Zastosowania matematyki
|
|
- Łucja Szczepaniak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126
2 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm pdf 2 / 126
3 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm pdf 3 / 126
4 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent jest cen jak dªu»nik musi zapªaci wierzycielowi za czasowe przekazanie i u»ytkowanie w okre±lonym okresie czasu warto±ci maj tkowej. ±w. Šukasz Czy-rata-mojego-kredytu-nie-jest-za-wysoka-tcm pdf 4 / 126
5 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 5 / 126
6 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 6 / 126
7 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 7 / 126
8 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 8 / 126
9 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 9 / 126
10 Procent w matematyce Procent oznacza setn cz ± caªo±ci x% = x 100 7% = = 135% 100% = = 2.34% 0.5% = = 50% Przed rokiem cena odtwarzacza CD wynosiªa 300zª. cena wzrosªa w ci gu roku o 15% % = = 45zª zatem cena wynosi 345zª( = 345) gdyby odtwarzacz zdro»aª o 60zª, to stopa wzrostu ceny wynosi % = 20% 300 w drugim przypadku cena nie wzrosªa o 5% gdyby cena wzrosªa o 15% a nast pnie o 5% wówczas wzrosªaby o 15%(1 + 5%) = 15% 1.05 = 15.75% 10 / 126
11 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 11 / 126
12 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 12 / 126
13 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 13 / 126
14 Punkt procentowy Punktem procentowym (pp)nazywamy ró»nic pomi dzy wielko±ciami wyra»onymi procentowo. pp = w k w p gdzie w k jest warto±ci ko«cow a w p jest warto±ci pocz tkow. w poprzednim przykªadzie ró»nica wynosiªa pp = 20% 15% = 5pp je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, wi c obni»yªa si o pp = 9% 18% = 9pp Minus wskazuje kierunek zmiany, czyli spadek o 9 punktów procentowych. Oblicz, ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli bank obni»yª oprocentowanie o jeden pp? Dotychczas wynosiªo 8.34%. 8.34% 1pp = 7.34% 14 / 126
15 Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50% % = 100% = % = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% % = 100% = % = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 15 / 126
16 Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50% % = 100% = % = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% % = 100% = % = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 16 / 126
17 Zmiany wzgl dne w procentach Zmiana wzgl dna w procentach wynosi w = w k w p w p 100% = pp w p 100% Je»eli stopa bezrobocia wynosi 9% a kilka lat temu wynosiªa 18%, to o ile si zmieniªa? w = 9% 18% 18% 100% = 9pp 18% Stopa bezrobocia zmniejszyªa si o 50% % = 100% = % = 50% 0, 18 O ile procent bank zwi kszyª oprocentowanie kwartalnych lokat bankowych, je»eli wzrosªo ono z 4% do 5.2%? oraz w = 5.2% 4% 4% pp = 5.2% 4% = 1.2pp 100% = 1.2pp 4% % = 100% = % = 30% 0.04 Oprocentowanie lokat bankowych wzrosªo o 1.2pp, czyli o 30%. 17 / 126
18 Przykªad Ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli wynosiªo ono 6%, a podniesiono go o 20%? 6% + 20% 6% = = , 012 = = 7.2% Nowe oprocentowanie kredytu wynosi 7.2% Bank centralny obni»yª podstawow stop procentow o 10%. Dotychczas wynosiªa ona 5%. Ile b dzie wynosi? 5% 10% 5% = = , 005 = 0, 045 = 4.5% Nowa stopa procentowa wynosi b dzie 4.5%. 18 / 126
19 Przykªad Ile wynosi oprocentowanie kredytu, je»eli wynosiªo ono 6%, a podniesiono go o 20%? 6% + 20% 6% = = , 012 = = 7.2% Nowe oprocentowanie kredytu wynosi 7.2% Bank centralny obni»yª podstawow stop procentow o 10%. Dotychczas wynosiªa ona 5%. Ile b dzie wynosi? 5% 10% 5% = = , 005 = 0, 045 = 4.5% Nowa stopa procentowa wynosi b dzie 4.5%. 19 / 126
20 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 20 / 126
21 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 21 / 126
22 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 22 / 126
23 Zadanie Mateusz kupuje wymarzona gr video. Gdy kasjerka oznajmia mu cen tej gry, Mateusz wydaje okrzyk (zdziwienia). To niemo»liwe, musiaªa pani przestawi cyfr jedno±ci i cyfr dziesi tek! Przykro mi odpowiada mu kasjerka od wczoraj wszystkie gry video podro»aªy o 20%! Cena, która zapªaciª Mateusz, jest liczb caªkowit mniejsza od 100zª. Jaka jest ta cena? 23 / 126
24 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 24 / 126
25 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 25 / 126
26 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 26 / 126
27 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 27 / 126
28 Zadania matematyki nansowej Pieni dz otrzymany dzisiaj jest wi cej wart, ni» pieni dz otrzymany jutro. inacja, która zmniejsza warto± pieni dza pieni dz otrzymany dzisiaj mo»na zainwestowa i w przyszªo±ci otrzyma zysk. Konsekwencj zmiennej warto±ci pieni dza w czasie jest to,»e przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju dziaªa«maj cych skutki nansowe, zachodzi konieczno± porównania kwot pieni»nych pochodz cych z ró»nych okresów. Badanie zmiany warto±ci pieni dza w czasie jest jednym z wa»niejszych zada«(klasycznej) matematyki nansowej. 28 / 126
29 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 29 / 126
30 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 30 / 126
31 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 31 / 126
32 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 32 / 126
33 W zale»no±ci od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustali warto± pieni dza rozwa»ane s dwa odmienne zagadnienia ustalenie przyszªej warto±ci pieni dza (ang. future value), któr b dziemy oznacza jako F V ustalenie obecnej, tera¹niejszej, zaktualizowanej, bie» cej warto±ci pieni dza (ang. present value), któr b dziemy oznacza jako P V Ró»nic mi dzy warto±ci przyszª danej kwoty pieni dzy, a jej warto±ci aktualn nazywa si procentem (odsetkami) (ang. interest) i jest oznaczana przez I. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane, nazywa si czasem oprocentowania. 33 / 126
34 Stop procentow (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do warto±ci pocz tkowej kwoty, która je wygenerowaªa w okre±lonym okresie czasu r = F V P V P V Pan Kowalski po»yczyª z banku 2000zª na rok czasu i po jego upªywie ma odda 2360zª. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi r = czyli stopa procentowa jest równa 18%. = / 126
35 Stop procentow (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do warto±ci pocz tkowej kwoty, która je wygenerowaªa w okre±lonym okresie czasu r = F V P V P V Pan Kowalski po»yczyª z banku 2000zª na rok czasu i po jego upªywie ma odda 2360zª. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi r = czyli stopa procentowa jest równa 18%. = / 126
36 Nominalna stopa procentowa Stopa nominalna r n, to stopa podawana przez banki lub inne instytucje nansowe, bez uwzgl dnienia takich czynników jak inacja, deacja, ryzyko, niepewno± itp. 36 / 126
37 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% % = = 1.45% 37 / 126
38 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% % = = 1.45% 38 / 126
39 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa r real, to stopa uwzgl dniaj ca inacj (i) r real = rn i 1 + i Wyznacz realn stop procentow, je»eli wiadomo,»e stopa nominalna banku centralnego wynosi 5%, a roczna stopa inacji jest równa 3.5%. r real = Realna stopa procentowa wynosi 1.45%. 5% 3.5% % = = 1.45% 39 / 126
40 Zasada Fischera Hipoteza Fishera - wy»sza inacja prowadzi do odpowiednio wy»szych nominalnych stóp procentowych st d r real = rn i 1 + i r n = r real (1 + i) + i Irving Fisher 40 / 126
41 Faktyczna stopa procentowa Faktyczna stopa procentowa r f, to stopa uwzgl dniaj ca podatek dochodowy o zysków z inwestycji kapitaªowych T - stopa podatku r f = r n(1 T ) Oblicz faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o nominalnym oprocentowaniu 3.4%. r f = 3.4%(1 19%) = = 2.754% 41 / 126
42 Faktyczna stopa procentowa Faktyczna stopa procentowa r f, to stopa uwzgl dniaj ca podatek dochodowy o zysków z inwestycji kapitaªowych T - stopa podatku r f = r n(1 T ) Oblicz faktyczne oprocentowanie lokaty bankowej o nominalnym oprocentowaniu 3.4%. r f = 3.4%(1 19%) = = 2.754% 42 / 126
43 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 43 / 126
44 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 44 / 126
45 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 45 / 126
46 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 46 / 126
47 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 47 / 126
48 Stopa procentowa Procent w matematyce nansowej, to dochód, który wierzyciel otrzymuje od dªu»nika za wypo»yczenie kapitaªu. procent odsetki kapitalizacja - to powi kszanie kapitaªu o odsetki kapitaª pocz tkowy - kapitaª, który wygenerowaª okre±lone odsetki kapitaª ko«cowy - kapitaª powi kszony o odsetki czas oprocentowania - czas, w ci gu którego odsetki s generowane okresowa stopa procentowa - stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª 48 / 126
49 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 49 / 126
50 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 50 / 126
51 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 51 / 126
52 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 52 / 126
53 Zasada oprocentowania prostego Odsetki(procent) oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Cechy procentu prostego Je±li procent obliczmy za czas skªadaj cy si z kilku okresów, to procent nale»ny za ka»dy okres jest obliczany od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci tego okresu (procent naliczamy zawsze od takiego samego kapitaªu). Procent obliczony za ka»dy z tych okresów dodajemy do kapitaªu pocz tkowego dopiero po zako«czeniu ustalonego czasu oprocentowania (procent prosty nie podlega kapitalizacji) Je»eli ulokowano w banku na rok kwot 1000 zª, to naliczane odsetki w kolejnych miesi cach nie b d sukcesywnie powi kszaªy pierwotnej kwoty lokaty, lecz mog by sukcesywnie wypªacane posiadaczowi. Odsetki uzyskane w ka»dym miesi cu b d takie same, pod warunkiem,»e nie zmieni si stopa oprocentowania. 53 / 126
54 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 54 / 126
55 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 55 / 126
56 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 56 / 126
57 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 57 / 126
58 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 58 / 126
59 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 59 / 126
60 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 60 / 126
61 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 61 / 126
62 Oznaczenia P v - kapitaª pocz tkowy (present value) F v - kapitaª ko«cowy (future value) I - wielko± uzyskanych odsetek (interest) t - okres czasu trwania lokaty lub umowy kredytu, wyra»ony w latach r - roczna stopa procentowa(annual interest rate) zale»no± pomi dzy kapitaªem pocz tkowym, kapitaªem ko«cowym i odsetkami F v = P v + I roczna stopa, to stosunek odsetek i kapitaªu pocz tkowego wielko± odsetek po czasie t r = I P v I = P v rt ko«cowa warto± kapitaªu po czasie t jest sum kapitaªu pocz tkowego i odsetek F v = P v + P v rt = P v (1 + rt) 62 / 126
63 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126
64 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126
65 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126
66 Przykªad 1 Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500zª, przy rocznej stopie 12% po 4 latach? P v = 500zª, r = 12%, t = 4 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 740 po 198 dniach? t = = 0.55 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = 533 po 10 miesi cach? t = = 0.83 F v = P v (1 + rt) = 500( ) = / 126
67 Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 67 / 126
68 Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 68 / 126
69 Wiele oblicze«nansowych wymaga znajomo±ci dwóch faktów 1 jaka jest liczba dni pomi dzy dwoma datami 2 jak zamieni liczb dni na liczb lat 69 / 126
70 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 70 / 126
71 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 71 / 126
72 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 72 / 126
73 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 73 / 126
74 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 74 / 126
75 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 75 / 126
76 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami W praktyce wyró»niamy dwa poj cia czas bankowy rok bankowy o dªugo±ci 360 dni miesi c bankowy o dªugo±ci 30 dni czas kalendarzowy rok kalendarzowy o dªugo±ci 365 lub 366 dni miesi c kalendarzowy o dªugo±ci 31,30,28 lub 29 dni 76 / 126
77 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy a wynosi 11, poniewa» to 150 a to 161, wi c liczba dni to =11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy a wynosi 10, poniewa» to 150 a to 160, wi c liczba dni to =10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 77 / 126
78 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy a wynosi 11, poniewa» to 150 a to 161, wi c liczba dni to =11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy a wynosi 10, poniewa» to 150 a to 160, wi c liczba dni to =10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 78 / 126
79 Obliczanie liczby dni pomi dzy dwoma datami rok kalendarzowy Ka»da data ma przyporz dkowan liczb od 1 do 365 (366). Ró»nic dat obliczamy jako ró»nic odpowiednich liczb. np. liczba dni pomi dzy a wynosi 11, poniewa» to 150 a to 161, wi c liczba dni to =11. rok bankowy Dla roku bankowego utworzona jest równie» tabela dni. Liczb dni pomi dzy dwoma datami oblicza si jako ró»nic odpowiednich liczb. Daty, które nie s uwzgl dnione nie s "liczone". np. liczba dni pomi dzy a wynosi 10, poniewa» to 150 a to 160, wi c liczba dni to =10. Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsze jest obliczanie dokªadnej liczby dni, a dla dªu»nika - bankowej liczby dni. 79 / 126
80 Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 80 / 126
81 Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 81 / 126
82 Zamiana liczby dni na liczb lat rok kalendarzowy rok bankowy t k = t b = liczba dni 365 liczba dni 360 Dla wierzyciela na ogóª korzystniejsza jest zamiana na lata bankowe, a dla dªu»nika - na lata kalendarzowe. 82 / 126
83 W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy a wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = = t k = = liczba lat t b t b = = t b = = Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 83 / 126
84 W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy a wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = = t k = = liczba lat t b t b = = t b = = Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 84 / 126
85 W rezultacie rozró»niania czasu bankowego i czasu kalendarzowego dochodzi do czterech ró»nych wariantów obliczania czasu oprocentowania w latach. Obliczanie czasu oprocentowania w latach bankowych na podstawie kalendarzowej liczby dni nazywamy reguª bankow. Liczba dni pomi dzy a wynosi w roku kalendarzowym 11 w roku bankowym 10 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k t k = = t k = = liczba lat t b t b = = t b = = Dla wierzyciela najkorzystniejszy jest rachunek wedªug reguªy bankowej. 85 / 126
86 Przykªad Obliczmy odsetki proste od po»yczki 15 tys zª, udzielonej na okres od 5 marca do 18 sierpnia przy rocznej stopie 11.5%. I = P v rt = % t = t = 1725 t Liczba dni pomi dzy 5.03 a wynosi w roku kalendarzowym 166 w roku bankowym 163 liczba dni - rok kalendarzowy liczba dni - rok bankowy liczba lat t k = zª = zª liczba lat t b = zª = zª 86 / 126
87 Stopa podokresowa Podokresem oprocentowania nazywamy dowolny okres b d cy ustalon cz ±ci roku, stop podokresow nazywamy stop procentow ustalon dla tego podokresu. Oznaczmy k - liczba podokresów, których ª czna dªugo± jest równa dªugo±ci roku r k - stopa podokresowa m k - czas oprocentowania wyra»ony w podokresach Odsetki w podokresie obliczmy ze wzoru I = P v r k m k Warto± kapitaªu ko«cowego liczymy ze wzoru F v = P v (1 + r k m k ) Najcz stsze podokresy póªrocze k = 2 kwartaª k = 4 miesi c k = 12 tydzie«k = 52 dzie«k = / 126
88 Przykªad Odsetki za kredyt w wysoko±ci zª, wynosz 18454zª kwartalnie. Oblicz stop kwartaln tego kredytu. k = 4, I = 1845zª, P v = 90000zª, m 4 = 1, I = P v r 4m 4 r 4 = I = 1845 = = 2.05% P v m / 126
89 Zasada równowa»no±ci stóp procentowych Stopy procentowe s równowa»ne, je±li przy ka»dej z nich kapitaª pocz tkowy P v generuje w czasie t odsetki I o identycznej warto±ci. Mno» c podokresow stop r k przez odpowiadaj cy jej parametr k, otrzymamy równowa»n roczn stop r. Dziel c roczn stop r przez k, otrzymamy podokresow stop równowa»n dla podokresu, którego dªugo± jest równa 1/k roku. 89 / 126
90 Przykªad 2 Pewien klient ulokowaª w banku kwot 2600zª. Po jakim czasie otrzyma on odsetki w wysoko±ci 390zª, je»eli stopa procentowa wynosi 1.25% kwartalnie? roczna stopa procentowa wynosi obliczamy czas trwania lokaty t t = r = 1.25% 4 = 5% I P v r = % = = = 3 90 / 126
91 Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 91 / 126
92 Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 92 / 126
93 Zmienne stopy procentowe Warto± przyszªa kapitaªu, je»eli stopy procentowe s zmienne F v = P v (1 + r 1t 1 + r 2t r nt n) stopy procentowe r i oraz czas t i musz by zawsze wyra»one dla takich samych okresów obliczaj c ko«cow kwot lokaty bankowej lub wielko± uzyskanych odsetek nie uwzgl dniamy faktycznej stopy procentowej, czy podatku dochodowego itp. 93 / 126
94 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 94 / 126
95 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 95 / 126
96 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 96 / 126
97 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 97 / 126
98 Dyskonto Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v. Kwot o któr nale»y pomniejszy F v aby otrzyma P v nazywamy dyskontem. Znaczenia dyskonta dyskonto proste dyskonto skªadane powy»sze s przykªadem dyskonta rzeczywistego(matematycznego) dyskonto handlowe dyskonto obliczane przy u»yciu stopy dyskontowej, a nie stopy procentowej.(odsetki s obliczane z góry a nie z doªu) 98 / 126
99 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 99 / 126
100 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 100 / 126
101 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 101 / 126
102 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 102 / 126
103 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 103 / 126
104 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 104 / 126
105 Dyskonto Kwota ta reprezentuje zmian warto±ci pieni dza w czasie. Dyskonto oznaczamy symbolem D D = F v P v je»eli zachowamy dotychczasowe oznaczenia, to P v = st d D = F v P v = D = F v Fv 1 + rt Fv Fv (1 + rt) Fv = 1 + rt 1 + rt jest to model dyskontowania rzeczywistego prostego dyskontowanie wycofuje efekt oprocentowania - jest dziaªaniem odwrotnym do oprocentowania prostego = Fv rt 1 + rt 105 / 126
106 Przykªad Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie 1 stycznia lub 1 kwietnia saldo rachunku na dzie«1 stycznia osi gnie poziom 1000zª? P v = Nale»y zdyskontowa kwot 1000zª o rok P v = Fv 1 + rt = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. o trzy kwartaªy P v = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. = / 126
107 Przykªad Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie 1 stycznia lub 1 kwietnia saldo rachunku na dzie«1 stycznia osi gnie poziom 1000zª? P v = Nale»y zdyskontowa kwot 1000zª o rok P v = Fv 1 + rt = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. o trzy kwartaªy P v = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. = / 126
108 Przykªad Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie 1 stycznia lub 1 kwietnia saldo rachunku na dzie«1 stycznia osi gnie poziom 1000zª? P v = Nale»y zdyskontowa kwot 1000zª o rok P v = Fv 1 + rt = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. o trzy kwartaªy P v = przed rokiem nale»aªo wpªaci zª. = / 126
109 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126
110 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126
111 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126
112 Przykªad W dniu 1 stycznia 2010 kapitaª ma warto± 1000zª, przy oprocentowaniu prostym ze stop r = 25% po upªywie roku 1 stycznia 2011kapitaª osi gnie warto± 1000( ) = 1250 rok wcze±niej, czyli 1 stycznia 2009, kapitaª miaª warto± 1000( ) 1 = 800 obliczaj c dwuletnie odsetki od kapitaªu 800zª mamy 800( ) = 1200 dwuletnie zdyskontowanie kapitaªu 1250zª z 1 stycznia 2011 otrzymamy 1250( ) 1 = / 126
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowoPodstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011
Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoW zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,
2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoWst p do matematyki nansów i ubezpiecze«
Jarosªaw Mederski i Sªawomir Plaskacz Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«materiaªy dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki specjalno± : matematyka w ekonomii i nansach. Wydziaª Matematyki
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoPaulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
Bardziej szczegółowoZajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania
Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień 2017 1 / 40 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPodstawy In»ynierii Finansowej. Lista 5
Podstawy In»ynierii Finansowej Lista 5 1. Przedstaw meechanizm marking to market dla opcji kupna i sprzeda»y na przykªadzie opcji kupna i sprzeda»y dla WIG20. Wystawca opcji deponuje depozyt pocz tkowy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoto: r z = I K 0 ; i okres tej stopy zwrotu wynosi T. 1 OS 2
Matematyka nansowa - 1. Lokaty I. Wst pne denicje Konwencja Podstawow jednostk czasu w nansach b dzie rok, wi c je±li nie podajemy jednostki czasu np. podaj c okres stopy, domy±lnie jest to rok. Dla uproszczenia
Bardziej szczegółowoZadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I
Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 )
Załącznik do uchwały zarządu nr 204 /2015 z dnia 30.12.2015 r. wchodzi w życie z dniem 01.01.2016. r. Tabela kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015
Bardziej szczegółowoMaksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoTemat 1: Wartość pieniądza w czasie
Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowoStrategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Bardziej szczegółowodr Danuta Czekaj
dr Danuta Czekaj dj.czekaj@gmail.com POLITYKA INWESTYCYJNA W HOTELARSTWIE PIH TiR_II_ST3_ZwHiG WYKŁAD_ E_LEARNING 2 GODZINY TEMAT Dynamiczne metody badania opłacalności inwestycji w hotelarstwie 08. 12.
Bardziej szczegółowoTABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH
Załącznik do uchwały Zarzadu z dnia 29-01-2016 roku TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH BANKU SPÓŁDZIELCZEGO W DĄBROWIE TARNOWSKIEJ DLA KLIENTÓW INDYWIDUALNYCH Dąbrowa Tarnowska 2016 1 Spis treści:
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoĆwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany
Zadanie 1 Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał
Bardziej szczegółowoKontrakty terminowe na WIBOR
Kontrakty terminowe na WIBOR W Polsce podstawowym wskaźnikiem odzwierciedlającym koszt pieniądza na rynku międzybankowym jest WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate). Jest to średnia stopa procentowa
Bardziej szczegółowoEkonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni Wykład 8ns : tematyka 1. Oprocentowanie, dyskontowanie, współczynnik
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość
Bardziej szczegółowoPLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą
Bardziej szczegółowoAnaliza instrumentów pochodnych
Analiza instrumentów pochodnych Dr Wioletta Nowak Wykład 2-3 Kontrakt forward na przyszłą stopę procentową Kontrakty futures na długoterminowe instrumenty procentowe Swapy procentowe Przykład 1 Inwestor
Bardziej szczegółowoŸ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Bardziej szczegółowoEugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej
Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoProcent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3
Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty
Bardziej szczegółowo2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).
1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Bardziej szczegółowoOgólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w
Bardziej szczegółowoWskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino
Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,
Bardziej szczegółowoI = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Bardziej szczegółowoLicz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania
Bardziej szczegółowoObligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy.
Obligacje De nicja Obligacj nazywamy papier warto sciowy maj acy, charakter wierzycielski. Obligacj jest zaci agni, eciem, po_zyczki przez instytucj e, sprzedaj ac, obligacj e, u jej nabywcy. Sprzedaj
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoRZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie
RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200
Bardziej szczegółowoZestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.
ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowoSantander Consumer Bank S.A.
Santander Consumer Bank S.A. Stosowane stawki oprocentowania środków na rachunkach bankowych - depozyty; terminy kapitalizacji odsetek Aktualna oferta depozytowa Banku LOKATA DIRECT+ Oprocentowanie, wg
Bardziej szczegółowoAlgorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowo10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82
Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Uniwersytet Szczeciński 7 grudnia 2017 r. Wartość pieniądza w czasie, siła procentu składanego, oprocentowanie rzeczywiste, nominalne i realne
Bardziej szczegółowoOprocentowanie konta 0,10%
KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego
Bardziej szczegółowoREGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH
Tekst jednolity -Załącznik do Zarządzenia Członka Zarządu nr 53/2002 z dnia 04.03.2002 B a n k Z a c h o d n i W B K S A REGULAMIN ZAWIERANIA I WYKONYWANIA TERMINOWYCH TRANSAKCJI WALUTOWYCH Poznań, 22
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoWst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza opłacalności inwestycji v.
Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3
Bardziej szczegółowoTabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych
Tabela Oprocentowania Alior Banku S.A. dla Klientów Indywidualnych (obowiązuje od 1 stycznia 2014 r.) 1/6 Rozdział I. Oprocentowanie Rachunku Oszczędnościowo-Rozliczeniowego RACHUNEK OSZCZĘDNOŚCIOWO- ROZLICZENIOWY
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowo1. Oprocentowanie LOKATY TERMINOWE L.P. Nazwa Lokaty Okres umowny Oprocentowanie w skali roku. 9 miesięcy 2,30%
Duma Przedsiębiorcy 1/5 TABELA OPROCENTOWANIA AKTUALNIE OFEROWANYCH LOKAT BANKOWYCH W PLN DLA OSÓB FICZYCZNYCH PROWADZĄCYCH DZIAŁALNOŚĆ GOSPODARCZĄ (Zaktualizowana w dniu 27 kwietnia 2015 r.) 1. Oprocentowanie
Bardziej szczegółowo1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji.
mgr Maciej Jagódka 1. Charakterystyka obligacji 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. Wierzycielski papier wartościowy, w którym emitent obligacji jest dłużnikiem posiadacza
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane
Bardziej szczegółowoS k = R 1 q k + R 2 q k R k 1 q 2 + R k q.
Matematyka nansowa - 5. Strumienie pªatno±ci: renty I. Motywacja, oznaczenia, zaªo»enia Rent cz sto nazywa si dowolny strumie«pªatno±ci. Jednak dla nas rent b dzie strumie«pªatno±ci polegaj cy na wypªacaniu
Bardziej szczegółowoLekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Bardziej szczegółowoZagregowany popyt i wielkość produktu
Zagregowany popyt i wielkość produktu Realny PKB Burda & Wyplosz MACROECONOMICS 4/e Fluktuacje cykliczne Rys.4.01 (+) odchylenie Trend długookresowy Faktyczny PKB (-) odchylenie 0 Czas Oxford University
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoczyli: Rynek nansowy znajduje si w równowadze popyt na pieni dz równy jest poda»y pieni dza (L = M).
akroekonomia I, wiczenia 8-9 Jan Hagemejer odel IS-L Wst p Do tej pory analiza polityki gospodarczej abstraowaªa od sfery monetarnej. Analizowali±my wyª cznie polityk skaln. Co wi cej, uznawali±my,»e wszystkie
Bardziej szczegółowoOPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI
3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub
Bardziej szczegółowoZESTAWIENIE INFORMACJI O WARUNKACH SPŁATY KREDYTÓW HIPOTECZNYCH WYRAŻONYCH W CHF (02.11.2015-06.11.2015)
ZESTAWIE INFORMACJI O WARUNKACH SPŁATY KREDYTÓW HIPOTECZNYCH WYRAŻONYCH W CHF (02.11.2015-06.11.2015) Informacje prezentowane w zestawieniu dotyczą wyłącznie okresu 02.11.2015-06.11.2015. Nie obejmują
Bardziej szczegółowo