II Prawo Ruchu Newtona oraz Prawo Pól w ruchu pod dziaªaniem siªy (do)centralnej
Spis tre±ci Wst p............................................... 2 II Prawo Ruchu Newtona.................................... 2 Sformuªowanie II Prawa Ruchu.............................. 2 Propozycja wprowadzania II Prawa Ruchu Newtona.................. 3 Propozycja wyja±niania ruchów ciaª w oparciu o IIPR................. 5 Propozycja zada«...................................... 7 Geometryczne i algebraiczne uj cie II Prawa Ruchu...................... 9 Geometryczne uj cie IIPR - podsumowanie....................... 9 Algebraiczne uj cie IIPR - równanie II Zasady Dynamiki................ 11 Prawo pól i prawo odlegªo±ci.................................. 12 Siªa (do)centralna...................................... 12 Prawo równych pól w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej impulsowej....... 13 Prawo odlegªo±ci w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej.............. 14 O ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej dziaªaj cej w sposób ci gªy........ 15 Twierdzenie odwrotne do Prawa Pól........................... 16 Keplerowskie Prawo Pól i Newtonowska koncepcja przyci gania............ 16 1
WST P Wst p W pierwszej cz ±ci wyst pienia postaramy si zaprezentowa oryginalne, Newtonowskie, geometryczne i przez to unikalne uj cie II Prawa Ruchu Newtona. Uczynimy to na podstawie polskiego przekªadu dzieªa Newtona: Matematyczne Zasady Filozoi Przyrody, wydanego przez Copernicus Center Press, przetªumaczonego przez Jarosªawa Wawrzyckiego. W drugiej cz ±ci naszym celem b dzie przedstawienie i wykazanie wªasno±ci ruchów ciaª, na które dziaªaj siªy (do)centralne (ªac. vis centripeta). W dowodzeniu tych wªasno±ci b dziemy posªugiwali si II Prawem Ruchu oraz geometri Euklidesa. Zachowamy podobie«stwo terminologii, rysunków i oznacze«, jakie wyst puj w dziele Newtona. Wªasno±ci ruchów pod dziaªaniem siªy (do)centralnej udaje si podpatrze przy u»yciu elementarnej geometrii i IIPR. Prawo Pól oraz zachowanie momentu p du (w ruchu punktu materialnego wzgl dem ustalonego punktu) mo»na udowadnia uczniom szkóª ±rednich bez u»ycia rachunku ró»niczkowego i caªkowego. Poka»emy tak»e, jak z wªasno±ci ruchów planet Newton udowodniª,»e planety s przyci gane centralnie ku Sªo«cu. Newton posªugiwaª si metodami geometrii Euklidesa i teori proporcji. To znaczy,»e za ich pomoc wyra»aª Prawa Ruchu, Prawa Grawitacji oraz dokonywaª oblicze«ruchów ciaª. Za ich pomoc dowodziª wszelkich twierdze«o ruchach ciaª, jak na przykªad Praw Keplera. O ile same metody Newtona i sposoby ich stosowania mog pocz tkowo wydawa si dosy trudne, to jednak geometryczne uj cie II Prawa Ruchu oraz niektórych twierdze«jasno ukazuje istot zjawisk, któr by mo»e czasem przesªaniaj uczniom uj cia czysto analityczne w postaci wzorów. II Prawo Ruchu Newtona Sformuªowanie II Prawa Ruchu II Prawo Ruchu Newtona naucza o tym, jak zmienia si stan ruchu ciaªa w ukªadzie inercjalnym, które podlega dziaªaniu niezerowej siªy wypadkowej. Dzi ki temu prawu z zadanych siª i warunków pocz tkowych ruchu potramy wyznacza ruch ciaªa w ukªadzie inercjalnym oraz odwrotnie - dla zadanego ruchu pewnego ciaªa w ukªadzie inercjalnym potramy wyznacza siª wypadkow dziaªaj c na to ciaªo. II Prawo Ruchu formuªuje Newton w Matematycznych Zasadach Filozoi Przyrody nast puj co (zob. [2], str. 197): Zmiana ruchu jest proporcjonalna do czynnej siªy przyªo»onej i ma kierunek wzdªu» linii prostej, wzdªu» której ta siªa jest przyªo»ona. Uwagi do IIPR 1) Podkre±lamy za Newtonem,»e czynna siªa przyªo»ona do danego ciaªa, to wypadkowa siª rzeczywistych dziaªaj cych na ciaªo, a pochodz cych od innych ciaª. Newton tak deniuje siª przyªo»on (zob. [2], str. 186): Siªa przyªo»ona [ªac. vis impressa] jest dziaªaniem wywieranym na ciaªo, które zmienia albo jego stan spoczynku, albo jego stan ruchu jednostajnego wzdªu» linii prostej. Newton wyja±nia dalej,»e siªy przyªo»one do ciaªa maj swoje ¹ródªo z zewn trz, czyli pochodz one od innych ciaª: albo b d cych w bezpo±rednim kontakcie z danym ciaªem (np. siªy reakcji, tar ), lub dziaªaj cych na dane ciaªo z pewnej odlegªo±ci (np. siªy grawitacji, siªy elektryczne, magnetyczne). 2) Zmian ruchu, o której mowa w IIPR, b dziemy okre±lali porównuj c nowy, zmieniony pod wpªywem siªy ruch, z ruchem jednostajnym prostoliniowym (w ukªadzie inercjalnym), który byªby kontynuowany, gdyby siªa nie zadziaªaªa. Dlatego zmian ruchu wi»emy z t skªadow nowego ruchu, któr generuje siªa przyªo»ona. Nowy ruch okre±la si tak (zob. [2], 2
II PRAWO RUCHU NEWTONA str. 197): (...) nowy ruch jest zªo»eniem obu ruchów: pocz tkowego i generowanego, wynikaj cym z poª czenia obu tych ruchów. 3) O ciaªach zaªo»ymy,»e nie zmieniaj masy bezwªadnej. Propozycja wprowadzania II Prawa Ruchu Newtona Siª, która dziaªa na ciaªo w bardzo krótkim przedziale czasu (momentalnie, chwilowo) nazwiemy impulsem siªy. Na pocz tek rozwa»amy najprostszy przypadek, gdy impuls siªy zadziaªa na ciaªo pocz tkowo spoczywaj ce w punkcie p, w pewnym ukªadzie inercjalnym. Przy takich warunkach pocz tkowych IIPR jest dla uczniów w miar intuicyjne. Zmiana stanu ruchu ciaªa po zadziaªaniu impulsu siªy, mierzona w ustalonym odst pie czasu odcinkiem pc (na rysunku), jest: 1) proporcjonalna do siªy i 2) ma kierunek wzdªu» linii prostej, wzdªu» której ta siªa jest przyªo»ona. Przypadek ogólny Nast pnie analizujemy przypadek ogólny, gdy ciaªo pocz tkowo porusza si oraz kierunek impulsu siªy dziaªaj cej na ciaªo nie pokrywa si z kierunkiem ruchu. W tym celu rozwa»my pewien inercjalny ukªad odniesienia UI1, w którym ciaªo spoczywa a» do chwili B i który porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym wzgl dem pewnego ukªadu inercjalnego UI2 (zobacz rysunek). W punkcie i chwili B na ciaªo zadziaªaª impuls siªy, który zmienia jego ruch. Nowy 3
II PRAWO RUCHU NEWTONA ruch ciaªa od punktu B do C, wzgl dem UI2 i w ustalonym odst pie czasu, jest zªo»eniem ruchu Bc ukªadu UI1 i ruchu cc generowanego przez siª. Mo»emy dalej pomin uwzgl dnianie UI1 i rozwa»a ciaªo, które pocz tkowo porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym w pewnym UI, a» do pewnego punktu i chwili B, gdzie podlega dziaªaniu impulsu siªy. Ruch ciaªa zmienia si w punkcie B. Zmian ruchu w ustalonym odst pie czasu okre±lamy porównuj c nowy ruch BC z ruchem jednostajnym prostoliniowym Bc, jaki byªby kontynuowany w tym UI, gdyby siªa nie zadziaªaªa. Zmian ruchu mierzy odcinek cc. Kierunek zmiany ruchu cc jest równolegªy do kierunku dziaªania siªy. Nowy ruch ciaªa od punktu B jest (...) zªo»eniem obu ruchów: pocz tkowego i generowanego [przez siª ]. Gdyby na to samo ciaªo, w identycznym ruchu pocz tkowym AB, zadziaªaªa w punkcie B siªa impulsowa w kierunku jak poprzednio, ale o k razy wi kszej warto±ci, to zmiana ruchu (cc ) w ustalonym odst pie czasu byªaby k razy wi ksza ni» poprzednio. Przypadki szczególne 1. Rozwa»amy przypadek, gdy impuls siªy dziaªa w kierunku ruchu pocz tkowego i zgodnie ze zwrotem tego ruchu. Po zªo»eniu ruchu generowanego siª i ruchu pocz tkowego mamy wci» ruch w t sam stron, tylko z wi ksz szybko±ci. Poni»ej ilustracja. 4
II PRAWO RUCHU NEWTONA 2. Rozwa»amy przypadek, gdy impuls siªy dziaªa na ciaªo wzdªu» kierunku ruchu pocz tkowego i w stron przeciwn do ruchu. Po zªo»eniu ruchu generowanego siª i ruchu pocz tkowego mamy: 1) ruch w t sam stron z mniejsz szybko±ci, gdy cc < Bc, lub 2) ruch w stron przeciwn, gdy cc > Bc. Warto± cc zale»y proporcjonalnie od warto±ci F (IIPR). Poni»ej ilustracja. Propozycja wyja±niania ruchów ciaª w oparciu o IIPR Siªy zmienne wzdªu» kierunku ruchu Zaªó»my,»e ciaªo porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym od A do B i w punkcie B podlega dziaªaniu impulsu siªy F B, zgodnego ze zwrotem ruchu. W punkcie B zmieni si ruch ciaªa. Od B do C ciaªo b dzie poruszaªo si ruchem jednostajnym prostoliniowym z wi ksz pr dko±ci. Zaªó»my,»e w punkcie C ciaªo podlega dziaªaniu impulsu siªy F C, zgodnego ze zwrotem ruchu. Ciaªo w C zmieni stan ruchu i b dzie dalej poruszaªo si od C do D ruchem jednostajnym prostoliniowym z wi ksz pr dko±ci ni» w ruchu z B do C i wi ksz ni» w ruchu z A do B. Je»eli warto± impulsu siªy w C byªaby mniejsza od warto±ci impulsu siªy w B (F C < F B ), to zmiana ruchu w C b dzie mniejsza od zmiany ruchu w B. Jednak jakkolwiek maªa by nie byªa zmiana ruchu w C, to doda si do ruchu BC. W zwi zku z tym pr dko± ciaªa wzro±nie. Wnioskujemy wi c,»e je»eli na ciaªo dziaªa siªa wypadkowa w kierunku i w stron ruchu, ale warto± tej siªy wypadkowej maleje, to ciaªo zwi ksza swoj szybko±, z tym,»e jej przyrosty s coraz mniejsze. Z tak sytuacj mamy do czynienia np. w fazie skoku na bungee, do momentu, gdy siªa spr»ysto±ci liny nie zrównowa»y ci»aru skoczka. Do tego momentu siªa wypadkowa zmniejsza si, jednak skierowana jest wci» w dóª, dlatego ruch zwi ksza swoj pr dko±, ale coraz wolniej. Zakrzywienia torów ruchu Po zapoznaniu si z geometrycznym uj ciem IIPR ucze«powinien rozumie,»e siªa nie tylko przyspiesza ciaªa wzdªu» prostej lub hamuje ciaªa wzdªu» prostej, ale i zakrzywia tory ruchów w t stron, w któr dziaªa. Wi ksze siªy (przy ustalonych pr dko±ciach!) powoduj wi ksze krzywizny torów (porównaj rysunki ze str. 4). Nawi zujemy o tym przy okazji omawiania ruchów po elipsach i parabolach w centralnym polu grawitacyjnym. 5
II PRAWO RUCHU NEWTONA Siªy dziaªaj ce w sposób ci gªy W wi kszo±ci zjawisk siªy dziaªaj na ciaªo w sposób ci gªy. Ci gªe dziaªanie staªej siªy mo»emy przybli»y impulsami siª nast puj cymi po sobie w sposób prawie natychmiastowy, po jednakowych i bardzo krótkich odst pach czasu. Ka»dy impuls siªy powoduje zmian ruchu w tym odst pie czasu (równowa»nie zmian pr dko±ci ruchu). Warto±ci zmiany ruchu od ka»dego impulsu siªy dodaj si, dlatego caªkowita warto± zmiany ruchu w caªkowitym odst pie czasu (równowa»nie warto± zmiany pr dko±ci ruchu) b dzie proporcjonalna do ilo±ci impulsów siª. Ilo± impulsów siª jest proporcjonalna do caªkowitego odst pu czasu dziaªania na ciaªo siªy. Zmiana pr dko±ci ruchu b dzie proporcjonalna do siªy i do czasu dziaªania siªy na ciaªo: v F t. Rzut poziomy jako przykªad skªadania ruchów Rozwa»my rzut poziomy oraz pionowy spadek swobodny bez pr dko±ci pocz tkowej, oba z tej samej wysoko±ci. Zakªadamy,»e ruchy te odbywaj si w jednorodnym polu grawitacyjnym i w przestrzeni wolnej od oporów ruchu. Rzut poziomy jest zªo»eniem: 1) ruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku poziomym (jaki odbywaªby si, gdyby nie byªo siªy grawitacji) i 2) ruchu przyspieszonego jednostajnie pionowo w dóª (jaki odbywaªby si, gdyby nie byªo ruchu pocz tkowego). Poniewa» przyspieszenie grawitacyjne jest tutaj staªe, to przyrosty pr dko±ci w ustalonych odst pach czasu s sobie równe. Przyrosty pr dko±ci dodaj si wektorowo do wektorów pr dko±ci (skªadanie ruchów) i s proporcjonalne do czasu. 6
II PRAWO RUCHU NEWTONA Propozycja zada«przykªad zadania: 1) Kula bilardowa Maªa kula bilardowa pocz tkowo toczy si bezwªadnie ruchem jednostajnym prostoliniowym po idealnie gªadkim stole. W pewnej chwili i punkcie p kula zostaªa momentalnie uderzona w kierunku innym ni» kierunek jej ruchu. Od punktu p kula toczy si ruchem jednostajnym prostoliniowym w innym kierunku i w ogólno±ci z inn szybko±ci. Znaj c poªo»enia kuli w jednakowych odst pach czasu dla tego ruchu, wyznaczy poprzez konstrukcje poªo»enia kuli w jednakowych odst pach czasu w przypadku, gdyby siªa uderzenia miaªa trzykrotnie wi ksz warto±. Pomijamy zjawiska zwi zane z tarciem, oporami i ruchem obrotowym kuli, zakªadamy zachowanie kuli jak punktu materialnego. Przykªad zadania: 2) Obliczanie warto±ci siªy W ukªadzie inercjalnym porusza si ciaªo punktowe o masie m = 1 kg. Ruch ciaªa odbywa si pocz tkowo wzdªu» prostej ze staª pr dko±ci o warto±ci v A = 4 m/s. W pewnym stosunkowo maªym obszarze przestrzennym U ciaªo zostaªo uderzone, to znaczy,»e w bardzo krótkim odst pie czasu na ciaªo dziaªaªa pewna siªa. W wyniku tego nast piªa zmiana kierunku ruchu ciaªa oraz zmiana szybko±ci ruchu ciaªa. Po uderzeniu ciaªo 7
II PRAWO RUCHU NEWTONA porusza si ze staª szybko±ci v B = 3 m/s, wzdªu» linii prostej, prostopadªej do toru ruchu przed uderzeniem. Niech A i B oznaczaj punkto-chwile przed i po uderzeniu. a) Wyznacz kierunek, zwrot i warto± wektora ±redniego przyspieszenia ciaªa w obszarze dziaªania na ciaªo siªy. Przyjmij,»e siªa dziaªaªa na ciaªo przez t = 0, 1 s. b) Zakªadaj c,»e siªa dziaªaj ca na ciaªo w obszarze U jest staªa, wyznacz jej kierunek, zwrot i warto±. Przyjmij,»e siªa dziaªaªa na ciaªo przez t = 0, 1 s. Rozwi zanie Ad a) Wektor przyspieszenia okre±lony jest jako iloraz ró»nicy wektorów pr dko±ci (tutaj, z chwil przed oraz po uderzeniu) i czasu: a AB = v AB. t Wektory pr dko±ci porównujemy ze sob w jednym punkcie i dopiero wyznaczamy ich ró»nic. Wektor ±redniego przyspieszenia posiada kierunek i zwrot taki, jak wektor ró»nicy pr dko±ci przed i po uderzeniu ciaªa. Warto± ró»nicy wektorów pr dko±ci przed i po uderzeniu ciaªa wynosi: v AB = 4 2 + 3 2 m/s = 5 m/s. Dalej obliczamy warto± ±redniego przyspieszenia w obszarze U: a AB = v AB, a AB = 5 m/s t 0, 1 s = 50 m/s2. Ad b) Zgodnie z II Zasad Dynamiki, siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo posiada kierunek i zwrot taki, jak kierunek i zwrot przyspieszenia ciaªa. Ponadto warto± tej siªy jest odpowiednio proporcjonalna do przyspieszenia: F = m a AB, F = 1 kg 50 m/s 2 = 50 N. 8
GEOMETRYCZNE I ALGEBRAICZNE UJ CIE II PRAWA RUCHU Geometryczne i algebraiczne uj cie II Prawa Ruchu Geometryczne uj cie IIPR - podsumowanie Rozwa»my na pocz tek ruch ciaªa wzdªu» prostej ABc, które to ciaªo nie podlega oddziaªywaniom. Ciaªo b dzie poruszaªo si w ukªadzie inercjalnym ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to,»e w jednakowych odst pach czasu: t AB = t BC = t, ciaªo przeb dzie odcinki proste o tej samej dªugo±ci, le» ce na wspólnej prostej. Je»eli w pierwszym odst pie czasu ciaªo przeb dzie odcinek AB, to w drugim odst pie czasu przeb dzie odcinek Bc, który jest równy dªugo±ci poprzedniemu i le»y na tej samej prostej. Przypu± my teraz,»e na ciaªo mijaj ce punkt B zadziaªa tam momentalnie chwilowy impuls siªy F. Na przykªad ciaªo zostaªo uderzone lub w jaki± sposób poci gni te. Dla ogólno±ci rozwa»a«zaªó»my,»e kierunek tej chwilowej siªy jest inny ni» kierunek prostej AB. W punkcie B ciaªo zmieni stan swojego ruchu - zmieni si kierunek ruchu i w ogólno±ci warto± pr dko±ci. Poªo»enia ciaªa w nowym ruchu, w jednakowych odst pach czasu, ilustruje zamieszczony rysunek. W pewnym ustalonym odst pie czasu t BC = t (równym t AB ), licz c od punktu B, ciaªo przeb dzie nowy odcinek BC a nie odcinek Bc, po którym by pod»aªo, gdyby nie zostaªo zmuszone przez siª do zmiany stanu ruchu (poni»ej schemat tego ruchu). Odcinek cc wi»emy z t skªadow ruchu wzdªu» BC, któr generuje siªa F. Ruch BC jest zªo»eniem ruchu Bc (pocz tkowego) i cc (generowanego siª ). Gdyby za± w punkcie B zadziaªaªa na ciaªo siªa F o tym samym kierunku, który ma F, ale o 9
GEOMETRYCZNE I ALGEBRAICZNE UJ CIE II PRAWA RUCHU wi kszej warto±ci, to punkt C, do którego dotrze ciaªo po czasie t BC = t (równym t AB ), wypadnie na przedªu»eniu prostej cc. Kierunek zmiany ruchu b dzie ten sam co poprzednio, ale zwi kszy si warto± owej zmiany ruchu. Odcinek BC (lub BC ), który zakre±la ciaªo w czasie t BC = t (równym t AB ), jest ±ci±le okre±lony na podstawie II Prawa Ruchu. 1) Po pierwsze: Zmiana ruchu [...] ma kierunek wzdªu» linii prostej, wzdªu» której ta siªa jest przyªo»ona. Zatem punkt C (lub C ) wypada w takim miejscu, aby kierunek odcinka cc (lub cc ), mierz cego zmian ruchu, byª równolegªy do kierunku siªy dziaªaj cej na ciaªo w punkcie B: F cc, F cc. 2) Po drugie: Zmiana ruchu jest proporcjonalna do czynnej siªy przyªo»onej [...]. Zatem stosunki odcinków cc i cc s jak stosunki warto±ci siª F i F : cc cc = F F. Odcinki, pr dko±ci i zmiana pr dko±ci Odcinki AB i Bc, zakre±lone przez ciaªo w czasie t AB = t BC = t, wi»emy z pr dko±ci ciaªa w ruchu przed zadziaªaniem siªy lub gdyby siªa nie zadziaªaªa: v = AB/t = Bc/t. Odcinek BC przebyty w czasie t BC = t, wi»emy z pr dko±ci ciaªa po zadziaªaniu siªy: v k = BC/t. Odcinek cc mierz cy zmian ruchu w czasie t, wi»emy ze zmian pr dko±ci ciaªa. Poniewa» v = v k v oraz cc = BC Bc to wªa±nie v = cc/t. Zmian ruchu ciaªa, o której mowa w IIPR, okre±la nam tutaj v lub odcinek cc generowany w czasie t. Zmiana pr dko±ci v posiada ten sam kierunek i zwrot co siªa j generuj ca, za± jej warto± jest 10
GEOMETRYCZNE I ALGEBRAICZNE UJ CIE II PRAWA RUCHU proporcjonalna do warto±ci siªy. Zgodnie z IIPR powiemy,»e stosunki warto±ci zmian pr dko±ci s jak stosunki siª: v v = F F, a zmiany pr dko±ci s równolegªe do siª: F v. Z przedstawionego wy»ej II Prawa Ruchu mo»na korzysta tak»e w przypadku, gdy siªa dziaªa na ciaªo w sposób ci gªy (a nie impulsowy) i w ogólno±ci zmienia kierunek oraz warto±. Wtedy jednak nale»y posªugiwa si pewnymi lematami geometrycznymi Newtona dotycz cymi zachowania si wielko±ci (w tym sum i stosunków wielko±ci) w granicach niesko«czenie maªych oraz niesko«czenie wielkich. Zamiast tych lematów geometrycznych posªugujemy si dzisiaj rachunkiem ró»niczkowym. Algebraiczne uj cie IIPR - równanie II Zasady Dynamiki II Prawo Ruchu Newtona nazywamy dzisiaj II Zasad Dynamiki i zapisujemy j w formie równania ró»niczkowego o charakterze wektorowym. Zgodnie z II Prawem Ruchu powiemy,»e zmiana pr dko- ±ci ciaªa w ukªadzie inercjalnym: 1) jest co do warto±ci proporcjonalna do warto±ci siªy wypadkowej dziaªaj cej na ciaªo, 2) posiada kierunek równolegªy do kierunku tej siªy, 3) posiada zwrot zgodny ze zwrotem siªy: v F. Z denicji Newtona ilo±ci ruchu (zob. [2] str. 186) oraz czynnej wielko±ci siªy (zob. [2], str. 189-190) stwierdzamy na mocy IIPR,»e stosunek warto±ci siªy i masy ciaªa jest proporcjonalny do warto±ci zmiany pr dko±ci ciaªa, na które dziaªa siªa: v F m. Ruch ciaªa pod wpªywem siªy dziaªaj cej w sposób ci gªy mo»na potraktowa jak ruch pod wpªywem impulsów siª dziaªaj cych na ciaªo, powtarzanych jeden po drugim co niesko«czenie krótkie odst py czasu. Je»eli siªa o ustalonym kierunku i warto±ci dziaªa na ciaªo przez pewien czas w sposób ci gªy, to niesko«czenie maªe zmiany pr dko±ci ruchu, generowane przez prawie natychmiastowo dziaªaj ce po sobie impulsy siª, dodaj si. Dlatego im dªu»ej dziaªa siªa, tym wi ksza b dzie zmiana pr dko±ci ciaªa. Zmiana pr dko±ci jest proporcjonalna ª cznie do czasu dziaªania siªy oraz do tej siªy: v F t. Ostatecznie, z tych wszystkich proporcji wyªania si równo± : v t = F m. (1) 11
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI Zmian pr dko±ci ciaªa w czasie t, gdy zmiana ta zachodzi i dziaªa siªa, opisujemy wektorem przyspieszenia: a = v/ t. Je»eli siªa dziaªaj ca na ciaªo zmienia swój kierunek lub warto±, to powy»sze równanie jest sªuszne w granicy t 0. To prowadzi wprost do równania ró»niczkowego wyra»aj cego II Zasad Dynamiki Newtona: m a = F, gdzie a = d2 r dt 2, przy czym r = r(t) jest wektorem wodz cym, ª cz cym pocz tek ukªadu wspóªrz dnych z ciaªem. W ogólno±ci siªa mo»e by funkcj poªo»enia, pr dko±ci i czasu (niezale»nie od zmiany poªo»enia w czasie): F = F ( r, v, t). II Prawo Ruchu wyra»one w postaci równania ró»niczkowego zapisaª jako pierwszy Euler. Euler poª czyª geometryczne metody Newtonowskie z rachunkiem ró»niczkowym Leibniza. Mechanika zmieniªa swoje oblicze - z geometrycznego na analityczne. Dalej, formalizmy analityczne b d rozwijali Lagrange i Hamilton. Prawo pól i prawo odlegªo±ci Siªa (do)centralna Powiemy,»e siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo w ruchu posiada charakter siªy (do)centralnej (ªac. vis centripeta), je»eli jest skierowana zawsze w kierunku i w stron ustalonego punktu spoczywaj cego w pewnym ukªadzie inercjalnym. Siªa (do)centralna przyci ga ciaªo do ustalonego punktu centrum tej siªy. Siªa (do)centralna mo»e dziaªa na ciaªo w sposób ci gªy w czasie lub te» mo»e wywiera dziaªanie powtarzaj cymi si co pewien czas chwilowymi impulsami. Charakter siªy (do)centralnej posiadaj siªy grawitacji dziaªaj ce na ciaªa i pochodz ce od sferycznie symetrycznych mas. Na przykªad siªy grawitacji dziaªaj ce na planety Ukªadu Sªonecznego posiadaj charakter siªy (do)centralnej. Charakter siªy (do)centralnej mog posiada siªy reakcji dziaªaj ce na ciaªo próbne a pochodz ce od napr»e«ciaª rozci gliwych lub sztywnych jak nici, linki, pr ty, spr»ynki, sznury. Jest tak, gdy to ciaªo próbne w ruchu jest zaczepione do jednego ko«ca np. linki, za± jej drugi koniec jest unieruchomiony. W przypadku opisanego ruchu pod wpªywem siª spr»ysto±ci o (do)centralnym charakterze zakªadamy,»e: i) albo ci»ar ciaªa próbnego jest zrównowa»ony reakcj podªo»a (np. w ruchu kulki bez tarcia po poziomym podªo»u, zaczepionej do gumki/nici z unieruchomionym jednym ko«cem), ii) albo podobny ruch odbywa si w ukªadzie odniesienia swobodnie spadaj cym w polu grawitacyjnym, gdzie ciaªa s niewa»kie, iii) albo taki ruch odbywa si w bardzo wielkiej odlegªo±ci od wszelkich planet i gwiazd. Z impulsami siªy (do)centralnej mamy do czynienia na przykªad wtedy, gdy co pewien czas uderzamy (lub poci gamy) ciaªo (np. kul ) poruszaj ce si po poziomym podªo»u (bez tarcia), przy czym kierunek i zwrot wywieranego na ciaªo impulsu siªy musi by zawsze w stron ustalonego na owym podªo»u punktu. Dalej, na podstawie IIPR przeprowadzimy rozwa»ania o wªasno±ciach ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej, niezale»nie od jej zycznego charakteru. Siªa o charakterze siªy do±rodkowej, czyli powoduj cej ruch jednostajny po okr gu, posiada charakter siªy (do)centralnej. Natomiast nie zawsze siªa (do)centralna posiada charakter siªy do- ±rodkowej. Na przykªad siªy grawitacji mog powodowa niejednostajne ruchy ciaª po elipsach, parabolach, hiperbolach, za± tylko w szczególnych przypadkach warunków pocz tkowych - jednostajne ruchy po okr gach. 12
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI Prawo równych pól w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej impulsowej Uka»emy wa»n wªasno± ruchu ciaªa pod wpªywem siªy (do)centralnej, dziaªaj cej na ciaªo krótkotrwaªymi impulsami (o dowolnej warto±ci), powtarzanymi co pewien ustalony odst p czasu. Zaªó»my,»e: 1) siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo w ruchu posiada charakter impulsów powtarzanych co pewien ustalony czas t AB = t, 2) kierunek i zwrot tych impulsów siªy jest zawsze w stron ustalonego i nieruchomego w pewnym ukªadzie inercjalnym punktu O, 3) kierunek impulsów nie pokrywa si z kierunkiem ruchu ciaªa, 4) pomi dzy momentami dziaªania impulsów siª ciaªo porusza si bezwªadnie po odcinku prostym ze staª szybko±ci. Twierdzimy,»e promie«ª cz cy punkt O z ciaªem zakre±la w równych odst pach czasu t powierzchnie trójk tów o jednakowych polach S. Dowód opiera si na Prawach Ruchu oraz geometrii Euklidesa. Po pierwsze korzystamy z I Prawa Ruchu. W tym wypadku oznacza ono,»e dªugo± odcinka zakre±lonego przez ciaªo w danym odst pie czasu (mi dzy dziaªaniami impulsów siª) jest równa dªugo±ci odcinka, który byªby zakre±lony w kolejnym, równym poprzedniemu odst pie czasu, gdyby siªa nie zadziaªaªa (zobacz zamieszczony rysunek): AB = Bc, BC = Cd, itd. 13
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI Po drugie korzystamy z IIPR, w którym jest mowa o tym,»e kierunek siªy jest równolegªy do kierunku zmiany ruchu, czyli tej skªadowej ruchu, któr generuje siªa. Zgodnie z tym i zgodnie z oznaczeniami na przedstawionym rysunku zapiszemy,»e: F B Cc, FC Dd, itd. To oznacza,»e nast puj ce odcinki s równolegªe: OB Cc, OC Dd, itd. Ustaliwszy na mocy Praw Ruchu, które odcinki s sobie równe i które odcinki s sobie równolegªe, dowodzimy ju» geometrycznie równo±ci pól odpowiednich trójk tów. Poniewa» S OAB = S OBc oraz S OBC = S OBc to S OAB = S OBC, co nale»aªo udowodni. Analogicznie dowodzi si równo±ci pól kolejnych trójk tów. Prawo odlegªo±ci w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej Poniewa» pola trójk tów zakre±lane w równych odst pach czasu przez promie«wodz cy s jed- 14
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI nakowe, to ze wzorów na pola trójk tów wynika,»e równe s iloczyny ich podstaw i wysoko±ci opuszczonych na te podstawy (zobacz rysunek po lewej stronie ilustracji): S OBC = S OCD = 1 2 OC BP B = 1 2 OD CP C =. Pierwsze czynniki w tych iloczynach (pomijaj c mno»nik 1/2) to dªugo±ci promieni ª cz cych punkt centrum z punktem dziaªania impulsu siªy. Oznaczmy te promienie r. Drugie czynniki za±, podzielone przez ustalony odst p czasu w jakim ciaªo zakre±la odcinek pomi dzy impulsami siªy, s równe skªadowej pr dko±ci, prostopadªej do promienia ª cz cego centrum z punktem dziaªania siªy, do którego zbli»a si ciaªo (zobacz rysunek po prawej stronie zamieszczonej wy»ej ilustracji). Oznaczmy t skªadow pr dko±ci v. Zapiszemy wtedy,»e: r v = l, l = const, gdzie l jest pewn staª podczas ruchu warto±ci. Sformuªujemy to prawo sªownie. Przy zaªo»eniach jak w twierdzeniu o równych polach, prawdziwe jest nast puj ce prawo. Iloczyn dªugo±ci promienia ª cz cego punkt centrum z punktem dziaªania siªy oraz skªadowej pr dko±ci prostopadªej do tego promienia, pr dko±ci z jak ciaªo zbli»a si do punktu dziaªania impulsu siªy, jest staªy. To prawo nazwali±my prawem odlegªo±ci ze wzgl du na to, i» wyra»a ono relacj pomi dzy pr dko±ci ciaªa w ruchu a odlegªo±ci punktu centrum od punktu dziaªania siªy. Rozpoznajemy w tym zasad zachowania momentu p du punktu materialnego w ruchu wzgl dem ustalonego punktu. O ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej dziaªaj cej w sposób ci gªy W wi kszo±ci ruchów mamy do czynienia z siªami, które dziaªaj na ciaªa w sposób ci gªy. Ruch pod wpªywem siªy (do)centralnej dziaªaj cej w sposób ci gªy jest taki, jak ruch pod wpªywem impulsów siª (do)centralnych dziaªaj cych na ciaªo jeden po drugim, powtarzanych w odst pach czasu d» cych do zera. Tor ruchu ciaªa w takim wypadku staje si krzyw gªadk a nie krzyw ªaman, jak to byªo poprzednio. W oparciu o przedstawione wyniki dla ruchu ciaªa pod dziaªaniem (do)centralnych impulsów siª oraz w oparciu o 11 lematów geometrycznych Newtona, dotycz cych zachowania si wielko±ci (w tym stosunków z jakim zanikaj wielko±ci i niesko«czonych sum znikaj cych wielko±ci) w granicach niesko«czenie maªych (oraz niesko«czenie wielkich), dowodzi si analogicznych wªasno±ci w ruchu ciaªa pod wpªywem siªy (do)centralnej, dziaªaj cej na ciaªo w sposób ci gªy. 15
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI Zaªó»my,»e na ciaªo w ruchu dziaªa nieustannie siªa (do)centralna, czyli skierowana zawsze do ustalonego i nieruchomego w pewnym ukªadzie inercjalnym punktu. Zakªadamy dalej,»e kierunek ruchu ciaªa nie pokrywa si z kierunkiem dziaªania tej siªy. Twierdzimy,»e ruch pod wpªywem takiej siªy ma nast puj ce wªasno±ci. 1) Promie«wodz cy, ª cz cy punkt centrum z ciaªem, zakre±la w równych odst pach czasu powierzchnie o jednakowych polach. 2) Tor ruchu le»y w ustalonej pªaszczy¹nie. 3) Skªadowa pr dko±ci prostopadªa do promienia wodz cego jest co do warto±ci odwrotnie proporcjonalna do dªugo±ci promienia wodz cego (czyli do odlegªo±ci ciaªa od punktu centrum): r v = l, l = const. Twierdzenie odwrotne do Prawa Pól Wy»ej sformuªowane twierdzenia jako pierwszy podaª i udowodniª Newton. Przedstawili±my te twierdzenia w oparciu o oryginalne dowody jakie znajduj si w Principiach (zob. [2], str. 224-225). Na szczególn uwag zasªuguje fakt,»e sªuszne jest twierdzenie odwrotne do podanego wy»ej. To znaczy tez o zakre±laniu równych pól przyjmiemy jako zaªo»enie, natomiast wnioskujemy o charakterze siªy. Przytoczymy to odwrotne twierdzenie wprost z Principiów (zob. [2], str. 226). Ka»de ciaªo poruszaj ce si po dowolnej linii krzywej opisanej na pªaszczy¹nie tak,»e promie«ª cz cy to ciaªo z punktem albo nieruchomym, albo poruszaj cym si jednostajnie wzdªu» linii prostej opisuje wokóª tego punktu pola proporcjonalne do czasów, jest utrzymywane na tej orbicie [na tej krzywej] przez siª docentraln [vis centripeta] skierowan do tego punktu. Dowód tego odwrotnego twierdzenia Newton opiera na II Prawie Ruchu oraz na 40. Propozycji Ksi gi I Elementów Euklidesa (zob. [1], str. 306): Równe trójk ty [tzn. o równych polach] b d ce na równych podstawach i na tej samej cz ±ci [tzn. posiadaj ce podstawy o tej samej dªugo±ci le» ce na wspólnej prostej] s tak»e w tych samych równolegªych [tzn. odcinek ª cz cy wierzchoªki trójk tów jest równolegªy do podstaw]. Keplerowskie Prawo Pól i Newtonowska koncepcja przyci gania Nie bez powodu u»ywali±my tutaj nazw prawo pól i prawo odlegªo±ci. Otó» Johannes Kepler podczas wieloletnich obserwacji ruchu Marsa i mozolnych prób ±cisªego wyznaczenia ksztaªtu orbity 16
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI Marsa oraz zale»no±ci poªo»enia Marsa od czasu, odkrywa najpierw prawo, które formuªuje pod nazw prawo odlegªo±ci (zob. [3], str. 229, 233-235). Kepler zauwa»a,»e szybko± Marsa w kierunku prostopadªym do promienia wodz cego (tak mówimy dzisiaj) ª cz cego ±rodki Marsa i Sªo«ca jest odwrotnie proporcjonalna do odlegªo±ci Marsa od Sªo«ca. Równowa»nie powiemy,»e iloczyn tej szybko±ci oraz odlegªo±ci Marsa od Sªo«ca jest staªy: r v = const. Z tego faktu Kepler wyprowadza prawo, które dzisiaj nazywamy II Prawem Keplera: promie«wodz cy ª cz cy ±rodek Sªo«ca ze ±rodkiem planety zakre±la w równych odst pach czasu powierzchnie o jednakowych polach. Gdy Kepler odkryª prawo równych pól i prawo odlegªo±ci w ruchu Marsa, to jeszcze nie wiedziaª o tym,»e owalnym ksztaªtem orbity Marsa jest dokªadnie elipsa (zob. [3], str. 234-237)! Prawa Keplera nie mówi nic o siªach dziaªaj cych na okr»aj ce Sªo«ce planety, a jedynie o wªasno±ciach kinematycznych ruchu tych planet. Z tych odkrytych przez Keplera wªasno±ci ruchu planet i w oparciu o Prawa Ruchu, Newton udowodniª jak to ukazali±my,»e siªa dziaªaj ca na planety posiada charakter siªy (do)centralnej, skierowanej do punktu ±rodka Sªo«ca. II Prawo Keplera Newton potraktowaª jak zaªo»enie dla podanego w poprzednim paragrae twierdzenia odwrotnego do Prawa Pól. Podkre±lmy,»e Newton udowodniª w sposób ±cisªy fakt, i» na planety dziaªa siªa w kierunku i stron punktu ±rodka Sªo«ca. W oparciu o II Prawo Ruchu, wªasno±ci ruchów planet i geometri Euklidesa, Newton udowodniª,»e planety poruszaj ce si po swoich orbitach musz by przyci gane centralnie ku Sªo«cu. Fakt przyci gania planet przez Sªo«ce podejrzewaª ju» Galileusz, jednak dopiero Newton to ±ci±le udowodniª. Wykazanie,»e planety s przyci gane ku Sªo«cu jest pierwszym krokiem w stron Teorii Grawitacji Newtona oraz przykªadem zastosowania matematycznej metody w lozoi przyrody. Dalej pozostaje wyznaczenie zale»no±ci warto±ci siªy przyci gaj cej od odlegªo±ci wzgl dem centrum, przy zaªo»eniu,»e siªa powoduje ruchy po elipsach o takiej wªasno±ci, i» kwadrat okresu ruchu jest proporcjonalny do trzeciej pot gi dªugo±ci wielkiej póªosi elipsy. Ponadto do wykazania zostaje Newtonowi udowodnienie powszechno±ci grawitacji, okre±lenie zale»no±ci siªy grawitacji od masy ci» cych ku sobie ciaª, a tak»e pokazanie prawa skªadania siª grawitacji. Na zako«czenie Warto podkre±la fakt,»e Newtonowska koncepcja przyci gania si ciaª na odlegªo± nie od razu spotkaªa si z przychylnym przyj ciem przez ówczesnych uczonych. Newton rewiduje obowi zuj c Kartezja«sk teori wirów eteru, maj c wyja±nia ruchy planet. To spotyka si z krytyk. Umysªy najwi kszych formatów a jednocze±nie wybitni matematycy europejscy kontestowali Newtonowsk koncepcj przyci gania si ciaª na odlegªo±. W jednym z listów do Leibniza, genialny przecie» Christiaan Huygens pisaª (zob. Posªowie w [2]): 17
PRAWO PÓL I PRAWO ODLEGŠO CI Nie jestem przekonany przez jego teorie budowane na zasadzie przyci gania, która wydaje mi si absurdem (...) Dziwi si cz sto, jak mógª on zada sobie taki trud wykonania licznych bada«i trudnych rachunków, które nie maj innej podstawy ni» ta zasada... Podobnie krytykowaª Newtona wielki Leibniz (zob. Posªowie w [2]): Jego lozoa wydaje mi si do± dziwna i nie wierz,»eby mo»na j byªo uzasadni. Je±li ka»de ciaªo jest ci»kie, to st d wynika (...),»e grawitacja jest scholastyczn wªa±ciwo±ci ukryt albo wynikiem cudu... Mocno popieram lozo eksperymentaln, ale pan Newton bardzo daleko od niej odchodzi, kiedy twierdzi,»e wszystka materia obdarzona jest ci»ko±ci. Nauce przyjdzie jeszcze nie raz przyj zaªo»enia nie mniej cudownego kalibru, jak cho by w Mechanice Kwantowej lub Ogólnej Teorii Wzgl dno±ci. Do czasu, gdy obliczenia wynikaj ce z tych podstawowych zaªo»e«najlepiej zgadzaj si z rzeczywisto±ci, przyjmujemy je za sªuszne. Sam Newton, na zako«czenie, w ostatnim rozdziale Principiów, w znamiennym Sholium Ogólnym, w ostatnich akapitach dzieªa, wypowiada si tak. Do tej pory podaªem wyja±nienie zjawisk na niebie i naszych morzach za pomoc siªy grawitacji, lecz wci» nie odkryªem przyczyny tej grawitacji. Jak dot d nie byªem w stanie wydedukowa ze zjawisk przyczyny tych wªasno±ci grawitacji, a z drugiej strony - nie chciaªbym wymy±la hipotez [et hypotheses non ngo]. Cokolwiek bowiem, co nie jest wydedukowane ze zjawisk, musi by nazwane hipotez, a z drugiej strony - nie ma miejsca na hipotezy w lozoi eksperymentalnej czy to metazyczne, czy to zyczne, oparte czy to na wªasno±ciach ukrytych [okultyzmie], czy to na mechanice. W lozoi eksperymentalnej twierdzenia dedukowane s ze zjawisk i uogólniane metod indukcji. Nieprzenikliwo±, poruszalno±, impet ciaªa oraz prawa ruchu i grawitacja opieraj si na tej metodzie. Wystarczy,»e grawitacja rzeczywi±cie istnieje i dziaªa zgodnie z tymi prawami, które powy»ej przedstawili±my, oraz wa»ne jest, i» wystarczy to do wyja±niania wszystkich ruchów ciaª niebieskich oraz ruchów mórz. Bibliograa [1] Euklides, Elementy, Copernicus Center Press, Kraków 2013, tªum. Piotr Bªaszczyk, Kazimierz Mrówka. [2] Isaac Newton, Matematyczne Zasady Filozoi Przyrody, Copernicus Center Press, Kraków 2011, tªum. Jarosªaw Wawrzycki, Posªowie: Andrzej Kajetan Wróblewski. [3] Jerzy Kierul, Kepler, Pa«stwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 2007. [4] Jerzy Kierul, Newton, Pa«stwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 2010. 18