Zbgnew Palmowsk Analza Przeżyca Wrocław 9 Zbgnew Palmowsk
Docendo dscmus (Ucząc nnych, sam sę uczymy) Seneka Mos of he me I fnd myself workng n heorecal problems, because I am neresed n applcaons. I also do a lo of applcaons, because I am neresed n heory and more foundaonal work. As a maer of fac, I do no undersand he dfference beween heory and applcaons, and ook me a long me o reach hs non-undersandng. Taks Konsanopoulos
Sps reśc. Wsęp 4. Analza czasu życa 6. Rozkład czasu życa 6.. Przykłady rozkładów czasu życa 9.3 Neparameryczne modele czasu życa - ablce rwana życa 3 Esymacja funkcj przeżyca 4 3. Dane komplene dokładne zdefnowany czas przeżyca 4 3. Dane pogrupowane 6 3.3 Esymacja funkcj przeżyca obserwacje ucęe 35 4. Teora procesów punkowych łańcuchów Markowa w analze przeżyca 4 4. Procesy punkowe 4 4. Łańcuchy Markowa 45 5. Tesowane hpoez doyczących rozkładu czasu życa 5 5. Tesowane rozkładu czasu życa 5 5. Porównywane czasów życa dwóch węcej grup 53 6. Modelowane czasu życa 7 6. Zmenne 7 6. Model funkcj hazardowej objaśnające 7 6.3 Tesy warogodnośc dopasowana 76 6.4 Scorng czyl budowane modelu dla zmennych zero-jedynkowych 79 7. Przykładowe analzy danych saysycznych 86 7. Analza danych osób chorych na bałaczkę 86 7. Scorng danych kredyowych 89 8. Śmerelność modelowana procesam Lèvy ego 6 Leraura 6 Tablce 8 3
. Wsęp Analza przeżyca (ang. survval analyss) jes zborem procedur saysycznych, dla kórych badana zmenna jes czasem pojawana sę określonego zdarzena. Technka a rozwnęła sę w naukach bologcznych medycznych, nemnej jednak coraz częścej jes wykorzysywana w nnych dzedznach wedzy, akch jak ekonoma, nżynera, demografa, epdemologa, czy eż socjologa. Obecne, przy jej użycu można przewdywać czas życa pacjena po operacj, szacować okres, w jakm ludze pozosają bezrobon po urace pracy czy eż esymować czas dzałana pewnego urządzena. Cechą wspólną wszyskch omawanych uaj danych jes, że zawerają one obserwacje ucęe lub ocenzurowane. Take zmenne pojawają sę wedy, kedy obserwujemy długośc życa w pewnym usalonym horyzonce czasowym. Tak zwana cenzura oznacza z kole, że nasza wedza doyczy ylko zdarzena czy dany czas życe był dłuższy nż dana welkość czy ne. Take zjawsko obserwujemy na przykład w badanach klncznych, kedy nekórzy pacjenc wycofują sę z badań. Oczywśce wększość procedur saysyczno-akuaralnych prezenowanych uaj będze uwzględnała e dane ocenzurowane.to co łączy wszyske analzy o fak, że zajmować sę uaj będzemy zmennym neujemnym a welkość akej zmennej będze oznaczała długość czasu życa zakończonego śmercą. Sąd pochodz nazwa ego wykładu. Wększość maerału jes wykładana akże na uczelnach medycznych, gdze wykład en najczęścej jes zayułowany Próby klnczne. Termn śmerć można zamenć ermnem porażka, awara d, ale na porzeby ej prezenacj będzemy używać częścej sosowanych ermnów medycznych. W ym skrypce zameścmy akże aplkacje o charakerze ekonomcznym. Skryp zosał zorganzowany w nasępujący sposób. W perwszym Rozdzale przedsawamy podsawowe ermny oznaczena oraz ypowe przykłady rozkłady czasów życa. W rozdzale drugm zajmujemy sę neparamerycznym rozkładam w oparcu o zw. Tablce Trwana Życa. W szczególnośc poznamy różne hpoezy reszkowego czasu życa, esymaory prawdopodobeńswa śmerc w usalonym odcnku czasowym d. W rozdzale rzecm przedsawmy podsawowy esymaor Kaplana-Meera rozkładu czasu życa. Nasępne przyjrzymy sę emu esymaorow z ogólnejszego punku wdzena procesów punkowych Markowa eor maryngałów. Osobną ważną częścą ego wykładu jes porównywane dwóch czasów życa. Take badana są szczególne sone w badanach klncznych, kedy na podsawe dwóch obserwowanych prób musmy zdecydować czy nowy lek, czy eż nowa meoda leczena jes 4
skueczna. W Rozdzale 4 omówmy podsawowe modele funkcj przeżyca (np. model Coxa) esowane ych model. Take badana są użyeczne np. do analzy ryzyka kredyowego w banku. W skrypce zameszczono akże przykładowe analzy danych saysycznych oraz zadana po każdym z rozdzałów, kóre mogą być rozwązywane na ablcy w rakce ćwczeń lub za pomocą pakeów maemaycznych w rakce laboraorów lub w domu. Badana saysyczne zameszczone w ym skrypce (lub ch część) były częso wykonywane przez moch sudenów. Pragnę m wszyskm szczerze podzękować za cężką pracę. Osan Rozdzał ma na celu zacekawene młodych badaczy, fascynaów ą emayką nowym meodam modelam maemaycznym, kóre obecne sę analzuje. Powsał on na podsawe neresującej pracy Bffe (5) zosał późnej rozwnęy w badanach jake przeprowadzła pan O. Łobko. Mam nadzeje, że a część skrypu przyczyn sę do ch naukowego rozwoju. Skryp kończy sę leraurą ablcam, kóre są wykorzysywane w zadanach. Skryp zosał opary o nasępujące pozycje: Eland-Johnson Johnson (999), Rolsk Błaszczyszyn (4), Klen Moeschberger (997) oraz Flemng Harrngon (5). Wydane korzysałem akże ze wspanałych noaek mojego przyjacela Taksa Konsanopoulousa (6). Za ch udosępnene dyskusje z nm zwązane serdeczne mu dzękuję. Jes wele ksążek mówących o analze przeżyca, główne w konekśce badań medycznych (parz Leraura). Ten skryp mał jednak pokryć jak najszersze spekrum zagadneń (ne ylko saysycznych) unkając głębszej analzy poszczególnych zagadneń. Osoby, kóre są zaneresują sę szczególnym zagadnenem lub konkreną echnką, pownny zapoznać sę z odpowednm ksążkam arykułam. W skrypce unka sę dowodów bardzej polegając na heurysycznych argumenach. Ma o zachęcć sudenów do opanowana prakycznych umejęnośc przydanych po skończenu sudów. Oczywśce za każdą formułą kryje sę pękna maemayka. Aby pokazać jej urok (lub przynajmnej go zasugerować), posanowłem dodać rozdzały 4 8. Oczywśce zachęcam wszyskch do dalszych sudów w ym zakrese oraz do dowodzena pewnych faków przedsawonych w ym skrypce we własnym zakrese dla własnej przyjemnośc. Skryp powsał na podsawe wykładów jake prowadzłem w laach 3-9 w Insyuce Maemaycznym Unwersyeu Wrocławskego jes zaplanowany na 3 godzn wykladu 5 godzn ćwczeń 5 godzn laboraorum z dowolne wybranym pakeem saysycznym lub nawe Excelem. Zajęca były prowadzone dla specjalnośc: maemayka w ekonom ubezpeczenach oraz bomaemyka, ale myślę, że może być użyeczny cekawy dla wszyskch sudenów kerunków ekonomcznych, echncznych czy medycznych, kórzy opanowal pod- 5
sawy rachunku prawdopodobeńswa saysyk. Za pomoc w worzenu ego wykładu dzękuje wszyskm mom doceklwym sudenom.. Analza czasu życa. Rozkład czasu życa Celem ego skrypu jes analza długośc czasu życa zakończonego śmercą, awarą d.. Nech T oznacza czas życa organzmu, czyl okres mędzy narodzenem a momenem wysąpena śmerc. Jes o welkość sochasyczna czyl losowa. Formalne musmy zaem zdefnować przesrzeń probablsyczną (, F, P) Ω oraz określoną na nej neujemną zmenną losową T opsującą ę długość czasu życa. Funkcję F T ( ) P( T ) = (.) nazywamy rozkładem czasu życa. Z prakycznego punku wdzena w analze przeżyca bardzej użyeczna jes zw. funkcja przeżyca: S ( ) F ( ) = P( T ) =. (.) T T > Podaje ona prawdopodobeńswo ego, że osoba przeżyje dłużej nż usalony horyzon czasowy lub naczej - że dożyła do czasu. Zmenna losowa T jes neujemna, zaem S ( ) = (podobne ( ) = T F ). Będzemy zakładać, że rozkład zmennej losowej T jes absolune cągły względme mary Lebesgu e, czy sneje funkcja gęsośc f T ( ) dft dst ( ) ( ) = = (.3) d d T nazywana jes w analze przeżyca krzywą śmerc. Funkcję ( ) d log = ( ) d ft ST ( ) λ T( ) = (.4) S T 6
określamy manem funkcj hazardu lub funkcj ryzyka. F Opsuje ona nensywność śmerc czy eż naężene zgonów. Funkcja hazardu przecwne do funkcj przeżyca skupa sę na pojawenu sę śmerc. Przedsawa granczne prawdopodobeńswo zgonu w neskończene małym przedzale czasu przy założenu, że śmerć ne wysąpła przed począkem ego przedzału: P( T < + T ) λ T ( ) = lm. (.5) Warość funkcj hazardu w momence rakujemy jako chwlowy poencjał pojawena sę śmerc pod warunkem, że osoba dożyła czasu. Możemy meć różne kszały wykresu funkcj hazardowej, np.: sały, rosnący, malejący, wklęsły wypukły (parz rysunek.4/8). Przykłady funkcj hazardowej Modele, w kórym funkcja hazardowa jes rosnąca pojawają sę nauralne am, gdze nasępuje sarzene sę lub zużywane danego maerału. Malejąca funkcja hazardowa pojawa sę znaczne rzadzej doyczy syuacj, kedy jes duża szansa wczesnej śmerc lub awar maleje ona z czasem. Tak jes np. w przypadku pacjenów po ransplanacj oraz w przypadków nekórych urządzeń elekroncznych. Najczęścej funkcja hazardowa jes jednak wypukła. We wczesnym dzecńswe mamy zwększoną podaność na różne śmerelne choroby,. Poem śmerelność sę sablzuje aby w pewnym momence sarzene powodowało ponowne naslene sę nensywnośc śmerc. Zauważmy, ż z (.4) wynka, że: 7
S T ( ) ( u) du = exp λ T. (.6) Obok czasu życa T rozważa sę zw. ucęy czas życa = E[ T T c], gdze po lewej srone powyższego równana mamy warunkową warość oczekwaną. Zmenna T c c T opsuje warość T, jeśl wemy, że czas życa był krószy nż usalone c. Podobne = E[ T T c] opsuje syuację, kedy wemy, że dana osoba dożyła usalonego momenu c. Z defncj warunkowej warośc oczekwanej ogólne wynka, że funkcja przeżyca zmennej, T a b posac: = E[ T a T b], kedy wemy, że śmerć nasąpła w przedzale [a,b], jes nasępującej T c S, T a b ( ) = S S T T ( ) S ( a) S T T ( b) ( a) dla a dla a< b dla > b. W naukach akuaralnych używa sę eż nnych oznaczeń, do kórych akże będzemy wracać bardzo częso używać zamenne z doychczas wprowadzonym. I ak, q ( x q x ) prawdopodobeńswo ego, że x - laek umrze przed upływem czasu ( = ), p ( x [ x] p ) prawdopodobeńswo ego, że x - laek przeżyje co najmnej czas ( = ), x µ + nensywność śmerc x - laka w chwl. Czyl: ST ( x+ ) p = S ( ) =, x S ( x) x T T gdze Tx oznacza przyszły czas życa x-laka oraz T = T. W przyszłośc częso ndeks x będze opuszczany. Równeż: λ ( ) = µ +. Tx [ x] Oczywśce q = p. Poza ym: x x d µ [ x] + = log px. d W naukach akuaralnych częso używa sę ez zw. cenralnego naężena zgonów: 8
m S ( x) S ( x+ ) =, m = m. S( u) du T T x x+ x x Możemy eż pyać o średn czas życa, kóry jes wyrażony poprzez całkę: x ET = f ( ) d= λ ( ) S ( ) d. T T Dla x-laka wprowadza sę częso dodakowe oznaczene: e = ET. Wedy śmerć nasępuje oczywśce w weku x+ e x.. Przykłady rozkładów czasu życa O modelach paramerycznych dla zmennej losowej T (czasu przeżyca) mówmy, gdy znana jes posać analyczna gęsośc rozkładu prawdopodobeńswa. Oprócz funkcj gęsośc rozkład czasu życa opsują: funkcja hazardu, funkcja przeżyca oraz paramery rozkładu (warość oczekwana, warancja, odchylene sandardowe). Ponżej przedsawmy przykłady cekawych, najczęścej sosowanych w analze przeżyca rozkładów. Rozkład jednosajny Zmenna T ma rozkład jednosajny na odcnku [a,b], a,b>, kedy: x x f T ( ) = b a dla a< < b w pozosałozh przypadkach, oraz Sąd λ T S T b ( ) = b a b dla a dla a< b dla> b, ( ) = dla a< b. px =, x, x+ [ a, b]. b x Jes o zw. prawo de Movre a, kóry w 79 zakładał snene maksymalnego (b=) weku jednosk. Rozkład wykładnczy Nech zmenna losowa T, opsująca czas życa organzmu, ma rozkład wykładnczy z paramerem λ,( λ > ). Wówczas: F T λ ( ) e, = λ >. (.7) 9
Gęsość jes równa: dft ( ) ( ) ft ( ) = =λe λ, λ >, (.8) d naomas funkcja przeżyca jes posac: ( λ) S ( ) = e, λ >. (.9) T Funkcja hazardowa jes funkcją sałą, równą λ: ( ) ( ) λ ft λe λt( ) = = = λ. (.) λ S e Rozkład wykładnczy jes jedynym rozkładem, z zw. własnoścą braku pamęc, czyl T P( T > x+ T > x) = P( T > ), czyl wedza mówąca jak długo już żyjemy ne zmena rozkładu przyszłego czasu życa. Take założene było czynone np. w sosunku do długośc rozmów elefoncznych. Rozkład Webulla (939) Gdy czas życa organzmu jes zmenną losową o rozkładze Webulla, funkcja przeżyca ma posać: S T ( ) = e c ξ θ, >ξ, θ >, c >, (.) naomas funkcja hazardowa: c c ξ c c λ T ( T > ξ ) = = ( ξ), (.) c θ θ θ gdze ξ θ są parameram położena skal, naomas c jes paramerem kszału. Rozkład Gomperza (84) W 84 roku do badań nad procesem umeralnośc B. Gomperz wprowadzł model, kórego podsawowym założenem jes, że nensywność zgonów w populacj ludzkej jes wykładnczą funkcją weku jednosk. Założene o określa sę w leraurze jako prawo umeralnośc Gomperza.
Funkcja hazardowa w ym modelu jes posac naomas funkcja przeżyca równa sę: λ ( ) Bc T =, B>, c>, (.3) co daje: B ST ( ) = exp m( c ), >, m=, (.4) log c + x x p = exp{ m( c c )}. x Rozkład Makehama (86) Makeham posulował, że naężene zgonów jes wykładncze powększone o pewną sałą, kóra ma nerpreację wypadkowej nensywnośc zgonów, kóra pojawa sę obok sandardowej nensywnośc zgonów rządzonej prawem Gomperza: λ ( ) = A+ Bc T, A> B, c>. Wedy: oraz S ( ) = T T exp{ A m ( c )} + x x p = exp{ A m( c c )}. x 6 3 Zwykle w akuaralnych aplkacjach A (.,.3), B (, ), c (.7,.). Rozkład lognormalny Zmenna T ma rozkład lognormalny, jeśl T = log X, gdze X jes zmenną losową o rozkładze normalnym z parameram µ σ. Funkcja gęsośc, opsująca naężene śmerc zmennej T ma posać: log µ f T ( ) = exp, >, σ >. (.5) πσ σ Funkcja czasu życa wyraża sę wzorem: F T log µ ( ) =Φ, (.6) σ
gdze Φ jes dysrybuaną rozkładu normalnego (,). Tak rozkład używają frmy ubezpeczenowe do modelowana roszczeń z yułu ubezpeczeń samochodowych. Rozkład Gamma ( Γ ( α, β )) To rozkład z nasępującą gęsoścą f ( T ) = exp{ / },,,. ( ) β α β > α β Γ α Kedy α = ν oraz β = wedy mówmy o rozkładze Rozkład logowy Jes o rozkład zdefnowany poprzez: oraz S ( ) = T,, + exp( b a) b> χ z ν sopnam swobody. (.7) (.8) λ b T ( ) =. + exp( a b) (.9).3 eparameryczne modele czasu życa - ablce rwana życa Gdy ne jes określona posać analyczna rozkładu dana funkcją gęsośc bądź dysrybuaną, o mówmy o modelach neparamerycznych. Najsarszym hsoryczne modelem neparamerycznym są ablce rwana życa. Ogólne przez ablce śmerelnośc będzemy rozumel zbór neujemnych lczb { l, } akch, że S T l ( ) =, (.) l gdze T jes czasem życa. Ogólne przez T rozumemy uaj raczej saysyczną długość życa pewnej populacj, kóra na począku jakegoś okresu czasu ma l członków. W ubezpeczenach grupę ą nazywa sę kohorą a l jes począkową lczebnoścą kohory. Wedy l ma nerpreację lczby osób, kóre dożyły czasu. W prakyce najczęścej jednak l są lczbam całkowym zaś przyjmuje akże warośc całkowo lczbowe oznaczające laa, mesące d. Pozosaje węc problem esymacj funkcj przeżyca dla wszyskch neujemnych, rzeczywsych na podsawe częścowej wedzy pochodzącej z obserwacj lczby dożywających do kolejnego okresu całkowo lczbowego. Będze o m.n. przedmoem rozważań ego rozdzału.
Oczywśce wedza doycząca{ l, } jes dosępna w posac obserwacj. Jeśl założymy, że wszyske obserwowane osoby z ablc rwana życa mają wspólny rozkład czasu życa, wedy wzór (.) podaje najprosszą esymację funkcj przeżyca w okresach całkowo lczbowych. Tam meoda jes głównym narzędzem analzy umeralnośc, kóre dla osób urodzonych w ym samym czase, ej samej płc lub ego samego mejsca zameszkana określa szanse dożywana dowolnego weku. Za perwsze opublkowane uważa sę ablce Grauna z 666 roku wykonane na podsawe ksąg parafalnych dla kohory osób zameszkałych w Londyne. Oczywśce ne zawsze wszyske osoby mają ak sam rozkład czasu życa na począku badań. Różnce mogą być spowodowane różnym chorobam w przeszłośc, płcą, zawodem d. Wedy należy używać zw. ablc selekywnych, kóre opszemy w dalszej częśc ego wykładu. W ablcach rwana życa zwykło przyjmować sę sandardowe oznaczena: x x - laek, czyl osoba w weku x, T x przyszły czas życa x - laka, l x l lczba osób dożywających weku x lczba wszyskch osób w badanej populacj, d lczba osób umerających pomędzy wekem x x +. x Przypomnjmy eż, że: q ( x q x ) prawdopodobeńswo ego, że x - laek umrze przed upływem czasu ( = ), p ( x [ x] p ) prawdopodobeńswo ego, że x - laek przeżyje co najmnej czas ( = ), x µ + nensywność śmerc x - laka w chwl. Ponżej przedsawamy fragmen ablcy rwana życa, opsującej rozkład czasu życa mężczyzn w Polsce w 997 roku, będących w przedzale wekowym [,6 ]. Tabela. x l x d x q x p x µ x 9.9.9899 * 9899 57.58.9994 * 9885 45.46.99954 * 3 9887 36.36.99964.4 4 9877 3.3.9997.33 3
5 9874 4.4.99976.7 6 9877 3.3.99977.3 7 98694 4.4.99976.4 8 9867 3.3.99977.4 9 98647 3.3.99977.3 9864 3.3.99977.3 986 3.3.99977.3 98578 5.5.99975.4 3 98553 7.7.99973.6 4 9856 34.35.99965.3 5 9849 44.45.99955.39 6 98448 6.63.99937.5 7 98386 88.89.999.76 8 9898 3.5.99885.3 9 9885 9.3.99869.5 9856 33.36.99864.35 9793 33.36.99864.36 9779 33.36.99864.36 3 97657 3.34.99866.35 4 9756 35.38.9986.36 5 9739 4.44.99856.4 6 975 47.5.99849.47 Wększość maerału pochodz z ksążk Błaszczyszyn Rolsk (). Zachęcam osoby zaneresowane ą emayką do pogłębena swojej wedzy w ej ksążce. Hpoeza Jednorodnej Populacj W zdecydowanej wększośc przypadków jes rozsądne założyć, że wszyske osoby w danej populacj (grupe) mają wspólny czas życa T = T, kóry jes dany na począku danego okresu (np. w chwl urodzena, począku badań d.) kóry chcemy esymować. Zakładamy zaem, że populacja jes jednorodna borąc pod uwagę długość czasu życa. To założene oznacza m.n., że przyszły czas życa x-laka (en, kóry pozosał do śmerc) ma ak sam rozkład jak T x pod warunkem { T > x}, zn.: 4
P( T > ) = P( T > x+ T > x ) x dla wszyskch. Jes o zw. hpoeza jednorodnej populacj (HJP). Zauważmy, że powyższe założene znaczne upraszcza rozważana. Pozwala ono wyrazć całą rodznę rozkładów zmennych losowych, dla wszyskch neujemnych, przy pomocy jednego rozkładu zmennej. W szczególnośc: lx+ px =. lx Uzyskujemy zaem wedy najbardzej nauralny sposób esymacj prawdopodobeńswa że x- laek przeżyje kolejne la poprzez proporcję lczby obserwowanych (x+)-laków w sosunku do zaobserwowanej lczby x-laków. Co węcej, ne ma akże wedy porzeby zaznaczana, że nensywność śmerc jes lczona dla x-laka zależy ona eraz ylko od momenu czasu, w kórym obserwujemy daną osobę: S ' T ( x+ ) µ [ x] + = = µ x+ = λt ( x+ ), S ' ( x+ ) gdze T S = T µ ST ( ). ( ) Przy hpoeze (HJP) mamy akże: sąd Podobne: p x = x+ x p p x+ + s p x+ + s p / x p + s px px = = =. p p / p p x+ s x+ s x s x e ET S ( y)d y p d. x = x = T = x S ( ) x T x Hpoeza Agregacj Częso zakłada sę neco prosszą całkowo lczbową wersję poprzednej hpoezy, zw. hpoezę agregacj (HA). Przyszły czas życa można bowem podzelć na T = K + R x x x, gdze R = [ T ]. Hpoeza agregacj doyczy rozkładu ( neujemne całkowe) : x x P( K k) = P( K x+ k K x) x dla dowolnych całkowych neujemnych akch, że P( K x k) >. Oczywśce jeśl zachodz hpoeza jednorodnej populacj o zachodz równeż hpoeza agregacj. Hpoezę (HA) można równoważne sformułować na klka sposobów. Na przykład, nerudno zauważyć, że warunek (HA) równoważny jes warunkow Ponado oznaczając: P( K = k) = P( K = k+ x K x). x 5
q [ x] + s prawdopodobeńswo warunkowe ego, że x - laek umrze przed upływem kolejnych jednosek czasu (np. la), pod warunkem, ze x-laek przeżyje wcześnej co najmnej s jednosek czasu (np. la), czyl: q = [ ] P( T s + + T > s) x s x x p [ x] + s prawdopodobeńswo zdarzena przecwnego; można ławo udowodnć, ż: p p k [] + x k x q q k [] + x k x p q = = = p [ x] + k x+ k = q [ x] + k x+ k,,, są spełnone dla każdego neujemnego całkowego opare o prosą ożsamość:. Dowody powyższych ożsamośc są FT ( s+ ) x s+ px p = P( T > s+ T > s) = =. F ( s) p [ x] + s x x Przyjrzyjmy sę na przykład dowodow ożsamośc (.3): Tx s x p p p P( K x+ k+ K x ) P( K x+ k+ ) = = = = = p k+ x k+ [] + x [ x] + k x+ k k px k p[] + x P( K x+ k K x ) P( K x+ k ) Zauważmy akże, że z powyższej równośc wynka, ż do lczena k p x wysarczą lx+ lx+ lx+ k p x =, px+ =,, px+ k =, poneważ l l l Poza ym: x x+ x+ k p k l = p = l k x x+ = x+ k p = p p = p p. k+ n x k x n x+ k n x k x+ n Przy założenu (HA) możemy równeż znaleźć średn czas życa lczony w jednoskach całkowych (np. w laach) EK x = ex. Manowce: x.. Rzeczywśce: e x = p x k= x+ k p. P( K x+ k) e = p = P( K k) = = p = p. x k= k x x x+ k k k= k= P( K x) x p k= x p k= x+ 6
Tak jak już zauważylśmy do znalezena k szczególnośc nasępujące ożsamośc: dx lx lx+ qx = =, gdze dx = lx+ lx, l l p e x x x l = l l = x+ x, + l +, l x+ x+ x x p x dla x k całkowego wysarczy wedza kóre wykorzysują zw. zagregowane ablce śmerelnośc { l x }. x, p x, w Jednakże do esymacj funkcj przeżyca ST ( ) czy eż p x dla dowolnych rzeczywsych porzebna jes dodakowa wedza doycząca czasu Rx = Tx K x. Najproścej jes poczynć jakeś dodakowe założena doyczące rozkładu zmennej losowej R x, zwanej w naukach akuaralnych ułamkowym czasem życa. Rozkład en można eż próbować esymować. Zacznjmy od perwszej możlwośc, czyl od zw. hpoez nerpolacyjnych, kóre są zgodne z (HJP). Hpoezy nerpolacyjne Przez cągłą nerpolację rozumemy podane przebegu funkcj p x od w przedzałach,, przy czym przeps na px w przedzale zależy jedyne warośc. Dla usalonego weku całkowego, zakładamy węc, że dany jes rozkład, a zaem prawdopodobeńswa gdze są neujemnym lczbam całkowym. Podamy eraz klasyczne hpoezy nerpolacyjne oraz sformułujemy udowodnmy ch własnośc. HU Powemy, że rozkład spełna hpoezę jednosajnośc (HU) [unform], jeśl funkcja zmennej jes cągła kawałkam lnowa w przedzałach. Czyl: + p = ( u) p + u p, u<. n u x n x n x Zauważmy, że na przykład:. Hpoeza (HU) mów nam, że ułamkowy czas życa ma rozkład jednosajny na odcnku [,]. Rzeczywśce: P( R u K = n) = u. Powyższa ożsamość wynka z nasępujących ożsamośc: x x Hpoezę (HU) można akże sformułować równoważne podając warunk na naężene zgonów: 7
µ [ x] + n+ u q = uq [ x] + n [ x] + n. Zosawamy ę ożsamość bez dowodu. HCFM Hpoeza przedzałam sałego naężena zgonów (HCFM) [consan force of moraly], jeżel jes sałą funkcją zmennej w przedzałach, ; j., µ [ x] + n+ u = µ [ x] + n, u<. Założene o właścwe zakłada, że sarzene nasępuje ylko w momenach całkowo lczbowych. Przy założenu (HCFM): µ = µ = log p, u<, n=,, [ x] + n+ u [ x] + n [ x] + n kóry wynka wpros z reprezenacj prawdopodobeńswa przeżyca: p n n = exp{ µ du} = exp{ µ }. n x [ x] + u [ x] + k k= Zauważmy, że z rozważanego faku wynka, że przy hpoeze HCFM zmenne ne są nezależne. Rzeczywśce można udowodnć nasępujący fak: p = p ( p u ), Perwsza ożsamość wynka z: n+ u x n x [ x] + n ( p ) u [ x] + n ( x x = ) =. q[ x] + n P R u K n zaś druga z: po podzelenu lcznka manownka przez. W szczególnośc (dla ) orzymujemy: HB Powemy, że spełnona jes hpoeza Balduccego (HB) jeśl: q = ( u) q, u [ x] + n+ u [ x] + n dla, Hpoeza (HB) mów, że prawdopodobeńswo ego, że laek umrze przed końcem ego roku, pod warunkem, że przeżyje część ego roku, jes pro- 8
porcjonalne do pozosałej częśc roku, j. udowodnono nasępujące ożsamośc:. W Fakce.8 ksążk Błaszczyszyn Rolsk () Czasam posadamy ablce, kóre podają lczbę osób żywych co klka jednosek czasu, np. co klka la. Najczęścej jes o okres 5 la. Przedsawmy eraz sposób nerpolacj brakujących całkowo lczbowych Współczynnk Lagrange a l,. x x W prakyce bardzo częso używa sę nasępującej rzyczęścowego przyblżena: ) aproksymacj Lagrange a dla dzec w weku -9, drugej aproksymacj Lagrange a dla osób w weku -74 aproksymacj Gomperza dla osób sarszych. Ponżej przedsawamy abelę, kórą będzemy używać w dalszej częśc ego rozdzału. Współczynnk Lagrange a współczynnk dla x< x = x = 5 x= x = 5 x = x = 5.6864.7668 -.6896.43776 -.68.5536.344448.486 -.86.599 -.936.995 3.6755.5664 -.788.4888 -.4784.848 4.5936.87 -.3944.54 -.739.64 6 -.5536.7668.3834 -.74.547 -.864 7 -.995.546.69888 -.68.864 -.648 8 -.848.3464.939 -.6.766 -.75 9 -.64.67.376 -.6896.468 -.6336 x=l x = 5 x= x=5 x = x = 5.563.776 -.4784.83886 -.76.56 3.7339.4799 -.539.99 -.3747.5867 4.9649.88 -.38533.78 -.58358.88 6 -.4667.798.354667 -.5.48 -.7 7 -.4887.566.6656 -.4686.7758 -.4 8 -.378.333.888533 -.448.747 -.98 9 -.8379.48.44 -.694.436 -.5867 9
współczynnk dla x< x = 5m- x = 5m-5 x = 5m x = 5m + 5 x = 5m+ x = 5m+5 5m+.864 -.739.8874.76 -.498.6336 5m+.648 -.9984.69888.4659 -.8736.75 5m+3.75 -.8736.4659.69888 -.9984.648 5m+4.6336 -.498.76.8874 -.739.864 Aby użyć powyższej abel leży wybrać odpowedn wek x po lewej srone abel, po czym dodawać l x z wagam pojawającym sę w kolejnych kolumnach. I ak np. l =,344448l +, 486l,86l +,599l,936l +, 995l czy eż: 5 5 5 l =, 864l, 739l +,8874l +, 76l, 498l +, 6336 l. 5 5 5 Dla osób w weku powyżej 74 la lepej jes sosować przyblżene Gomperza, zn. należy założyć, że przyszły czas życa ma rozkład Gomperza podany w (.4): B ST ( ) = exp m( c ), >, m=. log c Aby znaleźć paramery m c można rozwązać nasępujący układ równań: l x+ 5 5 l l x x+ 5 5 l x = exp{ m( c )}, = exp{ m( c )}, Nesey esymacja a zależy od wyboru x oraz x. Tablce selekywne Mogą pojawć sę akże nne kłopoy. Na przykład może ne być spełnona hpoeza jednorodnej populacj (HJP). Tak sę częso zdarza w badanach medycznych, gdze długość czasu życa na począku badań jes przesądzona przez wysąpene określonej choroby. Czasam okres selekcj jes skończony. Mogła sę skończyć na przykład choroba. Selekcja nasępuje akże podczas zawerana ubezpeczeń zdrowonych czy eż renowych, kedy osoba zawerająca e ubezpeczene podejmuje określone badana lekarske lub deklaruje określony san zdrowa w umowe. Zazwyczaj aka osoba jes zaem w lepszej kondycj nż pozosała populacja. Oczywśce zwykle po pewnym czase ne ma podsaw aby odróżnać saysyczne ę osobę od nnych. W akch przypadkach mówmy o selekywnych ablcach życa { l,,,..., } [ ] x= O, gdze O jes okresem selekcj. Zakładamy bowem, że sneje zmenna losowa K, kóra opsuje długość czasu życa podczas okresu selekcj: x
P( K O+ k K O ) = P( K x+ O+ k K x+ O ). [ x] [ x] [x] jes oznaczenem weku w momence selekcj ak będze rozumane jeśl pojaw sę jako ndeks. Jes o zw. hpoeza ymczasowej selekcj. Wynka z nej, że: p[ ] = p[ ] p[] + +, dla k > O. k x O x k O x O Wedy defnujemy selekywne ablce używając ożsamośc: Równeż: Zadana p n p [ x] [ x] + n l = l / l gdy n< O, [ x] + n [ x] x+ n / l gdy n O. [ x] l[ x] + n+ / l[ x] + n gdy n< O, = lx+ n+ / lx+ n gdy n O.. Przypuśćmy, żė czas życa pewnej eksperymenalnej grupy myszy ma ucȩy rozkład normalny z dołu w punkce A= ze średna m=. 84 odchylenem sandardowym σ = 5, 78. Znajdź proporcje myszy, kóre dożyja mesȩcy. Jak jes średn wek 5% najdłużej żyjacych myszy?. Funkcja hazardowa ak zwanego rozkłady lnowo-wykładnczego jes równa: h( ) = α+ β, >, α >, β >. Znajdź dysrybuanȩ (PDF) oraz funkcje przyżyca (SDF) ego rozkładu. Jaka jes moda ego rozkładu? 3. Lomax (J. Amer. Sa. Assoc. ) proponuje funkcjȩ hazardowa h( ) = b a b + a, >, >, > do modelowana SDF dla średnch frm na rynku. Znajdź ę funkcję SDF. 4. W pewnej rodzne dzadek ma 6 la, ojcec 38 la zaś córka 8 la. Córka zamerza wyjść za mąż w weku la. Korzysając z ablc rwana życa TTŻ-PL97k TTŻ- PL97m znajdź prawdopodobeńswo, że ojcec dzadek wezmą udzał w weselu, dzadek ne dożyje wesela, dzadek będze na weselu wnuczk umrze w cągu nasępnych 3 la. 5. Zmenna losowa opsująca czas rwana życa dla ()-laka ma dysrybuanȩ F( ) =, (, ). Załóżmy (HJP). Oblcz p. Oblcz q. Ile wynos warość oczekwana przyszłego czasu życa dla ()-laka? 6. Załóżmy dla ()-laka prawo de Movre a z maksymalnym wekem. Oblcz m. Oblcz µ [] + 5.
Załóż porzebne hpoezy. 7. Dana jes ablca rwana życa: Oblcz 5 p 3., 5 3 x l x d x 3 3 3 3 33 4 34. q przy każdym z założeń: (HU), (HB), (HCFM). 8. Przyszły czas życa osoby nowourodzonej jes wykładnczy z paramerem. Oblczyć: prawdopodobeńswo śmerc ne późnej nż w 5 roku życa, prawdopodobeńswo dożyca 7 la, prawdopodobeńswo śmerc mȩdzy 4 a 7 rokem życa. 9. Przyszły czas życa ()-laka ma rozkład Webulla z parameram k, c. Oblcz: q, q, p, µ. x s x s [ x] + [ x] +. Oblczyć p4, p3, q, q przyjmując, że rozkład rwana życa osoby nowourodzonej podlega prawu: Gomperza z parameram B=. 655 c=. 786. Makehama z parameram B=, A=, c= Webulla z parameram k = c= oraz c=. de Movre a z ω=.. Zakładając, że naȩżene śmerelnośc jes sałe dla x 5 oraz p 5 =. 4 oblczyć p 55.. Udowodnj, że przy (HA), dla całkowych k, n, x, p = p p. 3. Udowodnj, że m k+ n x n x k x+ n x l µ d d = =, x+ x+ x l Lx x+ d gdze x = x+. Udowodnj, że przy (HU) L l d m x qx =. q / x 4. W populacj A naȩżene zgonów dane jes wzorem A µ x =, x<, x a w populacj B B n µ x =, x<, x
gdze n jes paramerem. Wadomo, że osobnk z populacj A maja przed sobą przecęne o % węcej życa nż osobnk z populacj B w ym samym weku. Paramer n wynos: A: n=., B: n=. 5, C: n=., D: n=., E: żadna z powyższych. 5. Rozważmy dwe nezależne populacje ze śmerelnoścą rządzona prawem Gomperza. () x () x µ = B, µ = B8. x Wemy, że czas życa w drugej populacj dany jes wzorem: x P( X 5) =. Oblcz () 3 () 5 p. Podaj najblższa warość. A:., B:. 5, C:., D:. 5, E:. 3. 6. W populacj de Movre a współczynnk umeralnośc w weku x wynos m =, a dla osobnków dwa razy sarszych m x = 7. Podaj maksymalny wek ej populacj. A:, B:, C:, D: 3, E: 4. 7. Oblczyć:, q, p, q µ 6. 5. 5 5 56. 5 56. 5 przy (HU) (HCFM) zakładając, że prawo życa jes opsane przez TTŻ -PL97k. 8. Znaleźć l x, jeśl l = oraz µ =, µ ( + ) =. 9. Rozważmy nasȩpująca skrócona ablcȩ życa: x l x 5 8 3 7 35 64 4 56 Używając sześcopunkowej aproksymacj Lagrange'a znajdź prawdopodobeńswo, że lena osoba przyżyje co najmnej 3 laa, 3 lena osoba przyżyje co najmnej 4 laa umrze w cagu nasȩpnych 4 la.. Rozważmy nasȩpującą selekywna ablcȩ życa (Dawson, Praccal Lessons n Acuaral Scence, New York): x 7 q. 39 [4] q. 53 [4] + q. 666 [4] + q. 778 [4] + 3 q. 86 [4] + 4 q. 99 45 q +. 58 [39] 3
q [38] +. 63 q. 7 [37] + 3 q [36] +. 754 4 q. 77 4 q. 794 4 q. 8 4 q.84 43 q.88 44 Czy okresy selekcj zosały wybrane poprawne? Wyesymuj prawdopodobeńswo, że osoba w weku 4 la, kóra właśne weszła do grupy selekcj przeżyje osobę, kóra weszła do grupy selekcj 4 laa emu. 3 Esymacja funkcj przeżyca W ym rozdzale skupmy sę na najważnejszej częśc eor przeżyca, czyl na esymacj funkcj przeżyca na podsawe próby losowej. Rozważymy przy ym dwa przypadk. Perwszym z nch będze esymacja w warunkach pełnej nformacj, gdy znamy momeny śmerc wszyskch osobnków z próby. Drugm naomas esymacja w syuacj, gdy jednosk wycofują sę z badana racmy nformację o ch fakycznym czase życa. Mamy eż dwa nne scenarusze: znamy dokładne momeny śmerc lub dane o momenach śmerc są pogrupowane w poszczególne, z góry usalone przedzały. 3. Dane komplene dokładne zdefnowany czas przeżyca Wyobraźmy sobe zaem na począek najławejszy przypadek, kedy mamy próbę N osób obecnych na począku badań (usalonego momenu czasu) oraz znamy ch momeny śmerc: < < <. ' ' ' Oczywśce najrozsądnej jes przyblżać dysrybuanę FT ( ) poprzez empryczną dysrybuana rozkładu czasu życa posac: ' dla <, ' ' F ( ) = dla < +, (3.) ' dla N, 4
gdze [, ]. Empryczna funkcja przeżyca, S ( ) = F ( ), ma posać: ' dla <, ' ' S ( ) = dla < +, (.) ' dla N. S ( ) akże jes prawosronne cągła esymuje S ( T ) = P ( T > ). Funkcja a saruje w, po czym w momenach nasępuje skok w dół o / ; parz ponższy rysunek: ' ' ',,, Przykładowa funkcja przeżyca 5
Momeny śmerc worzą cąg zmennych losowych, zaem akże funkcja F ( ) ( ' ' ',,, S ( ) ) jes zmenną losową. Oblczając warośc oczekwane warancję ych zmennych orzymujemy, że: [ F ( ) ] = F( ), E[ ] S( ) E Var [ F ( ) ] Var[ S ( ) ] S =, F( ) S( ) = =. Rzeczywśce, oznaczmy przez T, =,,, czas życa -ej osoby z próby. Wedy: Podobne: Va ( ) E I E I EI P( T ) S ( ). ES = { T> } = { T> } = { T> } = > = T = = ( ) Var I Var I P( T )( P( T )) S ( )( S ( )). r S = { T> } = { T> } = > > = T T = Korzysając z założena, że długośc życa wszyskch osób próbe są nezależne. Zaem mo- żemy powedzeć, że S ( ) jes neobcążonym zgodnym esymaorem funkcj S ( ). T 3. Dane pogrupowane W syuacj, gdy próba jes wysarczająco duża, dane mogą być pogrupowane w przedzały [ ), +, =,,,, M. M jes usalone. Nech d oznacza lczbę przypadków, + śmerelnych w usalonym przedzale [ ) M j= ST, =,,,, M. Oczywse jes, że d j =, lczba żywych osób w chwl. Neobcążony esymaor funkcj przeżyca ( ) jes posac: <, S ( ) = d (3.3) j j= [, + ). Teraz funkcja przeżyca skacze o d / w momence + ; parz ponższy rysunek. Przykładowa funkcja przeżyca 6
Oznaczmy przez Mamy zaem: Zauważmy, że dla [, + ) : R lczbę osób podanych na ryzyko śmerc na począku - ego przedzału. R R R =, R d =, R d = R d d =, R + = d j j=. (3.4) sąd S ( ) d j j= = = R S R j+ j ( ) = =. j= R j j= R j Borąc za esymaor prawdopodobeńswa śmerc osobnka w - ym przedzale: q d d = (3.5) R 7
Uzyskujemy zw. esymaor Kaplana-Meera fukcj przeżyca: dla p = q. = = ( j= j= S ( ) p q ) Dla usalonej warośc esymaor funkcj przeżyca S( ) ma rozkład dwumanowy z parameram oraz S( ) Jego warość oczekwana warancja wynoszą: ( ) =, E S S ( ) Var S ( ) = S( ) ( S( )), =,,, M. Wyznaczymy eraz esymaor jego warancj. Zauważmy, że Va r S j ( ) = S ( )( S ( )) = S ( ) = S ( ) = S ( ) R j= R j+ R j j= Rj Rj+ d sąd: ɵ q j Var S ( ) = S ( ). (3.6) R p j= j j Jes o zw. formuła Greenwooda. Poza ym częso używa sę nasępującego przedzału ufnośc dla funkcj przeżyca: ( S ( ) z VarS ( ), S ( ) z VarS ( )), α / α / gdze z α / oznacza kwany rzędu α sandardowego rozkładu normalnego. Dodajmy akże, że częso używa sę nasępującego esymaora nensywnośc śmerc w -ym przedzale: µ R log = + h R z warancją: Varµ = h gdze h jes długoścą -ego przedzału. Poneważ gęsość rozkładu czasu życa powsaje z wzęca pochodnej z dysrybuany, za esymaor gęsośc na -ym przedzale zwykle przyjmuje sę: d f T ( ) = ( S ( + ) S ( )) =. h h q p 3.3 Esymacja funkcj przeżyca obserwacje ucęe, 8
Obserwacje określane jako ucęe (naczej ocenzurowane) pojawają sę wedy, gdy dane o czase przeżyca jednosk są nekomplene. Przykładam syuacj, w kórych wysępują obserwacje ucęe są m.n.: zakończene badana, w momence, gdy osoba nadal żyje, uracene konaku z osobą w rakce badana, usunęce z badań z powodu objawów nepożądanych pewnego leku lub nnej przyczyny. W przypadku pojawena sę danych ucęych wysępuje porzeba specjalnych narzędz saysycznych, zaś esymowane funkcj przeżyca prawdopodobeńsw śmerc jednosk w - ym przedzale wymaga głębszej analzy. Dla uławena założymy, że znamy momeny śmerc osób, a akże momeny wycofana sę jednosek z badana. Mamy akże wysarczająco dużą próbę, by dane do analzy zosały pogrupowane. :, + Wprowadźmy oznaczena dla -ego przedzału [ ) R lczność próby, lczba osób podanych na ryzyko śmerc na począku - ego przedzału, d lczba przypadków śmerelnych w przedzale [ ), =,,,, M,, + w lczba osób, kóre wycofały sę z badana w przedzale [ ),, + j momen wycofana sę j - ej osoby w - ym przedzale, j =,,, w, j =,,, d, j momen śmerc j - ej osoby w - ym przedzale, h = + ) długość - ego przedzału, ( d d d M- M- M w w w M- Począek badana Konec badana 9
Zauważmy, że R M + = R d w. Oczywśce ( d + w ) =. = Także w ym przypadku do esymacj funkcj przeżyca będzemy używać esymaora Kaplana-Meera. W przypadku komplenych danych esymaor prawdopodobeńswa śmerc jednosk w - ym przedzale wyznaczylśmy jako sosunek lczby osób, kóre umarły w - ym przedzale, do lczby osób podanych na ryzyko śmerc w ym przedzale (parz wzory (3.5)). W przypadku nepełnych nformacj, wyznaczając grupę ryzyka, musmy uwzględnć osoby, kóre wycofują sę z badana. Nech * j * θ j = (3.7) h oznacza proporcję przedzału h, w kórej j - a jednoska, kóra wycofała sę z badana, była w rakce badana żyła. Zaem lczbę osób narażonych na ryzyko śmerc w -ym przedzale można polczyć w nasępujący sposób: w ' * = ( j j= R R θ ), =,,,,M. j * Zauważmy, że w szczególnośc, kedy θ, czyl osoba wycofała sę z badań pod sam konec -ego przedzału, o jej udzał w począkowej grupe ryzyka R jes uwzględnony prawe * w całośc. Przecwne, jeśl θ, czyl osoba wycofała sę z badań zaraz na począku -ego j przedzału, o jej udzał w począkowej grupe ryzyka R jes znkomy (odejmujemy lczbę jeden w powyższej sume odpowadającej jednej osobe). W en sposób powsaje kolejny esymaor śmerc w -ym przedzale: q () d = R. ' Załóżmy eraz, że wszyske osoby wycofujące sę z badana, czyną o dokładne w połowe przedzału: *,, θ = M j=,, w j =. Jes o założene bardzo częso czynone. Zwłaszcza, kedy ne znamy dokładnej day wycofana sę danej osoby. Tak jes na przykład w nekórych badanach klncznych, kedy co pewen czas badane osoby zgłaszają sę na kolejne badana w określonych momenach czasu a my w mędzyczase uracmy konak z pacjenem. 3
Wedy esymaor prawdopodobeńswa śmerc osobnka w - ym przedzale wyznaczony jako sosunek proporcj osób, kóre umarły w - ym przedzale do proporcj osób należących do grupy ryzyka wynos: q (3) = R d w. (3.8) Powyższy esymaor jes nazywany esymaorem akuaralnym. Oczywśce, kedy ne zaobserwujemy osób, kóre sę wycofują z badań, o wszyske rzy doychczas poznane esymaory mają e same wyrażene. Poszukamy eraz nnych esymaorów różnym meodam saysycznym. Zacznjmy od meody najwększej warygodnośc (MLE), w kórej esymaor q maksymalzuje szansę pojawena sę określonej warośc prawdopodobeńswa śmerc w -ym przedzale wyrażoną poprzez funkcję lorazu warygodnośc. Wprowadźmy nasępujące oznaczena: S( ) = P( T > T > ) d f ( ) = S( ). d Wedy loraz warogodnośc można wyrazć w nasępujący sposób:. d w * R ) = ( j ) ( j ) S + ), j= j= + L( q f S ( jeśl znamy momeny śmerc momeny wycofana sę. Perwszy loczyn berze pod uwagę szanse pojawena śmerc w momenach j, drug prawdopodobeńswo wycofana sę w momenach * j, wreszce osan czynnk podaje prawdopodobeńswo przeżyca -ego przedzału przez R + osób, kóre worzą grupę ryzyka na począku (+)-ego przedzału.. W przypadku, kedy ne znamy momenów śmerc możemy użyć: lub w d * R+ + ( j S + ) j= L( q ) = f ( ) S ) ( w d * R + ( j + ). j= + L( q ) = ( S( )) S ) S( Chcemy znaleźć ake q, kóre maksymalzuje L( q ), czyl ake, kóre rozwązuje równane: 3
log L( q ) =. q Dla dużej próby będzemy zakładać uaj, że warancja ego esymaora osąga swoje dolne ogranczene w posac odwronośc nformacj Fshera, zn. Var q = E log L( q ) q Załóżmy na począku, że rozkład czasu życa w -ym przedzale jes jednosajny, czyl S ( ) = q, h f ( ) = q. h Podobne jak przy hpoeze (HU) melśmy ożsamość u q x = uq x ak eraz, akże: S * * ( j ) = θjq. Załóżmy eż, że ne znamy momenów śmerc. Wedy: d w R+ * ) = q q ) θjq ) h j= L( q ( ( prose rachunk dają, że q rozwązuje nasępujące równane: d θ =. q q q w * R+ j * j= θj Dla uławena dalszych rachunków załóżmy, że wszyske osoby wycofują sę w środku przedzału, czyl θ j =. Wedy wsawając R + = R d w uzyskujemy nasępujący esy- maor: *. (.) Jego warancja wynos: q (4) R + d w ( R + d w ) 8Rd R =. Var q (4) R w q ) w = p q p p (4) ( ( ) (4) (4) (4) (4) ( ) ( + ) Załóżmy eraz, że nensywność śmerc w -ym przedzale jes sałe, zn. rozkład życe w - ym przedzale jes wykładnczy:. 3
S µ ( ) ( ) e, µ ( ) ( ) e. f = = µ Funkcja warogodnośc, eraz jako funkcjaµ, jes posac: d w * µ hθ j µ hθ j µ h R j= j= + L( µ ) µ e e e =, kóra jes maksymalna dla: d ˆ µ =. (3.9) * h θ j + θ j + R+ j j Esymaor najwększej warogodnośc dla q możemy wyznaczyć ze wzoru: gdzeµˆ dane jes wzorem (3.9). q = e µ, (5) ˆh Załóżmy, że ne znamy eraz momenów śmerc w - ym przedzale oraz, że osoby wycofujące sę z badana, czyną o w środku przedzałów. Tak jak w przypadku hpoez (HCFM) pokazalśmy, że p = p, ak eraz u u x x * θj p p S( ) = =. Funkcja warogodnośc, zależna od q, przyjmuje posać: w d R ) = ( ) ). + L( q q q ( q Maksymalzując powyższą funkcję orzymujemy ponowne esymaor akuaralny ma nasępującą warancję () q, kóry Var q () = () () p p. R w Wyobraźmy sobe, że eraz, że na począku -ego przedzału dzelmy naszą grupę ryzyka na dwe podgrupy: ych, kórzy deklarują wycofane sę ych, kórzy ego ne robą. Załóżmy, że w perwszej grupe jes c osób d ' z nch umrze zanm sę wycofają. Nech g ( y ) będze gęsoścą czasu wycofana sę w -ym przedzale. Wedy prawdopodobeńswo p ( ), że oso- w 33
ba, kóra planowała wycofać sę z badań na począku -ego przedzału, rzeczywśce zdoła sę wycofać zanm umrze, wynos: p = + ( w) S( y ) g ( y) dy. W szczególnośc, kedy rozkłady śmerc wycofana sę w przedzale są jednosajne ( S( ) = ( ) q, g( y) = ), uzyskujemy: h h p ( w) = q. Zauważmy, że spośród R c osób, kóre ne planowały sę wycofać, d loraz warygodnośc wynos: L( q ) = q ( q ) q ( q ), d d ' ( R c ) ( d d ') d ' ' ( c ) ( ) d w w d ' umrze. Zaem gdze q( w) = p( w). Prowadz on ponowne do esymaora q (6) (4) = q, ale z nną aproksymacyjną warancją: Var q (6) (6) (6) p q c ~. (6) R R ( + p ) Inną meodą znajdywana esymaorów jes zw. meoda momenów. Z (.) wynka, że: E( d d ') = ( R c ) q, Ed ' = cq. Średno bowem spośród R c osób, kóre ne deklarowały wycofana sę mamy d d ' przypadków śmerelnych, zaś c osób, kóre planowały wycofane sę, mamy d ' przypadków śmerelnych, kóre zdarzają sę z prawdopodobeńswem q( ) Sąd uzyskujemy nowy esymaor momenów: z warancją: Var q (7) q (7) d = R c = ( R w ) gdze (7) (7) (7) (7) Var d = ( R c ) q ( q ) + cq ( q ). Var d, w = q. 34
Można eż esymować funkcję przeżyca w oparcu o sparameryzowane rozkłady omówone m.n. w Rozdzale. I ak, załóżmy, że rozkład czasu życa ma być modelowany poprzez rozkład a pror F (, θ ) sparameryzowany poprzez wekor θ = ( θ,, ), θ s gdze s jes lczbą paramerów. Wedy lcząc q ( θ ) = S(, θ ) S( +, θ ) Możemy znaleźć opymalne paramery mnmalzując saysykę: M ( d Rq ( θ )) = χ ( θ ) = R q ( θ ), kóra ma rozkład χ z M-s- sopnam swobody. Można eż używać zmodyfkowanej saysykę: M ( d Rq ( θ )) = χ ( θ ) =. d Inną meodą, kórą możemy zasosować jes zw. meoda najwększej warygodnośc, w kórej sosuje sę już prezenowaną funkcję warygodnośc borąc za q ( θ ) = S(, θ ) S( +, θ ) szukając maksmum po całej przesrzen paramerów. Poprzez prose obserwacje geomeryczne możemy sprawdzć akże, czy dane rozkład pasuje do naszych danych. Na przykład w przypadku rozkładu Gomperza logarym funkcj hazardowej jes lnowy: log λ ( ) = T log B+ log c. Borąc węc esymaor nensywnośc na -ym przedzale: ɵ λ T ( ) = log q h Możemy sprawdzć czy punky ego esymaora leżą na prosej a jeśl ak, o ławo znaleźć jej nachylene oraz warość począkową. 3.3 Esymacja funkcj przeżyca cenzura lewosronna, dwusronna przedzałowa O cenzurze prawosronnej mówmy, kedy wemy ylko, że pacjen dożył począku - ego przedzału poem sę wycofał ne znając jego dokładnego momenu śmerc. Jes o doychczas analzowana cenzura. Lczbę akch osób oznaczalśmy przez w. Oprócz ego częso pojawa sę zw. lewosronna cenzura, kedy wemy, że śmerć nasąpła przed usalonym momenem. Lczbę akch osób oznaczmy przez l. Oczywśce używamy języka medycznego, ale przypomnjmy, że badana saysyczne mogą doyczyć dowolnej neujemnej zmennej losowej, na przykład momenu, kedy perwszy raz dana osoba zapalła paperosa. W ym przypadku, prawosronna cenzura będze oznaczała, że osoba jeszcze palła na przykład w weku 5 la, zaś lewosronna cenzura zawera nformację, że dana osoba skończyła palć powedzmy przed 3 rokem życa. Można eż mówć o esymacj przedzałowej, kedy wedza kedy zaszło jakeś zdarzene nazywane uaj śmercą jes dla nekórych pacjenów ylko w posac przynależena do pewnego przedzału [ A, B ), gdze końce ych odcnków należą do zboru usalonych końców prze- dzałów. Do esymacj funkcj przeżyca w ych przypadkach może służyć zw. algorym Turnbulla. W przypadku prawo- lewosronnej cenzury wygląda on nasępująco: 35
Krok. Wyzeruj funkcję przeżyca najprosszą meodą gnorując na przykład dane lewosronne ocenzurowane. Krok. Używając obecnej esymacj S T znajdź: pj = P( j < T j T ) używając Sɵ ɵ T ( j ) S T ( j ), gdze j. Sɵ T ( ) Krok. Wyesymuj lczbę przypadków śmerelnych w nasępujący sposób: Krok 3. Użyj nowych d j ɵ j M dɵ d l p. = + j j j = j+ = d do esymacj nowej funkcj przeżyca. Sprawdź czy na węzłach nowa funkcja przeżyca różn sę od poprzednej mnej nż usalone próg. Jeśl ne, o wróć do punku. W przypadku przedzałowej cenzury wprowadzamy oznaczene α j =, jeśl przedzał [, ) j j zawera sę w przedzale [ A, B ), naczej kładzemy zero. Wedy algorym Turbulla wygląda w nasępujący sposób: Krok. Wyesymuj prawdopodobeńswo, że śmerć nasąp w j-ym przedzale poprzez S ( ) S ( ), j=,, M. T j T j Krok. Wedy lczbę przypadków można wyesymować nasępująco: d j α q n j j = = αkqk k, gdze n jes lczbą przedzałów [ A, B ). Podobne lczebność grupy ryzyka na począku j-ego przedzału będze wyesymowana poprzez R M j = k= j Krok 3. Użyj nowych d j R do esymacj nowej funkcj przeżyca. Sprawdź czy na węzłach nowa funkcja przeżyca różn sę od poprzednej mnej nż usalone próg. Jeśl ne, o wróć do punku. Zadana. Czas pracy żarówk jes wykładnczy z nensywnoścą, awar na godznę. Znajdź średn czas pracy losowo wybranej żarówk. Jaka jes medana ego czasu. Wreszce, znajdź prawdopodobeńswo, że żarówka wcąż będze dzałać po cągłej pracy.. Czas lczony w dnach rozwoju raka u szczurów narażonych na określoną subsancję rakowórczą ma rozkład Webulla z parameram α= c=,, zn. d k. 36
{, } P ( T > ) = exp Jak jes średn czas rozwoju raka? Znajdź funkcję hazardową pojawena sę raka w 3 dnu, 45 dnu 6 dnu. Jak jes medana ego czasu. 3. Czas do śmerc po ransplanacj szpku kosnego podlega rozkładow log normalnemu z σ=,84 µ=3,77. Znajdź prawdopodobeńswo, że pacjen po ransplanacj przeżyje dn, dn czy eż 3 dn. Narysuj funkcję hazardową znerpreuj jej kszał. 4. Czas życa lczony w mesącach pewnego gaunku szczurów ma rozkład Gamma z parameram β=3 λ=,. Znajdź prawdopodobeńswo ego, że szczur przeżyje 8 mesęcy. Znajdź prawdopodobeńswo ego, że szczur umrze w perwszym roku. Jak jes średn czas życa szczurów? 5. Czas nawrou raka płuc X lczony w mesącach podlega log normalnej regresj: Y = log X = +,5Z +, Gdze ma sandardowy rozkład normalny, Z= w przypadku leczena A Z= w przypadku leczena meodą B. Porównaj e dwe meody po roku, laach 5 laach. 6. W aplkacjach częso pojawa sę rzec paramer G podający gwaranowany mnmalny czas życa. Rozważmy ak zmodyfkowany rozkład Webulla: S( ) = exp α [ λ( G) ] < G G. Znajdź funkcję hazardową gęsość ego rozkładu. Przypuśćmy, że α=, λ=,75 G=. Znajdź średną medanę ego rozkładu. 7. Znajdź funkcję przeżyca rozkładu geomerycznego. 8. Ponższe dane prezenują funkcję przeżyca dla osób podanych przeszczepow szpku kosnego: l. mesęcy po ransplanacj Funkcja przeżyca [,6) [6,),55 [,8),43 [8,4),34 [4, 3),3 [3, 36),5 [36, 4),8 [4, 48), [48, 54),6 Od 54 Znajdź średn pozosały czas życa osób, kóre są, 4 36 mesęcy po ransplanacj. Znajdź eż medanę ego pozosałego czasu życa. 9. Mówmy, że nasępuje prawosronna cenzura czasu życa T przez nezależną zmenna losową C, jeśl T>C. Znajdź rozkład czasu życa jeśl wesz, że nasąpła prawosronna cenzura.. Mówmy, że nasępuje cenzura ypu II, jeśl z całej próby n czasów życa wykreślamy r najmnejszych. Nech węc T, =,,..,n będą nezależnym zmennym losowym o jed- 37
nakowym rozkładze z gęsoścą f. Udowodnj, że łączna gęsość rozkładu zmennych T( ) T()... T( r) ma nasępującą posać: f ( n! r n r ( ), (),..., ( r ) ) = f ( ( ) )( S( ( r ) )). ( n r)! =. Wyesymuj funkcję przeżyca czasu remsj osrej bałaczk pacjenów leczonych meodą MPV na podsawe danych z Tablcy 5. Przyjmj za czas ocenzurowany akualny czas remsj. Znajdź warancję ego esymaora.. Na posawe danych z Tablcy 6 czasów rwana życa osób chorych na bałaczkę po przeszczepe szpku kosnego: Pogrupuj dane wyesymuj funkcję przeżyca dla grupy AML wysokego nskego ryzyka, Wyesymuj dla powyższych danych funkcję hazardową, Wyesymuj średn czas do śmerc w grupe ALL podaj jego przedzał ufnośc na pozome 95 procen, Wyesymuj medanę czasu do śmerc w grupe AML wysokego ryzyka podaj jego przedzał ufnośc na pozome 95 procen, Znajdź przedzał ufnośc dla funkcj przeżyca w grupe ALL w punkce 3 dn. 3. Wyesymuj funkcję przeżyca funkcję hazardową (uwzględnając momeny cenzury prawosronnej) czasu życa osób chorych na raka języka w grupe dplod aneuplod na podsawe danych z Tablcy 3. 4. Dane w Tablcy 8 opsują czasy życa osób po przeszczepe nerek. Wyesymuj funkcję przeżyca dla cemnoskórych kobe uwzględnając dane ocenzurowane, Narysuj dla ej grupy funkcję hazardową. Czy założene o sałej nensywnośc śmerc dla ej grupy jes uzasadnone? 5. Spyano sudenów le mel la kedy zaczęl palć paperosy. Odpowedz dopuszczały 3 możlwośc: dokładny wek, ngdy ne palłem/palłam wreszce obecne palę ale ne pamęam kedy zacząłem/zaczęłam palć. Dane są podane w ablcy 5. Wyesymuj rozkład weku, kedy sudenc zaczęl palć paperosy. 6. Dane w Tabel 9 pokazują czas życa (w laach) po wykrycu demencj w grupe 97 szwajcarskch kobe w weku 7-74. Dane pochodzą z Unwersyeckej Klnk Psycharycznej w Genewe zosały opsane przez Todorov e al. (975) w J. eur. Sc. 6. Narysuj empryczną funkcje przeżyca dla kobe w weku 7 74. Czy zauważasz jakeś różnce? Innym słowy czy wek kobe wpływa na długość życa po wykrycu choroby? Wyesymuj medanę czasu życa kobe chorych na demencję polskch kobe w ym samym weku posługując sę ablcam życa TTŻ-PL97k. Zrób o samo dla perwszego kwarylu. Skomenuj rezulay. Pogrupuj powyższe dane w grupy o długośc h = roku. Wyesumuj funkcję przeżyca. Oblcz błąd esymacj. Podaj esymację funkcj gęsośc (krzywej śmerc) nensywnośc śmerc. Czy możesz wycągnąć jakeś wnosk? 7. Dane ponżej reprezenują uporządkowane czasy śmerc (w dnach) 43 pacjenów cerpących na bałaczkę po jej zdagnozowanu. 38
8. Udowodnj, że 7 47 58 74 77 3 73 85 37 49 44 445 455 468 495 497 53 57 579 58 65 7 75 779 88 9 93 968 77 9 34 334 367 534 7 784 877 886 45 56 6 49 59 Wesymuj funkcję przeżyca dla ych danych. Pogrupuj dane w grupy długośc dn (-, -4, d.). Wysymuj funkcję przeżyca. Czy funkcje z podpunków () () znaczne sę różną? Wyesymuj nensywność śmerc. Skomenuj rezula. ( N( ) N( j) ) = ( N( ) ) N( j) Cov S, S S S / N. 9. Jak jes łączny rozkład lczby śmerc w przedzałach (, + )?. Dane w Tabel opsują momeny śmerc (w ygodnach) samców myszy W weku 6- ygodn, kóre zosały naśwelone promenowanem gamma w welkośc 4 rad zmarły pomędzy 44-ym a 77-ym ygodnem. Pogrupuj dane zgodne z przerywaną lną. Wyesymuj funkcję przeżyca nensywność śmerc w każdym z przedzałów.. Dane w Tablcy (Sorer, Rad.Res. 5) reprezenują czasy życa myszy w grupe konrolnej złożonej z 68 szuk oraz w grupe myszy naśwelonych w lczne 47 szuk. Przez N oznaczamy zw. grupę ryzyka w każdym z przedzałów, d lczbę śmerc, zaś przez w lczbę myszy, kóre zosały wycofane z badań w czase τ *. Wyesymuj funkcję przeżyca w obu grupach narysuj je na jednym wykrese. Skomenuj wynk. Zrób o samo dla nensywnośc śmerc.. Dane w Tablcy (Susarla Van Ryzn, Ann. Sa. 6) opsują czas życa (w ygodnach) lub wycofana sę (zaznaczone są poprzez +) 8 pacjenów z czernakem. Pogrupuj dane wyesymuj funkcję przeżyca. 3. Przypuśćmy, że czas życa żarówk ma rozkład wykładnczy z paramerem λ. Próbka n żarówek zosała wybrana do sprawdzena ch jakośc w rakce czasu [,K]. Żarówk są wycofywane z badana zgodne z rozkładem jednosajnym na przedzale [,K]. Oznaczmy przez D zanoowaną lczbę spalonych żarówek. Udowodnj, że E D=n[-(-e- λk )/(λk)]. Znajdź warancję zmennej losowej D. 4. Dane zaware w Tabel opsuja czasy życa lub wycofana sȩ (zaznaczone sa poprzez +) kobe chorych na raka pers. Pogrupuj dane dla kobe mmunoperoxdase ujemnych wyesymuj funkcjȩ przeżyca. 5. Dane zaware w Tabel opsuja czasy życa lub wycofana sȩ (zaznaczone sa poprzez +) pacjenów poddanych przeszczepow szpku kosnego. Pogrupuj dane w obu grupach (allo auo) wyesymuj ch funkcjȩ przeżyca. 6. Dane zaware w Tabel 4 opsuja czasy życa lub pobyu (wycofana sȩ, zaznaczone sa poprzez +) pacjenów w domu sarców podjȩych specjalna opeka lekarska. Pogrupuj dane wyesymuj funkcjȩ przeżyca. 7. Dane zaware w Tabel 7 opsuja czasy życa (lczone mesaach) pacjenów chorych na raka kran. Pogrupuj dane wyesymuj funkcjȩ przeżyca dla czerech sopn zaawanso- 39