ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:
|
|
- Stanisława Przybysz
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1 Wykład 3 3. Otymalizacja z ograniczeniami Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia otymalizacyjnego: g i HxL 0, i = 1, 2,..., m (3.1) h j HxL = 0, j = 1, 2,...,, < n (ograniczenia LE) (ograniczenia EQ). ZałoŜenie. f,g i,h j :U Ø R n są funkcjami klasy C 1, zbiór U jest otwarty. Zbiór D Õ U wektorów, sełniających ograniczenia tyu LE i EQ nazywać będziemy zbiorem douszczalnym. Oznaczmy rzez: D LE zbiór wektorów, sełniających wszystkie ograniczenia LE, D EQ zbiór wektorów, sełniających wszystkie ograniczenia EQ. Oczywiście, D = D LE D EQ. Szukamy warunków koniecznych jakie musi sełniać unkt minimum globalnego x * w zbiorze douszczalnym D. Redukcja 3.1. Wystarczy ograniczyć się do rzyadku, gdy wszystkie ograniczenia są tyu LE. KaŜde ograniczenie tyu EQ zastąimy dwoma ograniczeniami: ograniczenie h j HxL = 0 zastąimy rzez g m+2 j-1 HxL 0, g m+2 j HxL 0 gdzie g m+2 j-1 HxL = h j HxL i g m+2 j HxL = -h j HxL dla j = 1, 2,...,. Mamy więc M = m + 2 ograniczeń tyu LE Definicja 3.1. Ograniczenie uhxl jest aktywne w unkcie x * gdy zachodzi równość uhx * L = 0. Oznaczmy rzez AKT =8i : g i Hx * L = 0< zbiór ograniczeń aktywnych. Wszystkie ograniczenia EQ są z definicji aktywne więc indeksy o numerach i = m + 1,..., m + 2 naleŝą do zbioru AKT. Jednak zbiór AKT moŝe być usty. Redukcja 3.2. Wystarczy ograniczyć się do rzyadku, gdy wszystkie ograniczenia są aktywne. Niech D AKT =8x œ U : g i HxL 0, i œ AKT<, D 0 =8x œ U : g i HxL < 0, i AKT< Zbiór D 0 jest otwarty (wynika to z ciągłości g i ). Tak więc zagadnienie jest równowaŝne zagadnieniu g i HxL 0, i = 1, 2,..., M, x e U g i HxL 0, i e AKT, x e U 0 = U D 0 Warunki moŝna tak rzenumerować aby ierwszych M 0 było aktywnych
2 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 2 Niech C i =8x : x T õ g i Hx * L Hx * L T õ g i Hx * L< będzie ółrzestrzenią wyznaczoną rzez styczną do g i w unkcie x * e C i. Jak łatwo srawdzić, C i jest zbiorem wyukłym, zaś C = iœakt C i jako część wsólna wyukłych ółłaszczyzn zbiorem wyukłym, zawierającym x *. Niech C 0 =8h : h T õ g i Hx * L 0, i œ AKT<. Wtedy " m 0 m C 0 Õ C 0, C = x * + C 0 czyli C jest stoŝkiem o wierzchołku x * i kierunkach w zbiorze C 0. Definicja 3.2. Punkt x * jest regularny gdy dla kaŝdego h œ C 0 istnieje otoczenie UHx * L oraz gładka, klasy C 2 krzywa jhtl taka, Ŝe: 1. jh0l = x *, 2. j' H0L = m h dla ewnego m>0, 3. $ t0 " 0<t<t0 jhtl Õ UHx * L D Lemat 3.1. JeŜeli unkt x * jest regularny, h œ C 0 to h T õ fhx * L 0 Dowód (niewrost) $ h1 h 1 œ C 0 takie, Ŝe h 1 T õ fhx * L < 0. Funkcja h 1 T õ fhxl jako funkcja zmiennej x jest ciągła, więc istnieje otoczenie UHx * L takie, Ŝe w tym otoczeniu h 1 T õ fhxl < 0. Z regularności unktu x * wynika, Ŝe istnieje otoczenie U 1 Hx * L Õ UHx * L i gładka, klasy C 2 krzywa jhtl taka, Ŝe: jh0l = x *, j' H0L = m h 1 dla ewnego m>0, $ t0 " 0 t<t0 jhtl Õ U 1 Hx * L D. Rozwijając j w obliŝu 0 w szereg Taylora mamy dla 0 t < t 1 < t 0 jhtl = x * + m t h 1 + m t ghtl i ghtlø0 gdy t Ø 0 +. PoniewaŜ jhtl Õ U 1 Hx * L D więc dla 0 t < t 1 h 1 T õ fhjhtll < 0 Funkcja y T õ fhjhtll jako funkcja zmiennej y jest ciągła, wię istnieje otoczenie U t Hh 1 L takie, Ŝe w tym otoczeniu y T õ fhjhtll <0. Kładąc U 0 Hh 1 L = 0 t<t1 U t Hh 1 L mamy dla kaŝdego y e U 0 Hh 1 L i dla kaŝdego 0 t < t 1, 0 > y T õ fhjhtll = y T õ fhx * + m thh 1 + ghtlll. Łatwo zauwaŝyć, Ŝe dla dostatecznie małych q>0 dla kaŝdego y e U 0 Hh 1 L i dla kaŝdego 0 t < t 1 zachodzi nierówność y T õ fhx * + qm thh 1 + ghtlll < 0 Wektor h 1 + ghtl dla dostetecznie małych t naleŝy do U 0 Hh 1 L więc zachodzi dla dostatecznie małych t > 0, Hh 1 + ghtll T õ fhx * + qm thh 1 + ghtlll < 0 a więc dla h = m thh 1 + ghtll mamy x * + h œ D, h T õ fhx * + q hl < 0. Wzór ten zachodzi dla dostatecznie małych t > 0. Wtedy, z rozwinięcia Taylora funkcji f mamy fhx * + hl = fhx * L + h T õ fhx * + q hl < fhx * L co stanowi srzeczność z załoŝeniem, Ŝe w x * jest minimum globalne à Twierdzenie 3.1. (Warunek konieczny istnienia minimum, warunki Kuhna-Tuckera, warunki Karusha- Kuhna-Tuckera) Niech w regularnym unkcie x * œ D funkcja celu osiąga w tym unkcie minimum w dousz-czalnym obszarze D Wtedy: u i g i Hx L + v j h j Hx L = i Akt j=1 f Hx L H3.2L dla ewnych u i 0 oraz v j. Definicja 3.3. Punkty regularne, sełniające warunki (3.2) twierdzenia 3.1 nazywać będziemy unktami Kuhna-Tuckera (unktami KT) Dowód W dowodzie wykorzystamy lemat Farkasa.
3 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 3 Lemat Farkasa (1902). Niech A będzie macierzą o k wierszach i n kolumnach, b i h n-wymiarowymi wektorami, w wektorem k-wymiarowym. RównowaŜne są nastęujące warunki: dlakaŝdegoh zachodziimlikacjaah 0 b T h 0, u 0A T u = b. Dla wektora q warunek q 0 oznacza, Ŝe wszystkie jego wsółrzędne są nieujemne. Podstawiając w lemacie Farkasa b = f Hx L, A = H g 1 Hx L, g 2 Hx L,..., g M0 Hx LL T, uzyskamy z Lematu 3.1, Ŝe dla kaŝdego h zachodzi imlikacja Ah 0 b T h 0. Z Lematu Farkasa mamy, Ŝe dla wektora u o nieujemnych składnikach u i g i Hx L = f Hx L i Akt Dla j-tego ograniczenia tyu równości h j HxL = 0, u m+2 j-1 õ h j Hx * L + u m+2 j H-õ h j Hx * LL =Hu m+2 j-1 - u m+2 j L õ h j Hx * L = v j õ h j Hx * L, dla ewnych u i 0 oraz v j. i Akt Warunek regularności jest istotny. u i g i Hx L + v j h j Hx L = f Hx L j=1 ü Przykład 3.1 Obliczmy minimum globalne funkcji fhxl = x 1 z warunkami x 2 x 1 3, x 2 0. Rozwiązując to zadanie geometrycznie widzimy, Ŝe minimum globalne jest w x * =H0, 0L T 2 x Minimum1. 0 g 2 x g f J 1 0 N, g 1 x 1 3 +x 2 0 g 2 x 2 0, g 1 i k j 3x y z g 2 J 0 { 1 N, g 1 Hx L = J 0 1 N g 2 Hx L = J 0 1 N
4 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 4 Zbiór C 0 =8h =Hh 1, h 2 L : h T õ g 1 Hx * L 0, h T õ g 2 Hx * L 0< =8h =Hh 1, 0L, h 1 e R<. Nie istnieje krzywa j leŝąca w zbiorze douszczalnym dla h =H-1, 0L, gdyŝ wtedy j 1 HtL = -m t + tg 1 HtL 0 dla dostatecznie małych t > 0. Wtedy -m + g 1 HtL 0 i rzechodzą z t do 0 otrzymamy -m 0 co jest srzeczne z załoŝeniem, Ŝe m>0.à Srawdzenie, czy unkt x * jest regularny jest trudne. Prawdziwe jest Twierdzenie 3.2. Punkt x * œ D jest regularny jeŝeli wektory: są liniowo niezaleŝne. g i Hx L, i Akt, h j Hx L, j =1, 2,..., Z tego wynika, Ŝe łączna liczba ograniczeń aktywnych i ograniczeń tyu EQ w unkcie regularnym nie moŝe rzekraczać n. Zbadanie, czy układ wektorów jest liniowo niezaleŝny jest waŝne rzy ustaleniu czy analizowany unkt jest regularny. Twierdzenie 3.3. ( warunek dostateczny na to, by unkt był regularny). Dany jest układ fukcji n zmiennych x 1, x 2,..., x n, będących ograniczeniami tyu EQ ( funkcji h 1, h 2,..., h ) i ograniczeniami aktywnymi tyu LE (funkcji g i1, g i2,..., g ik ). Punkt x * jest regularny jeśli macierz Hõ g i1 Hx * L õ g i2 Hx * L... õ g ik Hx * Lõ h 1 Hx * Lõh 2 Hx * L... õ h Hx * LL jest rzędu k+. ü Przykład 3.2 (Minimum w unkcie nieregularnym) Znajdźmy rozwiązanie zadania otymalizacyjnego: f Hx, yl = x = MIN!, x 2 0. Gradienty, związane z tym zadaniem mają ostać: f HxL = 1, g HxL = 2 x. Ograniczenie ghxl jest aktywne, gdyŝ jedyny unkt, sełniający to ograniczenie to unkt 0. Tak więc jest to równieŝ rozwiązanie naszego zagadnienia. Jednocześnie jest to unkt nieregularny, gdyŝ g(0)=0 a to nie jest wektor liniowo niezaleŝny. Warunki Kuhna Tuckera wymagają dodatkowych załoŝeń, gdyŝ w naszym rzykładzie, gdy g jest ograniczeniem aktywnym, musiałyby zachodzić: co stanowi srzeczność. à u H2 xl = 1, x 2 = 0, u 0.
5 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 5 ü Przykład 3.3 (Warunki Kuhna-Tuckera) Znajdźmy unkty KT dla zagadnienia: Srowadzając do ostaci standardowej f Hx, yl = x 2 +y 2 = MIN!, x +y 5, x +2 y = 3. f Hx, yl = x 2 +y 2 = MIN!, g Hx, yl = 5 x y 0, h Hx, yl = x +2 y 3 = 0. f Hx, yl = H2 x, 2 yl T, g Hx, yl = H 1, 1L T, h Hx, yl = H1, 2L T Łatwo srawdzic, Ŝe wszystkie unkty, naleŝące do zbioru douszczalnego są regularne. Niech Hx *, y * L będzie rozwiązaniem naszego zadania. RozwaŜmy dwa rzyadki: I. ghxl jest aktywne w Hx *, y * L. Wtedy muszą zachodzić warunki Kuhna Tuckera: Układ ten ma rozwiązanie: u H 1, 1L +v H1, 2L = H2 x, 2 yl 5 x y = 0, x +2 y 3 = 0, u 0. x = 7, y = 2, u =32, v = 18, f Hx, y L = 53. II. ghxl nie jest aktywne w Hx *, y * L. Warunki Kuhna Tuckera w tym rzyadku rzybiorą ostać: v H1, 2L = H2 x, 2 yl, 5 x y < 0, x +2 y 3 = 0. Układ ten nie ma rozwiązania, gdyŝ ierwiastki układu, składającego się z ierwszego i trzeciego równania x = ÅÅÅÅ 3 5 i y = ÅÅÅÅ 6 nie sełniaj nierówności. 5 Tak więc rozwiązanie x * = 7 i y * = -2, jako jedyne, jest odowiedzią w naszym zadaniu. à Warunki Kuhna Tuckera moŝna urościć, wrowadzając dodatkowe zmienne s i, i = 1, 2,..., m, które rzekształcą wszystkie ograniczenia LE na ograniczenia EQ. Wtedy teŝ wszystkie ograniczenia są aktywne. Nasze zadanie będzie równowaŝne : ZauwaŜmy, Ŝe g * i Hx, sl = g ihxl + s i 2 = 0, i = 1, 2,..., m h j HxL = 0, j = 1, 2,...,, < n
6 ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 6 f Hx, sl = H f HxL, 0L, g i Hx, sl = H g i HxL, 2 s i L, H3.2L h j Hx, sl = H h j HxL, 0L W owyŝszych równaniach 0, e i są wektorami m-wymiarowymi: ierwszy składa się z samych 0, drugi ma na i-tym miejscu 1 a na ozostałych miejscach 0. Zaisując w nowej sytuacji warunki Kuhna Tuckera, otrzymamy: m u i g i Hx, s L + v j h j Hx, s L = f Hx, s L i=1 co o uwzględnieniu (3.2) daje układ (zmodyfikowane warunki Kuhna-Tuckera (warunki K-T)) m j=1 u i g i Hx L + v j h j Hx L = i=1 j=1 f Hx L, H3.3L u i s i = 0, u i 0, g i Hx L +Hs L 2 i = 0, i = 1, 2,..., m, h j Hx L = 0j =1, 2,..., Gdy s i = 0 to ograniczenie g i jest aktywne, gdy s i 0 to u i = 0 i ograniczenie g i nie bierze udziału w wyznaczeniu x *. Z orzednich rozwaŝań wynika, Ŝe liczba ograniczeń aktywnych, więc takich, dla których s i = 0 wraz z liczbą ograniczeń EQ nie moŝe rzekraczać n. ü Przykład 3.4 (Rozwiązanie rzykładu 3.3 zmodyfikowaną metodą K-T) Zaiszmy od razu warunki (3.3): Wyznaczmy x i y z ostatnich dwóch równań: u H 1, 1L +v H1, 2L = H2 x, 2 yl, us =0, u 0, x y +5+s 2 = 0, x +2 y 3 = 0, x = 7 +2 s 2, y = 2 s 2 Podstawiając do ierwszego równania otrzymamy, Ŝe 3u = s 2 > 0, co od razu daje rozwiązanie s = 0, x = 7, y = -2. à
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 1.nb 1. Wykład 1
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb Wykład. Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Z ksiąŝki Practical Optimization Methods: With Mathematica Applications by: M.A.Bhatti, M.Asghar Bhatti ü Przykład. (Zagadnienie
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoRekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...
Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to rocesy dyskretne w czasie i o dyskretnym zbiorze stanów, "bez amięci". Zwykle będziemy zakładać, że zbiór stanów to odzbiór zbioru liczb całkowitych Z lub zbioru {,,,...}
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami
8 Liczba 9 jest równa A. B. C. D. 9 5 C Przykładowe zadania z matematyki na oziomie odstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Liczba log jest równa A. log + log 0 B. log 6 + log C. log 6 log D. log
Bardziej szczegółowoMetoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku
Metoda Runge-Kutta-Fehlberga i sterowanie długością kroku Cel: Dla zadanej tolerancji e wybrać minimalną liczbę węzłów, wystarczającą do utrzymania globalnego błedu w ramach tolerancji. Błąd globalny trudny
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 01/01 Seria VII styczeń 01 rozwiązania zadań 1. Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n liczba n! jest odzielna rzez n!
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która przy dowolnym podstawieniu wartości
Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która rzy dowolnym odstawieniu wartości zmiennych jest zawsze rawdziwa. Zadaniem logiki jest m.in. oisanie tych schematów za omocą
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowo1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.
1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoOpis kształtu w przestrzeni 2D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
Ois kształtu w rzestrzeni 2D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH Krzywe Beziera W rzyadku tych krzywych wektory styczne w unkach końcowych są określane bezośrednio
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoFakty wstępne Problem brachistochrony Literatura. Rachunek wariacyjny. Bartosz Wróblewski
26.10.13 - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się znajdowaniem ekstremów i wartości stacjonarnych funkcjonałów. Powstał jako odpowiedź na pewne szczególne rozważania w mechanice teoretycznej. Swą
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoSVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych
SVM 1 / 24 SVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych Nguyen Hung Son Outline SVM 2 / 24 1 Wprowadzenie 2 Brak liniowej separowalności danych Nieznaczna nieseparowalność Zmiana przetrzeń atrybutów 3 Implementacja
Bardziej szczegółowoNierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie
Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŝności między nimi Średnie liczbowe
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH
Ćwiczenie 14 aria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYATYCZNYCH Zagadnienia: Podstawowe pojęcia kinetyki chemicznej (szybkość reakcji, reakcje elementarne, rząd reakcji). Równania kinetyczne prostych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoArtykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak:
InŜynieria finansowa Prof. Leszek S. Zaremba Autor jest wykładowcą w POU WyŜsza Szkoła Zarządzania / Polish Open University wprowadza do programu nauczania wykład poświęcony inŝynierii finansowej, przeznaczony
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.
ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. 1. Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem: x, dla _ x 0 x =, x, dla _ x < 0 Wartość bezwzględna liczby nazywana
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoRysunek 1 Przykładowy graf stanów procesu z dyskretnymi położeniami.
Procesy Markowa Proces stochastyczny { X } t t nazywamy rocesem markowowskim, jeśli dla każdego momentu t 0 rawdoodobieństwo dowolnego ołożenia systemu w rzyszłości (t>t 0 ) zależy tylko od jego ołożenia
Bardziej szczegółowoJęzyki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoKONKURENCJA DOSKONAŁA. dr Sylwia Machowska
KONKURENCJA DOSKONAŁA dr Sylwia Machowska Definicja Konkurencja doskonała jest modelem teoretycznym opisującym jedną z form konkurencji na rynku; cechą charakterystyczną konkurencji doskonałej w odróŝnieniu
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoPROSTA I ELIPSA W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ
D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 4 (8) 007 (Wrocław) PROSTA I ELIPSA W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ Abstract. In this aer is shown a concet of exlanation of the oveent and collision of two objects
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowoTeoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Teoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 06/07 Źródła z amięcią Zadanie (kolokwium z lat orzednich) Obserwujemy źródło emitujące dwie wiadomości: $ oraz. Stwierdzono, że częstotliwości wystęowania
Bardziej szczegółowo