G. Wybrane elementy teorii grafów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "G. Wybrane elementy teorii grafów"

Transkrypt

1 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie modeluje się i rozwiązuje szeroki wachlarz złożonych problemów ekonomicznych, tak w skali mikro- jak i makro zarządzania. Teoria grafów jest bardzo ważnym narzędziem w zastosowaniu do pewnych zagadnień badań operacyjnych. Należy tutaj przede wszystkim wymienić takie zagadnienia jak: problem komiwojażera, problem przydziału, określenie najkrótszej drogi w grafie. Teorię grafów stosuje się najczęściej w sieciach transportowych i w sieciach czynności. W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i teorią macierzy. Krótki rys historyczny rozwoju teori grafów wygląda następująco: 1736 Leonard Euler (uważany za twórcę teorii grafów) 1847 G.R.Kirchhoff (teoria obwodów elektrycznych) 1857 A.Cayley (chemia: izomery węglowodorów nasyconych) 1859 W.R.Hamilton 1945 i dalsze - intensywny rozwój teorii grafów (N.Deo, F.Harary) i jej zastosowań G.1. Co to jest graf Figura przedstawiona na rysunku G.1. nazywa się grafem 1. Wyróżnione punkty nazywają się wierzchołkami grafu (ang. vertex), zaś linie noszą nazwę krawędzi grafu (ang. edge). Wymagane jest, aby każda krawędź i każdy wierzchołek miały swoją nazwę (etykietę). 1 Ściśle graf liniowy, ale ponieważ nie istnieją grafy nieliniowe to mówimy krótko graf.

2 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 2 Rys. G.1. Przykład grafu liniowego Wierzchołki grafu oznaczamy v, v,...,. Zbiór wierzchołków oznaczymy jako 1 2 V v 1, v 2,..., v m i musi to być zbór niepusty (V ). Krawędzie grafu oznaczamy e, e,...,. Zbiór krawędzi oznaczymy jako 1 2 E e 1, e 2,..., e n i może to być zbór pusty. Gdy nie zachodzi obawa pomyłki, etykiety wierzchołków i krawędzi mogą być V 12 m E 12,,..., n. liczbami naturalnymi, tj.,,..., oraz Dla oznaczenia grafu G możemy zapisać krótko G V E składa się ze zbioru wierzchołków V i zbioru krawędzi E. v m e n,, co oznacza, że graf G Dowolna krawędź e k utożsamia się z nieuporządkowaną parą wierzchołków v, v. Wierzchołki v i oraz v j związane z krawędzią e k nazywa się i j wierzchołkami końcowymi krawędzi e k. O krawędzi e k mówimy, że jest ona incydentna z wierzchołkami v i oraz v j. G.1.1. Definicja grafu V i i 12,,..., m będzie dowolnym zbiorem skończonym i Niech niech S oznacza zbiór wszystkich (różnych) nieuporządkowanych par (i,j) S i, j i V j V. Pary (i,j) oraz (j,i) elementów zbioru V, to znaczy oznaczają: ten sam element - dla grafu nieskierowanego lub różne elementy - dla grafu skierowanego. G V, E oraz E S nosi nazwę grafu (nieskierowanego lub Para skierowanego w zależności od definicji zbioru S).

3 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 3 G.1.2. Jak rysować grafy 1. kształt linii jest obojętny; graf musi tylko oddawać połączenia (incydencje) pomiędzy wierzchołkami za pomocą krawędzi 2. przecinanie się krawędzi nie jest wierzchołkiem Na przykład grafy na rysunku G.2. są identyczne (izomorficzne) choć na pierwszy rzut oka wydają się różne. Rys. G.2. Przykład grafu narysowanego na dwa sposoby Inny przykład to odwzorowanie za pomocą grafu problemu decyzyjnego postawionego przez L.Eulera tzw. problem mostów królewieckich (rysunek G.3.). "Królewiec położony po obu brzegach rzeki Pregoły i na dwóch wyspach jest połączony siecią siedmiu mostów. Należy wychodząc z dowolnego brzegu (A lub B) odwiedzić obie wyspy (C i D), niekoniecznie raz, i powrócić do punktu wyjścia przechodząc tylko raz przez każdy z 7 mostów." (L.Euler udowodnił, że problem ten nie ma rozwiązania). Rys. G.3. "Problem mostów królewieckich" G.2. Grafy - wybrane pojęcia G.2.1. Grafy nieskierowane pętla własna - krawędź grafu, której końce są incydentne (związane) z jednym wierzchołkiem (rys. G.1. - krawędź e 1 )

4 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 4 krawędzie równoległe - krawędzie incydentne do tej samej pary wierzchołków (rys. G.1. - krawędzie e 5 i e 4 ) graf prosty - graf bez pętli własnych i krawędzi równoległych. wierzchołek izolowany - nie posiada żadnej krawędzi incydentnej do niego (rys. G.1. - wierzchołek v 6 ) stopień wierzchołka (d) - liczba krawędzi incydentnych z nim (rys. G.1. - stopień wierzchołka v 4 jest równy 3; d=3) graf zerowy - graf bez krawędzi ( E ) grafy izomorficzne - grafy pokrywające się. Warunkiem koniecznym jest: 1. taka sama liczba wierzchołków 2. taka sama liczba krawędzi 3. taka liczba wierzchołków o danym stopniu Warunku wystarczającego brak w teorii. Przykład grafów, które nie są izomorficzne, a warunek konieczny jest spełniony pokazuje rysunek G.4.. Oba grafy nie są izomorficzne choć mają: po 6 wierzchołków, po 5 krawędzi, po 3 wierzchołki o stopniu 1, po 2 wierzchołki o stopniu 2 oraz po 1 wierzchołku o stopniu 3. Rys. G.4. Grafy pozornie izomorficzne - grafy spełniające tylko warunek konieczny izomorfizmu podgraf - graf g V', E' jest podgrafem grafu G V E, jeżeli V' V, E' E oraz każda krawędź grafu g ma te same wierzchołki końcowe jak w grafie G. droga (łańcuch) - ciąg (skończony) naprzemienny wierzchołków i krawędzi rozpoczynający się i kończący wierzchołkami, taki że krawędź jest incydentna do wierzchołków poprzedzających i następujących po niej (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 4, v 2, e 6, v 4, e 6, v 2, e 5, v 1 }) droga otwarta - droga rozpoczynająca się i kończąca różnymi wierzchołkami (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4 }) droga zamknięta - droga rozpoczynająca się i kończąca tym samym wierzchołkiem (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4, e 7, v 5 }) droga Eulera - droga przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie jeden raz (patrz: problem mostów królewieckich) graf Eulera - graf G V E,, w którym wszystkie wierzchołki są stopnia parzystego (graf dla którego istnieje droga Eulera)

5 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 5 ścieżka - (droga ekstremalna) droga otwarta, w której jeden wierzchołek pojawia się tylko jeden raz; można powiedzieć, że ścieżka "nie przecina" samej siebie (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4 }) obwód - droga zamknięta, w której tylko wierzchołek początkowy może pojawić się dwa razy (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4, e 2, v 3 }) obwód Hamiltona - obwód przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (graf przykładowy z rys. G.1.. nie ma obwodu ponieważ wierzchołek v 6 jest izolowany) ścieżka Hamiltona - obwód Hamiltona z usuniętą krawędzią graf spójny - graf jest spójny jeżeli między każdą parą wierzchołków istnieje przynajmniej jedna ścieżka drzewo - graf spójny bez obwodów przekrój - każdy zbiór krawędzi grafu spójnego, którego usunięcie powoduje, że graf staje się niespójny. Graf z rys. G.1.. nie jest spójny ze względu na izolowany wierzchołek v 6. Usunięcie wierzchołka v 6 prowadzi do grafu spójnego. W takim nowym grafie przekrojem jest np. zbiór krawędzi {e 3, e 6 }. Usunięcie krawędzi e 3 oraz e 6 powoduje powstanie niespójności. Inne przekroje to: {e 2, e 6 } oraz {e 2, e 4, e 5 }. G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego macierz incydencji - grafu G V E macierz A mxn a ij gdzie, o m wierzchołkach i n krawędziach to 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołkiem v i 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy incydencji: 1. liczba jedynek w każdej kolumnie = 2 2. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 3. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 4. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny 5. jeżeli graf G jest niespójny to można podzielić macierz A na niezależne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 6. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G V E macierz kwadratowa stopnia m A m a ij, o m wierzchołkach i n krawędziach to gdzie 1 jeżeli wierzchołki v i oraz v j łączy krawędź 0 w przeciwnym wypadku

6 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 6 Własności macierzy przyległości: 1. liczba jedynek w wierszu (kolumnie) = stopień wierzchołka 2. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 3. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i Przykład Rys. G.5. Graf nieskierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.5. są następujące A 6x A 6x G.2.3. Grafy skierowane i sieci graf skierowany (zorientowany) - graf G V E,, w którym za pomocą odwzorowania przekształcić można każdą krawędź e k, związaną z wierzchołkami v i oraz v j, w uporządkowaną parę wierzchołków (v i,v j ). O wierzchołku v i mówimy, że krawędź e k jest incydentna z wierzchołka v i, natomiast o wierzchołku v j mówimy, że krawędź e k jest incydentna do wierzchołka v j. krawędź skierowana (łuk) - krawędź w grafie skierowanym wierzchołek początkowy krawędzi (źródło krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna z wierzchołka (v i ) wierzchołek końcowy krawędzi (odpływ krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna do wierzchołka (v j )

7 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 7 stopień wejściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j stopień wyjściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j ) - liczba krawędzi incydentnych do ) - liczba krawędzi incydentnych z wierzchołek izolowany - wierzchołek, dla którego stopień wejściowy i stopień wyjściowy są równe zero łuki równoległe (krawędzie skierowane równoległe) - krawędzie grafu skierowanego odwzorowane za pomocą tej samej uporządkowanej pary wierzchołków sieć - graf skierowany (zorientowany), bez pętli własnych i łuków równoległych (tj. graf prosty), bez wierzchołków izolowanych oraz obwodów skierowanych, w którym z każdym łukiem e k związana jest pewna nieujemna liczba zródło sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wejściowym ( d v j odpływ sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wyjściowym ( d v j sieć zredukowana - sieć o jednym źródle i jednym odpływie 0 ) 0 ) Pojęcia dróg, ścieżek, itd. są analogiczne jak w grafie nieskierowanym. Definiując te pojęcia należy pamiętać, że krawędzie grafu są skierowane, tj. para (v i,v j ) odpowiada zupełnie innej krawędzi niż para (v j,v i ) G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego G V, E o m wierzchołkach i n macierz incydencji - grafu skierowanego krawędziach (łukach) to macierz A mxn a ij gdzie 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołka v i 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna do wierzchołka v i 0 w pozostałych przypadkach Własności macierzy incydencji grafu skierowanego: 1. stopień wejściowy wierzchołka jest równy liczbie "-1" w wierszu 2. stopień wyjściowy wierzchołka jest równy liczbie "1" w wierszu 3. liczba jedynek w każdej kolumnie = 2 4. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 5. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 6. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny

8 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 8 7. jeżeli graf G jest niespójny to można podzielić macierz A na niezależne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 8. suma elementów w kolumnie jest równa zero 9. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G V E macierz kwadratowa stopnia m A m a ij, o m wierzchołkach i n krawędziach to gdzie 1 jeżeli wierzchołki v i oraz v j łączy łuk (v i, v j ) 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy przyległości: 1. liczba "1" w wierszu = stopień wyjściowy wierzchołka 2. liczba "1" w kolumnie = stopień wejściowy wierzchołka 3. wiersz z samymi zerami = wierzchołek typu odpływ 4. kolumna z samymi zerami = wierzchołek typu źródło 5. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 6. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i 7. jeżeli numeracja wierzchołków sieci jest taka, że dla każdego łuku (v i,v j ) numer wierzchołka v i v j i jednocześnie macierz przyległości jest macierzą trójkątną dolną, to graf skierowany nie posiada obwodów skierowanych Przykład Rys. G.6. Graf skierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.6. są następujące A 6x A 6x

9 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 9 Literatura [1] Narshing DEO, "Teoria grafów oraz jej zastosowanie w technice i informatyce", PWN, Warszawa, 1980, Seria: Biblioteka Naukowa Inżyniera [2] Robert S.GARFINKEL, George L.NEMHAUSER, "Programowanie całkowitoliczbowe", PWN, Warszawa, 1978, Seria: Biblioteka Naukowa Inżyniera Spis treści dodatku G G. Wybrane elementy teorii grafów... 1 G.1. Co to jest graf... 1 G.1.1. Definicja grafu... 2 G.1.2. Jak rysować grafy... 3 G.2. Grafy - wybrane pojęcia... 3 G.2.1. Grafy nieskierowane... 3 G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego... 5 G.2.3. Grafy skierowane i sieci... 6 G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego... 7 Literatura... 9 Spis treści dodatku G... 9

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016 Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe . Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Opracowanie prof. J. Domsta 1 Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Grafy i struktury grafowe www.agh.edu.pl DEFINICJA GRAFU Graf to

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow 9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3} Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

Graf to nie tylko tytuł szlachecki

Graf to nie tylko tytuł szlachecki Kàcik olimpijski Grafy Graf to nie tylko tytuł szlachecki karta pracy Graf to nie tylko tytuł szlachecki Graf co to takiego? Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leonhard Euler (707 783). Grafem

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów

Teoria grafów dla małolatów Teoria grafów dla małolatów Andrzej P.Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka w szkole podstawowej kojarzy się przede wszystkim z arytmetyką, ale współcześni matematycy rzadko

Bardziej szczegółowo

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 7 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 7 1 / 43 Grafy -

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 42

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Algorytmy grafowe

Wykład 7. Algorytmy grafowe Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki

Wprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki 1 Reguły gry (1): Uczymy się systematycznie Nie używamy telefonów Zaliczamy w terminie 2 Kontakt: konsultacje poniedziałek 8.45 10.15 (pokój wykładowców) e-mail : krzysztof.lisiecki@p.lodz.pl lub krzysztof@lisiecki.org.pl

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo