = m (ilość krawędzi dodawanych do grafu wraz z nowym wierzchołkiem) Średnia długość ścieżki L log(n) Wsp. klasteryzacji C =??

13 Cechy modelu AB Wykres z Albert, Barabasi 2002

14 Pominięcie preferencyjnych połączeń 1 Rozpocznij z grafu składającego się z małej liczby wierzchołków m 0. 2 W każdym kroku ewolucji do sieci dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi 3 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem jednostajnym, jednakże wykluczając połączenia wielokrotne. Rozkład stopni wierzchołków zbiega do wykładniczego

15 Pominięcie rozrostu grafu 1 Rozpocznij z pustego grafu składającego się pełnej liczby wierzchołków n. 2 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) deg(v) jednakże wykluczając połączenia wielokrotne. Rozkład stopni wierzchołków zbiega do wykładniczego W początkowej fazie ewolucji rozkład jest potęgowy... Ale nie jest to rozkład stacjonarny Po n 2 /2 epokach uzyskiwany jest graf pełny

16 Nieliniowe preferencyjne dodawanie krawędzi 1 Rozpocznij z pustego grafu składającego się pełnej liczby wierzchołków n. 2 W każdym kroku ewolucji do sieci dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi 3 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) deg(v) α jednakże wykluczając połączenia wielokrotne. Zarówno dla α > 1 jak i α < 1 rozkład stopni nie jest potęgowy Rozkład stopni zbiega asymptotycznie do potęgowego gdy rozkład P zbiega do liniowego

17 Początkowa atrakcyjność węzłów 1 W każdym kroku ewolucji do sieci dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi 2 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) deg(v) + A jednakże wykluczając połączenia wielokrotne. Rozkład stopni pozostaje potęgowy P(deg(x) = k) k γ, γ = 2 + A m

18 Przyśpieszony wzrost 1 W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi 2 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) deg(v) + A jednakże wykluczając połączenia wielokrotne. 3 Dodatkowo do sieci dodawanych jest c 0 t θ krawędzi, pierwszy węzeł wybierany jest losowo z rozkładem jednostajnym, drugi z rozkładem P(u v) deg(v) + A Rozkład stopni pozostaje potęgowy γ = θ

19 Starzenie się węzłów 1 W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi 2 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) deg(v) jednakże wykluczając połączenia wielokrotne. Dodatkowo połączenie nie może być dodane jeżeli węzeł przekroczył ustalony wiek (ograniczenia wiekowe), lub ustaloną liczbę wychodzących krawędzi (ograniczenia pojemnościowe). dla małych k rozkład pozostaje potęgowy dla dużych k rozkład przechodzi w wykładniczy

20 Indywidualna atrakcyjność węzłów 1 W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u, który ma m < m 0 krawędzi oraz ustaloną atrakcyjność η u 2 Nowe krawędzie są podpinane do istniejących węzłów w grafie niezależnie zgodnie z rozkładem P(u v) η v deg(v) Rozkład potęgowy z korektą log

21 Dziedziczenie krawędzi 1 W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u, losowo przypisywany jest mu przodek w 2 Węzeł u dziedziczy odsetek c krawędzi swojego przodka, tj każda krawędź postaci w v jest z prawdopodobieństwem c kopiowana jako u v

22 Kopiowanie krawędzi 1 W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u wraz z m krawędziami, 2 u losowo przypisywany jest przodek (pierwowzór) w 3 Węzeł u z prawdopodobieństwem p otrzymuje krawędź do losowego węzła, z prawdopodobieństwem 1 p otrzymuje krawędź skopiowaną z prototypu. Rozkład potęgowy γ = (2 p)/(1 p)

23 Spacer po sieci 1 W każdym kroku dodawany jest wierzchołek u, 2 u otrzymuje krawędź do losowego v 3 Węzeł u z prawdopodobieństwem p niezależnie otrzymuje kopię krawędzi wychodzącej z v 4 Rekursywnie u z prawdopodobieństwem p niezależnie otrzymuje kopię krawędzi wychodzącej z każdego węzła, do którego udało się dotrzeć, (algorytm bfs) dla małych p rozkład wykładniczy dla dużych p rozkład potęgowy, γ 2 oba reżimy rozdzielone punktem bifurkacji p c

24 Odporność sieci na awarie / ataki Dana jest spójna sieć Z sieci usuwanych jest pn, p [0, 1] wierzchołków wybieranych losowo (awaria) Lub pn, p [0, 1] wierzchołków o najwyższych stopniach (atak) Jak zmieniają się prawdopodobieństwo rozspojenia grafu, średnia długość ścieżki i wielkość największej składowej spójnej w zależności od p w obu przypadkach?

25 Odporność sieci na awarie / ataki Wykres z Albert, Barabasi 2002

26 R. Albert, A. L. Barabasi, Statistical mechanics of complex networks, Reviews of modern physics, Vol 74, January 2002

27 Praca współfinansowana ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego i Budżetu Państwa w ramach Zintegrowanego Programu Operacyjnego Rozwoju Regionalnego, Działania 2.6 Regionalne Strategie Innowacyjne i transfer wiedzy projektu własnego Województwa Kujawsko-Pomorskiego Stypendia dla doktorantów 2008/2009 ZPORR