Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017
kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje: ±roda, 13:30-14:30, 28 M strona na Niezb dniku: www.e-sgh.pl/winnicka koordynator przedmiotu: dr Maria Ekes, maria.ekes@sgh.waw.pl Warunki zaliczenia (szczegóªy na Niezb dniku) 2 kolokwia, w ka»dym 5 zada«po 6 punktów zaliczenie wicze«(od 30 punktów) to warunek dopuszczenia do egzaminu egzamin: 5 zada«po 6 punktów plus punkty dodatkowe za zaliczone wiczenia: dst 0 punktów dst+ 1 punkt db 2 punkty db+ 3 punkty bdb 4 punkty Literatura Podr czniki obowi zkowe J. Kªopotowski, W. Marcinkowska-Lewandowska, M. Nykowska, I. Nykowski, Matematyka dla ekonomicznych studiów zaocznych i wieczorowych, Szkoªa Gªówna Handlowa w Warszawie M. D dys, S. Dorosiewicz, M. Ekes, J. Kªopotowski Matematyka. e-book, Szkoªa Gªówna Handlowa, platforma e-learningowa Podr czniki uzupeªniaj ce W. Dubnicki Matematyka. Denicje. Twierdzenia. Zadania, Wydawnictwo DRUKPOL S. Dorosiewicz, J. Kªopotowski, D. Koªatkowski Matematyka. Tom I, pod redakcj naukow S. Dorosiewicza, Szkoªa Gªówna Handlowa w Warszawie J. Laszuk Matematyka. Studium podstawowe, Ocyna Wydawnicza Szkoªy Gªównej Handlowej
Denicja Ci giem liczbowym nazywamy dowoln funkcj a : N R, gdzie N = {1, 2, 3,...} jest zbiorem liczb naturalnych, a R zbiorem liczb rzeczywistych. Warto± a n = a(n) nazywamy n-tym wyrazem ci gu. Ci g oznaczamy symbolem {a n : n N}, lub krócej (a n). Ci g naturalnych liczb nieparzystych mo»emy opisa : wymieniaj c kilka pocz tkowych wyrazów: 1, 3, 5, 7,..., podaj c wzór na n-ty wyraz ci gu: a n = 2n 1, n N, podaj c zale»no± rekurencyjn (tzn. odpowiedni liczb pocz tkowych wyrazów oraz ogóln zale»no± mi dzy wyrazem tego ci gu, a wyrazami go poprzedzaj cymi): a 1 = 1, a n+1 = a n + 2 dla n 1. Je»eli kapitaª pocz tkowy K zªo»ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapitaª ko«cowy K n wyra»a si wzorem: K n = K(1 + p 100 )n
Denicja Mówimy,»e (a n) jest ci giem rosn cym a n+1 > a n (a n+1 a n > 0), niemalej cym a n+1 a n, malej cym a n+1 < a n, nierosn cym a n+1 a n, staªym a n+1 = a n, Ci g maj cy jedn z wymienionych wªasno±ci nazywamy ci giem monotonicznym. Sprawdzimy, czy ci g o wyrazie ogólnym a n = 2n jest ci giem monotonicznym. n! W tym celu zbadamy znak wyra»enia dla n N. a n+1 a n
Denicja Mówimy,»e ci g (a n) jest ograniczony z góry ograniczony z doªu ograniczony a n M, M R a n m, m R m a n M. m,m R Zbadamy, czy ci g a n = 2n jest ograniczony. n! Denicja Mówimy,»e liczba g R jest granic (wªa±ciw ) ci gu (a n), je±li i piszemy a n g < ε ε>0 N ε N n>n ε an = g lub an g lub an g. n Je±li (a n) ma granic g R, to mówimy,»e jest zbie»ny do g. Je±li nie ma granicy (wªa±ciwej), mówimy,»e jest rozbie»ny.
Poka»emy z denicji,»e n 2 = 1. n Poka»emy,»e ci g a n = ( 1) n nie ma granicy. Twierdzenie Ci g zbie»ny ma dokªadnie jedn granic. Twierdzenie Ka»dy ci g zbie»ny jest ograniczony. Twierdzenie Ci g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny.
Twierdzenie (algebraiczne wªasno±ci granic wªa±ciwych) Je±li an = a oraz bn = b, gdzie a, b R, to (an ± bn) = a ± b, anbn = ab, a n = a, gdy b 0 i bn 0, b n b an = a. Twierdzenie (granice wybranych ci gów) a > 0 = n a = 1, n n = 1, an = 0 a < 1, a n > 0 an = a b > 0 = ban = b a an = a a > 0 = (an)α = a α
Denicja Mówimy,»e ci g (a n) ma granic niewªa±ciw + (odp. ), je±li a n > M (odp. a n < M) M R N M N n>n M i piszemy an = + (odp. ) lub an + (odp. ) lub an + n (odp. ). Je±li (a n) ma granic niewªa±ciw + (odp. ) to mówimy,»e jest rozbie»ny do + (odp. ). Wyka»emy,»e ci g o wyrazie ogólnym a n = 3n 4 jest rozbie»ny do. Dany jest ci g arytmetyczny (a n) o ró»nicy r R. Je±li r > 0, to a n. Je±li r < 0, to a n.
Twierdzenie (algebraiczne wªasno±ci granic niewªa±ciwych) Niech (a n) i (b n) b d ci gami liczbowymi. Je±li a n i b n, to a n + b n, a n b n ; je±li a n i b n, to a n + b n, a n b n ; je±li a n i b n, to a n b n, b n a n, a n b n ; a je±li a n a, gdzie a R i b n ±, to a n + b n ±, n 0; b n je±li a n a, gdzie a > 0 i b n ±, to je±li a n a, gdzie a < 0 i b n ±, to a n b n ± ; a n b n. Skrótowy zapis + =, =, + ( ) =, ( ) ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) =, a + (± ) = ±, a ± = 0, 5 (± ) = ±, 1 (± ) =. 2
(y) n n [ 2n 1 = 1 2 1 ] [ 1 ] = = 0 2(3 17n )(3 n 17) = [2 (3 )( 17) ] = [2 ( ) ] = [2 ] = 0. Twierdzenie (o trzech ci gach) Je±li zachodz warunki n>n 0 c n a n b n, cn = bn = g, to an = g. Obliczymy granice i cos( nπ) n n 2 n + 3 n + 5 n.
Symbole (wyra»enia) nieoznaczone (symbol [ 0 0 ] ) a n 0, b n 0, [ 0 0 a n b n [ 0 0 ] =? a n = 1 n 0, bn = 1 n 0, a n = 1 n 0, bn = 1 n 2 0, a n b n = 1 1, a n = n +, b n a n = ( 1)n 0, b n n = 1 n 0, a n = ( 1) b n - granica nie istnieje. n ] nazywamy symbolem nieoznaczonym. Symbole (wyra»enia) nieoznaczone [ ] [ + ] [ 0 0 ] [ ± ] ± [0 (± )] [1 ± ] [ 0] [0 0 ] (»e synbole nieoznaczone s nieoznaczone)
(wa»ny!) Rozwa»my ci g o wyrazie ogólnym a n = ( 1 + 1 n ) n. Poka»emy,»e (a n) jest monotoniczny i ograniczony (a wi c zbie»ny). monotoniczno± : a n = ( 1 + 1 n ) n = = ( n 0)( 1 n ) 0 + ( n 1)( 1 n ) 1 + ( n 2)( 1 n ) 2 +... + ( n n)( 1 n ) n = = 1 + n 1 n 1 + n(n 1) 2! 1 +... + n! n 2 n! 1 n n = = 1 + 1 + 1 1 n +... + (1 1 n 1 )...(1 ) n n. 2! n! a n+1 = ( 1 + 1 ) n+1 n+1 = = ( n+1)( 1 ) 0 ( 0 n+1 + n+1 1 = 1 + (n + 1) 1 (n+1) 1 )( 1 n+1 + (n+1)n 2! ) 1 ( + n+1 )( 1 2 n+1 1 (n+1) 2 n 1 )...(1 n+1 n+1 ) = 1 + 1 + 1 1 n+1 +... + (1 1 2! wyrazy sum otrzymujemy a n a n+1. ) 2 ( +...+ n+1 )( 1 n n+1 +... + (n+1)! (n+1)! 1 (n+1) n+1 = + (1 1 n+1 )...(1 n n+1 ) n! (n+1)! ) n ( + n+1 )( 1 ) n+1 n+1 n+1 =. Porównuj c kolejne
(c.d.) ograniczono± : z doªu: ci g (a n) jest niemalej cy, a wi c a n a 1 = 2 dla ka»dego n N, z góry: a n = 1 + 1 + 1 1 n +... + (1 1 n 1 )...(1 ) n n 2! n! 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! 1 + 1 + 1 2 1 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 = = 1 + 1 ( 1 2 )n 1 1 2 1 + 1 1 1 2 = 3. Granic ci gu ( 1 + 1 n ) n nazywamy liczb Eulera i oznaczamy liter e ( 1 ) n 1 + = e = 2.7182818... n Twierdzenie Je»eli an = lub an =, to (y) ( 1 ) an 1 + = e. a n