6 FOTON 6, Wiosna 0 uchy Księżyca Jezy Ginte Uniwesytet Waszawski Postawienie zagadnienia Kiedy uczy się o uchach ciał niebieskich na pozioie I klasy liceu, oawia się najczęściej najpiew uch Ziei i innych planet wokół Słońca w układzie heliocentyczny. Pote pzechodzi się do oawiania uchów Księżyca i sztucznych satelitów Ziei w układzie geocentyczny. Zwykle nie zadaje się jednak pytania, dlaczego taka pocedua w ogóle jest ożliwa? Dlaczego ożna opisywać uch Księżyca wokół Ziei niezależnie od uchu Ziei wokół Słońca? Musi to być opis pzybliżony, ale na czy to pzybliżenie polega? W guncie zeczy powinniśy też spytać, dlaczego ożey opisywać uch planet w układzie heliocentyczny, zapoinając o uchu Słońca wokół centu Galaktyki? Model ozważy uposzczony odel naszego pobleu (ys. ).. Centalne pole wytwaza badzo duża, nieuchoa asa M. Początek układu odniesienia pokywa się ze śodkie tej asy.. W jej polu znajdują się dwa oddziałujące ze sobą gawitacyjnie ciała o asach i. Ich wektoy wodzące oznaczy i. ys.. Ilustacja odelu Oddziaływanie gawitacyjne naszych ciał z asą centalną opisywać będą wektoy i. Natoiast ich wzajene oddziaływanie wekto. Współzędne uogólnione Aby ożna było w ogóle sfoułować główna tezę tego atykułu, tzeba wpowadzić dwie poocnicze wielkości (ys. ):. wekto położenia śodka asy ; ()
FOTON 6, Wiosna 0 7. wekto względnego położenia ciał:. () ys.. Wektoy i Współzędne pawdziwe i wyażają się pzez te współzędne sztuczne wzoai: ; (). (4) Intepetacja nowych współzędnych jest łatwiejsza, jeżeli jedna z pouszających się as jest znacznie większa od dugiej. Jeżeli na pzykład, wtedy jest bliskie współzędnej śodka asy, a okeśla położenie ciała względe ciała. Teza Główna teza naszych ozważań jest następująca: Jeżeli wtedy uch każdej z pouszających się as ożna pzedstawić jako złożenie dwóch niezależnych uchów; piewszego zależnego tylko od, dugiego zależnego tylko od. Pewną choć dość daleką analogię oże stanowić zut ukośny w jednoodny polu gawitacyjny. W taki uchu współzędna pozioa i współzędna pionowa zieniają się niezależnie od siebie. ównania uchu Napiszy ównania uchu naszych dwóch ciał ( a F). Musiy uwzględnić i oddziaływanie wzajene, i oddziaływanie z asą centalną:
8 FOTON 6, Wiosna 0 d G ( ) G M ; (5) dt d G ( ) GM dt. (6) Podstawy wzoy () i (4) do ównań (5) i (6), pzy czy ostatnie człony (5) i (6) po pawej stonie pozostawiy na azie niezienione. Dostaniey: d d G G M ; (7) dt dt d d G G M. (8) dt dt uch śodka asy Dodajy teaz ównania (7) i (8). Otzyay: d ( ) GM dt. (9) Założyy teaz, że i zastąpiy w ianownikach pawej stony wyażenia (9) wielkości i pzez. Dostaniey wtedy d GM dt czyli, kozystając z wyażenia () na : d GM dt, (0). () Założenie dopowadza do tego, że na uch śodka asy dostajey zwykłe ównanie dla uchu pojedynczego ciała w polu dużej nieuchoej asy M. Zauważy, że to ównanie nie zależy od as i. Podobnie od asy nie zależy ównanie pojedynczego ciała, pouszającego się w centalny polu gawitacyjny. uch względny Pzekształćy teaz ównania (7) i (8) do postaci: d d G GM ; () dt dt
FOTON 6, Wiosna 0 9 d d G GM ; () dt dt i odejijy piewsze od dugiego. Dostaniey: G( ). (4) d GM dt Jeżeli, w zeowy pzybliżeniu ożna uznać, że dugi człon po pawej stonie jest ówny zeu. Wtedy dla uchu względnego uzyskujey ównanie G( ). (5) d dt Jest to zwykłe ównanie uchu pojedynczego ciała w polu gawitacyjny, wytwazany pzez asę ówną +. Wnioski Podsuujy: Pzy założeniu z dwóch ównań uchu (7) i (8) wynikają dwa niezależne od siebie ównania uchu: oddzielne dla uchu śodka asy () i oddzielne dla uchu względnego (5). Oba te ównania ają postać ównań pojedynczego ciała, pouszającego się w centalny polu gawitacyjny. Znay ozwiązania takich ównań. W szczególności ogą one odpowiadać uchowi po okęgu albo uchowi po elipsie. Jeżeli znay zależności t () i t (), zależności () t i () t znajdziey za poocą wzoów () i (4). uch Księżyca w zeowy pzybliżeniu Nasze ozważania ogólne ożey zastosować do Ziei i Księżyca.. Założenie jest w ty pzypadku dobze spełnione. Obita Ziei w jej uchu wokół Słońca a poień ówny 50 000 000 k. Odległość od Księżyca do Ziei jest ówna 85 000 k. Zate stosunek / 0,006.. Masa Ziei jest około 8 azy większa od asy Księżyca. Zate z niezłą dokładnością ożna pzyjąć, że uch Ziei wokół Słońca jest zgodny z uche śodka asy. Nasze dotychczasowe ozważania pokazują, że pyitywny szkolny opis uchu Księżyca jest dobze uzasadniony. Większa dokładność Spójzy jeszcze na nasz poble toszkę dokładniej z dokładnością do piewszego zędu w potędze. Będziey ogli w ten sposób oszacować, jakie-
40 FOTON 6, Wiosna 0 go zędu popawki ogłyby wnieść do naszych ozważań opuszczone człony w ównaniach uchu. Zacznijy od członu. Obliczy najpiew (wzó ):. (6) Teaz obliczy i pzybliży go, ozwijając nawias na szeeg z dokładnością do piewszego wyazu: 5 I dalej: Czyli. Podobnie wykażey, że 5 ( ). 5.. (7) (8) (9) (0) Wyażenie na uch śodka asy Powóćy do wyażenia na uch śodka asy. Obliczy popawioną suę we wzoze (9): ( ). () Popawki zędu piewszego w edukują się. Uwzględnienie ich nie wnosi niczego nowego, wzó () pozostaje w ocy.
FOTON 6, Wiosna 0 4 Wyażenie na uch względny Inaczej jest dla wyażenia na uch względny. Powóćy do óżnicy we wzoze (4): [ n ( n ) ]; gdzie n jest wesoe wektoa. Popawione wyażenie na uch względny a więc postać: d GM n n () G( ) [ ( ) ]. () dt Dyskusja Pzedyskutujy otzyany wynik. Ze wzou () wynika, że teaz uch względny, opisany współzędną, nie jest już niezależny od uchu śodka asy.. Popawkowy człon we wzoze () zależy jak od odległości śodka asy od asy centalnej.. Aby ustalić, jaki chaakte kątowy a popawka, załóży dla uposzczenia, że: a) obita uchu opisanego zienną leży w płaszczyźnie uchu śodka asy, ay więc do czynienia z uchai w ustalonej płaszczyźnie. b) w wybanej chwili wekto a tylko składową x-ową, czyli = [,0]. Wtedy n = [,0]. Wekto = [x,y]. Nawias we wzoze () a więc postać: n( n ) x x, y x, y. (4) Dla ustalonej watości popawkowa siła a chaakte pzedstawiony na ys.. Maksyalna watość popawkowego pzyspieszenia we wzoze () jest GM ówna. ys.. Siły popawkowe
4 FOTON 6, Wiosna 0 Popawkowa siła powadząca do wyażenia () a dość posty sens fizyczny. Do dyskusji tej spawy pzyjijy dla uposzczenia, że. Wyażenie na dodatkową siłę wynika z bezpośedniego oddziaływania ciała lżejszego z asą centalną. Pzyjijy też, że ciało lżejsze obiega ciało cięższe w pzybliżeniu po okęgu. ozpatzy tzy sytuacje (ys. 4): a) Ciało lżejsze znajduje się dalej od asy centalnej, niż ciało cięższe (punkt A). Wtedy watość jest niejsza, niż watość. Wekto w nawiasie wzou (4) a kieunek osi x, a zwot dodatni. b) Ciało lżejsze znajduje się bliżej asy centalnej, niż ciało cięższe (punkt B). Wtedy watość jest większa, niż watość. Wekto w nawiasie wzou (4) a kieunek osi x, a zwot ujeny. c) Ciało lżejsze znajduje się w pzybliżeniu w tej saej odległości asy centalnej, co ciało cięższe (punkt C). Wektoy i ają te sae watości, ale óżne kieunki. Wekto w nawiasie wzou (4) a w pzybliżeniu kieunek osi y i zwot do wnętza okęgu. ys. 4. Wyjaśnienie pochodzenia sił popawkowych ( = 0, ) Siły te zabuzają uch asy lżejszej. Na pzykład haują go na łuku BC, a ozpędzają na łuku CA. O tych popawkach wspoina się zwykle aginesowo w typowych podęcznikach astonoii. Patz np. Eugeniusz ybka, Astonoia ogólna, 66 Obita Księżyca.
FOTON 6, Wiosna 0 4 uch Księżyca z popawkai Wszystko, co powiedzieliśy wyżej, ożna odnieść do uchu Księżyca. Wato jednak zapytać, jak silny oże być wpływ tych efektów na jego uch. Miaą tego oże być stosunek największej watości siły popawkowej, wynikającej ze wzou (), do watości siły gawitacyjnego oddziaływania Księżyc Zieia. Stosunek ten jest w pzybliżeniu ówny: 0 6 GM G M 0 kg 0,8 0 k : 0,0 4 6 60 kg 50 0 k. (5) Nie jest to więc efekt badzo silny. Dlatego najpostsze pzybliżenie (5) było zupełnie dobe. Siły Księżyc Słońce i Księżyc Zieia Jeżeli stosunek / będzie dostatecznie ały, wtedy oddziaływanie Zieia satelita Ziei będzie silniejsze niż oddziaływanie Słońce satelita. Można więc zapytać, czy to właśnie nie jest powode, że lokalny uch satelity względe Ziei ożna opisywać niezależnie od uchu Ziei wokół Słońca. Odpowiedź jest pzecząca. Jak powiedzieliśy wyżej, pawdziwy stosunek / 0,006 dla układu Słońce Zieia Księżyc wystacza do oówionego wyżej pzybliżonego opisu uchu. Obliczy stosunek watości siły F KS oddziaływania Księżyc Słońce do watości siły F KZ oddziaływania Księżyc Zieia. Jest on ówny w pzybliżeniu: 0 6 FKS M 0 kg 0,8 0 k 4 6 FKZ 60 kg 50 0 k. (6) Dla paaetów oawianych toów stosunek ten nie tylko nie jest znacznie niejszy od jedności, ale węcz od jedności większy. Ale co z tego wszystkiego ożna pzekazać ucznio I klasy liceu?