Analiza wymiarowa. amper - A Θ - jednostka temperatury termodynamicznej: kelwin - K J - jednostka światłości:

Transkrypt

1 Analiza wyiarowa. Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI Układ jednostek to zbiór jednostek iar uznanych za podstawowe oraz innych jednostek, które nazywa się pochodnyi, które przez te podstawowe się wyraŝają. Tak np. w układzie iędzynarodowy SI jednostki długości, czasu i asy są traktowane jako jednostki podstawowe, natoiast jednostki siły, pędu i energii jako jednostki pochodne. Ta saa wielkość fizyczna oŝe być w jedny układzie jednostką podstawową, a w inny jednostką pochodną. Jednostki pochodne tworzy się z jednostek podstawowych na podstawie praw fizycznych wiąŝących rozpatrywane wielkości. rzykładowo, jednostka siły niuton jako jednostka pochodna wyraŝa się poprzez jednostki podstawowe w postaci N=kg /s dlatego Ŝe istnieje prawo fizyczne (II zasada dynaiki Newtona) wiąŝące rozpatrywane wielkości. Istnieje oŝliwość utworzenia wielu układów jednostek iar, które róŝniłyby się ilością i rodzaje podstawowych jednostek iar. Do poyślenia jest zarówno układ, w który byłaby tylko jedna jednostka podstawowa (pozostałe byłyby pochodnyi, otrzyanyi za poocą praw fizycznych i wyraŝonyi poprzez tą jedyną), jak i sytuacja odwrotna, gdy w układzie występowałyby jedynie jednostki podstawowe. raktyczna stosowalność układu nakłada jednakŝe silne ograniczenia na ilość jednostek podstawowych. Obowiązujący obecnie jest układ SI, bazujący na następujących siediu podstawowych jednostkach iar (obok nazwa danej jednostki i jej skrót): L - jednostka długości ; etr - M - jednostka asy: kilogra - kg T - jednostka czasu: sekunda - s I - jednostka natęŝenia prądu: aper - A Θ - jednostka teperatury terodynaicznej: kelwin - K J - jednostka światłości: kandela - cd N - jednostka ilości aterii. ol - ol KaŜda wielkość fizyczna oŝe być wyraŝone jedynie poprzez te siede jednostek iar. rzykładowo dla energii E, współczynnika przewodnictwa cieplnego λ, pojeności elektrycznej C i struienia agnetycznego Φ ay w układzie SI następujące wyraŝenia wyiarowe: [ E ] = L M T [ λ ] = L M T Θ [ C ] = L M T I [ Φ ] = L M T I 4 Nawias kwadratowy inforuje, ze rzecz dotyczy wyiaru wielkości, zaś wykładniki potęgowe inforują o wyiarach danej wielkości względe odpowiednich jednostek iar. MoŜey zate powiedzieć, Ŝe np. energia E a wyiar względe jednostki długości, wyiar względe jednostki asy i wyiar - względe jednostki czasu. Jedną z zalet układu SI jest obecność w ni jednostek iar, które od dawna stosuje się w praktyce. Wadą jest natoiast konieczność wprowadzenia dwu stałych - stałej elektrycznej ε 0 i stałej agnetycznej µ 0 - w celu dopasowania jednostek echanicznych z elektroagnetycznyi.. Ziana wartości liczbowych wielkości fizycznych wywołana zianą podstawowych jednostek iar w dany układzie.

2 Ziana wartości podstawowych jednostek iar powoduje zianę wartości liczbowej danej wielkości fizycznej. rzykładowo, w układzie SI, gdzie jednostką długości jest etr, a czasu sekunda, wartość przyśpieszenia zieskiego wynosi g=9,8. Jaka będzie ta wartość w układzie, w który za jednostkę długość uznay np. cal, zaś za jednostkę czasu np. inutę? Spróbujy rozwiązać zadanie przeliczania wartości z jednego układu jednostek iar do drugiego w sposób ogólny. Niech przykładowo wielkość fizyczna A wyraŝa się w następujący sposób poprzez podstawowe jednostki iar tego układu [ A ] = p r s L T M () gdzie L,T i M oznaczają, jak wyŝej, uogólnione oznaczenia jednostki, odpowiednio, długości, czasu i asy, JeŜeli zieniy (zwiększyy) w dany układzie jednostkę długości n razy, jednostkę czasu n razy, jednostkę asy n razy, to wartość liczbowa danej wielkości, zgodnie z () zieni się /k razy, gdzie p r s k = ( n ) ( n ) ( n ) owróćy do wcześniejszego przykładu. oniewaŝ cal=,54 c, zaś inuta =60 sekund, to n =,54/00=0,054, natoiast n =60/. Dlatego k 0,054 ( 60) 7, = = Zate wartość przyśpieszenia zieskiego w nowy układzie wynosi 9,8 (/k)=9,8 47,8=909,6668 cali/inutę, czyli g=,9 Mcali/in.. Analiza wyiarowa jako sposób rozwiązywania zadań Równania wiąŝące wielkości fizyczne uszą ieć taką postać, aby wyiary występujące przy odpowiednich podstawowych jednostkach iar po lewej i prawej strony danej równości były takie sae. rzykładowo, równanie wyraŝające okres drgań τ wahadła ateatycznego a postać: τ = π l g () gdzie τ jest okrese drgań, l jest długością wahadła, zaś g jest przyśpieszenie grawitacyjny. Jak łatwo sprawdzić w równaniu (), po odpowiednich przekształceniach, po obu stronach równości występuje jedynie czas τ w potędze pierwszej. Równanie () przepiszy w postaci τ= π l g które w najogólniejszej forie oŝna zapisać tak: / / β τ= c l g () gdzie c= π, =/, β=-/. Analiza wyiarowa opiera się na załoŝeniu, Ŝe tak jak w równaniu (), dana wielkość fizyczna oŝe być przedstawiona jako jednoian potęgowy innych, zaleŝnych wielkości fizycznych. Niejednokrotnie daje się jednoznacznie wyznaczyć wykładniki potęgowe w postulowanej równości typu (). W jaki sposób działa ta etoda zostanie zadeonstrowane na przykładzie wyznaczenia okresu drgań wahadła ateatycznego. Etap I: wypisanie wielkości fizycznych, od których - jak przypuszczay - oŝe zaleŝeć okres drgań T. Niech będą to: - asa kulki, l -długość nici, g - przyśpieszenie grawitacyjne.

3 Dwie pierwsze wielkości zostały wybrane dlatego, Ŝe charakteryzują one sao wahadło, natoiast trzecia wielkość charakteryzuje pole grawitacyjne, bez którego nie byłoby drgań. May zate N=4 wielkości, poiędzy któryi szukay związku (τ,, l, g) oraz K= jednostki iar, przez które się one wyraŝają ( L, T, M). Etap II: ostulujey następujący kształt równania wiąŝącego te cztery wielkości: β γ τ= c l g (4) W powyŝszy równaniu c jest liczbą, której wartości etoda analizy wyiarowej nie potrafi wyznaczyć. ostulujey, co znajduje uzasadnienie w wielu przykładach, Ŝe wartość c zbliŝona jest do jedyności. Równanie (4) zapiszey dla jednostek iar w następujący sposób: ( ) T = L L T M Równanie (5) jest równowaŝne trze równanio, zapisany dla kaŝdej jednostki iary oddzielnie: T: = β β 0 = + β 0 = γ (6) Zate równania (6) wynikają z przyrównania wykładników potęgowych przy odpowiednich jednostkach iar. Rozwiązując (6) otrzyay: = β = γ = 0 Ostatecznie równanie (4) będzie iało postać τ= c l / g / 0 = c l g (7) Otrzyaliśy równanie, które poprawnie oddaje funkcyjną zaleŝność okresu drgań od długości wahadła i przyśpieszenia grawitacyjnego. ZauwaŜy, Ŝe układ równań (6) potrafiliśy rozwiązać dlatego, Ŝe ilość równań była równa ilości niewiadoych. Zate, gdy ilość rozpatrywanych wielkości przewyŝsza o jeden ilość wykładników potęgowych (N=K+), to wartości tych ostatnich będzie oŝna wyznaczyć. Gdyby natoiast N>K+, wtedy naleŝałoby zrobić dodatkowe załoŝenia dotyczące rozpatrywanego probleu. Ilustruje to poniŝszy przykład. W cylindryczny naczyniu o polu przekroju poprzecznego S znajduje się ciecz nielepka o gęstości ρ, wypełniająca naczynie do wysokości h. W dnie naczynia znajduje się otwór o powierzchni S, przez który ciecz wypływa. Oszacować czas wypływu cieczy z naczynia. oniewaŝ wypływ odbywa się pod wpływe siły cięŝkości, dlatego czas wypływu - oprócz wielkości występujących w treści zadania - będzie zaleŝał od przyśpieszenia grawitacyjnego g. Zate β γ ε t= c ρ h g S S (8) Równanie to zapisane za poocą jednostek iar przyjie postać: β T = M L L L T L L Jest to równowaŝne następująceu układowi równań γ γ ε (5)

4 T: = γ 0 = 0 = + β + γ + + ε Jak łatwo sprawdzić = 0 γ = / czyli czas wypływu nie zaleŝy od gęstości. Trzech pozostałych wykładników nie oŝna obliczyć nie czyniąc dodatkowych załoŝeń. Zróby więc następujące załoŝenie: prędkość wypływu nie zaleŝy od powierzchni otworu. Oznacz to, Ŝe czas wypływu jest odwrotnie proporcjonalny do powierzchni otworu S (ε= ), oraz Ŝe jest on wprost proporcjonalny do ilości cieczy w naczyniu, co dla ustalonego h oznacza, Ŝe takŝe do S (=). To załoŝenie uoŝliwia obliczenie ostatniego wykładnika. Dostajey, Ŝe β=/. Zate ostatecznie h = S t c g S Inny sposób uoŝliwiający zwiększenie ilości równań polega na ty, Ŝe zwiększa się ilość jednostek iar, dodając jednostki pochodne. Rozpatrzy poniŝszy przykład. W cieczy o gęstości ρ i współczynniku lepkości η wypływa pęcherzyk zapełniony gaze o poijalnej gęstości i proieniu r. Jaka ustali się prędkość v wypływu tego pęcherzyka? oniewaŝ ruch pęcherzyka odbywa się w polu grawitacyjny, to oprócz wielkości wyienionych w zadaniu, rozpatrzyć takŝe trzeba zaleŝność prędkości od przyśpieszenia grawitacyjne g. Zate v= c r β g γ ρ η (9) Równanie powyŝsze przepisane dla podstawowych jednostek iar przyjie postać L T ( L ) ( L T ) ( M L ) ( M L T ) = β γ (0) Jak łatwo zauwaŝyć ay cztery niewiadoe wykładniki potęgowe i jedynie trzy równania (dla M, T, i L) z których oŝey je wyznaczyć. Spróbujy zwiększyć ilość równań wprowadzając dodatkową jednostkę iary - siłę. Oznaczy jednostkę tej iary jako F. Wtedy równanie (0) przybierze postać = β γ L T L F M M L T F L Rozpisując je dla poszczególnych jednostek iar dostaniey T: = 0 = β + γ = γ F: 0 = β + () Rozwiązując układ () otrzyay = β = γ = = Zate dla prędkości wypływu pęcherzyka uzyskaliśy następujące równanie v c g r = ρ η. Analizę wyiarową oŝna takŝe stosować w zadaniach dotyczących odelowania zjawisk. Modelowanie to zaiana badania interesującego nas zjawiska występującego w

5 naturze badanie analogicznego zjawiska na odelu wykonanego w większej lub niejszej skali.. Rozpatrzyy jako przykład poniŝsze zadanie. Śigłowiec i jego odel w skali :0 wykonane są z tych saych ateriałów. Jaką oc usi ieć silnik zdolny utrzyać w powietrzu śigłowiec, jeŝeli odel utrzyywany jest w powietrzu przez silnik o ocy =0 W? Śigłowiec utrzyuje się w powietrzu dzięki teu, Ŝe odrzuca w dół pewną asę powietrza. JeŜeli w czasie t śigło zakreśli powierzchnię S, nadając powietrzu prędkość v, to uzyska ono pęd p równy p= v= V ρ v=s v t ρ v=v S ρ t Zgodnie z trzecią zasadą dynaiki Newtona powietrze nada przeciwnie skierowany pęd śigłowcu. Zate siła, z jaką powietrze działa na śigłowiec jest równa F=( p/ t)=v S ρ Aby śigłowiec utrzyał się w powietrzu, siła ta usi być równa sile grawitacji działającej na niego v S ρ=μ g gdzie M jest asą śigłowca. Z powyŝszego równania oŝey wyznaczyć prędkość v struienia powietrza: v = M g S ρ Moc silnika śigłowca obliczyy z równania =F v. Dlatego =v S ρ= M g S ρ Oznaczając indekse wielkości dotyczące odelu śigłowca dostajey M S = M = S V V S S Zwiększając n razy roziar L powodujey zwiększenie powierzchni n razy oraz zwiększenie objętości n razy. Dlatego = L L 9 L L = n 9 n = n 7 / W naszy przypadku n=0. Dla wartości podanych w zadaniu =0 0 7/ =94,868 kw.