EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ

Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów Zadanie ( 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,),, ) Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności (, ),), ) 4 + 6 9 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest < + 4 + 6 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest < + 4 + 6 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest = Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: lub zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest, II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) + 4 + 4 Zapisujemy cztery przypadki: < + 4< + 4< < + 4 + 4 + 4 + 6 = + 4 < + 4 < + 4 + 6 <,) + 4< niemożliwe + 4< < + 4< < 4 + 6 < < 9 < <, ) Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: lub zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest,

Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (, ),,),, ) albo + 4 + 4 + 4< + 4< zapisze cztery przypadki: < < Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np I (, ) 4 + 6 II,) + 4 + 6 III, ) + 4 + 6 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że jeden jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź:, III sposób rozwiązania (graficznie) Rysujemy wykresy funkcji f ( ) = + 4 + i prostą o równaniu y = 6 Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,),, ) Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np dla (, ) f ( ) = + 5 dla,) + dl a, ) Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 6

4 Egzamin maturalny z matematyki y 9 8 f ( ) 7 6 y = 6 5 4 7-6 -5-4 - - - 4 5 - Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej o równaniu y = 6: = i = Podajemy argumenty, dla których f ( ) 6 :, Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni przedziały: (, ),,),, ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np, f = I ( ) ( ) II ( ) III ) ( ),) f = + 5, f = + lub dla (, ) f ( ) = + 5 dla,) + dl a, ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 6 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź:,

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie ( 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna: ( sin ) 5sin 4 = Porządkujemy to równanie i wprowadzamy niewiadomą pomocniczą: sin 5sin =, t = sin, gdzie t, Równanie przyjmuje teraz postać: t + 5t + = Rozwiązujemy równanie kwadratowe ze zmienną t: = 9 t = t = ale t, Zapisujemy rozwiązania równania sin = należące do przedziału,π : π 7 = i = π 6 6 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np sin 5sin = lub sin + 5sin + = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np t = sin, zapisanie równania w postaci t 5t = lub t + 5t+ = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = lub t = ) i odrzucenie rozwiązania t = Uwaga Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest sin ) i zapisać rozwiązanie w postaci sin = lub sin = oraz zapisać, że równanie sin = jest sprzeczne Rozwiązanie pełne 4 pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: 7 = π lub = π 6 6 albo = lub =

6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie ( 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do badania funkcji kwadratowej Rozwiązanie D F C A Długości odcinków BE i CF są następujące: E B BE =, CF = Pole trójkąta AEF jest więc równe: PAEF = PABCD PABE PECF PFDA = ( ) ( ) = + Pole trójkąta AEF jest funkcją zmiennej : P( ) = + dla, Ponieważ w = =,, a parabola o równaniu P( ) = + ma ramiona 4 skierowane ku górze, więc dla = pole trójkąta AEF jest najmniejsze 4 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że PAEF = PABCD PADF PCEF PABE lub P AEF = PABCD ( PADF + PCEF + PABE ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie pól trójkątów ADF, ABE i CEF: P ADF =, P ABE = + i P CEF = = + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie AEF = + Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie, dla którego funkcja przyjmuje minimum: = 4 P w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej : P( )

Egzamin maturalny z matematyki 7 II sposób rozwiązania (geometria analityczna) D F C A E B Przyjmujemy współrzędne punktów na płaszczyźnie: A (, ), F (, ), E (, ) = = = Wyznaczamy pole trójkąta AFE : P= ( )( ) ( )( ) = ( ) = = + ( ) = + P Ponieważ w, 4 = =, a parabola o równaniu P( ) skierowane ku górze, więc dla = + ma ramiona = pole trójkąta AEF jest najmniejsze 4 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyźnie: A= (, ), F = (, ), E = (, ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie pola trójkąta AFE : P= ( )( ) ( )( ) = ( ) = = + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie AEF = + Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie, dla którego funkcja przyjmuje minimum: = 4 P w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej : P( )

8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 4 ( 4) Użycie i tworzenie strategii Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów przez dwumian Rozwiązanie Korzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań 8 + 4a + b + = 7 7 + 9a + b + = Z układu równań obliczamy a i b 4a + b = 9a + b = 8 b = a 9a 6a = 8 a = 5 b = 9 Warunki zadania są spełnione dla a = 5, b = 9 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania pkt Zapisanie jednego z równań: 8 + 4a + b + = 7 albo 7 + 9a + b + = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań: 8 + 4a + b + = 7 7 + 9a + b + = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie układu równań z błędem rachunkowym Rozwiązanie pełne 4 pkt Rozwiązanie układu równań: a = 5, b = 9 Zadanie 5 ( 5) Modelowanie matematyczne Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego I sposób rozwiązania Z własności ciągu arytmetycznego mamy: b= a+ c Stąd i z warunków zadania otrzymujemy, że : b = czyli b = 5 b + 4 = a + c + 9 Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: ( ) ( ) ( )

Egzamin maturalny z matematyki 9 b = 5 Zatem otrzymujemy układ równań, np a + c = ( b + 4) = ( a + ) ( c + 9) Z drugiego równania wyznaczamy a= c lub c= a i wstawiamy do trzeciego równania 9 c c 9 9 = a+ a+ 9 Otrzymujemy równanie, np = ( + )( + ) lub ( )( ) Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np c + 8c 8 = lub a 8a+ 5 = Rozwiązaniem równania są : c = 8, c = 6 lub a =, a = 6 Zatem szukanymi liczbami są: a =, b= 5, c= 8 lub a = 6, b= 5, c= 6 do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np b= a+ c albo ( b+ 4) = ( a+ )( c+ 9) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b= a+ c a + c = ( b+ 4) = ( a+ ) ( c+ 9) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np c + 8c 8 = lub a 8a + 5 = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie szukanych liczb: a =, b = 5, c = 8 lub a = 6, b = 5, c = 6 II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r różnicę tego ciągu Wówczas b= a+ r, c= a+ r Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy a+ r =, stąd a+ r = 5

Egzamin maturalny z matematyki Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np ( a r 4) ( a )( a r 9) + + = + + +, a+ r = 5 a następnie zapisujemy układ równań: ( a+ r+ 4) = ( a+ )( a+ r+ 9) Z pierwszego równania wyznaczamy a= 5 r i podstawiamy do drugiego równania Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r: ( 5 r r 4) ( 5 r )( 5 r r 9) + + = + + + lub r + 8 6 = Rozwiązaniami tego równania są: r = lub r = Następnie obliczamy a, b, c Warunki zadania spełniają liczby: a =, b= 5, c= 8 lub a = 6, b= 5, c= 6 II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń: a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r różnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np a+ r = lub a+ r = 5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np a+ r = 5 ( a+ r+ 4) = ( a+ )( a+ r+ 9) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np ( 5 r r 4) ( 5 r )( 5 r r 9) + + = + + + lub r + 8 6 = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np r < i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a =, b= 5, c= 8 lub a= 6, b= 5, c= 6

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 6 ( 5) Użycie i tworzenie strategii Przeprowadzanie dyskusji trójmianu kwadratowego z parametrem I sposób rozwiązania (wzory Viète a) + m + = Zapisujemy układ warunków: > + > m Rozwiązujemy pierwszą nierówność tego układu: = m 8 > m > 8 (, ) ( ) m, Aby rozwiązać drugą nierówność, najpierw przekształcimy lewą stronę nierówności, korzystając ze wzorów Viète a: + = ( + ) = ( m) = m 4 Rozwiązujemy zatem nierówność: m 4 > m m 9 <, więc m (,) Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności:,,, m,, ( ) ( ) m i ( ) m, więc ( ) ( ) II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki trójmianu) Zapisujemy układ warunków: > + > m Rozwiązujemy pierwszą nierówność: = m 8 > m 8 > (, ) ( ) m, Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: m + m 8 m m 8 = = Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego:

Egzamin maturalny z matematyki m+ m 8 m m 8 + = + = m m m 8+ m 8 m + m m 8+ m 8 = + = 4 4 m + m 6 = = m 4 4 Rozwiązujemy drugą nierówność: m 4 > m m 9 < m (,) Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności: m (, ) (, ) i m (,), więc m (, ) (,) Rozwiązanie zadania składa się z trzech części a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności >, m (, ) (, ) Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności m m, Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b) Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt + >, ( ) W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisanie nierówności + > m w postaci równoważnej m 4 > m albo wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności m+ m 8 m m 8 + > m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Doprowadzenie do postaci nierówności kwadratowej m 9< Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie nierówności: m (,) Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi: m,, ( ) ( )

Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 ( 6) Użycie i tworzenie strategii Stosowanie równań i nierówności do opisania zależności w prostokątnym układzie współrzędnych Rozwiązanie 8 7 Y y = + A = (,5) 6 5 4-4 - - - 4 5 6 7 - X - - 5 + Obliczamy odległość punktu A od prostej y = + : d = = + Obliczona odległość d jest równa długości wysokości trójkąta ABC poprowadzonej do boku BC Znamy pole trójkąta ABC, więc obliczamy długość boku BC P ABC = 5 stąd 5 d BC =, więc BC = = 5 C =, y leży na prostej o równaniu = + C =, + Z warunków Punkt ( ) zadania mamy AC = BC ( + ) + ( + 5) = 5 Rozwiązujemy otrzymane równanie: ( + ) + ( + 5) = 5 ( ) + 4 + 4 + 8 + 6 = 5 5 = = 64 = 5 = Obliczamy rzędne punktów: y = y = y, zatem ( ), więc ze wzoru na długość odcinka zapisujemy równanie: 6 Warunki zadania spełniają dwa punkty: C ( 5, 6) C (, ) = = Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie odległości punktu A od prostej y = + : d =

4 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinków AC i BC: AC = BC = 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu C (odległość AC = 5 oraz punkt C należy do prostej o równaniu y = + ) y = + ( + ) + ( y 5) = 5 i sprowadzenie układu do równania kwadratowego: 5 = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt = 5,6 C =, Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C ( ) lub ( ) Zadanie 8 ( 5) Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu algebraicznego Rozwiązanie Zapisujemy współrzędne dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f ( ) = oraz na prostej równoległej do osi O, np A=,, B=,, gdzie C =, w zależności od jednej zmiennej: Zapisujemy pole trójkąta ABC, gdzie ( ) + P ABC = = + Wystarczy wobec tego udowodnić, (lub powołać się na znaną nierówność), że dla dowolnej liczby a > zachodzi nierówność + a Po pomnożeniu obu stron nierówności przez a a otrzymujemy nierówność równoważną + a a, czyli a a+, a więc nierówność ( a ) Uwaga Zdający otrzymuje punktów, jeżeli wybierze konkretne dwa punkty A oraz B i dla tych punktów obliczy pole trójkąta ABC Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania pkt Zapisanie współrzędnych dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f ( ) = oraz na prostej równoległej do osi O, np A=,, B=,, gdzie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt

Egzamin maturalny z matematyki 5 Zapisanie długości odcinka AB ( AB = ) oraz wysokości h trójkąta ABC ( h = + ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie pola trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej: + P ABC = = + Uwaga Zdający może założyć, że > i zapisać wzór na pole trójkąta w postaci: + P ABC = = + Rozwiązanie pełne 5pkt Uzasadnienie, że + Zdający może powołać się na (znane) twierdzenie o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności Zadanie 9 ( 4) Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc AB = CD = CF W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe Niech α oznacza kąt ABC danego równoległoboku Wówczas BCD = 8 α W kwadratach CDEF oraz CBHG mamy DCF = DCF = 9, więc ( α) FCG = 6 8 9 9 = α = ABC W trójkątach ABC i FCG mamy zatem: AB = CF, BC = CG oraz FCG = ABC, więc trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb ) Stąd wnioskujemy, że AC = FG : Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zaznaczenie na rysunku odcinków AC i FG oraz zapisanie równości AB = CF i BC = CG Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, na podstawie cechy (bkb), bez podania pełnego uzasadnienia równości kątów FCG = ABC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, wraz z podaniem pełnego uzasadnienia równości kątów FCG = ABC

6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne 4 pkt Zapisanie wniosku, że AC = FG Zadanie ( 4) Modelowanie matematyczne Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi o wartościach w zbiorze sześcioelementowym Mamy model klasyczny Ω= 6 = 6 Reszta z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez może być równa lub Suma kwadratów trzech liczb będzie podzielna przez wtedy, gdy każdy z nich będzie podzielny przez albo gdy reszta z dzielenia każdego z nich przez będzie równa Kwadraty liczb i 6 są liczbami podzielnymi przez Kwadraty liczb,, 4 i 5 dają z dzielenia przez resztę A możemy obliczać następująco: I sposób ciągi o wartościach ze zbioru {,6} jest ich = 8, ciągi o wartościach ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 = 64, czyli A = + 4 = 7 II sposób ciągi stałe jest ich 6, ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {,6} jest ich = 6, ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 = 6, ciągi różnowartościowe o wartościach ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 = 4, czyli A = 6 + 6 + 6 + 4 = 7, III sposób ciągi, w których występują liczby dające tę sama resztę przy dzieleniu przez jest ich = 4, ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez resztę i jedna liczba dająca przy dzieleniu przez resztę jest ich = 4, ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez resztę i jedna liczba dająca przy dzieleniu przez resztę jest ich = 4, czyli A = 4 + 4 + 4 = 7, 7 Zatem P( A ) = = 6 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze, że Ω = 6 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Istotny postęp pkt Zdający zapisze, że suma kwadratów trzech liczb jest podzielna przez tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są podzielne przez albo wszystkie są niepodzielne przez Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt

Egzamin maturalny z matematyki 7 Zdający poprawnie obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A: A = 7 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie pełne 4 pkt P ( A) = Zadanie ( 5) Użycie i tworzenie strategii Obliczanie objętości wielościanu z wykorzystaniem trygonometrii Uwaga Strategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów W każdym z nich wyróżniamy następujące etapy rozwiązania Poprawna interpretacja bryły i podanego kąta dwuściennego w tej bryle Wyznaczenie m lub h w zależności od a i α Wyznaczenie jednej z wielkości:, b, h b (w zależności od a i α ), z której można już wyznaczyć H Wyznaczenie H w zależności od a i α Wyznaczenie V w zależności od a i α Użyliśmy oznaczeń jak na rysunku S b h H h b m b E α h C A a F h p O B D a

8 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie (wyznaczenie m, wyznaczenie, wyznaczenie H z podobieństwa trójkątów OCS i ECF) S a Wysokość podstawy ostrosłupa jest równa h p = Wyznaczamy wysokość FE trójkąta równoramiennego ABE a tg α = FB BE = m, stąd a m = tgα Wyznaczamy długość odcinka EC z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie FCE: = h m p tg α 4sin α a tgα 4tg α sinα a a a = = = Z podobieństwa trójkątów OCS i ECF mamy OS EF H m =, czyli = OC EC h p a a a m tg cos Stąd α a α H = = = a 4sin α a 4sin α 4sin α sinα sinα Wyznaczamy objętość ostrosłupa: V A a F a a a cosα a cosα H 4 4 4sin 4sin = = = α α b h h p H Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania pkt Wykonanie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie na nim kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi O h b E α m h C B D a

Egzamin maturalny z matematyki 9 Uwaga Nie wymagamy rysunku, jeżeli z dalszych obliczeń wynika, że zdający poprawnie interpretuje treść zadania Rozwiązanie, w którym jest istotny pkt a Wyznaczenie wysokości EF trójkąta ABE w zależności od a i α : m = tgα Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a 4sin α Wyznaczenie długości odcinka EC: = sinα Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt a cosα Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: H = 4sin α ( ) Rozwiązanie pełne 5 pkt a cosα Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = 4sin α