PROSTA I ELIPSA W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ

Podobne dokumenty
Opis kształtu w przestrzeni 2D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami

ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:

Zjawisko Comptona opis pół relatywistyczny

FIZYKA I ASTRONOMIA - POZIOM ROZSZERZONY Materiał diagnostyczny. SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ 60 punktów

Geometria analityczna

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

M10. Własności funkcji liniowej

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

ANALIZA ZALEśNOŚCI KĄTA PODNIESIENIA LUFY OD WZAJEMNEGO POŁOśENIA CELU I STANOWISKA OGNIOWEGO

Lista 2 + Rozwiązania BLiW - niestacjonarne

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

FUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.

1. Z pręta o stałym przekroju poprzecznym i długości 1 m odcięto 25 cm kawałek. O ile przesunęło się połoŝenie środka masy pręta. Odp. o 8.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Fizyka 1- Mechanika. Wykład stycznia.2018 PODSUMOWANIE

Geometria analityczna - przykłady

Tematy: zadania tematyczne

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Wykład 4 Gaz doskonały, gaz półdoskonały i gaz rzeczywisty Równanie stanu gazu doskonałego uniwersalna stała gazowa i stała gazowa Odstępstwa gazów

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

W technice często interesuje nas szybkość wykonywania pracy przez dane urządzenie. W tym celu wprowadzamy pojęcie mocy.

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Funkcja liniowa - podsumowanie

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

Pęd ciała. ! F wyp. v) dt. = m a! = m d! v dt = d(m! = d! p dt. ! dt. Definicja:! p = m v! [kg m s ]

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA OPORU PRZEPŁYWU W ZŁOŻU KOKSU

Ćw. 11 Wyznaczanie prędkości przepływu przy pomocy rurki spiętrzającej

Ćw. 1 Wyznaczanie prędkości przepływu przy pomocy rurki spiętrzającej

Dwie proste mogą być względem siebie prostopadłe, równoległe albo przecinać się pod kątem innym niż prosty..

Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP

Jak określić stopień wykorzystania mocy elektrowni wiatrowej?

WYKŁAD 14 PROSTOPADŁA FALA UDERZENIOWA

Rozdział 22 Pole elektryczne

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Teoria kinetyczna INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka.

XXI OLIMPIADA FIZYCZNA(1971/1972). Stopień III, zadanie teoretyczne T3

KONKURS MATEMATYCZNO FIZYCZNY II etap Klasa II

( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...

Gaz doskonały w ujęciu teorii kinetycznej; ciśnienie gazu

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze

Grupa A. Sprawdzian 2. Fizyka Z fizyką w przyszłość 1 Sprawdziany. Siła jako przyczyna zmian ruchu

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

INTERPRETACJA WYNIKÓW BADANIA WSPÓŁCZYNNIKA PARCIA BOCZNEGO W GRUNTACH METODĄ OPARTĄ NA POMIARZE MOMENTÓW OD SIŁ TARCIA

7 Praca i energia. 7.1 Praca wykonana przez siłę stałą. Moduł II Praca i energia

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

2.14. Zasada zachowania energii mechanicznej

Wykresy i własności funkcji

[ ] 1. Zabezpieczenia instalacji ogrzewań wodnych systemu zamkniętego Przeponowe naczynie wzbiorcze. ν dm [1.4] Zawory bezpieczeństwa

Ćwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH

ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

Wykład II Sieć krystaliczna

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte = = = 2. = =1 (D) Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x. (D) Zad 5. #./ 0'!

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Mini-quiz 0 Mini-quiz 1

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Analiza wymiarowa. amper - A Θ - jednostka temperatury termodynamicznej: kelwin - K J - jednostka światłości:

TERMODYNAMIKA TECHNICZNA I CHEMICZNA

Soczewki. Ćwiczenie 53. Cel ćwiczenia

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Wyznaczanie ciepła właściwego powietrza metodą rozładowa- nia kondensatora I. Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV.

Ćwiczenie 33. Kondensatory

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

1.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE STRONA FIZYCZNA

W-23 (Jaroszewicz) 20 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego

Przykłady: zderzenia ciał

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

POWTÓRKA ROZDZIAŁU III FUNKCJA LINIOWA

Mechanika płynp. Wykład 9 14-I Wrocław University of Technology

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SZKOLE PONADGIMNAZJALNEJ. Kryteria oceniania w zakresie obowiązkowym treści nauczania. Liczby rzeczywiste

Zadania po 4 punkty. 7. Na rysunku z prawej dana jest gwiazda pięcioramienna ABCDE. Kąt przy wierzchołku C ma miarę: A) 22 B) 50 C) 52 D) 58 E) 80

Definicje i przykłady

WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU TERMODYNAMICZNEGO

MATURA Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

LABORATORIUM Z FIZYKI

Entalpia swobodna (potencjał termodynamiczny)

Drgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m

2. Obwody prądu zmiennego

Transkrypt:

D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 4 (8) 007 (Wrocław) PROSTA I ELIPSA W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ Abstract. In this aer is shown a concet of exlanation of the oveent and collision of two objects by eans of analytical geoetry. Key words: equation of line, equation of ellise, oveent of two objects, energy, kinetic energy, seed, collision of two objects.. Prosta i elisa RozwaŜy dwa ciała, o asach odowiednio oraz oruszające się o linii rostej z rędkościai v oraz v. ZałóŜy, Ŝe <. Oznaczy rzez ęd układu, a rzez E jego energię kinetyczną. May zate: oraz v + v () v + v E. () W układzie wsółrzędnych: 0v odcięta oraz 0v rzędna, równanie () rzedstawia rostą, a równanie () elisę. Paraetrai rostej i elisy są asy cząstek, wartość ędu i wartość energii kinetycznej. Dowolny unkt łaszczyzny (v, v ) interretujey jako stan układu złoŝonego z dwu oruszających się unktów. Pojęcie stanu układu oisuje rędkości cząstek, a nie ich ołoŝenia na. Wzór () wyraŝa ęd układu, a wzór () jego energię kinetyczną. Prosta () jest zbiore stanów o identyczny ędzie, natoiast elisa () jest zbiore stanów o takiej saej energii kinetycznej.

4 W rzyadku, gdy asy obu cząstek są równe, równanie () rzedstawia okrąg. Prosta oŝe ieć względe elisy trzy ołoŝenia. Albo jest sieczną elisy, albo styczną do elisy, albo nie a z elisą unktów wsólnych. Sybolai 0,,, 3 oraz 4 oznaczyy roste równoległe do rostej danej równanie (); ają one równania v + v k, (3) gdzie k 0,,, 3, 4. Dla uroszczenia syboliki roste oznaczay w taki sa sosób, jak wartości ędu: zob. równanie (3). Prosta nie a z elisą Ŝadnych unktów wsólnych. NieoŜliwy jest zate stan układu, w który ęd jest równy i jednocześnie energia kinetyczna jest równa E. WyraŜa to fizykalny fakt, Ŝe rzy danej energii kinety-cznej ęd układu jest ograniczony. Posługując się rys., odczytay aksyalny ęd, który oŝe ieć układ dwu ciał rzy zadanej energii kinety-cznej równej E. v v v 0 4 H G B C B v 3 D H G Rys.

Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał 5 Proste oraz 3 są styczne do elisy, a roste, 0 oraz 4 są siecznyi elisy. Z ołoŝenia rostych względe elisy wyciągniey wnioski waŝne z unktu widzenia fizyki.. Maksyalny i inialny ęd, inialna energia kinetyczna Na rysunku zaznaczono rostą jako styczną do elisy danej równanie () w unkcie C(c, c), który a obie wsółrzędne równe, a rostą 3 jako styczną do elisy w unkcie D(d, d), który odobnie jak unkt C a obie wsółrzędne równe. Elisa jest syetryczna względe oczątku układu wsółrzędnych, skąd wynika, Ŝe 3 oraz d c. WykaŜey, Ŝe roste równoległe do rostej danej równanie () i styczne do elisy danej równanie () rzeczywiście ają unkty styczności leŝące na rostej o równaniu v v, (4) czyli Ŝe ołoŝenie rostych oraz 3 stycznych do elisy () i równoległych do rostej () jest takie, jak na rys.. Z ogólnych wzorów dotyczących elisy i dostęnych w kaŝdych tablicach wiadoo, Ŝe styczna do elisy () w unkcie C(c, c), a równanie: c v + c v E, (5) gdzie c jest rozwiązanie układu równań () i (4), skąd: E c, rzy czy rzez oznaczono całkowitą asę układu, a więc: +. Wektor rostoadły do rostej danej równanie (5) jest równy: c, a więc jest on równieŝ rostoadły do rostej (), co, ( ) dowodzi, Ŝe roste równoległe do rostej danej równanie () i styczne do elisy danej równanie () ają unkty styczności leŝące na rostej o równaniu v v, czyli Ŝe sytuacja wygląda tak, jak rzedstawiono na rys.. Równanie (5) rzedstawiy w ostaci: v + v E. (6)

6 Stąd wnosiy, Ŝe jeŝeli araetr w równaniu () sełnia nierówność < E, to układ równań () i () a dwa rozwiązania, co oznacza, Ŝe dla danych wartościa ędu i energii kinetycznej są oŝliwe dwa stany, w których układ oŝe ieć zadane wartości ędu i energii kinetycznej. Na rysunku sytuacja taka zachodzi dla rostych:, 0, 4. Jeśli sełniona jest nierówność > E, to układ równań () i () nie a rozwiązań. Na rysunku sytuację taką rzedstawia rosta. W taki wyadku nieoŝliwy jest taki stan, w który to układ iałby zadane wartości ędu i energii kinetycznej. JeŜeli zachodzi równość E, to układ równań () i () a jedno rozwiązanie. Na rysunku zob. roste i 3. Wartość E jest aksyalną, a wartość 3 E jest aksyalną i inialną wartością ędu układu rzy zadanej wartości energii kinetycznej równej E. Odwrotnie, rozwaŝyy zbiór elis o równaniach v + v E j, gdzie i 0,,, 3. (7) B v v v 0 B B 0 B v E 3 E E E 0 B

Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał 7 Rys. Jeśli wartość energii kinetycznej sełnia nierówność E >, to istnieją dwa rozwiązania układu równań () i (), a więc oŝliwe są dwa stany, w których oŝe znaleźć się układ rzy z góry zadanych wartościach ędu i energii kinetycznej. Na rysunku są to elisy oznaczone sybolai E oraz E. Jeśli wartość energii kinetycznej sełnia nierówność E >, to istnieją układ równań () i () nie a rozwiązania. Na rysunku warunek ten sełnia elisa E 3. W tej sytuacji nieoŝliwy jest stan, w który układ rzybierałby takie wartości ędu i energii kinetycznej. W wyadku równości E 3 wartość E 3 jest inialną energią kinetyczną, jaką usi ieć układ rzy zadany ędzie równy (wartość ędu oŝe być dodatnia lub ujena). Z tego, Ŝe unkty styczności rostej i elisy leŝą na rostej o równaniu (4) wynikają wnioski: dla zadanej wartości ędu układ a inialną energię, jeśli rędkości obu cząstek są równe. Dla zadanej energii kinetycznej ęd układu jest aksyalny, jeśli rędkości obu cząstek są równe i dodatnie, a inialny, jeśli rędkości obu cząstek są równe i ujene. Prosta 0 jest zbiore stanów, dla których łączny ęd układu wynosi zero. Wsółczynnik kierunkowy tej rostej wynosi. Iloczyn wsółczynników kierunkowych rostej danej równanie (4) i rostej 0 wynosi równieŝ.

8 Półoś wielka elisy () jest równa a ółoś ała wynosi skąd ay równość E a, E b, b. a Wynika stąd, Ŝe zawarte w elisie odcinki rostych o równaniach (4) i (3), dla 0 0, a więc odcinki C, D oraz G, G są arą średnic srzęŝonych elisy, co oznacza, Ŝe rosta o równaniu (4) ołowi odcinki B, B, H, H oraz G, G. Przy zerowy ędzie jest oŝliwa dowolna wartość energii kinetycznej. Minialna energia kinetyczna takiego układu wynosi zero i jest osiągnięta wówczas, gdy obie cząstki są w stanie soczynku. 3. Zderzenie cząstek Przy odbiciu sręŝysty zachowane są zarówno ęd, jak i energia kinetyczna. Jeśli układ a ęd równy i energię kinetyczną równą E, to z analizy rysunku i równań () oraz () wynika, Ŝe o odbiciu sręŝysty układ ze stanu B(b, b ) rzejdzie w stan B (b, b ). Jeśli układ znajduje się w stanie B, to o odbiciu sręŝysty znajdzie się w stanie B. Podobnie zachowa się układ, jeśli będzie iał ęd 4 i energię kinetyczną równą E; wówczas ze stanu H rzejdzie o odbiciu sręŝysty w stan H i odwrotnie ze stanu H rzejdzie w stan H. Jeśli układ a ęd równy zeru to ze stanu G rzejdzie o odbiciu sręŝysty w stan G i odwrotnie ze stanu G w stan G; wsółrzędne obu unktów wynoszą odowiednio G( g, g ) oraz G (g, g ), rzy czy, rozwiązując układ równań () i (3) dla k 0 dostajey równości: g E oraz g E.

Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał 9 Stąd wynika, Ŝe ęd układu dwu cząstek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich rędkości wynosi E. Jeśli rzy zadany ędzie energia kinetyczna jest inialna, to rędkości obu cząstek są identyczne, a więc zderzenie cząstek nie nastąi. Tak więc, warunkie konieczny zderzenia cząstek jest energia kinetyczna układu rzekraczająca wartość inialną dla danego ędu. ZaleŜność iędzy wsółrzędnyi stanów rzy zderzeniu sręŝysty rzed i o zderzeniu, a więc zaleŝność iędzy wsółrzędnyi unktów B oraz B zacytujey z klasycznego odręcznika (R. Resnick, D. Halliday (980), str. 7, 7). Z równań energii kinetycznej i ędu dostajey: oraz skąd wynika, Ŝe i b b b b ( ) ( ) + + b b b b + +, ( ( ) ) (( ) ) b b b b ( b b ) ( b b ). Dzieląc stronai dwie ostatnie równości, otrzyujey: a o uorządkowaniu b +, b b + b b, b b b skąd wynika, Ŝe rędkość zbliŝania się cząstek rzed zderzenie jest równa rędkości oddalania się cząstek o zderzeniu. Rozwiązując układy równań, dostajey o krótkich rachunkach zaleŝności iędzy wsółrzędnyi stanów B i B : oraz b b + b (8)

0 b b + b. (9) Wzory te ozwalają rawidłowo interretować ołoŝenie unktów B i B. Rozwiązując układ równań () i (), o krótkich rachunkach dostajey zaleŝności: oraz b b ( E ), (0) ( E ) + () ( E ) + b, () ( E ) b. (3) Wstawiając wyniki dane wzorai (0)-(3) do wzorów (8) i (9) łatwo srawdzić zgodność wyników. W czasie zderzenia cząstek ogą nastąić rozroszenie energii kinetycznej lub jej ziana w ewną forę energii otencjalnej, oŝe nastąić równieŝ wyzwolenie ewnej energii otencjalnej, która była ukryta w układzie dwu cząstek, a zderzenie było sygnałe do jej uwolnienia. RozwaŜyy te rzyadki. Zderzenie całkowicie niesręŝyste olega na ty, Ŝe w czasie zderzenia oba ciała łączą się i dalszy ruch odbywają wsólnie. Zachowuje się rzy ty ęd całego układu. Z tego, co owiedziano urzednio wynika, Ŝe równa rędkość obu ciał ociąga za sobą inializację energii kinetycznej układu. W taki wyadku zarówno ze stanu B, jak i ze stanu B układ o zderzeniu całkowicie niesręŝysty znajdzie się w stanie B 0 o wsółrzędnych B 0 (b 0, b 0 ), zob. rys.. Punkt B 0 leŝy na elisie o równaniu

Prosta i elisa w oisie ruchu dwu ciał v + v (4) oraz na rostej o równaniu (4), skąd wynika, Ŝe b 0. Dla wartości energii kinetycznej E większej od E elisa o równaniu v + v E jest większa od elisy danej wzore (), w związku z czy rosta o równaniu () rzecina taką elisę w dwu unktach B oraz B, które rerezentują stany układu o ędzie równy i energii kinetycznej E większej od E. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai (0) i (), rzy czy wartość E w tych wzorach naleŝy zastąić wartością E. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai () i (3), rzy czy wartość E w tych wzorach równieŝ naleŝy zastąić wartością E. Jeśli w zderzających się ciałach jest zagazynowana jakaś energia otencjalna, która wyzwoli się odczas zderzenia (R. Resnick, D. Halliday (980), str. 73), i energia układu o zderzeniu będzie większa niŝ rzed zderzenie, to rzy zachowany ędzie równy stan układu zieni się odczas zderzenia od unktu B do unktu B. Jeśli wyjściowo układ znajduje się w stanie B, wówczas o zderzeniu będzie w stanie B, zob. rys.. B v v v B B 0 B B v E E E 0 Rys. 3

elisa Dla wartości energii kinetycznej E niejszej od E, lecz większej od E 0 v + v E jest niejsza od elisy danej wzore (), lecz większa od elisy danej wzore (4) i a dwa unkty rzecięcia z rostą daną wzore (). Są to unkty B i B, zob. rys. 3. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai (0) i (), rzy czy wartość E w tych wzorach naleŝy zastąić wartością E. Wsółrzędne unktu B dane są wzorai () i (3), rzy czy wartość E w tych wzorach równieŝ naleŝy zastąić wartością E. Jeśli w zderzających się ciałach część energii zostanie rozroszona lub zagazynowana w forie energii otencjalnej w oruszających się cząstkach, to energia kinetyczna układu o zderzeniu będzie niejsza niŝ rzed zderzenie, lecz większa od inialnej energii kinetycznej układu rzy zachowaniu ędu srzed zderzenia. Stan układu zieni się odczas zderzenia od unktu B do unktu B. Jeśli wyjściowo układ znajduje się w stanie B, to o zderzeniu będzie w stanie B, zob. rys. 3. Literatura R. Resnick, D. Halliday (980). Fizyka. PWN. Warszawa. J. Królikowski C. Steckiewicz (963). Mateatyka wzory, definicje i tablice. Wydawnictwo Kounikacji i Łączności. Warszawa.