Rozdzał. Zasady budowy prognoz Rozdzał. Zasady budowy prognoz (z ksążk A. Mankowsk, Z. arapaa, Prognozowane symulacja rozwoju przedsęborsw, Warszawa 00) Kopowane za zgodą auorów.. Rodzaje prognoz... Klasyfkacje prognoz ze względu na różne kryera podzału W leraurze przedmou spoyka sę wele schemaów klasyfkacyjnych prognoz. Do najczęścej wykorzysywanych kryerów ch podzału należą: Horyzon czasowy - prognozy: - króko-, średno-, długoermnowe, - sraegczne operaywne, Charaker lub srukura - prognozy: - prose złożone, - loścowe jakoścowe, - punkowe przedzałowe, - jednorazowe powarzalne, Sopeń szczegółowośc - prognozy: - ogólne szczegółowe, Zakres ujęca - prognozy: - Kompleksowe, sekwencyjne fragmenaryczne, Zasęg erenowy - prognozy: - śwaowe, mędzynarodowe, krajowe, regonalne, Meoda opracowana: - modelowe, ndukcyjne, dedukcyjne, średne, Cel lub funkcja: - osrzegawcze, badawcze, akywne, pasywne, - samorealzujące sę samounceswające sę. Ponżej zosane omówonych klka ważnejszych, zdanem auorów, rodzajów prognoz wybranych spośród wyżej wymenonych. Precyzyjny podzał prognoz ze względu na ch horyzon czasowy (okres, na kóry zosała skonsruowana prognoza) wymaga sprecyzowana klku sonych określeń [6]: - zmany loścowe o zmany warośc zmennej prognozowanej wysępujące zgodne z doychczasową prawdłowoścą na przykład rendem lub funkcją regresj; - zmany jakoścowe określają zmany sonych cech zjawska. Wyrazem ego jes odejśce od doychczasowej prawdłowośc (na przykład zmana posac rendu, zmana charakeru zwązków lub ch całkowy zank). Wykorzysując powyższe pojęca możemy zdefnować prognozę jako krókoermnową jeśl doyczy akego przedzału czasu, w kórym zachodzą ylko zmany loścowe. Prognoza średnoermnowa doyczy akego przedzału czasu, w kórym oczekuje sę ne ylko zman loścowych ale równeż śladowych zman jakoścowych. Naomas prognoza długoermnowa odnos sę do akego przedzału czasowego, w kórym mogą wysąpć zarówno zmany loścowe jak jakoścowe. Przedsawony podzał prognoz w oparcu o zakres zman loścowych jakoścowych wskazuje na różne długośc przedzału czasu dla różnych obeków, kórych doyczy prognoza.
Rozdzał. Zasady budowy prognoz I ak na przykład prognoza krókoermnowa dla przedsęborswa najczęścej obejmuje okres od do 3 mesęcy, dla gospodark kraju do roku, dla badań demografcznych - do 5 la, zaś w meeorolog - ylko do 4 godzn. Najwększym problemem z jakm spoyka sę prognosa o denyfkacja ypu zman zachodzących w prognozowanym zjawsku. Jego rozwązane decyduje o wyborze meody prognozowana, a w konsekwencj o sukcese posępowana prognosycznego. Inny podzał wyróżna prognozy sraegczne operaywne. Prognozy sraegczne dają podsawę do podejmowana długofalowych decyzj gospodarczych. Ich przedmoem jes węc ocena efeków zwązanych z przyjęcem określonych waranów dzałana, co może sanowć podsawę do podejmowana decyzj przy wyborze waranu opymalnego. Prognozy e z reguły wybegają w przyszłość na dłuższe okresy. Ważnym ch elemenem jes welowaranowość, o jes budowa cągu prognoz przy zróżncowanych założenach wyjścowych w odnesenu do każdej z nch. Prognozy operaywne obejmują sosunkowo króke okresy odpowadają na pyane w jakm sopnu zosane wykonany plan jak w nedalekej przyszłośc kszałować sę będą pewne zmenne ekonomczne rzuujące w sony sposób na beżącą syuację zadana gospodarcze. Jak już wspomnano wcześnej, prognozy doyczą zjawsk, kóre można opsywać za pomocą zmennych. Ich charaker pozwala wyróżnć prognozy loścowe jakoścowe. Prognozy loścowe wysępują wedy, gdy san zjawska opsany jes zmenną loścową (lczbą). Prognozy jakoścowe odnoszą sę naomas do zjawsk określanych za pomocą zmennych jakoścowych (np. słowne). W ramach prognoz loścowych wyróżna sę prognozy punkowe przedzałowe. Z prognozam punkowym mamy do czynena, gdy zmenna loścowa opsująca san zjawska przyjmuje określoną warość. Naomas prognozy przedzałowe charakeryzują sę zmenną zadaną w posac przedzału, kóry z pewnym prawdopodobeńswem obejmuje przyszłą warość zmennej prognozowanej. Częso proces prognosyczny polega na zbudowanu dla wyróżnonego zjawska ylko jednej prognozy odnoszącej sę do określonego okresu poprzesanu na ym lub ewenualne powórzenu prognozowana dla nnego okresu po upływe dłuższego czasu. Syuacja aka wysępuje zazwyczaj w prognozowanu sraegcznym. en rodzaj prognozy określany jes manem jednorazowej. Inaczej określana jes prognoza powarzalna. Powarzana jes ona perodyczne np. co mesąc, kwarał lub rok. Powarzane są przede wszyskm prognozy operaywne. Chocaż korzysne jes nekedy perodyczne powarzane w czase wnoskowana odnoszącego sę równeż do zmennych sanowących przedmo prognoz sraegcznych. W podnesenu rzędu dokładnośc budowanych prognoz, duże znaczene ma kompleksowość sekwencyjność predykcj. Kompleksowość predykcj charakeryzuje sę wnoskowanem ne o pojedynczej, neresującej nas zmennej, ale o wekorze zmennych powązanych ze sobą w pewen meryoryczny sposób. Im węcej zosane uwzględnonych zmennych reprezenujących współzależne zjawska, ym pełnejsze bardzej wszechsronne jes spojrzene w przyszłość. Przykładem ego ypu prognoz jes jednoczesne przewdywane popyu konsumpcyjnego na różne owary usług. Wadomym jes, że wydak konsumenów na różne owary usług podlegają dość sablnym prawdłowoścom że mędzy ym wydakam wysępują wyraźne powązana współzależnośc. Prognozy kompleksowe uwzględnające e faky cechują sę wewnęrzną zgodnoścą wększą precyzją. 3
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Przez sekwencyjność predykcj rozume sę budowę, dla ej samej zmennej, cągu prognoz odnoszących sę do różnych, nasępujących po sobe okresów w przyszłośc. Prognoza ego ypu może nformować o oczekwanej śceżce wzrosu na przesrzen dłuższego czasu. Wększa precyzja akch prognoz wynka z faku uwzględnana zachodzących w czase powązań mędzy kolejnym realzacjam zmennej prognozowanej. Osana grupa prognoz omawana w nnejszym rozdzale charakeryzuje sę wpływem prognoz na rzeczywsą realzację analzowanego zjawska w przyszłośc (powoduje jego realzację lub unceswane). I ak prognozy samorealzujące sę sają sę przyczyną zasnena zapowadanego zdarzena (np. ogłoszene wzrosu cen może doprowadzć do wykupu owaru a ym samym wzrosu cen na en owar). Naomas prognoza samounceswająca sę saje sę przyczyną ne zasnena zapowadanego zdarzena (np. prognoza rekordowo wysokego napływu gośc śwąecznych do Zakopanego może spowodować znechęcene welu osób do wyjazdu).... Horyzon prognozy Horyzon prognozy odgrywa bardzo ważną rolę w eor wnoskowana w przyszłość. Ogólne nformuje nas o ym, jak daleko w przyszłośc skonsruowana prognoza jes akualna. Defncja horyzonu prognozy wymaga wcześnejszego wprowadzena klku podsawowych pojęć. Perwszym z nch jes dopuszczalność prognoz. Własność a nformuje nas, na le dokładne warygodne są opracowane prognozy. Do oceny dopuszczalnośc prognozy wykorzysuje sę mernk rzędu dokładnośc predykcj. Pozwalają one na podzał prognoz na dwe grupy: Prognozy dopuszczalne. Są o prognozy, kóre na podsawe wybranego mernka można uznać za dosaeczne dokładne warygodne. Prognozy nedopuszczalne. Są o prognozy, w sosunku do kórych mernk dokładnośc predykcj ne daje podsaw do uznana ch za dosaeczne dokładne. Kolejnym sonym pojęcem jes zw. okres wyjścowy prognozy oznaczany dalej przez 0. Oznacza on momen (okres), dla kórego dysponujemy najnowszą nformacją opsującą fakyczną realzację zmennej prognozowanej. Wykorzysując wprowadzone pojęca możemy zdefnować horyzon prognozy. Manowce zgodne z ([06], rozdz..3), horyzonem prognozy dla okresu wyjścowego 0 będzemy nazywać przedzał czasowy =( 0, 0 +], w skład kórego wchodzą okresy spełnające nasępujące warunk:. Spełnone są podsawowe założena eor predykcj ;. Prognozy dla ych okresów są dopuszczalne. Długość horyzonu prognozy zależy od wybranego modelu sosowanej meody predykcj. Dokładna defncja dopuszczalnośc prognoz oraz mernków pozwalających ocenć ę własność zosane przedsawona w rozdzale.4. Podsawowe założena eor predykcj mogą być różne dla poszczególnych meod prognozowana. I ak na przykład dla prognoz ekonomerycznych w klasycznej posac założena e są nasępujące ([06], rozdz..):. Znajomość modelu ekonomerycznego dla zmennej prognozowanej;. Sablność prawdłowośc ekonomcznych w czase; 3. Sablność rozkładu składnka losowego modelu; 4. Znajomość prognoz zmennych objaśnających. 4
Rozdzał. Zasady budowy prognoz W prakyce konsruowana prognoz zjawsk ekonomcznych, bardzo częso wysępują syuacje, kedy okres wyjścowy prognozy 0 ne pokrywa sę z okresem beżącym oznaczanym dalej przez. Powodem ego są najczęścej opóźnena (oznaczane przez ), z jakm pojawają sę nformacje o fakycznych realzacjach zmennej prognozowanej. Sąd eż welkość częso nazywa sę w leraurze opóźnenem dopływu danych. Przykłady danych ekonomcznych, w odnesenu do kórych zazwyczaj pojawa sę opóźnene są nasępujące: mesęczne wskaźnk makroekonomczne, ake jak na przykład nflacja, welkość produkcj przemysłowej, welkość bezroboca p. Są one ogłaszane zazwyczaj przez GUS klka dn po zakończenu mesąca, kórego doyczą; spółk publczne noowane na GPW w Warszawe, na przedsawene swoch kwaralnych sprawozdań fnansowych mają, zgodne z Zarządzenem Przewodnczącego Komsj Paperów Waroścowych, 35 dn po zakończenu kwarału. Spółk e ogłaszają sprawozdana najczęścej bezpośredno przed upływem ego ermnu. W akm przypadku, aby uzyskać akualną orenację o przebegu neresującego nas zjawska, celowe może okazać sę sporządzene prognozy na okres. Jeżel dysponujemy najnowszą nformacją na momen -, wedy wyjścowym okresem dla predykcj będze 0 = -. Nech oznacza momen, na kóry sporządzamy prognozę. Wedy wyprzedzenem czasowym prognozy w sosunku do okresu beżącego będzemy nazywać długość odcnka czasu h posac: h=- W przypadku, gdy wysępuje opóźnene dopływu danych, wyprzedzene czasowe prognozy będze oznaczane przez h` oblczane w nasępujący sposób: h`=- + =- 0 Welkość h` oznacza realne wyprzedzene czasowe prognozy (nazywane równeż predykowanym opóźnenem modelu). Z defncj horyzonu predykcj wynka, że mus być spełnony nasępujący warunek: h` czyl wyprzedzene czasowe predykcj h` pownno ne przekraczać długośc horyzonu predykcj (parz Rysunek...a). Oznacza o, że jeśl opóźnene dopływu danych jes zby duże, wedy może sę zdarzyć syuacja, w ramach kórej nawe króke okresy prognozowane ne będą sę meścły w horyzonce predykcj. Syuację aką przedsawa Rysunek... W przypadku, gdy ( 0, 0 + ], wedy ze względu na zby dużą warość, wymagana jes aka modyfkacja modelu lub wybór nnej meody predykcj, aby nowy horyzon prognozy objął okres prognozowany. W dalszej częśc pracy, zosane pokazane, że wraz ze wzrosem dokładność predykcj maleje. Isonym węc dla dokładnośc konsruowanych prognoz jes welkość opóźnena w dopływe danych sanowących podsawę prognoz. 5
Rozdzał. Zasady budowy prognoz a. h h` 0 = - h` b. h h`> 0 = - h` Rysunek... a. Przypadek, gdy momen, na kóry sporządzamy prognozę meśc sę w horyzonce predykcj =( 0, 0 + ]; b. Przypadek, gdy zby duże opóźnene dopływu danych powoduje, że momen, na kóry prognozujemy ne należy do horyzonu predykcj =( 0, 0 + ]. W konekśce powyższej uwag specjalnego znaczena przy worzenu prognoz nabera szybk dopływ akualnych danych o przebegu prognozowanego zjawska ekonomcznego. Cekawym problemem jes uaj opymalzacja sysemu dopływu nformacj mająca na celu mnmalzację koszów uzyskwana nformacj oraz mnmalzacja sra zwązanych z podejmowanem decyzj w oparcu o prognozy skonsruowane na podsawe neakualnych danych hsorycznych. 6
Rozdzał. Zasady budowy prognoz.. Zasady budowy prognoz... Fazy predykcj Meody prognozowana opsują sposób przeworzena danych o przeszłośc oraz sposób przejśca od danych wcześnej przeworzonych do konsrukcj prognozy ([6], rozdz..). Oznacza o wysępowane dwóch faz zwązanych z przewdywanem:. Faza dagnozowana przeszłośc;. Faza określana przyszłośc. Perwsza faza dagnozowana przeszłośc w ogólnośc polega na: wyborze analycznej posac modelu opsującego przeszłość; doborze najlepszego zesawu zmennych objaśnających modelu; wyborze najlepszej echnk esymacj paramerów modelu; sprawdzenu sablnośc w czase srukury modelu oznaczającej nezmenność zarówno posac analycznej modelu, zboru zmennych objaśnających, jak warośc paramerów modelu; wyznaczenu warośc zmennych objaśnających na prognozowany okres. Faza określana przyszłośc polega na przejścu od danych przeworzonych do prognozy zgodne z wybranym sposobem nazywanym regułą (zasadą) prognozowana.... Reguły prognozowana Reguły prognozowana nerozerwalne zwązane są z podanym ponżej pojęcem predykora. Nech F będze oznaczał eoreyczny model kszałowana sę zmennej prognozowanej Y (zn. wolny od błędów szacunku odnośne posac analycznej jak paramerów). Załóżmy równeż oznaczać przez x wekor zmennych objaśnających. Wedy predykorem eoreycznym będzemy nazywać każdy funkcjonał posac: F(x) (...a) kórego warość możemy rakować jako prognozę zmennej Y na chwlę. Funkcjonał reprezenuje operacje, jake należy dokonać na modelu aby orzymać prognozę. Rodzaj ych operacj zależy od przyjęej zasady (reguły) predykcj. W przypadku, gdy ne znamy dokładnej posac modelu F naomas dysponujemy modelem oszacowanym na podsawe próby (oznaczmy go przez f), wedy predykor posac f (x) (...b) będzemy nazywać predykorem z próby. Z akm własnoścam predykorów jak: efekywność, przenklwość oraz akualność Czyelnk może zapoznać sę w ([06], rozdz. 4.3). Własnośc e decydują o wyborze posac predykora a ym samym o przyjęej regule prognozowana. W prakyce prognosycznej najczęścej mamy do czynena z regułam wykorzysywanym w zagadnenach predykcj loścowej. Wśród nch, na szczególna uwagę zasługują czery, nasępujące reguły prognozowana:. podsawowa (neobcążona);. podsawowa z poprawką; 3. najwększego prawdopodobeńswa; 4. mnmalnej sray. 7
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Nezależne od przyjęca jednej z wyżej wymenonych reguł, wysępuje równeż podzał na zasadę predykcj punkowej przedzałowej. Reguła podsawowa Reguła a polega na ym, że san zmennej prognozowanej w przyszłośc orzymujemy z modelu opsującego zachowane sę ej zmennej w przeszłośc. Zakłada sę przy ym spełnene podsawowych założeń ak zwanej klasycznej eor wnoskowana w przyszłość :. znany jes ekonomeryczny model wyjaśnający kszałowane sę zmennej prognozowanej. Poneważ najczęścej ne znamy w sposób dokładny modelu, kóry byłby pozbawony błędów szacunków, węc w dalszych rozważanach będzemy zakładać, że do konsrukcj prognoz posługujemy sę modelem oszacowanym na podsawe próby. Konsekwencją akego założena jes możlwość wysępowana błędów esymacj paramerów ego modelu;. model ekonomeryczny jes sablny w czase. Oznacza o zarówno sablność w czase srukury modelu, zboru zmennych objaśnających jak warośc jego paramerów. Pojęce sablnośc modelu wynka z założena o sablnośc zjawsk ekonomcznych. Pozwala węc na opsane ych zjawsk za pomocą modelu wysarczająco dokładne ne ylko w okrese przeszłym, z kórego pochodzą dane, ale równeż w okrese prognozowanym; 3. rozkład składnka losowego ne ulega zmanom w czase. Sablność składnka losowego jes o yle ważna, poneważ reprezenuje on e wahana zmennej endogencznej, kóre ne są wyjaśnone przez model. Jes o skuek dzałana ych czynnków, kórych ne uwzględnono w modelu. Wahana e ne można dokładne przewdzeć, sąd eż są głównym źródłem błędów predykcj. Jednak oszacowana paramerów rozkładu składnka losowego na podsawe próby sanową podsawę do oceny rzędu dokładnośc konsruowanych prognoz. Oczywśce będze o mało mejsce ylko wedy, gdy rozkład en jes sacjonarny; 4. znane są, dla okresu prognozowanego, warośc zmennych objaśnających wysępujących w modelu służącym za podsawę wnoskowana w przyszłość; 5. model wykorzysywany do wnoskowana w przyszłość będze akualny w chwl, na kórą określa sę prognozę. Oznacza o możlwość zw. eksrapolacj modelu poza zaobserwowany w próbe obszar zmennośc zmennych objaśnających. Jes o zwązane z zw. ryzykem eksrapolacj, kóre polega na ym, że zazwyczaj ne wemy, czy poza obserwowanym obszarem zmennośc badanych zmennych posać analyczna modelu jes aka sama. Sosowane reguły podsawowej jes węc zasadne w syuacjach, gdy sneje podejrzene, że model opsujący przeszłość będze równeż akualny w przyszłośc. Reguła a może węc być sosowana przede wszyskm w przypadkach prognozowana zjawsk charakeryzujących sę sosunkowo dużą nercją czyl zwązanych z wysępowanem co najwyżej newelkch, powolnych zman jakoścowych. Reguła podsawowa przyjmuje różną posać w zależnośc od przyjmowanych założeń określających mechanzm generowana obserwacj. Jeśl założymy, że prognozą na chwlę jes warość oczekwana zmennej prognozowanej w chwl, wedy mamy do czynena z regułą neobcążoną. Przedsawone założena eor predykcj są bardzo szywne wywołują obawy odnośne ch spełnena w prakyce. Jednak ogromny posęp w dzedzne modelowana dynamczno- srukuralnego meod adapacyjnych pozwolł na rozluźnene ych założeń, czynąc je bardzej prakycznym. Ze zmodyfkowanym założenam Czyelnk może zapoznać sę na przykład w ([06], sr. 4). 8
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Odnosząc sę do wprowadzonego wcześnej pojęca predykora, możemy zapsać posać predykora eoreycznego oraz z próby: E F(x) (...c) E f (x) (...d) Zakładając dalej, że zmenna prognozowana jes wyznaczana na podsawe modelu oszacowanego z wykorzysanem próby, przyjęce za prognozę warośc oczekwanej akej zmennej równoznaczne jes z zasadą neobcążoną, ale ylko wedy, gdy meody esymacj paramerów srukuralnych modelu zapewnają uzyskane esymaorów neobcążonych (np. meoda najmnejszych kwadraów w klasycznym modelu regresj lnowej). Możemy zapsać o w nasępujący sposób: y =E{Y } (..) gdze y - prognoza zmennej Y na momen (okres), oszacowana na podsawe modelu prognosycznego; E{Y } warość oczekwana zmennej Y w momence, wyznaczona na podsawe modelu z próby. Przyjmjmy, że błąd prognozy jes różncą mędzy zmenną prognozowaną a oszacowaną prognozą, czyl: U=Y - y =Y - E{Y }. Welkość U jes oczywśce zmenną losową, Sosując zasadę predykcj neobcążonej, warość oczekwana błędu prognozy U równa sę zero poneważ: E{U}= E{Y - y }=E{Y - E{Y }}= E{Y } - E{Y }=0. Zaleą sosowana reguły neobcążonej jes, z prakycznego punku wdzena, brak sysemaycznych błędów predykcj. W przypadku posługwana sę ą regułą przyjmuje sę, że w długm cągu prognoz znosą sę błędy przypadkowe przecęne (średno) uzyska sę rafną prognozę. Reguła neobcążona ma uzasadnene wedy, gdy proces wnoskowana jes welokrone powarzany (np. sysemayczne prognozowane popyu konsumpcyjnego lub prognozy meeorologczne). Wadą sosowana omawanej reguły jes możlwość wysąpena akej syuacj, w przypadku kórej wnoskowane w przyszłość ma charaker jednorazowy. Wedy należy zwrócć sę ku opsanej dalej regule według najwększego prawdopodobeńswa. Reguła podsawowa z poprawką W prakyce prognosycznej spoyka sę wele modyfkacj reguły podsawowej. Jedną z nch jes reguła podsawowa z poprawką. Sosowana jes w syuacjach, gdy obserwuje sę odchylena osanch danych emprycznych od modelu, kóre mogą urzymywać sę w przyszłośc. Reguła a ma nasępującą posać: y =E{Y }+p (..) 9
Rozdzał. Zasady budowy prognoz gdze p oznacza poprawkę, kórą możemy na przykład szacować z wykorzysanem wzoru posac: n p y yˆ q nq gdze y - rzeczywsa (empryczna) warość zmennej Y w chwl, ŷ - eoreyczna (wynkająca z modelu) warość zmennej Y w chwl, q - lość osanch obserwacj, dla kórych rozpoznano odchylene danych emprycznych od warośc wynkających z modelu. Welkość poprawk można równeż uzyskać wykorzysując jedną z meod analogowych lub heurysycznych. Reguła najwększego prawdopodobeńswa W welu prakyczne spoykanych przypadkach, predykcja może meć charaker jednorazowy albo powarzać sę w dużych odsępach czasu. Może równeż sanowć podsawę podejmowana ważkch decyzj. Wedy wskazanym jes posługwane sę, do konsruowana prognoz, regułą najwększego prawdopodobeńswa. Sosując ę regułę przyjmuje sę, że prognozą jes san zmennej, kóremu odpowada najwyższe prawdopodobeńswo jego wysąpena lub welkość modalna rozkładu zmennej prognozowanej w chwl, dla kórej opracowujemy prognozę (maksymalna warość funkcj gęsośc rozkładu-wykres..).,88 0,89 0,594 0,97 0,000 0,535,07,606,4 Wykres... Przykładowa funkcja gęsośc rozkładu prawdopodobeńswa zmennej Y z zaznaczoną waroścą modalną. Omawaną regułę sosuje sę, gdy zmenna prognozowana jes losowa znamy jej rozkład prawdopodobeńswa. W przypadku, gdy zmenna prognozowana ma charaker skokowy, predykcja według najwększego prawdopodobeńswa polega na przyjęcu jako prognozy ej warośc zmennej, kórej odpowada najwększe prawdopodobeńswo. Naomas w przypadku zmennej cągłej, za prognozę przyjmuje sę ą warość, dla kórej funkcja gęsośc rozkładu przyjmuje warość maksymalną. Formalne reguła najwększego prawdopodobeńswa polega na ym, że operacja (...a)- (...b) doyczy wyboru najbardzej prawdopodobnej warośc zmennej Y. Jeżel przez M 0
Rozdzał. Zasady budowy prognoz oznaczymy operację wyboru akej warośc, o posać predykorów: eoreycznego z próby jes nasępująca: M F(x) (...a) M f (x) (...b) Waro przy okazj podkreślć fak, że jeśl do budowy prognoz wykorzysujemy model zachowana sę zmennej prognozowanej oszacowany na podsawe próby, wedy na przykład znana warość modalna jes ylko w przyblżenu równa warośc modalnej prawdzwego, zazwyczaj neznanego w sposób dokładny rozkładu ej zmennej. Obrazuje o ponższy przykład modelu lnowego. Manowce, nech prawdzwy model określający zachowane sę zmennej Y ma nasępującą posać: Y =x + gdze oznacza neznany paramer modelu, - zmenna losowa o rozkładze normalnym N(0,). Załóżmy, że na podsawe próby oblczono esymaor ˆ sanowący oszacowane parameru, czyl orzymujemy: Y =ˆ x + gdze - reszy modelu. Oznaczając przez m domnanę rozkładu zmennej Y w chwl mamy: dla modelu prawdzwego: m (Y )=m (x +)=x +m (), dla modelu oszacowanego na podsawe próby: m (Y )=m (ˆ x +)=x + m (). Zakładamy przy ym, że m (ˆ )= Borąc pod uwagę składnk losowy zauważmy, że w perwszym wzorze wysępuje domnana składnka losowego zaś w drugm równanu domnana resz modelu. W nekórych syuacjach, zasady predykcj neobcążonej według najwększego prawdopodobeńswa dają jednakowe warośc prognoz. Ma o mejsce wedy, gdy warość oczekwana rozkładu zmennej prognozowanej Y jes równa jej domnance. Jes o cechą rozkładów symerycznych, akch jak na przykład rozkład normalny. W przypadku rozkładów asymerycznych, skonsruowane według ych zasad prognozy będą sę różnć. Wedy bowem warość oczekwana ne pokrywa sę z waroścą modalną rozkładu. Reguła mnmalnej oczekwanej sray W przypadku poprzedno omawanych reguł dążyło sę do wyznaczena najlepszego, w określonym sense, przyblżena przyszłej realzacj zmennej Y. Omawana uaj reguła wychodz z nnego założena. Manowce chodz w nej o uzyskane najlepszej oceny warośc Y, ale żąda sę, aby mnmalzować oczekwaną sraę zwązaną z popełnenem błędu przy wnoskowanu w przyszłość.
Rozdzał. Zasady budowy prognoz ak węc prognoza skonsruowana według ej reguły charakeryzuje sę mnmalną oczekwaną sraą zwązaną z popełnenem ego rodzaju błędów. Reguła a jes szczególne przydana, gdy prognoza jes podsawą decyzj, z kórą są zwązane na przykład wysoke koszy ake jak nakłady fnansowe. W przypadku, gdy korzysamy z predykora oczekwaną sraę możemy zapsać w nasępującej posac: W E W ( u) g ( u) du (...c) gdze W oznacza funkcję sray, g (u) funkcję gęsośc prawdopodobeńswa błędu predykcj. W omawanej regule za predykor najlepszy wyberamy en, kóry mnmalzuje E W, czyl E W mn E W (...d) Waro zauważyć, że newelka zmana analyczna funkcj W może prowadzć do wyboru zupełne różnych predykorów ([06], sr. 0). Jeśl W=cu, c>0, wedy najlepszym predykorem jes warość oczekwana. Naomas jeśl W=c u, c>0, wedy najlepszym predykorem jes medana rozkładu zmennej prognozowanej Y. Reguła predykcj przedzałowej Jak już wcześnej wspomnano, w przypadku predykcj loścowej wysępuje akże podzał na zasadę predykcj punkowej przedzałowej. Predykcja punkowa charakeryzuje sę ym, że wynkem prognozowana zmennej Y jes lczba. Naomas predykcja przedzałowa polega na wyznaczenu przedzału lczbowego I p o akej własnośc, że można mu przypsać blske jednośc prawdopodobeńswo ego, że rzeczywsa warość zmennej prognozowanej znajdze sę w ym przedzale. W leraurze ak wynk nazywany jes przedzałem predykcj. Formalne zasadę predykcj przedzałowej można zapsać w nasępujący sposób: P{Y I p }= (..3) gdze oznacza prawdopodobeńswo ego, że przedzał I p obejme rzeczywsą warość zmennej prognozowanej w chwl. Należy zauważyć, że do wyznaczena prognozy przedzałowej wymagana jes znajomość rozkładu prawdopodobeńswa zmennej Y w chwl. W prakyce bardzo częso przyjmuje sę normalny rozkład ej zmennej. Przyjęce akego założena pozwala na zbudowane przedzału predykcj w sposób symeryczny wokół warośc oczekwanej E{Y } dla zadanego prawdopodobeńswa. Zaleą akch przedzałów, w przypadku rozkładów symerycznych zmennej Y, jes o, że są one najkrósze. W nasępnym podrozdzale przedsawmy meody prognozowana wyszczególnone ze względu na rodzaj wykorzysywanych danych sposób ch przeworzena.
Rozdzał. Zasady budowy prognoz..3. Meody prognozowana Meoda analzy prognozowana szeregów czasowych Cechą charakerysyczną meod ej grupy jes wykorzysywane danych mówących o doychczasowym kszałowanu sę zmennych prognozowanych. Dane e mają posać szeregów czasowych. Na zmenną prognozowaną wpływają czas lub przeszłe warośc ej zmennej. Schema omawanych meod prognozowana prezenuje Rysunek... y, y,..., y n dane z przeszłośc y n+, y n+,..., y prognozy w przyszłość Model+ Reguła prognozowana Rysunek... Ogólny schema meody prognozowana z wykorzysanem szeregów czasowych. Do meod dagnozowana przeszłośc, w wynku kórych orzymujemy model do prognozowana zalcza sę : meodę średnch ruchomych; meodę wygładzana wykładnczego; analyczne adapacyjne modele endencj rozwojowej; modele składowej perodycznej; modele auoregresyjne, średnej ruchomej meszane; łańcuchy Markowa. Cechą charakerysyczną meod ej grupy jes o, że prognozę konsruuje sę na podsawe wysępujących w przeszłośc wykryych prawdłowośc bez pokazywana przyczyn ch powsawana. Zakłada sę przy ym, że prawdłowośc e ne zmeną sę w przyszłośc. Omawane meody wykorzysuje sę najczęścej do prognozowana krókookresowego. Meody prognozowana przyczynowo-skukowego Isoą meod ej grupy jes budowa modelu, kóry wyjaśna mechanzm zman zmennych endogencznych (zmennych, kórych warośc określane są wewnąrz modelu) przez zmany zmennych objaśnających. Zmenne objaśnające w przypadku model welorównanowych mogą być zarówno zmennym endogencznym jak egzogencznym (zmenne, kórych warośc są określane na zewnąrz modelu). W omawanych meodach prognozowanym są zmenne endogenczne. W badanach ekonomcznych, najczęścej wykorzysywanym są modele ekonomeryczne, kóre są saycznym wyrazem praw ekonom. Do prognozowana służą przede wszyskm modele opare na welowymarowych szeregach czasowych przekrojowo- czasowych. 3
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Sosowane są równeż modele behaworalne szczególne w badanach sysemów ekonomcznych. Modele e opare są na prawach psycholog (zachowana sę przedsęborsw). Kolejną grupą są modele sympomayczne. Wykorzysuje sę je wedy, gdy eora ne daje podsaw do budowy modelu przyczynowo-skukowego, zaś badana wykazują zwązek mędzy rozparywanym zmennym. Wymenone wyżej modele mogą służyć do prognozowana pod warunkem, że znane są przyszłe warośc zmennych objaśnających. Mogą one być równeż wykorzysywane do symulacj, czyl badana możlwych sanów neresującego nas zjawska za pomocą eksperymenowana na modelu (np. wpływu zman dopuszczalnych warośc zmennych objaśnających lub zman warośc paramerów modelu). Prognozowane za pomocą model przyczynowo-skukowych ma charaker pośredn. W perwszej kolejnośc po zbudowanu modelu, prognozuje sę warośc zmennych objaśnających. Dopero na ch podsawe określa sę, z wykorzysanem modelu, prognozy zmennych endogencznych. Sposób posępowana przedsawa Rysunek... y, y,..., y n dane z przeszłośc, zmenne endogenczne Model (wynk dagnozowana przeszłośc) x,...,x n x,...,x n... x m,...,x mn dane z przeszłośc, zmenne objaśnające Prognozowane zmennych objaśnających y n+, y n+,..., y prognozy w przyszłość, zmenne endogenczne Model +reguła prognozowana x n+,...,x x n+,...,x... x mn+,...,x m dane prognozowane, zmenne objaśnające Rysunek... Ogólny schema prognozowana meodam przyczynowo- skukowym. Przy określanu prognozy zmennej endogencznej na podsawe prognoz zmennych objaśnających wykorzysuje sę model zbudowany w oparcu o dane hsoryczne (zaznaczono o na rysunku lną przerywaną). W meodach omawanej grupy sosowane są ake reguły prognozowana, jak reguła neobcążona, neobcążona z poprawką reguły najwększego prawdopodobeńswa. Meody przyczynowo-skukowe sosowane są do konsrukcj prognoz króko-, średno- lub długookresowych. 4
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Meody analogowe Meody analogowe służą do przewdywana przyszłośc określonej zmennej na podsawe danych o zmennych podobnych, kóre ne są przyczynowo zwązane ze zmenną prognozowaną. Przykładem predykcj wykorzysującej omawane meody jes prognozowane rozwoju elefon sacjonarnej w Polsce na podsawe rozwoju elefon ego ypu w krajach zachodnch. Obserwując en rozwój, kóry mał mejsce w przeszłośc w nnych krajach, można wnoskować o przebegu ego zjawska u nas w kraju. Schema obrazujący deę meod analogowych prezenuje Rysunek..3. Meoda a polega na ym, że mając warośc K zesawów zmennych, oznaczanych przez y, (k=,...,k), pochodzących z pewnego okresu z przeszłośc (od r do r+l), określamy ch podobeńswo do (0) zmennych prognozowanych oznaczanych przez y z okresu, dla kórego posadamy dane (od do n). W oparcu o sprecyzowane podobeńswo mędzy wspomnanym zmennym, (0) konsruujemy prognozy y neresującej nas zmennej dla przyszłośc (od n+ do ). (k) y (0), y (0),..., y (0) n dane z przeszłośc y (0) n+, y (0) n+,..., y (0) prognozy w przyszłość Podobeńswo zmennych Reguła prognozowana y () r,...,y () r+l y () r,...,y () r+l... y (K) r,...,y (K) r+l podobne dane pochodzące z przeszłośc Rysunek..3. Schema prognozowana z wykorzysanem meod analogowych. Meody heurysyczne Meody heurysyczne polegają na wykorzysanu opn eksperów, kóra opara jes na ch nucj dośwadczenu. W procese prognozowana wysępuje zazwyczaj od klku do klkudzesęcu eksperów. Po uzyskanu ch opn na ema prognozowanego zjawska należy je przeanalzować. Realzują o zazwyczaj organzaorzy badań, kórzy uzyskują prognozy sosując najczęścej regułę najwększego prawdopodobeńswa (opna najczęścej wysępująca wśród pyanych eksperów). Schema omawanych meod przedsawa Rysunek..4. Do meod heurysycznych najczęścej wykorzysywanych w prakyce zalcza sę: burzę mózgów; meodę delfcką; meodę wpływów krzyżowych. 5
Rozdzał. Zasady budowy prognoz y (), y (),..., y (M) opne eksperów y prognoza w przyszłość Reguła prognozowana Rysunek..4. Schema prognozowana z wykorzysanem opn M eksperów. Meody e są sosowane zarówno do prognozowana nowych zjawsk (np. odkryca naukowe), jak do przewdywań zman doychczasowych prawdłowośc. Bardzo częso w prognozowanu wykorzysuje sę kombnacje przedsawonych powyżej meod. Przykładem akej kombnacj może być oblczane średnej prognozy z prognoz uzyskanych z akch model, jak na przykład modele ekonomeryczne, endencj rozwojowej, gdze można dodakowo dla ych meod sosować wag reprezenujące sopeń zaufana do nch eksperów. Przy wyborze odpowednej meody do prognozowana sone są zw. przesłank prognosyczne oraz właścwośc meod. Przesłank prognosyczne o hpoezy badawcze określające wsępne mechanzm rozwojowy prognozowanego zjawska oraz dosępne o nm dane loścowe jakoścowe. Mechanzm rozwojowy pownen być określony przez wskazane oddzałujących na badany obek zjawsk oraz kerunku ch wpływu. Właścwośc meod jake pownny być brane pod uwagę przy ch wyborze, o przede wszyskm ocena jakośc modelu (ocena jego zgodnośc z danym emprycznym) oraz ocena warośc prognosycznej meody. Będze o nch mowa w rozdzale.4. 6
Rozdzał. Zasady budowy prognoz.3. Dane wykorzysywane w prognozowanu.3.. Źródła danych wykorzysywanych w prognozowanu W procesach prognosycznych szczególne ważną rolę przypsuje sę nformacjom saysycznym. Wynka o z faku, że wykorzysywane am modele mają najczęścej konkreny charaker lczbowy przez saysyczne oszacowane wysępujących w nch paramerów, zarówno srukuralnych jak określających rozkład składnków losowych. Charaker, rozmar oraz szczegółowość danych saysycznych dosępnych dla prognosy w dużej merze decydują o zasęgu prowadzonej przez nego analzy. Należy meć śwadomość ego, że w przypadku zjawsk ekonomcznych, prognosa zazwyczaj ne posada danych eksperymenalnych, o znaczy akch, kóre zosały uzyskane w ramach celowo przeprowadzonych eksperymenów. Mus węc wykorzysywać snejące już źródła danych, jeśl nawe są one nedokładne czy nawe nekomplene. Prognosa pownen węc bardzo dobrze orenować sę w rodzajach maerałów saysycznych możlwych do zasosowana przez nego, a opracowanych m.n. przez urzędy saysyczne (np. GUS) odpowedne służby sprawozdawcze jednosek przemysłowych oraz organzacje nsyuy badań opn publcznej, badań konunkury gospodarczej. Pownen zaem znać ch wszyske wady zaley. Co węcej, pownen równeż w ramach swoch możlwośc dzałać w kerunku doskonalena ej sprawozdawczośc proponować nowe meody uzyskwana warygodnych nformacj. Informacje saysyczne mogą obejmować wszyske jednosk badanej zborowośc (zw. populacj). Dane ake określane są manem całkowych nformacj saysycznych. Jednak ne zawsze sneje porzeba czy nawe możlwość zberana, analzy prognozowana zjawsk na podsawe pełnych danych saysycznych. W akch przypadkach korzysa sę z częśc nformacj (zw. próby) pochodzących z badanej populacj, a uzyskwanych w drodze reprezenacyjnego wyberana jednosek populacj. Wyberane o może odbywać sę z wykorzysanem różnego rodzaju losowań. O echnkach losowań konsekwencjach zwązanych z jakoścą model uzyskwanych na podsawe ak wylosowanych prób można zapoznać sę na przykład w [6], [7]. W leraurze doyczącej meod saysycznych można równeż znaleźć konkrene rozwązana pozwalające usalć, jaka pownna być mnmalna lczebność próby, aby zagwaranować żądany sopeń dokładnośc oszacowań neznanych paramerów modelu opsującego populację rozparywanych jednosek (np.[7], rozdz..4; [86], rozdz.8.5). W procesach prognosycznych, wykorzysywane dane saysyczne można pogrupować posługując sę kryerum skal jednosek, do kórych sę one odnoszą oraz kryerum okresu objęego badanem. Uwzględnając perwsze z wymenonych kryerum, wyróżna sę dane mkro- makroekonomczne (nekórzy auorzy wyróżnają równeż dane mezoekonomczne doyczące branż). Druge kryerum pozwala na sklasyfkowane danych w nasępujący sposób: dane saysyczne prezenujące san zjawsk w jednym okrese lub momence. Są o ak zwane dane przekrojowe; dane saysyczne prezenujące dynamkę zjawsk. Opracowane są w posac szeregów czasowych. Sposoby reprezenacj danych sklasyfkowanych według osanego z wymenonych kryerów zosaną szczegółowo przedsawone w podrozdzale.3.4. 7
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Dane ypu makroekonomcznego lusrują pewne zjawska w skal gospodark narodowej. ypowym przykładem ego rodzaju danych są nformacje saysyczne publkowane przez GUS lub NBP. Dane e są bardzo użyeczne, gdyż umożlwają syneyczne spojrzene na gospodarkę narodową. Pozwalają równeż na określene polyk pańswa (budże). Do danych ego ypu zalcza sę na przykład: pozom nflacj; kursy podsawowych walu; pozom bezroboca; pozom życa; konunkurę gospodarczą; pozom zarudnena; produkcję sprzedaną. Dane ypu mkroekonomcznego odnoszą sę do poszczególnych jednosek gospodark. Mędzy danym ypu makroekonomcznego a danym ypu mkroekonomcznego wysępują pewne zwązk. Mając dane doyczące pojedynczych podmoów ekonomcznych można, przy pomocy odpowednej agregacj, dojść do danych makroekonomcznych. Przekszałcene odwrone ne jes możlwe. Dane mkroekonomczne są porzebne prognośce przede wszyskm wedy, gdy przedmoem jego zaneresowana są pewne prawdłowośc loścowe zachodzące na szczeblu podsawowych, najmnejszych podmoów wysępujących w gospodarce, a węc na szczeblu przedsęborsw. Prognosa mus w ym przypadku zberać odpowedne maerały lczbowe w frme. Dane o akm obekce zalcza sę do zw. danych wewnęrznych. Są gromadzone w obekce prognozowanym na porzeby zarządzana ym obekem lub specjalne na porzeby prognozowana. Do najważnejszych źródeł ego ypu danych zalcza sę: opsy zasad funkcjonowana obeku w posac przepsów, regulamnów; beżący rejesr danych; sprawozdana np. ze sprzedaży; spsy mająku. Dane wewnęrzne mogą być uzupełnane nformacjam o obekach sanowących ooczene analzowanego przedsęborswa. Są o zw. dane zewnęrzne doyczące blższego ooczena worzonego przez obeky bezpośredno powązane z obekem prognozowanym. Dane ego ypu doyczyć mogą na przykład dosawcy, klenów, konkurencj, rozwoju branży p. (określane są one częso manem danych mezoekonomcznych). Oczywśce w welu przypadkach prognozowana na pozome pojedynczych przedsęborsw, wymagana jes znajomość wspomnanych już danych makroekonomcznych zwanych równeż danym zewnęrznym doyczącym dalszego ooczena (np. plany fnansowe przedsęborswa muszą być określane w oparcu o ake dane makroekonomczne, jak chocażby pozom sóp procenowych, ceny akcj na gełdze, pozom kursów walu, kóre mogą wpływać na opłacalność przyszłych nwesycj). W prognozowanu, ważnym elemenem jes eora, jako sone źródło wedzy o prognozowanym zjawsku. W naukach społecznych sneje zwykle klka eor doyczących ego samego zjawska. Wśród nch wyróżna sę mędzy nnym: 8
Rozdzał. Zasady budowy prognoz nsyucjonalne. Doyczy o sysemów organzacj produkcj, wymany, podzału p.; behaworysyczne. Odnoszą sę do opsu ekonomcznego zachowana sę poszczególnych osób, warsw klas społecznych; echnczne, mówące o sosowanych echnkach wywarzana. Przedsawone do ej pory uwag wyraźne pokazują, że prognosa mus dysponować bogaym zborem wadomośc. Pocąga o za sobą duże koszy prognozowana wążące sę ze zberanem, przewarzanem przechowywanem danych. Z ego eż względu należy w procesach prognosycznych wykorzysywać ylko ake dane, kóre są ważne wnoszą coś nowego do oceny rozparywanego zjawska. Dane e pownny charakeryzować sę nasępującym cecham określającym ch jakość: rzeelnoścą określającą zgodność z przedmoem, kórego doyczą. Należy sę bowem lczyć z możlwoścą wysępowana błędów w danych, kóre mogą meć charaker losowy (wynk pomyłek przy zberanu przewarzanu) lub sysemayczny (wynk celowego fałszowana danych). Pocąga o za sobą koneczność przeprowadzana konrol meryorycznej formalnej rzeelnośc danych. W wynku błędów losowych mogą pojawać sę zw. obserwacje neypowe w zborze danych. O saysycznych meodach denyfkacj obserwacj neypowych będze mowa w rozdzale.3.; jednoznaczność polegająca na ym, że sposób podawana danych pownen zapewnać jednakowy ch odbór przez każdą osobę (np. dochód narodowy podawany w cenach beżących lub sałych); denyfkowalność zjawska przez zmenne. Oznacza ak dobór zmennych, aby poprawne denyfkowały zjawsko dla celów prognosycznych; kompleność danych polega na objęcu wszyskch, ważnych wadomośc do rozpoznana problemu; akualność danych dla przyszłośc wymaga określena, kóre czynnk z jaką słą będą oddzaływać na prognozowane zjawsko w przyszłośc; kosz zberana opracowywana danych pownen być mnmalny ale bez uray ważnych nformacj doyczących analzowanego zjawska; porównywalność danych. Pod ym pojęcem należy rozumeć możlwość porównywana w zakrese: czasowym (jednakowy odsęp czasu mędzy obserwacjam zjawsk), eryoralnym (jednakowe eryorum np. pańswa), pojęcowym kaegor (e same defncje klasyfkacje), meod oblczeń (e same sposoby oblczeń np. nflacj, dochodu narodowego p.). Dane wykorzysywane w prognozowanu mogą meć charaker jednorazowy (np. ops echnolog) lub powarzalny. Przykładem danych neporównywalnych są ogłoszone przez GUS welkośc produkcj sprzedanej przemysłu w sycznu roku 999 000. Jes o wynkem zmany zasady oblczana wskaźnka produkcj sprzedanej. Wynk za syczeń 000 roku obejmują sprawozdana przedsęborsw w lczbe pracujących powyżej 9 osób. Naomas do końca 999 roku saysyka obejmowała sprzedaż przedsęborsw o lczbe pracujących powyżej 5 osób. 9
Rozdzał. Zasady budowy prognoz.4. Własnośc prognoz.4.. Błędy predykcj Spełnene wymenonych w rozdzale. podsawowych założeń eor wnoskowana w przyszłość oraz dokonane wyboru właścwej reguły prognozowana ne mus oznaczać, że można już przysąpć do konsrukcj prognozy. Wynka o z faku, że opracowane prognozy pownny być dopuszczalne z punku wdzena określonych kryerów dokładnośc. Pojęce dokładnośc sugeruje możlwość wysępowana błędów prognozy. Oczywsym jes, że proces wnoskowana w przyszłość ne jes dealne dokładny. Oznacza o snene odchyleń pomędzy fakycznym realzacjam zmennej prognozowanej a jej prognozam. Aby móc precyzyjne analzować dokładność prognoz należy formalne zdefnować błąd predykcj. W ogólnośc można rozróżnć rzy rodzaje błędów ([06], rozdz.4.): błąd predykcj: U Y y (.4.) pełny błąd predykcj: U ' Y Y (.4.) czysy błąd predykcj: U { Y E Y } (.4.3) gdze Y zmenna prognozowana będąca zmenną losową; Y zmenna losowa oznaczająca prognozę uzyskaną na podsawe odpowedno zbudowanego esymaora predykcj określonego na modelu opsującym zachowane sę zmennej prognozowanej. Losowość jes wynkem losowośc esymaorów paramerów modelu; y welkość deermnsyczna oznaczająca prognozę uzyskaną w oparcu o odpowedno zbudowany esymaor predykcj określony na podsawe modelu, kóry zosał oszacowany z próby oraz opsuje zachowane sę zmennej prognozowanej. Deermnzm jes skukem wykorzysywana modelu, kórego paramery sanową konkrene realzacje esymaorów jego paramerów. Znaczene powyższych rodzajów błędów wyjaśnmy na przykładze klasycznej regresj lnowej doyczącej modelu nasępującej posac: Y x 0 (.4.4) gdze Y zmenna objaśnana, zmenna losowa; x zmenna objaśnająca, welkośc określone deermnsyczne; 0, neznane paramery modelu; zmenna losowa. 30
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Welkość U zdefnowaną we wzorze (.4.) nazywać będzemy błędem predykcj. Jes o różnca pomędzy zmenną prognozowaną a usaloną, na podsawe konkrenej próby, prognozą. Oznacza o, że prognozę y uzyskano na podsawe konkrenej posac modelu oszacowanego w oparcu o dosępną próbę saysyczną. W odnesenu do naszego przykładu oznacza o, że: y ax a0 (.4.5) gdze a 0, a uzyskane dla konkrenej próby realzacje esymaorów ˆ, ˆ 0 neznanych paramerów modelu 0,. Określoną we wzorze (.4.) welkość U nazywa sę pełnym błędem predykcj. Różnca w sosunku do poprzednego rodzaju błędu polega na ym, że w analzowanym przypadku ze zmenną prognozowaną Y porównujemy esymaor predykcj Y wynkający z opracowanego modelu. Zakładamy węc nejako brak próby, kóra mogłaby posłużyć do oszacowana paramerów modelu, czyl spowodowałaby wyznaczene realzacj esymaora predykcj. Oznacza o, że dla modelu (.4.4) welkość Y ma nasępującą posać: Y ˆ x ˆ 0 (.4.6) gdze ˆ, ˆ 0 - esymaory neznanych paramerów modelu 0,. Wzór (.4.6) reprezenuje zw. lnę regresj próby (warośc eoreyczne). Osan z wymenonych rodzajów błędu (.4.3) określa sę jako czysy błąd predykcj. Użyy w ym wzorze symbol E oznacza warość oczekwaną braną ze względu na wszyske możlwe próby, jake można pobrać w celu esymacj modelu służącego za podsawę predykcj. Nazwa ego rodzaju błędu wynka sąd, że absrahujemy od wpływu przypadku na orzymaną posać modelu rozparujemy odchylene zmennej prognozowanej Y od prognozy oparej na modelu wolnym od błędów esymacj jego paramerów. Dla modelu regresj, welkość E{Y } wyraża sę wzorem: E Y Eˆ x ˆ Eˆ x Eˆ. (.4.7) 0 Dokładność wnoskowana w przyszłość na podsawe skonsruowanych model zależy od rzech podsawowych czynnków:. jakośc modelu wnoskowana;. zasosowana właścwej meody prognozowana; 3. przyjęca właścwych założeń wyjścowych. Jakość modelu określa poprawność w wyborze odpowednej posac modelu oszacowana jego paramerów. W ym celu korzysa sę z szeregu mernków, kórych pewen zesaw opsano w podrozdzale.4.. 0 3
Rozdzał. Zasady budowy prognoz.4.. Mernk jakośc modelu Do podsawowych najczęścej wykorzysywanych mernków ocenających jakość modelu zalcza sę współczynnk deermnacj R. Defnuje sę go w nasępujący sposób: R n n yˆ y n y y y y n e (.4.8) gdze znaczene poszczególnych welkośc jes nasępujące: y empryczna warość zmennej Y w momence ; ŷ - eoreyczna warość zmennej Y w chwl (warość wynkająca z modelu); y - średna warość zmennej Y w szeregu czasowym o długośc n oblczana według zależnośc: n y y ; n e resza modelu, czyl różnca mędzy y a ŷ (e =y - ŷ ). Współczynnk deermnacj R jes marą dopasowana lnowego modelu regresj do danych rzeczywsych. Gdy paramery modelu są szacowane meodą najmnejszych kwadraów, współczynnk R przybera warośc z przedzału [0,], przy czym m wyższa jes jego warość, ym lepsze jes dopasowane modelu. Współczynnk en określa, na le zmenność danych emprycznych wyjaśnona jes przez zmenność modelu. Grafczną nerpreacją współczynnka deermnacj dla lnowego równana regresj prezenują Wykresy.4.. Ne można jednoznaczne określć co o jes wysoke R. Dla model, kórych paramery esymowane są na podsawe szeregów czasowych, częso R są rzędu 0.90-0.95 a nawe 0.99. W przypadkach danych przekrojowych, orzymywane warośc współczynnka deermnacj są znaczne nższe. Współczynnk en może być zawsze oblczany bez względu na posać modelu zasosowaną meodę esymacj, jednakże jego nerpreacja w kaegorach warancj objaśnonej ne objaśnonej jes zachowana ylko przy spełnenu rzech ponższych założeń: 3
Rozdzał. Zasady budowy prognoz 30 5 0 5 R = 0,0003 0 5 0 0 4 6 8 5 0 5 0 5 R = 0,007 0 0 4 6 8 5 0 5 0 R = 0,963 5 0 0 4 6 8 Wykres.4.. Warośc współczynnków deermnacj dla przykładowych danych emprycznych. Wykres a. brak zależnośc, Wykres b. zależność nelnowa, Wykres c. zależność lnowa.. prawdzwa relacja mędzy zmenną objaśnającą a objaśnaną w populacj generalnej mus być lnowa. Wówczas R określa, le procen zmennośc Y zosało objaśnone przez lnową funkcję warancj zmennej X,. paramery muszą być esymowane meodą najmnejszych kwadraów. W przypadku sosowana nnych meod, współczynnk może przyjmować dowolne warośc rzeczywse, 3. model mus zawerać wyraz wolny. Równeż w przypadku lnearyzacj modelu, współczynnk R odnos sę do formy zlnearyzowanej, w kórej co najmnej nekóre zmenne są funkcjam zmennych perwonych. Wedy eż warość współczynnka może wykraczać poza dopuszczalny przedzał [0,]. Zwększene lczby zmennych objaśnających zmnejsza warość R co urudna porównywane model. Z ego powodu coraz powszechnej sosuje sę, wolny od ej wady, skorygowany współczynnk deermnacj (ang. Adjused Deermnaon Coeffcen) zdefnowany nasępująco: R n R (.4.9) n k gdze n oznacza lczbę obserwacj, zaś k oznacza lczbę zmennych objaśnających, czyl lczbę szacowanych paramerów modelu. Kolejną marą jakośc modelu jes odchylene sandardowe resz modelu s będące neobcążonym esymaorem odchylena sandardowego składnka losowego modelu: 33
Rozdzał. Zasady budowy prognoz 0.5 n s e n k (.4.0) gdze oznaczena są ake same jak w poprzednch wzorach. Warość odchylena s nformuje o przecęnym odchylenu warośc rzeczywsych zmennej prognozowanej od warośc eoreycznych (zw. zmenność ne objaśnona przez model). W oparcu o odchylene sandardowe s resz modelu defnuje sę kolejną marę jakośc modelu - współczynnk wyrazsośc w: s w 00 % (.4.) y Informuje on, jaką część średnej warośc y zmennej Y sanow odchylene sandardowe s resz (odpowednk współczynnka zmennośc). Jakość modelu można równeż badać za pomocą błędu oceny esymaora każdego jego parameru. Wyjaśnmy o na przykładze klasycznego modelu regresj z lną regresj populacj generalnej nasępującej posac: E{y }= 0 + x gdze paramery 0 są neznane. W oparce o dane empryczne, wykorzysując meodę najmnejszych kwadraów, szacujemy neznane paramery w wynku czego orzymujemy ch oceny oznaczane odpowedno przez ˆ 0 ˆ. Jak wadomo, oceny e są zmennym losowym. ym samym można ocenć ch zmenność za pomocą warancj, kóre będzemy oznaczać odpowedno przez. Do konsrukcj prognoz wykorzysuje sę lnę regresj próby (warośc eoreyczne) posac: yˆ ˆ0 ˆ x Wdać węc zasosowane ocen neznanych paramerów modelu. Pokażemy jak warancja ych ocen może wpływać na, merzoną za pomocą warancj, zmenność warośc eoreycznych: V E ˆ 0 ˆ x 0 x E ˆ 0 0 ( ˆ ) x ) x E ( ˆ )( ˆ ) x yˆ E yˆ E{ yˆ } E ˆ 0 0 E ( ˆ x cov ˆ ˆ ˆ ˆ 0, x 0 0 0 gdze cov( ˆ 0, ˆ ) oznacza współczynnk kowarancj mędzy ocenam paramerów modelu. ˆ0 ˆ Wykorzysuje sę fak, że meoda najmnejszych kwadraów daje esymaory neobcążone 0 odpowedno paramerów 0, zn.: E { ˆ 0} 0 E { ˆ}. ˆ ˆ 34
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Powyższa zależność określa, jak wpływ na warancję V { yˆ } warośc eoreycznych ŷ służących do budowy prognoz mają warancje ocen paramerów oraz zależność mędzy nm merzona współczynnkem kowarancj. Dodakowo, jeśl składnk losowy modelu ma rozkład normalny N(0, ), wedy można badać soność każdego parameru, o znaczy sprawdza sę, czy paramer różn sę sone od zera. W ym celu formułuje sę hpoezę zerową alernaywną posac: Hpoeza zerowa H 0 : =0 Hpoeza alernaywna H : 0. Może o być szczególne sone w przypadku parameru. Manowce, gdyby okazało sę, że różn sę od zera w sposób saysyczne nesony, wedy oznaczałoby o brak zależnośc mędzy zmenną objaśnającą a objaśnaną. Dla porzeb prognozy wyberać należy model najlepszy w sense przedsawonych powyżej ocen jakośc. Należy jednak pamęać, że jakość modelu w przeszłośc ne jes równoważna z jego waroścą prognosyczną. Dlaego eż warość ę należy określać przez badane jakośc prognoz. Momeny rozkładu prawdopodobeńswa zdefnowanych błędów prognoz, akch jak na przykład U, U, U są bardzo częso wykorzysywane jako mernk dokładnośc predykcj. Wymagają one jednak znajomośc ch rozkładu lub rozkładu zmennej prognozowanej. Mary ake nazywa sę mernkam dokładnośc ex ane. W prakyce prognosycznej używa sę równeż zw. mernk ex pos, kóre oblczane są na podsawe zaobserwowanej w przeszłośc rozbeżnośc prognoz zmennej prognozowanej. W dalszej częśc rozdzału zosaną szczegółowo omówone mernk wymenonych grup..4.3. Mernk dokładnośc ex pos W welu syuacjach prognozowana zjawsk ekonomcznych, bardzo użyecznym jes wykorzysywane do pomaru dokładnośc prognoz mernków ex pos ocenających rafność prognoz. Bazują one na zebranych w przeszłośc dośwadczenach. Warunkem efekywnej ch budowy jes posadane odpowedno bogaych maerałów emprycznych o wyznaczonych prognozach odpowadających m realzacjach zmennej prognozowanej. Ich konsrukcja polega na porównywanu przeszłych danych rzeczywsych z prognozam na chwle przeszłe (parz Rysunek.4.). Sosując mernk ej grupy należy meć na względze o, aby wykorzysywane do ch budowy prognozy były powarzane, ne wybegały zby daleko w przyszłość doyczyły nezby długch odcnków czasu. Zaleą mernków ex pos jes prosoa ch budowy oraz jasna nerpreacja. Co węcej, można z ławoścą budować nowe mernk, kórych zadanem jes lusracja pewnych specyfcznych cech dokonywanej predykcj jej wynków. 35
Rozdzał. Zasady budowy prognoz Dane z przeszłośc, y, <n Porównywane danych z prognozam -> mernk ex pos Chwla beżąca n czas Prognozy na chwle przeszłe, y, <n Np. y -y ; <n Rysunek.4.. Schema wyjaśnający deę konsrukcj mernków dokładnośc ex pos. Znaczene omawanej klasy mernków dokładnośc predykcj jes nasępujące:. w syneyczny sposób opsują rząd dokładnośc prognoz, jak zosał osągnęy w przeszłym odcnku czasu, z kórego pochodzą dane empryczne wykorzysane do oblczena ch warośc. Odcnek en nazywa sę okresem emprycznej weryfkacj prognoz;. nformują o rzędze możlwej dokładnośc nowych prognoz, o znaczy akch, kóre doyczą przyszłośc. Warunkem umożlwającym wnoskowane, na podsawe mernków ex pos, o dokładnośc przyszłych prognoz jes zbadane, czy rząd popełnanych błędów jes sacjonarny czy eż wykazuje pewne zmany. Dodakowa funkcja, jaka może być spełnana przez mernk ex pos polega na ch porównywanu z mernkam ex ane (zn. ocenającym możlwość realzacj prognoz w przyszłośc). Isona rozbeżność mędzy ym grupam mernków może być sygnałem, że przynajmnej nekóre założena przyjmowane przy budowe prognoz były fałszywe. Do najczęścej wykorzysywanych mernków ocenających rafność prognoz należą: bezwzględny błąd prognozy ex pos w czase : q y y, n (.4.) gdze y realzacja zmennej Y w chwl (warość rzeczywsa, zaobserwowana), y prognoza zmenne j Y na chwlę. względny błąd prognozy ex pos w czase : y y, n (.4.3) y średn względny błąd prognozy ex pos w okrese emprycznej weryfkacj: 36