Opis kształtu w przestrzeni 2D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH

Transkrypt

1 Ois kształtu w rzestrzeni 2D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH

2 Krzywe Beziera W rzyadku tych krzywych wektory styczne w unkach końcowych są określane bezośrednio rzez dwa unkt ośrednie, które nie leżą na krzywej. Wektory styczne oczątkowy i końcowy są określane rzez wektory 1 2 i 3 4 i są związane z 1 i 2 zależnościami: =3 0 =3 =3 1 =3

3 Krzywe Beziera Przy tworzeniu krzywych Beziera wykorzystujących wielomiany trzeciego stonia często korzysta się z faktu, ze roste rzechodzące rzez unkty: oczątkowy i nastęujący o nim końcowy i orzedzający go są rostymi stycznymi do krzywej. Odcinki łączące unkt oczątkowy i nastęujący o nim oraz unkt końcowy i orzedzający go często nazywa się kierownicami

4 Relacja omiędzy macierzami geometrii Hermite ai Beziera Krzywa Bezierainterolujewięc dwa końcowe unkty kontrolne i aroksymuje dwa ozostałe. Macierz geometrii Bezierawygląda nastęująco: =,,, Macierzą łączącą rerezentacje Hermite ai Bezierajest macierz. Aby krzywe były identyczne bez względu na rerezentacjęmusi zachodzić warunek: =,,, =,,,

5 Relacja omiędzy macierzami geometrii Hermite ai Beziera Stąd: =,,, 1,0,0,0 =,,, 0 0,0,1 =3 =,,, 3,3,0,0 =3 =,,, 0,0, 3,3, Równania te można zastąić jednym macierzowym z macierzą o rozmiarze 4 4: = =,,,

6 Relacja omiędzy macierzami geometrii Hermite ai Beziera W celu znalezienia macierzy bazowej Beziera korzystamy z równania: =,, = dla ostaci Hermite ai odstawiamy = Stąd = = = = rzy czym: =

7 Relacja omiędzy macierzami geometrii Hermite ai Beziera Wykonując mnożenie: = = Zatem krzywa Beziera jest oisana równaniem: = = = Cztery wielomiany 1,3 1,3 1 oraz, które są wagami owyższego równania są nazywane wielomianami Bersteina.

8 Wielomiany Bernsteina Wielomiany Bernsteina są funkcjami wagowymi krzywych Beziera

9 Łączenie krzywych Beziera Dwie krzywe Beziera łączące się w unkcie P4. Punkty P3, P4, P5 są wsółliniowe

10 Łączenie krzywych Beziera Jeżeli segment lewy oznaczymy rzez a rawy rzez to warunki dla ciągłości C 0 i C 1 w unkcie ołączenia są nastęujące: 1 = 0 1 = 0 Stąd dla wsółrzędnej otrzymamy 1 = 0 = 1 =3 0 =3

11 Krzywe Beziera Tyowe krzywe Bezierawraz z łamaną łączącą unkty charakterystyczne

12 Krzywe Beziera Konstrukcja unktu należącego do łaskiej krzywej Beziera

13 Wymierne krzywe Beziera Wymierna krzywa Bezierato rzut środkowy wielomianowej krzywej Béziera zdefiniowanej we wsółrzędnych jednorodnych na łaszczyznę: = 1

14 Krzywe Beziera Dowolny unkt krzywej wielomianowej (wielomian dowolnego stonia) jest dany jako ( )=,,, Po rzejściu na wsółrzędne kartezjańskie (orzez rzut środkowy ( )na łaszczyznę = 1)otrzymuje się wyrażeńwymiernych, a unkt na tej łaszczyźnie dany jest wzorem =,,, =,,, Jeśli w( ) = const to krzywa jest wielomianowa-mówiąc nieformalnie krzywe wielomianowe, to secjalny rzyadek krzywych wymiernych

15 Wymierne krzywe Beziera Dowolny unkt krzywej wielomianowej we wółrzędnych rzeczywistych jest dany jako = omniejszona o 1 liczba unktów kontrolnych (unkty kontrolne liczone są od zera) -ty unkt kontrolny waga -tego unktu kontrolnego (dowolna liczba rzeczywista) jeśli = 0 unkt kontrolny nie jest brany od uwagę wielomiany bazowe Bernsteina ; 0,1

16 Cechy wymiernej krzywej Beziera Krzywa ma nieskończenie wiele rerezentacji we wsółrzędnych jednorodnych. Konstrukcja krzywej jest niezmiennicza względem rzekształceń afinicznych, tzn. krzywa wyznaczona z rzekształconych unktów kontrolnych jest taka sama jak krzywa o tym rzekształceniu. Jeśli wszystkie wagi są równe i niezerowe, to krzywa jest wielomianowa. Jeśli wszystkie wagi są niezerowe i tego samego znaku, to krzywa sełnia własność otoczki wyukłej, tzn. unkt ( )leży w otoczcewyukłej unktówkontrolnych. Przemnożenie wszystkich wag rzez tę samą liczbę różną od zera nie zmienia krzywej.

17 Cechy wymiernej krzywej Beziera Ponadto w stosunku do krzywych wielomianowych, wymierne krzywe Béziera mają nastęujące zalety: mogą rerezentować wszystkie krzywestożkowe(co ma znaczenie w zastosowaniach CAD), rzut ersektywiczny krzywej wymiernejjest zawsze krzywą wymierną, odczas gdy rzut ersektywiczny krzywej wielomianowejniemusi być krzywą wielomianową (ma to ogromne znaczenie w grafice komuterowej), wagi ozwalają na leszą kontrolę nad kształtem krzywej.

18 Krzywe stożkowe Jeśli dane są trzy niewsółliniowe unkty kontrolne krzywej 0, 1, 2 i wagi 0 = 2 = 1, to waga w 1 określa rodzaj krzywej: 1 > 1 łuk hierboli 1 = 1 łuk araboli 0 < 1 < 1 krótszy łuk elisy lub okręgu 1 = 0 sarametryzowany odcinek omiędzy 0 i 2 1 < 1 < 0 dłuższy łuk elisy lub okręgu 1 = 1 dwałuki araboli 1 < 1 dwałuki hierboli

19 Krzywe stożkowe Okrąg zbudowany z dwóch krzywych tworzących dłuższy i krótszy łuk okręgu (o lewej); czterech krzywych tworzących cztery krótsze łuki okręgu (o rawej)

20 Algorytm de Casteljau Algorytm de Casteljau oracowany rzez Paula de Casteljauozwala na wyznaczenie unktów na wielomianowej krzywej Béziera, czyli obliczanie wartości wielomianów w bazie wielomianów Bernstaina. Dana jest dowolna łamana zdefiniowana rzez +1 wierzchołków oraz liczba 0,1. Każdy odcinek łamanej jest dzielony w stosunku /(1 ), czego wynikiem jest wierzchołków, które wyznaczają nową łamaną. ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( n 1) ( n 1) 0 ( n) 0 2 M 2 = ( t), L, 1 3, L, n 1 n

21 Algorytm de Casteljau Proces owtarzanyjest do chwili, aż zostanie jeden unkt ( ), co wymaga wykonania nkroków. Ostatecznie otrzymuje się + 1 ciągów unktów (indeks górny oznacza krok algorytmu): Punkt leży na krzywej Béziera, której łamaną kontrolną tworzą wyjściowe unkty. Wykonując algorytm dla wielu z rzedziału 0,1 otrzymywane są unkty krzywej Béziera. ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( n 1) ( n 1) 0 ( n) 0 2 M 2 = ( t), L, 1 3, L, n 1 n

22 Algorytm de Casteljau

23 Algorytm de Casteljau Za omocą algorytmu de Casteljau można również: Wyznaczyć unkty kontrolne dwóch krzywych, tak aby ołączyć je z zadaną ciągłością geometryczną krzywa B- sklejana. Podzielić krzywą na dwie krzywe w unkcie ( ). Łamane kontrolne są wyznaczane rzez unkty leżące na brzegach rzedstawionego trójkątaunktów-łamaną kontrolną ierwszej krzywej oisują unkty:,,,,, a drugą:,,,,, Obie krzywe są tego samego stonia co dzielona krzywa.

24 Doasowanie krzywych do zbioru unktów Znak rzedstawiony w ostaci cyfrowej Oryginalny kształt, doasowana krzywa i unkty kontrolne Beziera

25 Naturalne krzywe sklejane trzeciego stonia Oisane na zbiorze unktów kontrolnych mają dwie zasadnicze wady: Zmiana ołożenia jednego z nich wymaga obliczenia wsółczynników dla całej krzywej W tym celu należy rozwiązać układ +1 równań liniowych

26 Jednorodne nieułamkowekrzywe B- sklejane Krzywe B-sklejane nazwa użyta rzez kreślarzy w odniesieniu do długiej elastycznejtaśmyużywanej do rysowania owierzchni samolotów, samochodów i statków. Matematyczny odowiedniktakich taśm krzywa sklejana trzeciego stonia to wielomian trzeciego stonia z ciągłością C 0, C 1 i C 2 Angielska nazwa krzywych B-sklejanych (B-sline)jest skrótem od basis sline function. Krzywe B-sklejane trzeciego stonia aroksymująciąg +1 unktów kontrolnych 0, 1,,, rzy czym >3, krzywą składającą się z 2segmentów krzywych wielomianowych trzeciego stonia oznaczanych zazwyczaj 3, 4,,.

27 Krzywe sklejane Krzywa B-sklejana z segmentami: 3 9

28 Krzywe B-sklejane Każdyz 2segmentów krzywej B-sklejanej jest określony rzez czteryz +1unktówkontrolnych. Segment jest określony rzez unkty,, oraz. Stąd macierz geometrii krzywej B-sklejanej dla segmentu jest dana w ostaci =,,,, ; 3

29 Krzywe B-sklejane Krzywa B-sklejana z rzemieszczającym się unktem P4

30 Krzywe B-sklejane Jeżeli definujemy w ostaci wektora kolumnowego, to segment numer krzywej B- sklejanej można oisać nastęująco: = =,,,1 Wektory kierunkowe dla końców segmentu są identyczne jak dla funkcji Beziera = 0 =3 = 1 =3

31 Krzywe B-sklejane Macierz bazowa krzywej B-sklejanej wiąże geometryczne ograniczenia z funkcjami bazowymi i wsółczynnikami wielomianu: =

32 Krzywe B-sklejane Funkcje bazowe krzywej B-sklejanej są identyczne dla każdego z rzedziałów arametru i zmieniają się od 0dla do 1dla jeśli zastąimy rzez i rzedział, rzez rzedział 0, 1 = =,,, = = , , , = = 1+, , , 0 1

33 Krzywe B-sklejane Zastęując rzez rzy drugim znaku równości w oniższej równości otrzymujemy: t = = = = = = = =

34 Funkcje bazowe jednorodnej nieułamkowej funkcji B-sklejanej Cztery funkcje bazowe krzywej sklejanej. Dla =0i dla =1 trzy funkcje są różne od zera. = = = =

35 Krzywe B-sklejane Można wykazać, że i mająciągłościc 0, C 1 i C 2 w unkcie łączenia, co jest dużą zaletą, ale usztywnia krzywą Można owielaćunktykontrolne nadając krzywej giętkości Powielając jakiś unkt kierujemy krzywą w jego stronę Jeżeli unkt kontrolny jest używany trzy razy, n. jeżeli = = to orzednie równanie rzyjmuje ostać: = +,,

36 Krzywe B-sklejane Wływ wielokrotnych unktów kontrolnych na jednorodną krzywą sklejaną.

37 Niejednorodne nieułamkowekrzywe B-sklejane Dla niejednorodnychkrzywych B-sklejanych rzedział arametru między kolejnymi wartościami węzłowymi niemusi być równomierny funkcje tworzącesąróżne dla segmentów Zalety: Możliwość redukcjiciągłościz C 2 do C 1 i dalej doc 0 albo do braku ciągłości dlac 0 krzywa interolujeierwszy unktkontrolny, ale segmentyotaczająceunkt nie muszą być odcinkami linii rostej Łatwo zmienić kształt krzywej niejednorodnej orzez dodanie dodatkowego węzła i unktu kontrolnego

38 Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Segment krzywej jest określany rzez unkty kontrolne,,, oraz rzez funkcje bazowe,,,,,,,, jako suma ważona =, +, + +, +, 3 0 1

39 Niejednorodne nieułamkowe krzywe B-sklejane Dla krzywej niejednorodnej funkcje bazowe -tego rzędu muszą być określane rekurencyjnie:, = 1, 0, =, +,, =, +,, =, +,

40 NURBS: Non-Uniform RationalB-Slines Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej nazwie: B-sline krzywe NURBS to krzywe B-sklejane, a więc arametryczne krzywe, które są złożone z wycinków krzywych wielomianowych. Rational krzywe wymierne, onieważ zdefiniowano je we wsółrzędnych jednorodnych-o rzejściu na wsółrzędne kartezjańskie otrzymuje się funkcje wielomianowe. Rzecz ma się dokładnie tak samo jak w rzyadku wymiernych krzywych Béziera. Non-uniform cecha krzywej B- sklejanej: węzłykrzywej nie muszą być rozmieszczone równomiernie.

41 NURBS Na kształt krzywej NURBS wływają nastęujące elementy: unkty kontrolne 0,, węzły 0,, dzielące rzedział 0,1 na 1 odrzedziałów wagi unktów kontrolnych,, (liczby rzeczywiste) określające wływ każdego z unktów kontrolnych na krzywą; stoieńsklejanych wielomianów. Dowolny unkt na krzywej dany jest wzorem: =,, gdzie ( ) jest unormowanąbazowąfunkcjąb-sklejaną.

42 NURBS Krzywe NURBS dla =3 określone na tych samych unktach kontrolnych górny rysunek-kontrola kształtu orzez zmianę wartości węzłów -na osiach liczbowych zaznaczono rozkład węzłów) dolny rysunek-kontrola kształtu orzez zmianę wagi unktu

43 Niejednorodne ułamkowe wielomianowe krzywe trzeciego stonia Ogólnie segmenty ułamkowejkrzywej trzeciego stonia są stosunkami wielomianów arametrycznychw jednorownym układzie wsółrzędnych = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

44 Niejednorodne ułamkowe segmenty wielomianowej krzywej trzeciego stonia Zalety: niezmiennicze względem rzekształceń elementarnych: skalowanie, obrót, rzesunięcie dodatkowo względem ersektywy unktów kontrolnych innekrzywe nie są niezmiennicze w stosunku do ersektywy Mogą definiowaćdowolny rzekrój stożka krzywe nieułamkowemogą tylko aroksymowaćkrzywe stożkowe.