XXI OLIMPIADA FIZYCZNA(1971/1972). Stopień III, zadanie teoretyczne T3

Transkrypt

1 XXI OLIMPIADA FIZYCZNA(1971/197) Stoień III, zadanie teoretyczne T3 Źródło: Olimiady fizyczne XXI i XXII, WSiP Warszawa 1975 Autor: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Andrzej Szymacha Obrót łytki Mechanika Ciśnienie gazu, rawdoodobieństwo, zderzenia srężyste i niesrężyste, ęd, moment siły, moment obrotowy Zadanie teoretyczne T3, zawody III stonia, XXIOF Płaską, cienką, rostokątną łytkę o masie m zawieszono ionowo (w sosób symetryczny) na dwóch nieważkich, nierozciągliwych nitkach tak, jak to okazuje rysunek 1 Połowę owierzchni z każdej strony łytki okryto aktywnym chemicznie metalem Całość umieszczono w bańce szklanej, oczątkowo oróżnionej, do której w ewnym momencie wuszczono gazowy chlor od ciśnieniem Zakładając że, rawdoodobieństwo zajścia reakcji chemicznej rzy zderzeniu cząsteczki chloru z metalem wynosi P < 1, oblicz kąt, o jaki obróci się łytka wokół osi ionowej w stanie równowagi Wskazówka Przyjmijmy, że gęstość chloru jest raktycznie taka sama o obu stronach łytki, że sadek ciśnienia chloru w miarę zachodzenia reakcji jest zaniedbywanie mały i że owstający chlorek metalu ozostaje na łytce Zakładamy również, że w okresie czasu, w którym rowadzimy obserwację, rzereagowało na tyle mało chloru, że rawdoodobieństwo P i masę łytki m można uważać za stałe Rys 1 Rozwiązanie Fakt, że ewna część zderzających się z łytką cząsteczek chloru wchodzi w reakcję chemiczną oznacza, że zderzenia takie, nie będą srężyste jak w normalnym rzyadku gazu obojętnego - 1/5 -

2 lecz będą zderzeniami niesrężystymi Przy wyrowadzeniu zwykłego wzoru na ciśnienie gazu w zależności od jego gęstości i średniej energii kinetycznej (czyli temeratury) zakłada się, że zderzenia są srężyste W wyniku zderzenia niesrężystego zmiana ędu łytki jest z oczywistych owodów dwukrotnie mniejsza niż rzy zderzeniu srężystym Wynika to z rostej arytmetyki 1 m v 0 = [ m v ( m v)] Zderzająca się cząstka zamiast odskoczyć z ędem mv ozostaje na łytce z ędem zero Gdyby wszystkie zderzenia były niesrężyste, wtedy ciśnienie chloru wywierane na metal byłoby dokładnie równe ołowie ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia (które oznaczamy ) Jeżeli zaiszemy ciśnienie w ostaci: = P + 1 P ( ), gdzie P rerezentuje ułamek zderzeń niesrężystych w stosunku do wszystkich zderzeń, to jest jasne, że różnica między ciśnieniem wywieranym na szklaną stronę łytki (równym ciśnieniu wywieranemu na ścianki naczynia) a ciśnieniem wywieranym na obszar łytki okryty metalem wyniesie 1 P Z tym niezrównoważonym ciśnieniem związana jest siła działająca na każdy element łytki Siła ta skierowana jest od strony nie okrytej metalem Soglądając na rysunek widzimy, że całkowita siła działająca na łytkę równa jest zeru, różny od zera jest jedynie moment obrotowy starający się obrócić łytkę rzeciwnie do ruchu wskazówek zegara Siła działająca na każdą ze stron łytki nie jest skuiona w jednym czy dwóch unktach, lecz rozłożona w sosób ciągły; żeby znaleźć moment siły należałoby w zasadzie całkować Rys Rozkład sił jest tu jednakże tak rosty, że możemy odwołać się do znanego i wielokrotnie w szkole wykorzystywanego twierdzenia: rzy równomiernym rozkładzie siły wzdłuż belki czy łytki wyadkowy moment trzeba obliczać tak, jakby siła rzyłożona była w ołowie belki Stosując owyższe twierdzenie do każdej z ołówek łytki i oznaczając ole owierzchni ołowy łytki rzez S odczytujemy z rysunku, że całkowity moment sił obracający łytkę wynosi 1 M = PSb (1) Rozumiemy już, dlaczego łytka zaczyna się obracać Musimy jeszcze zrozumieć, co owstrzyma jej obrót, rowadząc w efekcie do ustalenia się ewnej równowagi Otóż amiętaj- - /5 -

3 my, że linki utrzymujące ciężar łytki są cały czas naięte Póki łytka wisi w najniższym ołożeniu, linki są ustawione ionowo, ionowe są też siły naięcia rzyłożone do łytki Ich moment obrotowy wynosi zero W miarę obracania łytki zmienia się kierunek linek siły naięcia, równoważące w dalszym ciągu ciężar łytki, zaczynają mieć różny od zera moment, starający się obrócić łytkę zgodnie z ruchem wskazówek zegara Moment ten zwiększa się ze wzrostem kąta, o który obróciła się łytka Położenie równowagi, które mamy wyznaczyć, charakteryzuje się równością tego momentu obrotowego i momentu sił niezrównoważonego ciśnienia danego wzorem (1) Postarajmy się teraz obliczyć moment sil naięcia nitek Ze względu na symetrię środek łytki (i środek krawędzi) będzie w trakcie obracania łytki jedynie się odnosił, ozostając cały czas na tej samej linii ionowej rzechodzącej rzez środek odcinka łączącego unkty zamocowania linek Z równoramiennego trójkąta ASC mamy: Z rostokątnego trójkąta ABC Rys 3 AC = asin () a sin, asin AC sin β = = = sin = β AB a Gdyby długość linek i ich odległość ni były secjalnie dobrane, to związek między kątami i β nie byłby taki rosty Nie jest to jednak owód do zmartwienia! Pionowa składowa naięcia nici N cosβ musi równoważyć ołowę ciężaru łytki (amiętajmy, że są dwie linki) (3) N cos β = mg (4) Pozioma składowa naięcia N ma wartość N sinβ i skierowana jest wzdłuż rzyrostokątnej AC trójkąta ABC Odcinek AC jest jednak również odstawą równoramiennego trójkąta ASC, zatem składowa ozioma siły N ma ramię równe wysokości trójkąta ASC, którą łatwo obliczyć: - 3/5 -

4 wysokość trójkąta ASC = = a cos Zatem moment obrotowy ochodzący od obu linek M ' = N sin β acos (5) Wyznaczając N z (4) i wstawiając do (5) dostajemy: mg M ' = sin β acos = mgasin β = mgasin (6) cosβ Przyrównując teraz M dane wzorem (1) do M' danego wzorem (6) dostajemy warunek równowagi: M = 1 PSb = mgasin, (7) skąd PSb sin = mga Aby ten wzór miał sens, czyli by warunek równowagi (7) mógł być sełniony, musi być: PSb 1 (8) mga Zbadajmy sens tego warunku Jeśli zaczniemy zwiększać moment obracający łytkę (n zwiększając ciśnienie ) od niewielkiej wartości, rzy której warunek (8) jest sełniony, to kąt skręcenia będzie systematycznie rósł Jednocześnie z kątem rośnie kąt β Jeśli oatrzymy na wzór (4), to widzimy, że rośnie też naięcie nici, rzy czym dla 1 PSb mga cosβ 0, a więc N Żadna z realnie istniejących nici nie jest absolutnie nierozciągliwa, ani nieskończenie wytrzymała W rzeczywistości więc, albo nastąi lekkie wydłużenie nici i nim β osiągnie 90, kąt rzekroczy 180 i nastąi skrzyżowanie linek, albo o rostu linki ulegną zerwaniu Wysokość na jaką wzniesie wskutek obrotu środek ciężkości łytki łatwo wyznaczyć Odczytujemy z rysunku 3, że wynosi ona AC' = a acos β (9) Jeśli energię otencjalną łytki związaną z silą ciężkości mierzyć od najniższego ołożenia, to mamy E' = mga' C = 4mgasin (10) 4 Orócz siły ciężkości, z którą związana jest energia otencjalna (10), na łytkę działa jeszcze stały moment obrotowy M, dany wzorem (1) Ze stałym momentem obrotowym można również związać energię otencjalną Zdefiniujmy ją jako racę sil otrzebnych do zrównoważenia owego stałego momentu i obrócenia łytki (wyobrażając sobie, że żadna inna siła nie działa) Ponieważ moment M działa w tym samym kierunku, w którym rośnie kąt, więc rzyłożona ara sił wykona racę ujemną W czasie obrotu o kąt każdy z unktów rzyłożenia siły a równoważącej rzesunie się o, a zatem raca dwóch takich sił będzie równa: - 4/5 -

5 b 1 E = PS = M (11) Co można owiedzieć o ołożeniu równowagi znając energie otencjalne związane z wszystkimi siłami działającymi na układ? Oczywiste jest, że równowaga odowiada ołożeniu, w którym całkowita energia osiąga minimum Wyznaczmy to minimum rzyrównując do zera ochodną sumy E ' + : E co o wykonaniu różniczkowania daje: d [ E' + E ] = 0, d mgasin M = 0, a więc to samo co równanie (7) Przy okazji zyskujemy interretację warunku minimum energii otencjalnej Pochodna jednej energii, n E', równa jest momentowi siły związanemu orzez naięcie linek z ciężarem łytki, a ochodna drugiej, to znaczy E (1) (13), daje moment M Znikanie sumy tych ochodnych oznacza (o uwzględnieniu oczywistej różnicy znaków) o rostu równość momentów w ołożeniu równowagi Można udowodnić, że ochodna energii otencjalnej zależnej od ewnego kąta, jest w ogólnym rzyadku równa momentowi siły związanej z tą energią otencjalną Można by więc o rostu skorzystać wrost ze wzoru (10) do obliczenia M' i uzyskać warunek równowagi bez obliczania energii otencjalnej związanej z momentem M - 5/5 -