TOM I MECHANIKA I GRAWITACJA

Transkrypt

1

2 Mariusz Mroczek Kurs zyki dla maturzystów i kandydatów na wy»sze uczelnie TOM I MECHANIKA I GRAWITACJA

3 Mechanika i grawitacja jest tomem I podr cznika: Kurs zyki dla maturzystów i kandydatów na wy»sze uczelnie. Autor Mariusz Mroczek Graki komputerowe oraz rysunki Mariusz Mroczek Skªad wersji wst pnej EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia Konsultacja naukowa Prof. dr hab. Marek Demia«ski, Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego, Katedra Teorii Wzgl dno±ci i Grawitacji Korekta j zykowa Tamara Ksi»czak-Przybysz Projekt okªadki DESIGN PARTNERS Prawa autorskie Opracowanie stanowi wªasno± intelektualn autora i jest chronione prawami autorskimi. Wykorzystanie opracowania lub jego cz ±ci wymaga zacytowania autora i placówki EDUKARIS udost pniaj cej t prac. Autor zabrania wykorzystywania niniejszej pracy, w ka»dym jej zakresie, podmiotom komercyjnym, chyba,»e dokonano innych indywidualnych ustale«. Autor zezwala na wykorzystywanie tego wykªadu, autorskich przykªadów i zada«, przez nauczycieli szkóª publicznych wyª cznie za wiedz autora i pod warunkiem wyra¹nego oznaczenia autora i placówki EDUKARIS. Wspomniane zezwolenie dotyczy nauczycieli w szkoªach publicznych i nauczycieli nauczaj cych na indywidualnych zaj ciach. Opracowanie publikuje EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia Smolna 13, Warszawa tel kontakt z autorem: mariusz.mroczek@edukaris.pl 2

4 Spis tre±ci I Mechanika 9 1 Podstawy poj ciowe Mechaniki Klasycznej Sªowo o Mechanice Klasycznej Czym zajmuje si zyka Model Mechaniki Klasycznej Galileusza-Newtona Przestrze«absolutna i wzgl dno± ruchu Przestrze«absolutna *Podstawy Geometrii Euklidesa Wªasno±ci przestrzeni absolutnej Koncepcja czasu absolutnego Wzgl dno± okre±lania poªo»enia Wzgl dno± ruchu Ukªady odniesienia, wspóªrz dne i diagramy Ukªady odniesienia Wspóªrz dne przestrzenne Wspóªrz dna czasowa Wykresy ruchu *Czasoprzestrze«w modelu Mechaniki G-N Wielko±ci wektorowe i skalarne Wielko±ci skalarne Wielko±ci wektorowe Dziaªania na wektorach Porównywanie wektorów, powi zanie równolegªe Poj cie pola Pola wektorowe i pola skalarne Centralne i jednorodne pole wektorowe Kinematyka Podstawowe poj cia w opisie ruchu Poªo»enie, przemieszczenie i tor w ruchu Wektor pr dko±ci ruchu i szybko± ruchu Skªadanie pr dko±ci wzgl dnych Ruch jednostajny prostoliniowy

5 Denicje Równania ruchu i wykresy Ruch zmienny Okre±lenie ruchu zmiennego Wektor przyspieszenia Ruch zmienny ze staªym wektorem przyspieszenia Ruch jednostajnie zmienny, prostoliniowy Ogólne wªasno±ci Wykresy, wzory, równania ruchu Zestawienie wzorów Ruchy w lokalnie jednorodnym polu grawitacyjnym Zasada spadków Galileusza Kinematyka rzutów Adnotacja o innych ruchach zmiennych Przykªady i zadania z podstaw i kinematyki Podstawy (zadania) Podstawy (rozwi zania zada«) Ruch jednostajny prostoliniowy (rozwi zane przykªady) Ruch jednostajny prostoliniowy (zadania do rozwi zania) Ruch zmienny (rozwi zane przykªady) Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy (rozwi zane przykªady) Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy (zadania do rozwi zania) Ruchy w jednorodnym polu grawitacyjnym (rozwi zane przykªady) Ruchy w jednorodnym polu grawitacyjnym (zadania do rozwi zania) Podstawy dynamiki Wst p do Praw Ruchu Galileusza podstawy Praw Ruchu Symetria Praw Ruchu Zasada Bezwªadno±ci i Ukªady Inercjalne Sªowo o ksztaªtowaniu si koncepcji dotycz cych praw ruchu Zasada Bezwªadno±ci Galileusza Inercjalne Ukªady odniesienia Ukªady odniesienia swobodnie spadaj ce, niewa»ko± ciaª Siªa, masa bezwªadna, ci»ar Oddziaªywania w Mechanice Klasycznej Ogólne wªasno±ci siªy przyªo»onej Wektor siªy Masa bezwªadna. Jednostki siªy i masy Siªa grawitacji, ci»ar ciaªa Dynamika punktu materialnego 145 4

6 4.1 Dynamika ruchu jednostajnego prostoliniowego I Prawo Ruchu Newtona Zastosowania I Zasady Dynamiki Dynamika ruchu zmiennego II Prawo Ruchu Newtona Geometryczny obraz II Prawa Ruchu Równanie II Zasady Dynamiki Zastosowanie IIZD w szczególnych przypadkach ruchu Warunki pocz tkowe i ruch ciaªa Siªy wzajemnego oddziaªywania ciaª Wzajemne oddziaªywanie ciaª III Prawo Ruchu Newtona Siªy wyst puj ce w bezpo±rednim kontakcie ciaª Ruchy z wi zami i siªy reakcji Siªy tarcia Nieinercjalne ukªady odniesienia UNI poruszaj ce si ruchem przyspieszonym wzdªu» prostej Pogadanka wyja±niaj ca Efekt siªy bezwªadno±ci Ukªady nieinercjalne i pola grawitacyjne P d Wiadomo±ci ogólne Zasada Zachowania P du Caªkowitego ukªadu ciaª Oddziaªywanie ciaª w ruchu i wymiana p du Ruch po okr gu ze staª warto±ci pr dko±ci Podstawowe wielko±ci opisuj ce ruch jednostajny po okr gu O sile do±rodkowej i przyspieszeniu do±rodkowym *Wyprowadzenie wzorów na siª i przyspieszenie do±rodkowe Dynamika w ruchu jednostajnym po okr gu. Przykªady zjawisk Ukªady nieinercjalne obracaj ce si jednostajnie Ruch ciaªa wzgl dem obracaj cego si jednostajnie UNI Efekt od±rodkowy i efekt Coriolisa w obracaj cym si UNI *Siªa docentralna i Prawo Pól Siªa (do)centralna *Prawo pól w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej *Prawo odlegªo±ci w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej *Podsumowanie i twierdzenie odwrotne do Prawa Pól Przykªady i zadania z dynamiki punktu materialnego Zasady Dynamiki w ukªadach inercjalnych (rozwi zane przykªady) Zasady Dynamiki w ukªadach inercjalnych (zadania do rozwi zania) Nienercjalne ukªady odniesienia (rozwi zane przyklady) Nieinercjalne ukªady odniesienia (zadania do rozwi zania)

7 P d (rozwi zane przykªady) P d (zadania do rozwi zania) Ruch po okr gu (rozwi zane przykªady) Ruch po okr gu (zadania do rozwi zania) Praca, energia i moc mechaniczna Praca mechaniczna i moc Poj cie pracy mechanicznej danej siªy Moc mechaniczna Poj cie energii Energia kinetyczna Energia potencjalna i siªy zachowawcze Pola siª. Przykªady siª zachowawczych i niezachowawczych Energia potencjalna grawitacji i spr»ysto±ci Energia mechaniczna *Energia i Prawa Ruchu Przykªady i zadania z pracy, mocy i energii mechanicznej Praca i moc mechaniczna (rozwi zane przykªady) Praca i moc mechaniczna (zadania do rozwi zania) Energia mechaniczna i praca, zasady zachowania (rozwi zane przykªady) Energia mechaniczna i praca, zasady zachowania (zadania do rozwi zania) Drgania i fale mechaniczne Ruch drgaj cy prosty Kinematyka ruchu drgaj cego prostego Dynamika ruchu drgaj cego prostego Drgaj ca spr»yna i wahadªo matematyczne Energia oscylatora harmonicznego Drgania wymuszone, rezonans Ruch falowy Fale w o±rodkach spr»ystych Fale sinusoidalne, parametry fali *Matematyczny opis ruchu fali *Czy ka»da fala potrzebuje o±rodka? Zasada superpozycji fal. Zjawisko interferencji Zasada Huygensa. Prawa przej±cia fali przez granic o±rodków Fale stoj ce Energia, moc, nat»enie fali O nat»eniu fali sferycznej O nat»eniu fali padaj cej, odbitej i zaªamanej Fale d¹wi kowe Zjawisko Dopplera

8 6.3 Przykªady i zadania z drga«i fal mechanicznych Drgania proste (rozwi zane przykªady) Drgania proste (zadania do rozwi zania) Fale mechaniczne (rozwi zane przykªady) Fale mechaniczne (zadania do rozwi zania) Mechaniki bryªy sztywnej Poj cia podstawowe Ciaªo sztywne rodek masy ciaªa Ruch ciaªa sztywnego - podstawowe uwagi O± obrotu i k t obrotu ciaªa sztywnego Pr dko± k towa i przyspieszenie k towe w ruchu obrotowym Wzory dla ruchu obrotowego ze staªym przyspieszeniem k towym Dynamika ruchu obrotowego ciaªa sztywnego Moment p du punktu materialnego Moment p du punktu materialnego w ruchu po okr gu Zachowanie momentu p du punktu materialnego Moment p du ciaªa sztywnego i moment bezwªadno±ci Moment siªy Równania ruchu ciaªa sztywnego Warunki statyki ciaªa sztywnego Praca i energia, zasady zachowania Praca momentu siªy Energia kinetyczna Twierdzenia o pracy i energii Zasada Zachowania Momentu P du Ciaªa Sztywnego Przykªady zachowania momentu p du Przykªady i zadania z mechaniki bryªy sztywnej Mechanika bryªy sztywnej (rozwi zane przykªady) Mechanika bryªy sztywnej (zadania do rozwi zania) II Grawitacja Od Platona do Newtona *O ksztaªtowaniu si idei grawitacji *Zarys Greckiej lozoi natury *Kopernikanizm *Galileusz. Grawitacja, mechanika, astronomia, sprawa *Kepler i nowe oblicze astronomii Prawa Keplera *Bª dne zaªo»enia zyki kartezja«skiej

9 *Newton, wzniesiony przez gigantów *Principia Matematyczne Zasady Filozoi Przyrody Newtona O sile docentralnej (wg Ksi gi I) O zale»no±ci siªy od odlegªo±ci (wg Ksi gi I) Dalsze wnioski z Ksi gi I O metodzie lozofowania (wg Ksi gi III) O zjawiskach niebieskich (wg Ksi gi III) O Powszechnym Ci»eniu (wg Ksi gi III) O sile grawitacji (wg Ksi gi III) Et hypotheses non ngo Teoria Grawitacji Newtona Siªy grawitacji Prawo Powszechnego Ci»enia Obliczanie grawitacji pomi dzy ciaªami Przyci ganie si ciaª o sferycznie symetrycznym rozkªadzie masy Pole grawitacyjne Równowa»no± ªadunku grawitacyjnego i masy bezwªadnej Wprowadzamy poj cie pola grawitacyjnego Nat»enie pola grawitacyjnego Statyczne, centralne i sferycznie symetryczne pole grawitacyjne *Fale pola grawitacyjnego O ruchach ciaª w centralnym polu grawitacyjnym Ruchy ciaª po orbitach koªowych Wiadomo±ci o elipsie Prawa Keplera Energia w centralnym polu grawitacyjnym Zasady zachowania w centralnym polu grawitacyjnym *O wyprowadzeniu torów ruchu w centralnym polu grawitacyjnym O mo»liwych torach ruchu w centralnym polu grawitacyjnym Ruchy po torach otwartych Ruchy po torach zamkni tych Ruch po torze radialnym Pr dko± ucieczki *O ruchach wzgl dem wspólnego ±rodka masy *O ruchu dwóch ciaª oddziaªuj cych grawitacyjnie Przykªady i zadania Przykªady z rozwi zaniami Zadania do samodzielnego rozwi zania

10 Cz ± I Mechanika 9

11

12 Rozdziaª 1 Podstawy poj ciowe Mechaniki Klasycznej 1.1 Sªowo o Mechanice Klasycznej Uczony nie bada natury dlatego,»e jest to po»yteczne. On bada j, poniewa» sprawia mu to przyjemno± ; ta z kolei znajduje swe ¹ródªo w pi knie natury. Gdyby nie byªa ona pi kna, nie byªaby warta poznania, za±»ycie nie byªoby warte trudu (...) Mam na my±li to gª bokie, ukryte pi kno, które wynika z harmonijnego uporz dkowania jej poszczególnych cz ±ci i które uchwyci mo»e czysta inteligencja. Henri Poincaré Czym zajmuje si zyka Fizyka jest nauk przyrodnicz, która w oparciu o system niewielu idei oraz praw o charakterze podstawowym, zajmuje si wyja±nianiem, przewidywaniem i opisem zjawisk zachodz - cych w otaczaj cej nas Rzeczywisto±ci. Jest to wi c sztuka rozumienia zjawisk przyrodniczych opieraj ca si na niewielu ideach oraz zasadach fundamentalnych. Najwi ksze przeªomy w zyce, b d ce dzieªami genialnych umysªów, zawsze wi zaªy si z odkrywaniem b d¹ uogólnianiem najbardziej podstawowych praw rz dz cych zjawiskami. Einstein wypowiadaª si,»e Badacz musi [...] podpatrzy u przyrody owe ogólne zasady, gdy w du»ych kompleksach faktów wzi tych z do±wiadczenia rozpoznaje pewne ogólne cechy, daj ce si ±ci±le sformu- ªowa (cite). Wªa±nie dlatego, aby móc ±ci±le formuªowa prawa zyki, to j zykiem zyki jest matematyka. Oznacza to,»e podpatrzone u przyrody owe ogólne zasady wyra»a si w j zyku matematyki, tj. za pomoc geometrii i wzorów. Model teorii zycznej zbudowany jest z pewnych podstawowych postulatów uj tych w j zyku matematycznym. W przypadku mechaniki klasycznej Galileusza - Newtona s to postulaty dotycz ce wªasno±ci przestrzeni, czasu, praw ruchu, wªasno±ci grawitacji i masy ciaªa. W ramach modelu wyja±nia si dalej, to znaczy udowadnia matematycznie, sposób przebiegu zjawisk bardziej skomplikowanych. Newton na przykªad wyra»aª si Principiach o Mechanice tak: W tym sensie mechanika 11

13 rozumowa b dzie nauk o ruchach wynikaj cych z jakichkolwiek siª oraz o siªach potrzebnych do wytworzenia jakichkolwiek ruchów, za± swój program badawczy uj ª nast puj co: Bowiem wydaje si,»e caªe zadanie lozoi przyrody polega na wyznaczeniu siª z zaobserwowanych ruchów, a nast pnie - maj c ju» te siªy - na przewidzeniu dalszych zjawisk (cite). Za pomoc zaªo»onych praw ruchu i praw grawitacji, Newton udowodniª i uogólniª Prawa Keplera, w zwi zku z czym potraª dokªadnie wyznacza tory ruchów planet, Ksi»yców, komet oraz wyznacza ich poªo»enie w funkcji czasu. Teoria mo»e wyja±nia lub przewidywa tak»e te zjawiska, których badacz wcale nie podpatrywaª w procesie odkrywania praw podstawowych. Na przykªad Newton wyja±niª zjawisko pªywów mórz, cho wcale to nie ono byªo podstaw odkry Zasad Dynamiki i Praw Grawitacji. Z kolei Teoria Grawitacji Einsteina posªu»yªa do wyja±nienia takich zjawisk jak ewolucja Wszech±wiata lub czarne dziury, o których sam Einstein nie miaª poj cia w momencie publikowania równa«swojej teorii. Zanotujmy,»e same podstawowe zasady zyki nie mog by wyja±nione w ±cisªym sensie tego sªowa, gdy» do tego celu potrzeba byªoby innych zasad. Twierdzimy,»e podstawowe zasady zyki s podpatrzone u przyrody lub,»e s po±rednio wydedukowane z okoliczno±ci zjawisk. W klasycznym opisie zjawisk zycznych wyró»nimy materi oraz pola. Do materii zaliczymy ciaªa staªe, ciecze, gazy, a tak»e atomy z których si one skªadaj oraz cz stki elementarne, z których skªadaj si atomy. Natomiast do pól - w klasycznym opisie zjawisk - zaliczymy: pole grawitacyjne oraz pole elektromagnetyczne. Powiemy,»e w zjawisku zycznym bior udziaª ró»ne formy materii, pola oraz,»e zjawisko zyczne jest skutkiem oddziaªywania ze sob tych form materii i pola. Powiemy najbardziej ogólnie,»e w wyniku oddziaªywania zmienia si stan zyczny ukªadu. Oddziaªywania mog zmienia ruchy ciaª, mog zmienia stan i wªasno±ci ciaª staªych, gazów, cieczy, mog zmienia pola. Zaªó»my,»e w zjawisku zycznym potramy wyodr bni jak ± wªa±ciwo± oddziaªywania lub wªa±ciwo± materii, czy te» pola. Je»eli t wªa±ciwo± potramy zmierzy, lub potramy zmierzy jej zmian, to powiemy,»e mamy do czynienia z wielko±ci zyczn. Wielko±ci zyczne mog by wyra»one za pomoc liczb, wektorów lub innych obiektów matematycznych. Przykªadami wielko±ci zycznych opisuj cych stan zyczny ciaªa mog by : masa ciaªa, ªadunek elektryczny ciaªa, energia ciaªa, wektor poªo»enia ciaªa w przestrzeni, ulokowanie ciaªa w czasie, wektor pr dko±ci ciaªa, wektor momentu p du ciaªa, wektor momentu magnetycznego ciaªa, tensor momentu bezwªadno±ci ciaªa, tensor napr»e«, itp. Przykªadami wielko±ci zycznych opisuj cych oddziaªywania mog by : siªa dziaªaj ca na ciaªo, nat»enie pola grawitacyjnego, nat»enie pola elektrycznego, wektor indukcji magnetycznej, czy te» energia potencjalna oddziaªuj cych ciaª. Oprócz tego co ju» powiedzieli±my o zyce, twierdzimy,»e zyka jest nauk o wielko±ciach oraz o prawach ª cz cych te wielko±ci. Ju» staro»ytny grecki lozof Platon pisaª,»e wielko±ci (u Platona pierwiastki) musi spaja proporcja (cite). Post p techniczny zawsze byª pochodn wielkich przeªomów w zyce teoretycznej, prze- ªomów nios cych my±li tak radykalne,»e wydaj ce si dalekie od mo»liwo±ci ich zastosowa«w praktyce. Jednak umiej tno± wyja±niania i przewidywania zjawisk przyrody mo»e wi za si z korzy±ciami praktycznymi dla czªowieka. Sztuki wykorzystywania w praktyce zdobyczy 12

14 2.6 Ruchy w lokalnie jednorodnym polu grawitacyjnym Zasada spadków Galileusza Zaªo»enia W tej sekcji zajmiemy si kinematyk szczególnych ruchów powszechnie obserwowanych w naszym otoczeniu. B dziemy rozwa»ali ruchy pod wpªywem grawitacji, odbywaj ce si w stosunkowo niewielkim obszarze przestrzeni, przy powierzchni Ziemi. Oznacza to,»e b dziemy zajmowali si ruchami w lokalnym obszarze przestrzeni, który mo»e rozci - ga si od kilku metrów do kilkudziesi ciu kilometrów wzwy» od powierzchni Ziemi, wzdªu» i wszerz. Tymczasem nie b dziemy mówili o ruchach ciaª niebieskich pod wpªywem grawitacji. Nie b dziemy tak»e omawiali oddziaªywania grawitacyjnego, czemu po±wi cona jest druga cz ± niniejszego podr cznika. Wystarczy na pocz tek wiedzie,»e ziemska grawitacja jest przyczyn spadania ciaª i nadaje wszystkim ciaªom pewne przyspieszenie. Ju» Galileusz zdawaª sobie spraw,»e na ruch ciaª w warunkach ziemskich ma wpªyw tarcie, opory powietrza, siªa wyporu aerostatycznego oraz co±, co ±ci ga ciaªa w dóª. Uczony zastanawiaª si nad tym, jak wygl daªby ruch ciaª w sytuacjach idealnych. Wedªug Galileusza ruchy ciaª ujawniªyby swoje prawdziwe wªasno±ci, gdyby odbywaªy si w pró»ni materialnej i nie byªy zakªócane innymi czynnikami. Uczony wyobra»aª sobie ruchy opadaj cych na Ziemi ciaª w pró»ni materialnej, jedynie pod wpªywem przyczyny ±ci gaj cej ciaªa w dóª, czyli jakby nie byªo powietrza. Uczony rozwa»aª tak»e takie ruchy, w których kontakt jednych ciaª z innymi pozbawiony byªby tarcia. Tak Galileusz wyodr bniª spo±ród innych oddziaªywa«oddziaªywanie grawitacyjne i badaª wªasno±ci ruchów powodowanych jedynie grawitacj. Zajmiemy si badaniem wªasno±ci takich ruchów, jak gdyby odbywaªy si one 1) w materialnej pró»ni, 2) jedynie pod wpªywem grawitacji i 3) w lokalnym obszarze przestrzeni przy powierzchni Ziemi. W naszych rozwa»aniach b dziemy pomijali: opór powietrza, siª wyporu aerostatycznego oraz siªy tarcia. Wiele ruchów w warunków ziemskich, np. lot rzuconego kamienia, odbywa si w pewnym przybli»eniu tak,»e wpªyw wymienionych siª mo»na zaniedba. Jednak pami tajmy,»e na ruch niektórych ciaª: np. balonów lub piórek, du»y wpªyw wywiera atmosfera ziemska. Gdyby obserwowa ruchy ciaª na przykªad na Ksi»ycu, gdzie nie ma atmosfery, przekonaliby±my si o uniwersalnych cechach ruchów pod dziaªaniem jedynie grawitacji. Grawitacyjna Zasada Galileusza Na podstawie eksperymentów my±lowych oraz wielu pomysªowych eksperymentów z równiami i wahadªami, przeprowadzonych w rzeczywistych warunkach ziemskich (a wi c do±wiadcze«po±rednich), Galileusz stwierdziª, tzn. wydedukowaª z okoliczno±ci zjawisk,»e przy pomini ciu wpªywów oporów powietrza i wyporu aerostatycznego, czas trwania spadku swobodnego ró»nych ciaª z danej wysoko±ci, z t sam pr dko±ci pocz tkowej lub bez niej, jest taki sam i nie zale»y od ich mas. Ponadto kr»y popularyzowana przez uczniów Galileusza historia,»e Galileusz przeprowadziª demonstracyjny eksperyment polegaj cy na zrzucaniu ciaª o ró»nych masach z Krzywej Wie»y w Pizie. Ten eksperyment miaª prawie bezpo±rednio i ostatecznie dowodzi niezale»no±ci czasu trwania spadku swobodnego od masy spadaj cego ciaªa. Wszystkie opuszczone z wie»y ciaªa o ró»nych 69

15 masach miaªy upada na Ziemi po tym samym czasie. (Galileusz rewiduje lozo przyrody Arystotelesa i nawi zuje do lozoi Platona, poniewa» odkrycia Galileusza wymagaj cho by zaªo»e«jak pró»nia materialna w przestrzeni, a tak»e odnosz si do do±wiadcze«idealnych, których nie sposób zrealizowa dokªadnie w warunkach ziemskich. Galileusz wyodr bnia ze zjawisk Prawa Podstawowe.) To wszystko oznacza,»e ruch ciaªa tylko i wyª cznie pod wpªywem dziaªania grawitacji nie zale»y od masy tego ciaªa a jedynie od cech samej grawitacji oraz pr dko±ci nadanej ciaªu na pocz tku ruchu i jego poªo»enia pocz tkowego. T zasad nazwiemy czasem w naszym wykªadzie Zasad Równowa»no±ci ruchu ró»nych mas w polu grawitacyjnym, jako nawi zanie do Zasady Równowa»no±ci masy grawitacyjnej i bezwªadnej, z której ona wynika (o czym b dzie w II cz ±ci podr cznika). Zasad t nazywa si tak»e Grawitacyjn Zasad Galileusza lub Prawem Swobodnego Spadania w polu grawitacyjnym. W teorii grawitacji termin spadek swobodny u»ywa si w odniesieniu do jakiegokolwiek ruchu odbywaj cego si jedynie pod wpªywem grawitacji. Niemniej w wielu podr cznikach termin spadek swobodny przyj ªo si wi za ze szczególnym ruchem pod wpªywem grawitacji, to znaczy z ruchem pod wpªywem grawitacji bez nadanej pr dko±ci pocz tkowej. Maj c obie uwagi na wzgl dzie, w tym wykªadzie b dziemy mówili o swobodnym ruchu w polu grawitacyjnym, natomiast gdy u»yjemy terminu spadek, to zawsze okre±limy warunki pocz tkowe ruchu. Niniejszym wyró»nimy zasad, o której mowa. Zasada nr 1 (Równowa»no± ruchu ró»nych mas w polu grawitacyjnym) Ruch dowolnego ciaªa, poddanego dziaªaniu jedynie grawitacji, nie zale»y od masy tego ciaªa ani»adnej cechy materii, z której si to ciaªo skªada. Niezale»nie od swojej masy, ciaªo znajduj ce si w polu grawitacyjnym poddane jest okre±lonemu przyspieszeniu grawitacyjnemu, które jest cech pola grawitacyjnego, i które w ogólno±ci zale»y od punktu w przestrzeni. Ruch ciaªa zale»y jedynie od grawitacji oraz od poªo»enia i pr dko±ci pocz tkowej ciaªa. Rysunek 2.12: David Scott demonstruje Galileo Experiment. 30/31 lipca 1971, pobyt na Ksi»ycu podczas misji Apollo 15. Piórko i mªotek spadaj tak samo! Podsumujmy: ruch wszystkich ciaª w polu grawitacyjnym, którym zadano by te same warunki pocz tkowego poªo»enia i pr dko±ci, byªby identyczny - odbywaªby si z tym samym 70

16 przyspieszeniem grawitacyjnym i z t sam pr dko±ci i po tym samym torze. Rzuty pionowe w dóª, rzuty pionowe w gór, rzuty uko±ne, rzuty poziome a tak»e swobodne orbitowanie satelitów i ciaª niebieskich po okr gach, elipsach oraz wszelkie inne ruchy w polu grawitacyjnym odbywaj si niezale»nie od mas ciaª uczestnicz cych w tych ruchach. Tam gdzie nie ma powietrza, to piórko i mªotek upuszczone w ten sam sposób, b d spadaªy jednakowo! David Scott, ameryka«ski astronauta podczas ksi»ycowego spaceru na misji Apollo 15, zademonstrowaª do±wiadczenie znane wªa±nie pod nazw Feather and Hammer experiment lub Galileo Experiment. Film z tego szczególnego eksperymentu mo»na odnale¹ w internecie. Przyspieszenie grawitacyjne ziemskie Powiedzieli±my,»e przyspieszenie ciaª uzyskane pod dziaªaniem jedynie grawitacji nie zale»y od ich mas. Przyspieszenie grawitacyjne nie zale»y od masy ciaªa, ale zale»y od miejsca tego ciaªa w przestrzeni. Na przykªad przyspieszenie grawitacyjne ciaª znajduj cych si wysoko nad powierzchni Ziemi posiada mniejsz warto± ni» przyspieszenie grawitacyjne ciaª tu» przy jej powierzchni. Dalej oczywistym jest,»e na tej samej wysoko±ci nad poziomem morza, kierunek przyspieszenia ciaªa spadaj cego swobodnie gdzie± w Sydney jest inny ni» kierunek przyspieszenia ciaªa spadaj cego swobodnie gdzie± w Krakowie, poniewa» oba przyspieszenia s skierowane do punktu ±rodka Ziemi. Je»eli jednak rozwa»amy ruchy odbywaj ce si w odpowiednio maªym (lokalnym) obszarze przestrzeni, to ró»nice w warto±ciach i kierunkach przyspiesze«grawitacyjnych s nieznaczne. Uznamy na przykªad,»e przyspieszenia ciaª opadaj cych na ostatnim pi trze Paªacu Kultury w Warszawie posiadaj ten sam kierunek, zwrot i warto±, co przyspieszenia ciaª opadaj cych w ka»dym innym miejscu Warszawy. Przy takich zaªo»eniach powiemy,»e w lokalnym obszarze przestrzeni mamy do czynienia z modelem jednorodnego pola grawitacyjnego (szerzej o polu grawitacyjnym opowiemy w II cz ±ci podr cznika). To jest jedynie pewna idealizacja! Rysunek 2.13: Model jednorodnego pola grawitacyjnego. Dla odpowiednio maªego obszaru przestrzeni mo»emy zaªo»y,»e w ka»dym miejscu tego obszaru, przyspieszenie grawitacyjne posiada taki sam kierunek, zwrot i warto±. W modelu jednorodnego pola grawitacyjnego, przyspieszenie grawitacyjne skierowane jest w dóª, prostopadle do poziomej powierzchni Ziemi. Nadmienimy jedynie,»e przyspieszenie ciaª opadaj cych na Ziemi, zmierzone w ukªadzie odniesienia obracaj cej si Ziemi, 71

17 zale»y od szeroko±ci geogracznej i jest nieco inne ni» przyspieszenie tych samych opadaj cych ciaª, gdyby byªo zmierzone w ukªadzie odniesienia, w którym to Ziemia obraca si z okresem 24 godziny. O tym efekcie opowiemy przy okazji omawiania zjawisk mechanicznych w tzw. nieinercjalnych ukªadach odniesienia. Przyspieszenie grawitacyjne zmierzone w ukªadzie odniesienia Ziemi, nad poziomem morza, na szeroko±ci geogracznej 45, 5 posiada warto± a z = 9, m/s 2. Przyspieszenie ziemskie oznacza si symbolem g. Nierzadko w rachunkach b dziemy przymowali przybli»on jego warto± g 10 m/s 2. Kinematyka rzutów Spadek swobodny z zerow pr dko±ci pocz tkow Rozwa»amy ruch ciaªa pod wpªywem jedynie grawitacji, w modelu jednorodnego pola grawitacyjnego, gdy pr dko± pocz tkowa ciaªa wynosi zero. Poniewa» ciaªo porusza si w pionie z ustalonym przyspieszeniem grawitacyjnym a = g, to ruch ten jest przykªadem ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego bez pr dko±ci pocz tkowej. Opadaj c z wysoko±ci h, ciaªo przebywa drog s = h. W takim wypadku, zgodnie ze wzorem na drog (wzór 2.20, str. 65) i wprowadzonymi tu oznaczeniami mamy: h = g t2 2, (2.33) przy czym t oznacza czas spadku swobodnego (który dalej oznaczymy przez t s ). Z powy»- szego wynika wzór na czas spadku swobodnego z wysoko±ci h: t s = 2h g. (2.34) Rysunek 2.14: Spadek swobodny z wysoko±ci h bez pr dko±ci pocz tkowej. Warto± pr dko±ci v k, z jak swobodnie spadaj ce ciaªo uderzy w Ziemi, mo»na obliczy wstawiaj c t s do wzoru v k = gt lub korzystaj c bezpo±rednio ze wzoru 2.21 (i pami taj c,»e s = h oraz a = g). Jakkolwiek post pimy dostaniemy: v k = 2hg. (2.35) 72

18 4.2 Dynamika ruchu zmiennego Niezrównowa»one oddziaªywania na ciaªo opisujemy za pomoc siªy wypadkowej. Siªa wypadkowa jest wektorow sum wszystkich siª dziaªaj cych na to ciaªo. Ciaªo, na które dziaªa kilka siª zachowuje si w ukªadzie inercjalnym tak, jakby poddane byªo oddziaªywaniu tylko jednej siªy zast pczej, identycznej co do kierunku, zwrotu i warto±ci z siª wypadkow. Je»eli na ciaªo dziaªa jedna siªa, to w sposób oczywisty jest ona tak»e siª wypadkow. Zaznaczmy,»e mówimy o siªach przyªo»onych do ciaª, opisuj cych ich oddziaªywania wzajemne. Rysunek 4.4: Na ciaªa O 1, O 2, O 3 dziaªaj siªy, oznaczone odcieniem szaro±ci. Siªy wypadkowe oznaczone s czarnym i wynosz : Fw12 = F 1 + F 2, F w34 = F 3 + F 4, F w56 = F 5 + F 6. II Prawo Ruchu Newtona II Prawo Ruchu Newtona naucza o tym, jak zmienia si stan ruchu ciaªa w ukªadzie inercjalnym, które podlega dziaªaniu niezerowej siªy wypadkowej. Dzi ki temu prawu, znaj c ruch pocz tkowy ciaªa i siªy dziaªaj ce na nie, mo»na wyznaczy dalsz histori ruchu tego ciaªa w pewnym ukªadzie inercjalnym oraz odwrotnie - znaj c histori ruchu ciaªa w dowolnym ukªadzie inercjalnym mo»na wyznacza siª wypadkow dziaªaj c na to ciaªo. II Prawo Ruchu formuªuje Newton w Matematycznych Zasadach Filozoi Przyrody nast puj co (cite): Zmiana ruchu jest proporcjonalna do czynnej siªy przyªo»onej i ma kierunek wzdªu» linii prostej, wzdªu» której ta siªa jest przyªo»ona. Wyja±nienie 1 - o sile przyªo»onej Przypominamy,»e siªa przyªo»ona do danego ciaªa, to wypadkowa siª dziaªaj cych na ciaªo, a pochodz cych od innych ciaª (cite). Siªy przyªo»one do ciaªa maj swoje ¹ródªo z zewn trz tego ciaªa, czyli pochodz one zawsze od innych ciaª wywieraj cych na«dziaªanie: albo b d cych w bezpo±rednim kontakcie z danym ciaªem (np. siªy reakcji, tar ), lub dziaªaj cych na dane ciaªo z pewnej odlegªo±ci (np. siªy grawitacji, siªy elektryczne, magnetyczne). Wyja±nienie 2 - o zmianie ruchu Powiemy,»e ciaªo zmienia stan ruchu jednostajnego prostoliniowego, gdy zmienia albo kierunek ruchu albo warto± pr dko±ci ruchu, albo oba ª cznie. Zmian stanu ruchu b dziemy okre±lali porównuj c nowy, zmieniony i odbywaj cy si pod wpªywem siªy ruch, z ruchem jednostajnym prostoliniowym, który byªby kontynuowany, gdyby siªa nie zadziaªaªa. Dlatego zmian stanu ruchu okre±lamy w inercjalnym 151

19 ukªadzie odniesienia. Je»eli ciaªo nie zmienia swojej masy bezwªadnej, to zmian stanu ruchu b dziemy opisywali zmian w czasie wektora pr dko±ci ciaªa, równ ró»nicy: pr dko±ci uzyskanej po zadziaªaniu siªy i pr dko±ci, któr by ciaªo posiadaªo, gdyby siªa na«nie zadziaªaªa. Zgodnie z Newtonowskim poj ciem ilo±ci ruchu (cite), jako iloczynu wektora pr dko±ci i masy ciaªa, zmiana stanu ilo±ci ruchu jest równowa»na zmianie tego iloczynu. Wyja±nienie 3 - o ruchu pod wpªywem siªy Newton pisze,»e ruch ciaªa pod wpªywem dziaªaj cej na ciaªo siªy jest (...) zªo»eniem obu ruchów: pocz tkowego i generowanego [przez siª ] (cite). Oznacza to,»e ruch wypadkowy pod wpªywem siªy skªada si z: ruchu jaki byªby kontynuowany, gdyby na ciaªo nie zadziaªaªa siªa i ruchu, jaki odbywaªby si, gdyby siªa dziaªaªa na pocz tkowo spoczywaj ce ciaªo. To zilustrujemy dalej na przykªadzie rzutu w polu grawitacyjnym. Geometryczny obraz II Prawa Ruchu Na pocz tek uka»emy zyczny sens II Prawa Ruchu w obrazie geometrycznym. Dalej podamy algebraiczny zapis jego tre±ci, czyli równanie II Zasady Dynamiki. (Newton do oblicze«u»ywaª metod geometrii Euklidesa.) Rozwa»my najpierw ruch ciaªa nie podlegaj cego oddziaªywaniom. Takie ciaªo b dzie poruszaªo si w ukªadzie inercjalnym ruchem jednostajnym prostoliniowym. Oznacza to,»e w jednakowych odst pach czasu ( t AB = t Bc = t) ciaªo przeb dzie odcinki proste o tej samej dªugo±ci, le» ce na wspólnej prostej. Je»eli w pierwszym odst pie czasu ciaªo przeb dzie odcinek AB, to w drugim odst pie czasu przeb dzie odcinek Bc, który jest równy dªugo±ci poprzedniemu i le»y na tej samej prostej. Na przedstawionym rysunku ukazano poªo»enia ciaªa w jednakowych odst pach czasu (mniejszych ni» t). Pr dko± ciaªa oznaczymy dla uwagi v B, poniewa» w ka»dym punkcie toru jest taka sama jak w punkcie B. Przypu± my teraz,»e mamy do czynienia z pocz tkowo podobnym ruchem, ale takim,»e od punktu B do pewnego punktu C dziaªa siªa o staªej warto±ci i ustalonym kierunku. Zaªó»my,»e od B do C siªa dziaªa ci gle przez odst p czasu t. W tym odst pie czasu, wzdªu» krzywej BC, ciaªo zmienia swoj pr dko± od v B do pewnej v C. Od punktu C siªa ju» nie dziaªa i pr dko± si nie zmienia. Zauwa»my,»e gdyby siªa nie dziaªaªa od B do C, to ciaªo jak poprzednio przemierzyªoby odcinek Bc ze staª pr dko±ci v B. Nowy, zmieniony pod wpªywem siªy ruch od B do C porównujemy z ruchem od B do c, jaki odbywaªby si pod nieobecno± siªy F. Zmian ruchu od B do C opiszemy ró»nic pr dko±ci (przeniesionych równolegle do wspólnego punktu): v BC = v C v B. 152

20 Na rysunku poni»ej zilustrowano przebieg tego zjawiska zgodnie z IIPR. Oznaczono tam: poªo»enia ciaªa w jednakowych odst pach czasu; dziaªaj c od B do C siª F ; pr dko± pocz tkow v B, pr dko± ko«cow v C oraz ich ró»nic v BC. Pokazano,»e zmiana pr dko±ci v BC jest w kierunku siªy. Jasnoszare ±lady przypominaj, jak poruszaªoby si ciaªo, gdyby nie dziaªaªa na nie siªa. Ruch wzdªu» BC pod wpªywem siªy, jest zªo»eniem dwóch ruchów: ruchu pocz tkowego, jaki byªby kontynuowany wzdªu» prostej Bc ze staª pr dko±ci, gdyby siªa nie zadziaªaªa, oraz ruchu Cc, jaki generuje siªa - to znaczy ruchu jaki zostaªby uzyskany pod wpªywem siªy dziaªaj cej na pocz tkowo spoczywaj ce w c ciaªo. Nowy ruch jest zªo»eniem ruchu pocz tkowego i zmiany ruchu generowanej siª, odbywaj cej si w kierunku siªy. Równowa»nie powiemy,»e uzyskana w B pr dko± jest zªo»eniem pr dko±ci pocz tkowej v B i zmiany pr dko±ci v cc w kierunku siªy, któr to zmian, niezale»nie od ruchu pocz tkowego, generuje siªa. Zgodnie z II Prawem Ruchu Newtona stwierdzamy: 153

21 1) Ró»nica pr dko±ci, czyli wektor zmiany pr dko±ci ciaªa, posiada kierunek i zwrot taki, jak siªa dziaªaj ca na ciaªo. Zapiszemy to symbolicznie: v F. 2) Warto± zmiany pr dko±ci jest proporcjonalna do warto±ci siªy. Na przykªad, gdyby siªa dziaªaj ca na ciaªo miaªa dwukrotnie wi ksz warto±, to warto± generowanej zmiany pr dko±ci ciaªa w ustalonym czasie byªaby dwukrotnie wi ksza (por. cite). Zapiszemy to symbolicznie: v F. 3) Warto± zmiany pr dko±ci w czasie jest odwrotnie proporcjonalna do masy bezwªadnej ciaªa. Na przykªad, siªa o zadanej warto±ci i w ustalonym czasie, dziaªaj c z osobna na ciaªa o ró»nych masach, wywoªa dwukrotnie wi ksz zmian pr dko±ci tego ciaªa, które ma dwukrotnie mniejsz mas od danego. Równanie II Zasady Dynamiki v 1 m. Tre± IIPR Newtona nazywamy dzisiaj II Zasad Dynamiki i zapisujemy w formie równania o charakterze wektorowym. Niniejszym postaramy si po cz ±ci uzasadni jego posta. Powiedzieli±my,»e wektor zmiany pr dko±ci ciaªa poddanego dziaªaniu siªy jest w kierunku tej siªy, a jego warto± jest proporcjonalna do warto±ci siªy. Ponadto, im dªu»ej trwa dziaªanie siªy, tym wi ksza jest warto± wektora zmiany pr dko±ci. Zmiana pr dko±ci ciaªa b dzie zatem proporcjonalna ª cznie do czasu t dziaªania siªy F oraz do tej siªy: v F t, czyli v t F. Wspóªczynnikiem tej proporcji jest odwrotno± masy bezwªadnej ciaªa (zob. sekcj od str. 140). Na przykªad, siªa o zadanej warto±ci i w ustalonym czasie, dziaªaj c z osobna na ciaªa o ró»nych masach, wywoªa k-krotnie wi ksz zmian pr dko±ci tego ciaªa, które ma k-krotnie mniejsz mas. Je»eli na ciaªo o masie m dziaªa w czasie t siªa F, o ustalonym kierunku i warto±ci, to: v t = F m. (4.1) Zmian pr dko±ci ciaªa w czasie t opisujemy wektorem przyspieszenia: a = v/ t. Je»eli siªa dziaªaj ca na ciaªo zmienia swój kierunek lub warto±, to powy»sze równanie jest sªuszne w granicy t 0. W takim równaniu wyst puje przyspieszenie chwilowe. Zapiszemy równanie II Zasady Dynamiki u»ywaj c przyspieszenia chwilowego, a tak»e ró»niczkowego zapisu przyspieszenia chwilowego w inercjalnym i kartezja«skim ukªadzie wspóªrz dnych. m a = F, gdzie a = d2 r dt 2, 154

22 przy czym r = r(t) jest wektorem wodz cym, ª cz cym pocz tek ukªadu wspóªrz dnych z ciaªem. (W ogólno±ci siªa mo»e zale»e nie tylko od poªo»enia ciaªa, ale i od pr dko±ci oraz czasu, niezale»nie od zmiany poªo»enia w czasie: F = F ( r, v, t).) II Zasad Dynamiki Newtona formuªujemy nast puj co. Zasada nr 4 (II Zasada Dynamiki) Je»eli na ciaªo o masie m dziaªa ró»na od zera siªa wypadkowa F w, to ciaªo porusza si wzgl dem ukªadów inercjalnych ruchem zmiennym. Wektor przyspieszenia chwilowego ciaªa podlegaj cego dziaªaniu niezerowej siªy wypadkowej, okre- ±lony jest w ka»dym ukªadzie inercjalnym przez wzór: a = F w m lub równowa»nie: m a = F w. (4.2) Na zako«czenie wyodr bnimy do zapami tania trzy zdania, które zawiera tre± IIZD: 1. Wektor przyspieszenia posiada kierunek i zwrot jak wektor siªy wypadkowej: a F. 2. Warto± wektora przyspieszenia jest proporcjonalna do warto±ci siªy wypadkowej i odwrotnie proporcjonalna do masy bezwªadnej ciaªa: a = F m. 3. II Zasada Dynamiki jest sªuszna we wszystkich inercjalnych ukªadach odniesienia. 155

23 Zastosowanie IIZD w szczególnych przypadkach ruchu Pr dko± ciaªa uzyskana pod wpªywem siªy jest wektorowym zªo»eniem pr dko±ci pocz tkowej i przyrostu pr dko±ci, który to przyrost generuje siªa. Przyrost pr dko±ci w czasie, mierzony wektorem przyspieszenia, jest w kierunku siªy. Dlatego je»eli kierunek pr dko±ci pocz tkowej jest inny ni» kierunek siªy, to po zªo»eniu z przyrostem pr dko±ci ciaªo uzyska pr dko± w innym kierunku ni» pocz tkowy i b dzie poruszaªo si po torze krzywoliniowym. Je»eli natomiast siªa dziaªa na ciaªo w kierunku ruchu pocz tkowego (lub na ciaªo pocz tkowo spoczywaj ce) to przyrost pr dko±ci b dzie w kierunku pr dko±ci pocz tkowej, a za tym uzyskana pr dko± tak»e - ciaªo b dzie poruszaªo si ruchem zmiennym wzdªu» prostej. 1. Przypadek, gdy zwrot siªy jest zgodny ze zwrotem ruchu Rozwa»amy przypadek ruchu zmiennego wzdªu» linii prostej, gdy siªa dziaªaj ca na ciaªo w ruchu od punktu A do B posiada zwrot zgodny ze zwrotem ruchu. Zgodnie z IIZD zmiana pr dko±ci uzyskana od A do B b dzie miaªa zwrot taki jak siªa, tutaj zgodny ze zwrotem ruchu. Wektor przyspieszenia tak»e posiada zwrot taki jak siªa, tutaj zgodny ze zwrotem ruchu. Warto± pr dko±ci wzrasta. Mówimy o ruchu przyspieszonym wzdªu» prostej. Warto± siªy jest proporcjonalna do warto±ci przyspieszenia, lub warto±ci ró»nicy pr dko±ci: m a = F równowa»nie m vb v A t = F. Warto± przyspieszenia mo»e w zale»no±ci od zachowania siªy wzrasta, by staªa, lub male. W takich przypadkach pr dko± zawsze wzrasta, z tym,»e przyrosty pr dko±ci s odpowiednio: coraz wi ksze, staªe, coraz mniejsze. Mówimy,»e pr dko± przyrasta coraz szybciej lub przyrasta liniowo lub przyrasta coraz wolniej (ale przyrasta). 156

24 4.9 *Siªa docentralna i Prawo Pól Siªa (do)centralna Powiemy,»e siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo w ruchu posiada charakter siªy (do)centralnej (ªac. vis centripeta), je»eli jest skierowana zawsze w kierunku i w stron ustalonego punktu spoczywaj cego w pewnym ukªadzie inercjalnym. Siªa (do)centralna przyci ga ciaªo do ustalonego punktu centrum tej siªy. Siªa (do)centralna mo»e dziaªa na ciaªo w sposób ci gªy w czasie lub te» mo»e wywiera dziaªanie powtarzaj cymi si co pewien czas chwilowymi impulsami. Charakter siªy (do)centralnej posiadaj siªy grawitacji dziaªaj ce na ciaªa i pochodz ce od sferycznie symetrycznych mas. Na przykªad siªy grawitacji dziaªaj ce na planety Ukªadu Sªonecznego posiadaj charakter siªy (do)centralnej. Podobnie, gdy ciaªo porusza si po poziomym podªo»u bez tarcia, b d c zaczepione do jednego ko«ca rozci gliwej gumy czy rozci gliwej linki, której drugi koniec jest unieruchomiony, powiemy,»e podlega sile (do)centralnej, której rol peªni tutaj siªa spr»ysto±ci linki czy gumy. Z impulsami siªy (do)centralnej mamy do czynienia na przykªad wtedy, gdy co pewien czas uderzamy (lub poci gamy) ciaªo (np. kul ) poruszaj ce si po poziomym podªo»u (bez tarcia), przy czym kierunek i zwrot wywieranego na ciaªo impulsu siªy musi by zawsze w stron ustalonego na owym podªo»u punktu. Dalej, na podstawie IIPR przeprowadzimy rozwa»ania o wªasno- ±ciach ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej, niezale»nie od jej zycznego charakteru. Siªa o charakterze siªy do±rodkowej, czyli powoduj cej ruch jednostajny po okr gu, posiada charakter siªy (do)centralnej. Natomiast nie zawsze siªa (do)centralna posiada charakter siªy do±rodkowej, poniewa» ruch ciaª zale»y tak»e od ruchu pocz tkowego. Na przykªad siªy grawitacji mog powodowa niejednostajne ruchy ciaª po elipsach, parabolach, hiperbolach, za± tylko w szczególnych przypadkach warunków pocz tkowych - jednostajne ruchy po okr gach. *Prawo pól w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej O ruchu pod wpªywem docentralnych impulsów siª Uka»emy wa»n wªasno± ruchu ciaªa pod wpªywem siªy (do)centralnej, dziaªaj cej na ciaªo krótkotrwaªymi impulsami (o dowolnej warto±ci), powtarzanymi co pewien ustalony odst p czasu. Na podstawie tego, dalej powiemy o wªasno±ci ruchu ciaªa pod dziaªaniem siª (do)centralnej, dziaªaj cej w sposób ci gªy. Zaªó»my,»e: 1) siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo w ruchu posiada charakter impulsów powtarzanych co pewien ustalony czas t AB = t, 2) kierunek i zwrot tych impulsów siªy jest zawsze w stron ustalonego i nieruchomego w pewnym ukªadzie inercjalnym punktu O, 3) kierunek impulsów nie pokrywa si z kierunkiem ruchu ciaªa, 4) pomi dzy momentami dziaªania impulsów siª ciaªo porusza si bezwªadnie po odcinku prostym ze staª szybko±ci. Twierdzimy,»e promie«ª cz cy punkt O z ciaªem zakre±la w równych odst pach czasu t powierzchnie trójk tów o jednakowych polach S. 202

25 Dowód opiera si na Prawach Ruchu oraz geometrii Euklidesa. Po pierwsze korzystamy z I Prawa Ruchu. W tym wypadku oznacza ono,»e dªugo± odcinka zakre±lonego przez ciaªo w danym odst pie czasu (mi dzy dziaªaniami impulsów siª) jest równa dªugo±ci odcinka, który byªby zakre±lony w kolejnym, równym poprzedniemu odst pie czasu, gdyby siªa nie zadziaªaªa (zobacz zamieszczony rysunek): AB = Bc, BC = Cd, itd. Po drugie korzystamy z IIPR, w którym jest mowa o tym,»e kierunek siªy jest równolegªy do kierunku zmiany ruchu, czyli tej skªadowej ruchu, któr generuje siªa. Zgodnie z tym i zgodnie z oznaczeniami na przedstawionym rysunku zapiszemy,»e: F B Cc, FC Dd, itd. To oznacza,»e nast puj ce odcinki s równolegªe: OB Cc, OC Dd, itd. Ustaliwszy na mocy Praw Ruchu, które odcinki s sobie równe i które odcinki s sobie równolegªe, dowodzimy ju» geometrycznie równo±ci pól odpowiednich trójk tów. 203

26 Poniewa» S OAB = S OBc oraz S OBC = S OBc to S OAB = S OBC, co nale»aªo udowodni. Analogicznie dowodzi si równo±ci pól kolejnych trójk tów. *Prawo odlegªo±ci w ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej Poniewa» pola trójk tów zakre±lane w równych odst pach czasu przez promie«wodz cy s jednakowe, to ze wzorów na pola trójk tów wynika,»e równe s iloczyny ich podstaw i wysoko±ci opuszczonych na te podstawy (zobacz rysunek po lewej stronie ilustracji): S OBC = S OCD = 1 2 OC BP B = 1 2 OD CP C =. Pierwsze czynniki w tych iloczynach (pomijaj c mno»nik 1/2) to dªugo±ci promieni ª cz - cych punkt centrum z punktem dziaªania impulsu siªy. Oznaczmy te promienie r. Drugie czynniki za±, podzielone przez ustalony odst p czasu w jakim ciaªo zakre±la odcinek pomi dzy impulsami siªy, s równe skªadowej pr dko±ci, prostopadªej do promienia ª cz cego 204

27 centrum z punktem dziaªania siªy, do którego zbli»a si ciaªo (zobacz rysunek po prawej stronie zamieszczonej wy»ej ilustracji). Oznaczmy t skªadow pr dko±ci v. Zapiszemy wtedy,»e: r v = l, l = const, gdzie l jest pewn staª podczas ruchu warto±ci. Sformuªujemy to prawo sªownie. Przy zaªo»eniach jak w twierdzeniu o równych polach, prawdziwe jest nast puj ce prawo. Iloczyn dªugo±ci promienia ª cz cego punkt centrum z punktem dziaªania siªy oraz skªadowej pr dko±ci prostopadªej do tego promienia, pr dko±ci z jak ciaªo zbli»a si do punktu dziaªania impulsu siªy, jest staªy. To prawo nazwali±my prawem odlegªo±ci ze wzgl du na to, i» wyra»a ono relacj pomi dzy pr dko±ci ciaªa w ruchu a odlegªo±ci punktu centrum od punktu dzia- ªania siªy. Rozpoznajemy w tym zasad zachowania momentu p du punktu materialnego w ruchu wzgl dem ustalonego punktu. *Podsumowanie i twierdzenie odwrotne do Prawa Pól O ruchu pod wpªywem siªy (do)centralnej dziaªaj cej w sposób ci gªy W wi kszo±ci ruchów mamy do czynienia z siªami, które dziaªaj na ciaªa w sposób ci gªy. Ruch pod wpªywem siªy (do)centralnej dziaªaj cej w sposób ci gªy jest taki, jak ruch pod wpªywem impulsów siª (do)centralnych dziaªaj cych na ciaªo jeden po drugim, powtarzanych w odst pach czasu d» cych do zera. Tor ruchu ciaªa w takim wypadku staje si krzyw gªadk a nie krzyw ªaman, jak to byªo poprzednio. W oparciu o przedstawione wyniki dla ruchu ciaªa pod dziaªaniem (do)centralnych impulsów siª oraz w oparciu o 11 lematów geometrycznych Newtona, dotycz cych zachowania si wielko±ci (w tym stosunków z jakim zanikaj wielko±ci i niesko«czonych sum znikaj cych wielko±ci) w granicach niesko«czenie maªych (oraz niesko«czenie wielkich), dowodzi si analogicznych wªasno±ci w ruchu ciaªa pod wpªywem siªy (do)centralnej, dziaªaj cej na ciaªo w sposób ci gªy. Zaªó»my,»e na ciaªo w ruchu dziaªa nieustannie siªa (do)centralna, czyli skierowana zawsze do ustalonego i nieruchomego w pewnym ukªadzie inercjalnym punktu. Zakªadamy dalej,»e kierunek ruchu ciaªa nie pokrywa si z kierunkiem 205

28 dziaªania tej siªy. Twierdzimy,»e ruch pod wpªywem takiej siªy ma nast puj ce wªasno±ci. 1) Promie«wodz cy, ª cz cy punkt centrum z ciaªem, zakre±la w równych odst pach czasu powierzchnie o jednakowych polach. 2) Tor ruchu le»y w ustalonej pªaszczy¹nie. 3) Skªadowa pr dko±ci prostopadªa do promienia wodz cego jest co do warto±ci odwrotnie proporcjonalna do dªugo±ci promienia wodz cego (czyli do odlegªo±ci ciaªa od punktu centrum): r v = l, l = const. Twierdzenie odwrotne do Prawa Pól Wy»ej sformuªowane twierdzenia jako pierwszy podaª i udowodniª Newton. Przedstawili±my te twierdzenia w oparciu o oryginalne dowody jakie znajduj si w Principiach (zob. cite, str ). Na szczególn uwag zasªuguje fakt,»e sªuszne jest twierdzenie odwrotne do podanego wy»ej. To znaczy tez o zakre- ±laniu równych pól przyjmiemy jako zaªo»enie, natomiast wnioskujemy o charakterze siªy. Przytoczymy to odwrotne twierdzenie wprost z Principiów (zob. cite, str. 226). Ka»de ciaªo poruszaj ce si po dowolnej linii krzywej opisanej na pªaszczy¹nie tak,»e promie«ª cz cy to ciaªo z punktem albo nieruchomym, albo poruszaj - cym si jednostajnie wzdªu» linii prostej opisuje wokóª tego punktu pola proporcjonalne do czasów, jest utrzymywane na tej orbicie [na tej krzywej] przez siª (do)centraln [vis centripeta] skierowan do tego punktu. Dowód tego odwrotnego twierdzenia Newton opiera na II Prawie Ruchu oraz na 40. Propozycji Ksi gi I Elementów Euklidesa (cite) 206

29 Ad e) Na ciaªo w kierunku prostopadªym do powierzchni równi dziaªaj dwie siªy: R i Q. Warto±ci tych siª s sobie równe a ich zwroty przeciwne. Dlatego siªa wypadkowa w kierunku prostopadªym do powierzchni równi wynosi zero: Fw = 0, st d równanie Newtona w tym kierunku przyjmuje posta : ma = 0. Z tego wynika,»e ciaªo nie przyspiesza w kierunkach prostopadªych do powierzchni równi (nie zapada si ani z niej nie wyskakuje!). Przykªad Do sutu w samochodzie przymocowana jest linka, na której zwisa ci -»arek o masie m = 3 kg. Gdy samochód przyspiesza ze staªym przyspieszeniem o pewnej warto±ci a, linka wraz z ci»arkiem pozostaje w odchyleniu α = 30 od kierunku pionowego. Zagadnienie analizujemy w inercjalnym ukªadzie odniesienia. Wyniki podajemy z dokªadno±ci co najmniej do trzeciej cyfry znacz cej. Warto± nat»enia pola grawitacyjnego przyjmujemy w rachunkach g = 9, 81 N/kg. a) Narysuj w prawidªowej konguracji wektory siª dziaªaj cych na ci»arek w inercjalnym ukªadzie odniesienia: siª ci»ko±ci ( F g ) i siª reakcji od napr»onej linki ( F n ). Narysuj siª wypadkow ( F w ) z tych dwóch siª (odró»nij j gracznie od pozostaªych). b) Oblicz warto± siªy reakcji dziaªaj cej na ci»arek od napr»onej linki oraz warto± siªy wypadkowej dziaªaj cej na ci»arek. c) Oblicz warto± przyspieszenia samochodu, a tak»e ci»arka, w ukªadzie inercjalnym. Rozwi zanie Ad a) Po pierwsza stwierdzamy,»e ci»arek porusza sie w ukªadzie inercjalnym wzdªu» linii prostej z przyspieszeniem takim, jak przyspieszenie samochodu (poniewa» wzgl dem samo- 224

30 chodu spoczywa). Z II Zasady Dynamiki wiemy,»e wypadkowa siªa dziaªaj ca na ci»arek ma zwrot i kierunek taki, jak zwrot i kierunek wektora przyspieszenia ci»arka. Na przedstawionej ilustracji narysowano siªy: ci»ko±ci oraz reakcji od napi tej linki tak, aby siªa wypadkowa, zgodnie z IIZD, miaªa kierunek i zwrot wektora przyspieszenia ci»arka w UI. (Na rysunku pomijamy obraz samochodu.) Ad b) Na podstawie danych w tre±ci przykªadu obliczamy warto± siªy grawitacji: F g = mg; F g = 29, 43 N. Warto± siªy reakcji od napi tej linki a tak»e warto± siªy wypadkowej obliczamy z funkcji trygonometrycznych na podstawie konguracji siª okre±lonej w punkcie a). Konguracj t mo»emy reprezentowa odpowiednim abstrakcyjnym trójk tem. F n = F g cos 30, F n = 33, 98 N, F w = F g tg30, F w = 16, 99 N. Ad c) Warto± przyspieszenia (w UI) ci»arka o masie m, poddanego sile wypadkowej o warto±ci F w, obliczamy tak»e z IIZD: a = F w m, 16, 99 N a = 3 kg, a = 5, 66 m/s2. Przyspieszenie ci»arka w ukªadzie inercjalnym jest równe przyspieszeniu samochodu w ukªadzie inercjalnym. 225

31 Zasada Huygensa. Prawa przej±cia fali przez granic o±rodków Cz sto mamy do czynienia z sytuacj, gdy fala bie» ca w jednorodnym o±rodku materialnym natraa na jak ± przeszkod znajduj c si w tym o±rodku lub natraa na granic dwóch ró»nych jednorodnych o±rodków materialnych. W takiej sytuacji chcieliby±my wiedzie, jak dalej zachowuje si fala po przej±ciu przez przeszkod lub po dotarciu do granicy dwóch o±rodków. W ogólno±ci, wyznaczenie wszystkich wªasno±ci zwi zanych z dalszym ruchem fali, takich jak okre±lenie amplitudy fali lub jej fazy w danym miejscu i czasie, a tak»e wyznaczenie kierunków propagowania si fazy fali, wymaga zastosowania matematycznej teorii opisu fal i jest technicznie do± trudne. Ponadto cz sto nie potrzebujemy wiedzie wszystkiego, co jest zwi zane z ruchem fali natraaj cej na przeszkod, a jedynie na przykªad potrzebujemy zna kierunki dalszego propagowania si fali lub ksztaªt powierzchni falowej, jaki uzyska fala po przej±ciu przez dan przeszkod (lub granic o±rodków). Okazuje si,»e istnieje pewna bardzo prosta reguªa, wymy±lona przez Huygensa, która pozwala wyznacza takie cechy. Zaznaczmy,»e Zasada Huygensa jest reguª, która jedynie pozwala wyznacza ksztaªt powierzchni czoªowej fali po przej±ciu przez dan przeszkod, a tak»e umo»liwia wyznaczenie kierunków propagowania si fali po przej±ciu przez przeszkod lub granic o±rodków. Zasada Huygensa nie daje jednak przepisu na wyznaczenie amplitudy fali lub jej fazy w danym miejscu i czasie, dlatego nie mo»e by traktowana jako teoria ruchu fali. Zauwa»my,»e punktowa przeszkoda, na któr natraa czoªo fali staje si ¹ródªem fali koªowej (zobacz lew cz ± rysunku 6.13). Zgodnie z Zasad Huygensa b dziemy ju» same punkty o±rodka traktowali jako punktowe przeszkody dla fali poruszaj cej si w tym o±rodku. Dlatego same punkty o±rodka b d ¹ródªami cz stkowych fal koªowych (lub sferycznych). Przyjmujemy dalej, i» te cz stkowe fale koªowe nakªadaj si na siebie, tworz c obserwowan fal. Czoªo tej fali wypadkowej jest lini (albo powierzchni ), która w ka»dym swoim punkcie jest styczna do czoªa cz stkowych fal kulistych. W ten sposób mo»na po cz ±ci wyja±nia powstanie fali pªaskiej, koªowej oraz zjawisko ugi cia fali na przeszkodzie (zobacz praw cz ± rysunku 6.13), a tak»e zjawisko przej±cia lub odbicia fali od granicy dwóch o±rodków. Rysunek 6.13: Po lewej: punktowa przeszkoda - wn ka jest ¹ródªem fali koªowej. Po prawej: punkty o±rodka, do których dotarªo czoªo fali, staj si ¹ródªami koªowych fal cz stkowych. Fale cz stkowe nakªadaj si i tworz fal wypadkow. 339

32 Omówione prawo jest tre±ci zasady Huygensa: ka»dy punkt o±rodka, do którego dotarªo czoªo fali, mo»e by traktowany jako ¹ródªo cz stkowej fali koªowej (lub sferycznej). Cz stkowe fale koªowe nakªadaj si na siebie, tworz c fal wypadkow, której czoªo jest lini (lub powierzchni ) styczn do tych okr gów (lub sfer). Zasada Huygensa wyja±nia jako±ciowo przyczyn ugi cia fali na przeszkodzie. Zjawisko ugi cia fali na przeszkodzie nazywa si dyfrakcj. Spójrz na rysunek 6.14 i wytªumacz, dlaczego obraz fali zmienia si po przej±ciu przez przeszkod (skorzystaj z prawej cz ±ci rysunku 6.13). Rysunek 6.14: Dyfrakcja - ugi cie fali na przeszkodzie. Przej±cie fali przez granic dwóch o±rodków Pr dko±, z jak rozchodzi si fala w o±rodku, zale»y od wªasno±ci spr»ystych danego o±rodka oraz od jego g sto±ci. W przypadku cieczy i gazów pr dko± zale»y ponadto od temperatury o±rodka. Wyprowadzenie wzoru na pr dko± jest dosy zaawansowanym zagadnieniem. Zaznaczmy,»e samo ¹ródªo fali nie ma»adnego wpªywu na pr dko± tej fali w o±rodku - jest ona bowiem cech samego o±rodka! Na pr dko± fali w o±rodku nie ma tak»e wpªywu ruch ¹ródªa wzgl dem o±rodka! Na przykªad wysyªaj cy fale d¹wi kowe jad cy radiowóz, nie wpªywa na pr dko±, z jak te d¹wi ki propaguj si w powietrzu. Wyobra¹my sobie teraz,»e fala przechodzi z jednego o±rodka do drugiego, przy czym pr dko± tej fali w obu o±rodkach jest ró»na. Wska»emy teraz na bardzo wa»n wªasno±. Otó» cz stotliwo± fali, która przechodzi z jednego o±rodka do drugiego, nie zmienia si. Dzieje si tak dlatego,»e na granicy dwóch o±rodków punkty jednego o±rodka na skutek oddziaªywa«wzajemnych z punktami drugiego o±rodka odgrywaj rol ¹ródªa fali w drugim o±rodku i wymuszaj drgania z t sam cz stotliwo±ci, na punktach tego drugiego o±rodka. Na potrzeby aktualnych rozwa»a«przypomnijmy wzór: v = λf, lub równowa»ny: f = v λ, wi» cy pr dko± fali z jej dªugo±ci oraz cz stotliwo±ci. Na podstawie przytoczonych wªasno±ci sformuªujemy nast puj ce twierdzenie. Twierdzenie (o przej±ciu fali przez granic dwóch o±rodków) Cz stotliwo± fali nie zmienia si, gdy przechodzi ona z jednego o±rodka spr»ystego (oznaczonego numerem 1) do drugiego o±rodka (oznaczonego numerem 2): f 1 = f

33 Je»eli pr dko±ci fal w obu o±rodkach wynosz odpowiednio v 1 i v 2, to z powy»szego faktu wynika relacja: v 1 = v 2 v 1, równowa»na proporcji: = λ 1. (6.42) λ 1 λ 2 v 2 λ 2 Oznacza to,»e dªugo± fali przechodz cej przez dwa o±rodki jest wi ksza w tym o±rodku, w którym wi ksza jest pr dko± fali. Rysunek 6.15: Przej±cie fali przez dwa o±rodki. Dªugo± fali jest wi ksza w tym o±rodku, w którym pr dko± fali jest wi ksza. Prawo zaªamania fali Wyobra¹my sobie,»e fala pªaska przechodzi z jednego o±rodka spr»ystego do drugiego, ale w taki sposób,»e kierunek fali padaj cej na granic o±rodków nie jest prostopadªy do powierzchni granicznej, tylko tworzy k t α z prost prostopadª do tej granicy. K t α nazwiemy k tem padania. Spójrzmy na rysunek 6.16 i jego opis, który wyja±nia mechanizm zaªamania fali pªaskiej po wej±ciu do innego o±rodka. Rysunek 6.16: Fala pªaska pada na granic dwóch o±rodków pod k tem α. Ka»dy punkt granicy o±rodków, w my±l Zasady Huygensa, jest ¹ródªem cz stkowej fali koªowej. Te cz stkowe fale koªowe maj w drugim o±rodku inn dªugo±. Wszystkie fale cz stkowe nakªadaj si na siebie, tworz c fal pªask (zobacz praw cz ± rysunku 6.13). Czoªo wypadkowej fali pªaskiej w o±rodku 2 jest nachylone do granicy o±rodków pod k tem β (k tem zaªamania). 341

34 Rysunek 6.16, skonstruowany zgodnie z zasad Huygensa, pozwala na wyprowadzenie pewnego prawa. Zauwa»my,»e zgodnie z oznaczeniami na naszym rysunku mamy: sin α = 3λ 1 AB oraz sin β = 3λ 2 AB. Dziel c przez siebie oba sinusy i korzystaj c ze wzoru 6.42, otrzymujemy prawo zaªamania dla fali pªaskiej: sin α sin β = λ 1 = v 1 (6.43) λ 2 v 2 Twierdzenie (o zaªamaniu fali przy przej±ciu przez granic o±rodków) Fala padaj ca na granic dwóch o±rodków ulega zaªamaniu. Je»eli α 1, v 1, λ 1 s : k tem padania fali na granic o±rodków od strony o±rodka pierwszego, pr dko±ci fali i dªugo±ci fali w pierwszym o±rodku, natomiast α 2, v 2, λ 2 s : k tem zaªamania fali w drugim o±rodku, pr dko±ci fali i dªugo±ci fali w drugim o±rodku, to zachodzi nast puj cy zwi zek: sin α 1 sin α 2 = λ 1 λ 2, lub równowa»nie: sin α 1 sin α 2 = v 1 v 2. To ogólne prawo zaªamania dla fal b dziemy szczególnie wykorzystywali w optyce. Prawo odbicia fali Padaj ca na granic dwóch o±rodków fala ulega odbiciu od tej powierzchni granicznej z powrotem do o±rodka, od strony którego padaªa. Odbicie od granicy o±rodków mo»e by cz ±ciowe (wtedy cz ± fali wnika do ±rodka) lub prawie caªkowite. Korzystaj c z zasady Huygensa, mo»na wykaza,»e k t odbicia fali pªaskiej od granicy dwóch o±rodków jest taki sam, jak k t padania na t granic. Rysunek 6.17: K t padania fali pªaskiej na granic o±rodków jest równy k towi odbicia tej fali od granicy o±rodków. Mo»na to wykaza, korzystaj c z zasady Huygensa. Fale stoj ce Fale stoj ce nale» do klasy zjawisk zwi zanych z interferencj fal. Wyobra¹my sobie sznur (albo strun ), którego oba ko«ce s unieruchomione. Pomy±lmy,»e pewn cz ± naszego sznura pobudzili±my do drga«. W wyniku tego na sznurze powstan dwa impulsy falowe biegn ce do nieruchomych ko«ców sznura. Gdy obie fale osi gn nieruchome ko«ce sznura, 342

35 Stosujemy zasad zachowania energii i wyznaczamy v, nast pnie ω: E I = E II ; mgh = mv2 2 + I 0v 2 2R ; 2 2mgh v = m + I 0 /R ; 2 2 0, 5 9, 81 2 v = 0, 5 + 0, 05/0, 04 m/s; v = 3, 35 m/s; ω = v/r = 3, 35/0, 2 rad/s = 16, 8 rad/s. Otrzymane wyniki s zgodne z tymi otrzymanymi w podpunkcie f) z dokªadno±ci do pierwszego miejsca po przecinku (dokonywali±my przybli»e«). Przykªad (Staczanie walca po równi pochyªej. Studium zagadnienia) Z równi pochyªej o k cie nachylenia φ i wysoko±ci h stacza si bez po±lizgu walec. Promie«walca wynosi r, za± jego masa to m. Ukªad znajduje si w jednorodnym polu grawitacyjnym ziemskim, o warto±ci nat»enia g. a) Wykonaj odpowiedni rysunek i oznacz na nim wszystkie siªy dziaªaj ce na walec. Oznacz na rysunku warunek braku po±lizgu. Odpowiedz, które z oznaczonych siª wykonuj prac, a które nie wykonuj pracy, które s zachowawcze, a które nie s zachowawcze. b) Zapisz dynamiczne równania ruchu post powego walca oraz równania ruchu obrotowego walca. Zapisz warunek braku po±lizgu walca za pomoc wielko±ci kinematycznych. c) Wyra¹ za pomoc g, r, φ: warto± przyspieszenia k towego walca (ɛ) oraz warto± przyspieszenia liniowego (a) punktu ±rodka masy walca. d) Wyznacz wyra»enie okre±laj ce warto± siªy tarcia statycznego. Zapisz to wyra»enie za pomoc F - warto±ci skªadowej ci»aru w kierunku równi. e) Wyznacz wyra»enie okre±laj ce warto± pr dko±ci, jak uzyska punkt ±rodka masy walca u podnó»a równi. Rozwi zanie Oznaczenia przyjmujemy jak w tre±ci zadania oraz jak na rysunku. Ad a) Przyjmujemy oznaczenia dla siª: Q - ci»ar walca; T s - siªa tarcia statycznego; F R - siªa reakcji równi dziaªaj ca na walec; F - siªa wypadkowa ci»aru i siªy reakcji (tutaj jest to skªadowa ci»aru walca wzdªu» równi); F = mg sin φ - warto± siªy F. Kinematycznym warunkiem toczenia bez po±lizgu jest fakt, i» dªugo± zakre±lonego ªuku przez punkt na brzegu walca (w ukªadzie SM walca) jest równa przebytej drodze przez punkt styczno±ci walca z równi (zobacz rysunek). Oznacza to,»e pomi dzy wielko±ciami opisuj cym 425

36 ruch ±rodka masy i tymi opisuj cymi ruch obrotowy zachodz relacje: l = αr, v = ωr, a = ɛr. Ad b, c) Zapiszemy równania Newtona ruchu ±rodka masy walca (SM) i ruchu obrotowego wzgl dem osi przechodz cej przez SM. Siªy dziaªaj ce na walec w kierunku pªaszczyzny równi to F oraz T s. Moment siªy wzgl dem punktu SM powoduje siªa tarcia statycznego: M = rt s. Zgodnie z tymi uwagami zapiszemy dynamiczne równania ruchu: ma = F T s I 0 ɛ = rt s a = ɛr (r. ruchu punktu SM); (r. ruchu obrotowego wzgl dem SM); (warunek toczenia bez po±lizgu). Przepiszemy te równania, uwzgl dniaj c,»e I 0 = mr 2 /2, a = ɛr oraz F = mg sin φ: mɛr = mg sin φ T s ; 1 2 mr2 ɛ = rt s. Z drugiego równania wyznaczamy: T s = mrɛ/2, nast pnie podstawiamy do pierwszego z nich: mɛr = mg sin φ 1 2 mrɛ, 3 2 ɛ = g sin φ. r Ostatecznie otrzymujemy warto±ci przyspieszenia k towego i przyspieszenia liniowego: ɛ = 2 3 g sin φ ; r a = ɛr = 2 g sin φ

37 Ad d) Do wyznaczenia T s wykorzystamy wyra»enie wyznaczone w podpunkcie b): T s = mrɛ/2 oraz wyra»enie okre±laj ce ɛ: Zauwa»my,»e: T s = 1 2 mrɛ = 1 2 mr 2 g sin φ 3 r T s = F 3. = 1 mg sin φ. 3 Powy»sze jest dynamicznym warunkiem braku po±lizgu, wi» cym ci»ar walca z siª tarcia statycznego. Ad e) Pr dko± osi gni t przez punkt SM po przebyciu drogi l obliczamy, wykorzystuj c wzory dla ruchu przyspieszonego jednostajnie bez pr dko±ci pocz tkowej: v 2 = 2al oraz zwi - zek trygonometryczny l = h/ sin α: v = 2al = g sin φ h sin φ = 4 3 gh. Uwaga! W nast pnym przykªadzie omówimy podobne zagadnienie, korzystajac z Zasady Zachowania Energii Mechanicznej. Powiemy tak»e, dlaczego mo»na wykorzysta t zasad. Przykªad (Kula, walec, rura i równia) Z równi pochyªej o wysoko±ci h i k cie nachylenia α staczaj si : kula, walec i rura (wydr»ony wewn trz walec). Wszystkie te ciaªa: kula, walec i rura, posiadaj t sam mas m oraz promie«r. Toczenie tych ciaª po równi odbywa si bez po±lizgu i w ziemskim polu grawitacyjnym o nat»eniu g. a) Napisz dla ka»dego z tych ciaª wyra»enie okre±laj ce jego caªkowit energi kinetyczn. Wynik wyra¹ za pomoc v - szybko±ci liniowej punktu SM (±rodka masy ciaªa) - oraz masy ciaªa m. b) Zastosuj Zasad Zachowania Energii Mechanicznej i wyznacz warto± pr dko±ci punktu 427

38 SM ciaªa, gdy ciaªo znajduje si u podnó»a równi. Wynik wyra¹ za pomoc h, m, r. Porównaj wynik z warto±ci pr dko±ci, jak uzyskaªby punkt materialny ze±lizguj cy si z równi bez tarcia. c) Zapisz w kolejno±ci od najwi kszej do najmniejszej warto±ci pr dko±ci tych ciaª u podnó»a równi. Porównaj wyniki z warto±ci pr dko±ci samego punktu materialnego, który ze±lizgn ª si z tej równi bez tarcia. Które z ciaª jako pierwsze osi gnie podnó»e równi, a które z nich jako ostatnie? d) Korzystaj c z wyników w poprzednich podpunktach oraz kinematycznych równa«ruchu, oblicz a - warto± przyspieszenia liniowego punktu SM ciaªa oraz ɛ - warto± przyspieszenia k towego ruchu obrotowego w ukªadzie SM. Rozwi zanie Oznaczenia przyjmujemy jak w tre±ci zadania oraz jak na rysunku. Indeksy: k, w, r, pm, zapisane przy wielko±ciach zycznych, odnosz si odpowiednio do: kuli, walca, rury i punktu materialnego. Przypomnijmy ponadto,»e: I 0 k = (2/5)mr 2 - jest momentem bezwªadno±ci kuli, wzgl dem osi SM; I 0 w = (1/2)mr 2 - jest momentem bezwªadno±ci walca, wzgl dem osi SM; I 0 r = mr 2 - jest momentem bezwªadno±ci rury, wzgl dem osi SM. Ad a) Caªkowita energia kinetyczna ciaªa jest sum energii kinetycznej ruchu post powego punktu SM (o masie ciaªa) oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego ciaªa wzgl dem SM (zobacz twierdzenie na stronie 404). Poniewa» toczenie odbywa sie bez po±lizgu, to dªugo± ªuku zakre±lonego przez punkt na brzegu ciaªa jest równa przebytej przez ciaªo drodze - a w zwi zku z tym mamy relacj : v = ωr (zobacz dyskusj na stronie 392 i rysunek tam»e). Podane uwagi prowadz do: E kin k = 1 2 mv2 k I 0 k ω 2 k = 1 2 mv2 k mr2 v2 k r 2 = 7 10 mv2 k; E kin w = 1 2 mv2 w I 0 w ω 2 w = 1 2 mv2 w mr2 v2 w r 2 = 3 4 mv2 w; E kin r = 1 2 mv2 r I 0 r ω 2 r = 1 2 mv2 r mr2 v2 r r 2 = mv2 r. Ad b) Na ciaªa nie dziaªaj siªy niezachowawcze. Dziaªaj ce na ciaªa siªy to: siªa grawitacji, która jest siª zachowawcz potencjaln ; siªa reakcji równi, która nie wykonuje pracy nad ciaªem (w tym sensie jest zachowawcza); tarcie statyczne ciaªa o równi (brak po±lizgu), które tak»e nie zmienia energii mechanicznej ukªadu. Dla ka»dego z ciaª zastosujemy Zasad Zachowania Energii Mechanicznej. Na górze równi ciaªo posiada tylko energi potencjaln, na dole równi za± ciaªo posiada tylko energi kinetyczn caªkowit : ruchu post powego i 428

39 obrotowego. Z zasady zachowania energii wyznaczamy v - pr dko± ciaªa u podnó»a równi: mgh = E kin k, mgh = 7 10 mv2 k, v k = (10/7)gh; mgh = E kin w, mgh = 3 4 mv2 w, v w = (4/3)gh; mgh = E kin r, mgh = mv 2 r, v r = gh. Przypomnijmy,»e dla punktu materialnego mamy v pm = 2gh. Ad c) v pm > v k > v w > v r Ad d) W celu obliczenia a - warto±ci przyspieszenia punktu SM, najwygodniej b dzie skorzysta ze wzoru: v 2 = 2as, dla ruchu przyspieszonego jednostajnie bez pr dko±ci pocz tkowej, gdzie s jest przebyt drog przez punkt SM. Z geometrii wynika,»e h/s = sin α, czyli s = h/ sin α. W zwi zku z tym mamy: a = v2 2s = v2 sin α 2h. Po podstawieniu kolejno do powy»szego wzoru wyra»e«okre±laj cych pr dko±ci: kuli, walca i rury, otrzymujemy: a k = v2 k sin α 2h a w = v2 w sin α 2h a r = v2 r sin α 2h = 5 g sin α; 7 = 2 g sin α; 3 = 1 g sin α. 2 Dla samego punktu materialnego mamy: a pm = g sin α. Aby obliczy ɛ - warto± przyspieszenia k towego ruchu obrotowego, korzystamy z warunku braku po±lizgu, który wi»e nam ruch post powy ciaªa z jego ruchem obrotowym nast puj co: a = ɛr: ɛ k = a k r = v2 k sin α 2h ɛ w = a w r = v2 w sin α 2h ɛ r = a r r = v2 r sin α 2h = 5 g sin α; 7r = 2 g sin α; 3r = 1 g sin α. 2r Przykªad (Pr t) Na ziemi le»y pr t o dªugo±ci l i masie m. Jeden z ko«ców pr ta przymocowany jest tak,»e pr t mo»e wykona póªobrót w pªaszczy¹nie prostopadªej do pªaszczyzny Ziemi. Jak najmniejsz pocz tkow pr dko± k tow ω nale»y nada pr towi, aby osi gn ª on poªo»enie pionowe? Jaka jest warto± pr dko±ci pocz tkowej punktu ±rodka masy pr ta i punktu na 429

40 drugim ko«cu pr ta? Rozwi zanie Oznaczenia przyjmujemy jak w tre±ci zadania oraz jak na rysunku. Przypomnijmy,»e: I = 1 3 ml2 - to moment bezwªadno±ci pr ta wzgl dem osi obrotu przechodz cej przez jego koniec. Do rozwi zania zadania wykorzystamy Zasad Zachowania Energii Mechanicznej. W chwili pocz tkowej pr t posiada energi kinetyczn. W tym zadaniu wygodnie b dzie skorzysta ze wzoru na energi kinetyczn ruchu obrotowego wzgl dem osi obrotu przechodz cej przez koniec pr ta (wzór w twierdzeniu na stronie 404). Obliczamy energi mechaniczn w chwili pocz tkowej I: E I = E kin = 1 2 Iω2, E I = ml2 ω 2, E I = 1 6 ml2 ω 2. Gdy pr t osi ga poªo»enie pionowe, na moment zastyga w bezruchu. Energia mechaniczna jest wtedy energi potencjaln pr ta, czyli energi potencjaln punktu materialnego o masie pr ta znajduj cego si w punkcie SM: E II = E pot, E II = mgh, E II = mg l 2. Wyznaczamy ω z Zasady Zachowania Energii Mechanicznej: E I = E II ; 1 6 ml2 ω 2 = mg l 2 ; 3g ω = l. Obliczamy pocz tkowe szybko±ci liniowe: v - punktu na ko«cu pr ta i v SM masy: - punktu ±rodka v = ωl = 3gl; v SM = ω l 2 = 1 2 3gl. Prosz rozwi za ten przykªad inn metod, dokonuj c rozkªadu energii kinetycznej pr ta na: energi kinetyczn ruchu post powego punktu SM (o masie pr ta) i energi kinetyczn ruchu obrotowego pr ta w ukªadzie spoczynkowym punktu SM. 430

41 Po tym wst pie dokonamy przegl du najwa»niejszych twierdze«ksi gi I, dotycz cych zwi zku pomi dzy wªasno±ciami konkretnego ruchu i matematycznej postaci siªy powoduj - cej tak posta ruchu. Te wnioski b d kluczowe do wyprowadzenia Prawa Powszechnego Ci»enia. Dalej omówimy twierdzenia Ksi gi III dotycz ce Praw Powszechnego Ci»enia. Trzeba zaznaczy,»e autor nie b dzie przytaczaª oryginalnej i peªnej wersji wybranych twierdze«, a b dzie je omawiaª, pod»aª ich drog. 8.2 Matematyczne Zasady Filozoi Przyrody Newtona Amicus Plato amicus Aristoteles magis amica veritas (Przyjacielem Platon, przyjacielem Arystoteles, lecz wi ksz przyjacióªk - prawda) Isaac Newton O sile docentralnej (wg Ksi gi I) W pierwszej grupie twierdze«ksi gi I Principiów dowodzi si faktu,»e je»eli na ciaªo dziaªa siªa skierowana wci» do jednego punktu (powiemy dzisiaj - siªa docentralna, vis centripeta), to promie«wodz cy (ª cz cy ten punkt z ciaªem) zakre±la w równych odst pach czasu powierzchnie o takich samych polach. Matematyczny dowód tego faktu przeprowadzili±my w drugim rozdziale podr cznika. Dowód opiera si na II Prawie Ruchu oraz na metodach geometrii Euklidesa. W zwi zku z tym faktem Newton sugeruje, aby takie ruchy ciaª, podczas których zachodzi równo± pól powierzchni zakre±lanych przez promie«wodz cy w jednakowych odst pach czasu, potraktowa jako oznak istnienia siª dziaªaj cych na ciaªo i skierowanych do ustalonego punktu centrum. Je»eli skonfrontujemy to z II Prawem Keplera (prawem pól), to w naturalny sposób pojawia si koncepcja, aby ruch planety orbituj cej dookoªa Sªo«ca potraktowa jako ruch odbywaj cy si wªa±nie pod wpªywem siªy docentralnej, czyli skierowanej do jednego punktu. Podsumujmy, i» zgodno± II Prawa Keplera z II Prawem Ruchu, wymaga zaªo»enia,»e siªa dziaªaj ca na planet skierowana jest wci» do jednego punktu. Mo»emy wi c powiedzie,»e na planet wywierane jest dziaªanie skierowane zawsze w stron pewnego punktu centrum. O takim dziaªaniu powiemy,»e jest przyci gaj ce. Dalej b dziemy poznawali kolejne wªasno±ci tego dziaªania przyci gaj cego. 474

42 O zale»no±ci siªy od odlegªo±ci (wg Ksi gi I) W dalszej cz ±ci Ksi gi I bada si ksztaªty torów ruchów, przy zaªo»eniu,»e siªa dziaªaj ca na ciaªo posiada charakter siªy docentralnej, której warto± jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegªo±ci ciaªa od punktu centrum. Ruchy po orbitach koªowych W kolejnym twierdzeniu dowodzi si,»e siªy powoduj ce ruch po okr gu o promieniu r ze staª szybko±ci v, skierowane s do ±rodka tego okr gu (zgodnie z poprzednimi twierdzeniami) i ponadto ich warto± jest proporcjonalna do wyra-»enia: F (r) v2 r. Pomimo»e powy»szy wzór ma w zasadzie tak sam posta jak u Huygensa, to nale»y podkre±li ró»nice jako±ciowe i zrozumie przeªom, jaki dokonaª si w rozumieniu ruchu po okr gu: na ciaªo w ruchu po okr gu dziaªa siªa skierowana do ±rodka tego okr gu. Ruch po okr gu o ustalonym promieniu r mo»e w ogólno±ci odbywa si z ró»nymi okresami T. Relacja pomi dzy T i r zale»y od warto±ci siªy do±rodkowej F (r), poprzez wyznaczon wy»ej proporcj. Powiemy równowa»nie,»e warto± siªy do±rodkowej wyznacza zale»no± pomi dzy T i r. Je»eli zaªo»ymy arbitralnie,»e pewien ruch po okr gu posiada t szczególn cech, i» okres obiegu T i promie«okr gu r wi»e relacja: T 2 r 3 = const, równowa»nie T 2 r 3, to siªa peªni ca funkcj siªy do±rodkowej w takim ruchu posiada warto± odwrotnie proporcjonaln do kwadratu odlegªo±ci ciaªa od ±rodka okr gu: F (r) 1 r 2. Poni»ej dowód tego faktu korzystaj cy z zaªo»enia,»e T 2 r 3 oraz wzoru na warto± pr dko±ci w ruchu jednostajnym po okr gu. W dowodzie u»ywamy symbolu proporcji. F (r) v2 r ( ) 2 2πr F (r) 1 T r F (r) r T 2 F (r) r r 3 F (r) 1 r 2. ( ) 4π 2 r 2 F (r) T 2 1 r (8.2) Nast pnie Newton zauwa»a, zgodnie z I i III Prawem Keplera,»e zwi zek T 2 /A 3 speªniony jest w ruchu planet po orbitach, które w ogólno±ci s elipsami, natomiast A jest dªugo±ci wielkiej póªosi elipsy. W zwi zku z wynikami i przesªankami, jakie uzyskaª uczony rozwa»aj c ruchy po okr gach, zamierza on dalej zajmowa si studiami nad ruchem ciaª pod wpªywem siªy docentralnej i odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odlegªo±ci ciaªa od punktu centrum. 475

43 Ruchy po orbitach eliptycznych oraz parabolicznych i hiperbolicznych W kolejnych twierdzeniach Newton zajmuje si wyznaczaniem ruchów ciaª pod wpªywem siªy centralnej i odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odlegªo±ci ciaªa od punktu centrum. Uczony dowodzi,»e torami ruchów ciaª pod wpªywem siªy docentralnej i odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odlegªo±ci ciaªa od punktu centrum mog by w zale»no±ci od pr dko±ci pocz tkowej: okr gi, elipsy, parabole, hiperbole lub proste (np. spadki radialne po linii prostej na punkt centrum). Ponadto uczony wyznacza poªo»enia centralnego punktu, do którego skierowana jest siªa. Mi dzy innymi dowodzi,»e poªo»enie punktu centralnego dla torów eliptycznych jest jednym z ognisk elipsy. W ten sposób, w oparciu o Prawa Ruchu, zaªo»on posta siªy i geometri Euklidesa, uczony udowodniª Prawa Keplera dotycz ce kinematyki ruchu planet. Dalsze wnioski z Ksi gi I Ruchy dwóch ciaª wzgl dem punktu ich ±rodka masy W dalszych partiach Ksi gi I uczony wykonuje niezmiernie istotne studia ruchu dwóch ciaª wzgl dem wspólnego punktu ±rodka masy obu ciaª. Rozwa»a ogólny przypadek, gdy oba ciaªa dziaªaj na siebie siªami docentralnymi o dowolnym charakterze, a tak»e bada przypadek szczególny, gdy ciaªa oddziaªuj na siebie siªami centralnymi odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy ciaªami (nie myli z odlegªo±ci od punktu ±rodka masy). W zale»no±ci od pr dko±ci ciaª, punkt centralny mo»e by wspólnym ±rodkiem okr gów, po których poruszaj si ciaªa, lub mo»e by wspólnym ogniskiem dla dwóch elips, po których poruszaj si ciaªa. Przyci ganie si ciaª o symetrii sferycznej Jednym z wa»niejszych fragmentów Ksi gi I jest grupa twierdze«dotycz ca przyci gania si ciaª o symetrii sferycznie symetrycznej. Uczony mi dzy innymi oblicza siª wypadkow, która dziaªaªaby pomi dzy dwoma ciaªami o sferycznie symetrycznym rozkªadzie materii, gdyby zaªo»y,»e ciaªa zbudowane s w sposób ci gªy z maªych cz ±ci, oraz,»e te najmniejsze cz ±ci przyci gaj si wzajemnie siªami centralnymi o warto±ciach odwrotnie proporcjonalnych do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy tymi maªymi cz ±ciami. Wyniki s niezmiernie ciekawe i zaskakuj co proste - mi dzy innymi dwie kule o sferycznie symetrycznym rozkªadzie masy b d przyci gaªy si siªami centralnymi o warto±ciach odwrotnie proporcjonalnych do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy ±rodkami tych kul. W dowodzeniu twierdze«o przyci ganiu si kul Newton zakªada wa»n wªasno± siª przyci gaj cych pomi dzy punktami materialnymi: siªa wypadkowa dziaªaj ca na dany punkt materialny jest wektorow sum siª, które pochodz od innych punktów materialnych z osobna. Gªówny wniosek Ksi gi I Ksi ga I jest dla Newtona przygotowaniem do obrony zarysowuj cej si tezy, w my±l której dwa ciaªa materialne przyci gaj si. Takie wzajemne przyci ganie si ciaª materialnych byªoby wypadkowym oddziaªywaniem pomi dzy najmniejszymi pomy±lanymi cz ±ciami, z których owe ciaªa si skªadaj. Podstawowym za± oddziaªywaniem pomi dzy par najmniejszych cz ±ci materialnych obu ciaª byªaby siªa przyci gaj ca 476

44 o kierunku wzdªu» linii ª cz cej owe cz ±ci i warto±ci odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy nimi: F (r) 1 r 2. Podsumujmy: Ksi ga I dowodzi,»e kinematyka ruchu ciaª punktowych lub ciaª kulistych (o sferycznie symetrycznym rozkªadzie materii) pod wpªywem takiej wªa±nie siªy jest zgodna z kinematyk w modelu Keplera, a nawet poszerza go cho by o ruchy po parabolach i hiperbolach. Na tym etapie Newton nie mówi nic wi cej o tej sile, czyli nie mówi o jej zale»no±ci od cech materii ani o tym, czy ta siªa jest powszechna. O metodzie lozofowania (wg Ksi gi III) Uniwersalne reguªy rozumowania Pomi dzy obiektywnym zjawiskiem zycznym a jego obrazem oraz interpretacj w umy±le czªowieka po±redniczy wªa±nie ludzki umysª, skªonny do s dów subiektywnych. Ten czynnik powoduje,»e ró»ni uczeni mog mie ró»ne pogl dy na temat danego zjawiska. Nauka powinna eliminowa tak sytuacj. Zjawisko zyczne, które jest obiektywne przecie», powinno mie równie obiektywn interpretacj naukow. eby wi c prawidªowo interpretowa zjawiska zyczne i na ich podstawie wyci ga jednolite wnioski, nale»aªoby przeprowadza rozumowanie wedªug ustalonych procedur/reguª. Newton wprowadziª do lozoi naturalnej (zyki) uniwersalny katalog reguª rozumowania. Reguªy te okre±laj fundamentalne zasady wnioskowania na podstawie zjawisk i do dzi± stanowi cz ± metody naukowej w zyce teoretycznej. Oto lozoczne reguªy wnioskowania ze zjawisk zycznych, które podaje Newton. Reguªa I. Nie dopuszczamy wi cej przyczyn rzeczy naturalnych ni» te, które s zarówno prawdziwe, jak i wystarczaj ce dla wyja±nienia zjawisk. Reguªa II. Dlatego te» skutki naturalne tego samego rodzaju musz by, w takim stopniu jak to mo»liwe, powi zane z tymi samymi przyczynami. Zgodnie z Reguª I, natura nie dziaªa bez przyczyny. Ponadto, je»eli mniejsza ilo± przyczyn wystarczy do wyja±nienia zjawiska, to wi ksza ilo± przyczyn wyja±niaj cych zjawisko jest zbyteczna. Reguªa II nakazuje poszukiwania tych samych przyczyn w zjawiskach zycznych o podobnych skutkach (na przykªad spadku kamienia w Europie i Ameryce, emitowania ±wiatªa przez ogie«i Sªo«ce, odbicia ±wiatªa od planet, orbitowania ksi»yców dookoªa planet). Jak»e wyra¹nie w tych reguªach mo»na dostrzec sªynn brzytw Ockhama, podstawow 477

45 zasad wspóªczesnej metodologii naukowej, w my±l której nie nale»y mno»y bytów ponad potrzeb. Dla przykªadu: nie ma potrzeby wprowadzania poj cia eteru, skoro zjawiska mo»na opisywa bez jego u»ywania; nie ma potrzeby utrzymywa kartezja«skich wirów i cz stek po- ±rednicz cych w oddziaªywaniu mi dzy ciaªami, je»eli Prawo Powszechnego Ci»enia opisuje zjawiska grawitacyjne. Reguªa III. Wªa±ciwo±ci ciaª, których to wªa±ciwo±ci nie mo»na ciaªom ani narzuci, ani ich usun, oraz które s wªasno±ciami wszystkich ciaª w zakresie dost pnych nam eksperymentów, powinny by uznane za uniwersalne wªasno±ci wszystkich ciaª. Newton podaje proste przykªady stosowania tej reguªy. Cho by z faktu,»e dost pne naszym obserwacjom ciaªa s mi dzy innymi poruszalne, posiadaj bezwªadno± i s rozci gªe przestrzennie, wynika,»e wszystkie ciaªa we Wszech±wiecie tak»e s poruszalne, posiadaj bezwªadno± i s rozci gªe przestrzennie. Reguª III uczony zastosuje mi dzy innymi do wykazania powszechno±ci oddziaªywa«grawitacyjnych. Je»eli bowiem eksperymenty i obserwacje astronomiczne (które niebawem przytoczymy) potwierdzaj,»e: wszystkie ciaªa na Ziemi i w jej pobli»u ci» w kierunku Ziemi, Ksi»yc ci»y w kierunku Ziemi, morza ci» w kierunku Ksi»yca (i Ziemia tak»e),»e planety i komety ci» do Sªo«ca, ksi»yce ci» do planet, to nale»y wnioskowa,»e wszystkie ciaªa ci» wzajemnie ku sobie. Reguªa IV. W lozoi eksperymentalnej twierdzenia i problemy odkryte za pomoc indukcji ogólnej ze zjawisk powinny by uwa»ane (...) za dokªadnie prawdziwe (...), nie zwa»aj c na inne mo»liwe hipotezy, a» inne zjawiska doprowadz do zmiany tych twierdze«, problemów i konstrukcji tak,»e albo stan si one bardziej dokªadne, albo dopuszcz wyj tki. Zgodnie z t reguª nie mo»na obali na drodze spekulacji wszelkich twierdze«opartych na indukcji. Przykªadem takiej spekulacji byªa kartezja«ska teoria wirów, teoria eteru lub cz stek po±rednicz cych w oddziaªywaniu pomi dzy ciaªami. Eter czy ªa«cuch zderzaj cych si ze sob cz stek powoduj cych oddziaªywania mi dzy ciaªami, byªy spekulacj nie potwierdzon do±wiadczalnie ani nie wyja±niaj c zjawisk tak dobrze jak Prawo Powszechnego Ci»enia i Prawa Ruchu. O zjawiskach niebieskich (wg Ksi gi III) Przypomnijmy, i» zgodnie z zarysowuj c si koncepcj Newtona, dwa dowolne ciaªa materialne przyci gaj si (pó¹niej powiemy,»e ci» ku sobie, grawituj ). Owo przyci ganie jest oddziaªywaniem wypadkowym pomi dzy najmniejszymi cz ±ciami, z których te ciaªa si skªadaj. Ponadto dla ciaª kulistych o sferycznie symetrycznym rozkªadzie materii (na przykªad dla ksi»yców, planet, Sªo«ca) taka siªa wzajemnego oddziaªywania byªaby odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy ±rodkami tych ciaª. Je»eli do tego jedno z dwóch ciaª posiada tak du» mas,»e ±rodek masy obu ciaª wypada z dobrym przybli»eniem 478

46 w ±rodku jednego z ciaª, to z matematycznych twierdze«wynika, i» mniejsze ciaªo b dzie poruszaªo si wzgl dem tego wi kszego ciaªa zgodnie z zasadami w modelu Keplera. Przy czym kinematyczne zasady Keplera zastosowane b d nie tylko dla ruchu planet wzgl dem Sªo«ca, ale i dla ruchów ksi»yców wzgl dem planet. Powoªuj c si na dane pochodz ce z obserwacji astronomicznych, Newton przytacza szereg zjawisk zgodnych z Prawami Keplera. Zjawisko I. Ksi»yce Jowisza zakre±laj promieniami wodz cymi zaczepionymi w ±rodku Jowisza pola proporcjonalne do czasów, a ich okresy s proporcjonalne do pot g 3/2 ich odlegªo±ci od ±rodka Jowisza w ukªadzie gwiazd staªych. Zjawisko II. Ksi»yce Saturna zakre±laj promieniami wodz cym zaczepionymi w ±rodku Saturna pola proporcjonalne do czasów, a ich okresy s proporcjonalne do pot g 3/2 ich odlegªo±ci od ±rodka Saturna w ukªadzie gwiazd staªych. Zjawisko III. Orbity pi ciu planet (aut.: jedynych ówcze±nie znanych): Merkurego, Wenus, Marsa, Jowisza, Saturna okr»aj (aut.: po orbitach eliptycznych) Sªo«ce. Zjawisko IV. Okresy pi ciu planet oraz okres obiegu Ziemi dookoªa Sªo«ca (...) s proporcjonalne do 3/2 pot g ich ±rednich odlegªo±ci od Sªo«ca w ukªadzie gwiazd staªych. Zjawisko V. Planety (...) promieniami wodz cymi zaczepionymi w ±rodku Sªo«ca zakre±laj pola proporcjonalne do czasów. Zjawisko VI. Ksi»yc Ziemski (...) promieniem wodz cym zaczepionym w ±rodku Ziemi zakre±la pola proporcjonalne do czasów. Twierdzenia o oddziaªywaniu wzajemnym ciaª niebieskich Na podstawie przytoczonych zjawisk oraz na podstawie twierdze«matematycznych z Ksi gi I (zobacz punkty 1, 2, 3, 4, 5 od strony 474) uczony formuªuje nast puj ce propozycje twierdze«. Twierdzenie I. Siªy, które ±ci gaj ksi»yce Jowisza z ich prostoliniowych ruchów i utrzymuj na ich orbitach, d» do ±rodka Jowisza i s odwrotnie proporcjonalne do kwadratów odlegªo±ci miejsc tych ksi»yców od ±rodka Jowisza. Twierdzenie II. Siªy, które ±ci gaj planety z ich prostoliniowych ruchów i utrzymuj na ich orbitach, d» do ±rodka Sªo«ca i s odwrotnie proporcjonalne do kwadratów odlegªo±ci tych planet od ±rodka Sªo«ca. Twierdzenie III. Siªa, która utrzymuje Ksi»yc na jego orbicie, d»y do ±rodka Ziemi i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegªo±ci ±rodka Ksi»yca od ±rodka Ziemi. O Powszechnym Ci»eniu (wg Ksi gi III) Podane powy»ej twierdzenia wypowiadaj si na temat siª dziaªaj cych na ciaªa niebieskie podczas ich ruchów po orbitach. Sformuªowanie: Siªa, która utrzymuje Ksi»yc na jego 479

47 orbicie..., oznacza,»e chodzi o siª dziaªaj c na Ksi»yc poruszaj cy si tam, gdzie wªa±nie jest jego orbita. W zwi zku z tym z podanych twierdze«wcale nie wynika, jaki charakter miaªaby siªa dziaªaj ca na ów Ksi»yc, gdyby nie znajdowaª si on na orbicie, o której mowa, tylko, dajmy na to, w pobli»u Ziemi. Galileusz nauczaª,»e wszystkie ciaªa ziemskie posiadaj ci»ar, pod którego wpªywem opadaj na Ziemi lub naciskaj na ni ; ponadto Galileusz sformuªowaª podstawowe wªasno±ci siª ci»ko±ci. Podkre±lamy,»e przed Principiami znaczenie wyra»e«: siªa ci»ko±ci, ci»ar, ci»enie (grawitacja) dotyczyªo jedynie ziemskich zjawisk mechanicznych. Zdajmy sobie spraw,»e wcale nie byªo jasne, czy owa ziemska grawitacja si ga a» do Ksi»yca i odwrotnie: wcale nie byªo jasne, czy matematyczn posta siªy okre±lonej na orbicie Ksi»yca mo»na zastosowa do obliczania ci»arów ciaª na Ziemi. Mo»emy sobie przecie» ªatwo wyobrazi,»e w pobli»u Ziemi mógªby dochodzi jaki± inny czynnik odpowiedzialny za oddziaªywanie ciaªa z Ziemi, który znikaªby na orbicie Ksi»yca i dalej. W Twierdzeniu IV Newton dowodzi rzeczy fundamentalnej,»e wªa±nie ziemska grawitacja si ga tak»e Ksi»yca. To twierdzenie jest przeªomem naukowym i stanowi kolejny punkt zwrotny w historii nauki. Twierdzenie IV. Ksi»yc ci»y (grawituje) w kierunku Ziemi i dziaªaniem siªy ci»enia (grawitacji) jest zawsze ±ci gany z prostoliniowego ruchu i utrzymywany na jego orbicie. To twierdzenie oznacza,»e: siªa utrzymuj ca Ksi»yc na jego orbicie jest wªa±nie jego ci»arem; równowa»nie,»e matematyczna posta siªy okre±lonej na orbicie Ksi»yca opisuje tak»e ci»ary ciaª ziemskich. Poni»ej przedstawi szkic dowodu tego twierdzenia. Przedstawione rozumowanie b dzie oddawaªo co do zasady oryginalny wywód Newtona wraz z jego eksperymentami my±lowymi, niemniej b dzie si nieznacznie ró»niªo od oryginaªu szczegó- ªami technicznymi (np. w kwestii jednostek lub w kwestii bezpo±redniego obliczania przyspieszenia do±rodkowego) oraz, niestety, nie b dzie a» tak barwne literacko jak sam oryginaª. Rozwa»my w tym celu dowolne ciaªo o nieporównywalnie maªych wzgl dem Ziemi rozmiarach lub ciaªo kuliste o rozmiarach stosunkowo maªych wzgl dem Ziemi. Mo»e to by mityczne jabªko Newtona lub nawet Ksi»yc. Zaªó»my,»e pomy±lane ciaªo mo»emy w my±lach umieszcza b d¹ to przy powierzchni Ziemi, b d¹ to na wysoko±ci orbity Ksi»yca. Zaªó»my dalej,»e pomy±lane ciaªo mo»emy rozwa»a przy dwóch okazjach: podczas jego ruchu po orbicie Ksi»yca albo podczas ruchu po orbicie tu» nad powierzchni Ziemi. Zakªadamy,»e te orbity s koªowe. Równowa»nie mo»emy rozwa»a pomy±lane ciaªo opadaj ce wzdªu» linii prostej w kierunku ±rodka Ziemi przy dwóch okazjach: gdy znajduje si na wysoko±ci orbity Ksi»yca i gdy znajduje si przy powierzchni Ziemi. Oznaczmy promie«orbity Ziemi przez R z, natomiast promie«(±redni) orbity ksi»ycowej, czyli odlegªo± (±redni ) ±rodka Ziemi do punktu tej orbity, przez r k. W zgodzie z Twierdzeniem III, warto± siªy dziaªaj cej na ciaªo znajduj ce si w miejscu orbity Ksi»yca jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu r k : F (r k ) 1. rk 2 Gdyby zgodnie z Twierdzeniem IV zaªo»y,»e posta siªy dziaªaj cej na ciaªo znajduj ce si tu» nad powierzchni Ziemi, jest taka sama jak w twierdzeniu o sile dziaªaj cej na ciaªo 480

48 znajduj ce si na orbicie Ksi»yca, to siªa ta byªaby skierowana w dóª (centralnie do ±rodka Ziemi), jej warto± za± byªaby odwrotnie proporcjonalna do kwadratu R z : F 1. Rz 2 W zwi zku z powy»szym stosunek siª, jakie dziaªaªyby na dane ciaªo, wzi ty przy dwóch wspomnianych okazjach, wyra»a proporcja: F (R z ) F (r k ) = r2 k. Rz 2 Od czasów Galileusza wiadomo,»e przyspieszenie ciaªa jedynie pod wpªywem ci»aru nie zale»y od jego masy. W zwi zku z tym ka»de pomy±lane ciaªo znajduj ce si na wysoko±ci orbity Ksi»yca: czy to Ksi»yc, czy to jabªko, i w ka»dym ruchu odbywaj cym si jedynie pod wpªywem grawitacji: czy to w ruchu po orbicie koªowej, czy to w spadku wzdªu» prostej, posiada to samo przyspieszenie równe przyspieszeniu (do±rodkowemu) wªa±nie Ksi -»yca. Warto± przyspieszenia dowolnego ciaªa na wysoko±ci orbity Ksi»yca oznaczymy a k. Analogicznie, warto± przyspieszenia dowolnego ciaªa w ruchu tu» przy powierzchni Ziemi jedynie pod wpªywem wªasnego ci»aru, oznaczymy g. Zgodnie z II Prawem Ruchu (II Zasad Dynamiki), wypadkowa siªa dziaªaj ca na ciaªo jest proporcjonalna do przyspieszenia, jakie to ciaªo uzyskuje pod jej wpªywem. W zwi zku z tym stosunek siª dziaªaj cych na pomy±lane ciaªo przy dwóch ró»nych okazjach: gdy znajduje si na wysoko±ci orbity Ksi»yca i gdy znajduje si tu» przy Ziemi, jest równy stosunkowi przyspiesze«, jakie to ciaªo posiada przy tych dwóch okazjach (obchodzimy tutaj poj cie masy). Zgodnie za± z prawem Galileusza, stosunek przyspiesze«grawitacyjnych nie b dzie zale»aª od ciaªa, gdy» przyspieszenia grawitacyjne nie zale» od ciaªa: F (R z ) F (r k ) = g a(r k ). Porównanie dwóch ostatnich proporcji prowadzi do kolejnej: g a(r k ) = r2 k, Rz 2 481

49 która tak»e powinna by prawdziwa dla ka»dego ciaªa. T proporcj mo»na sprawdzi na podstawie danych do±wiadczalnych. Je»eli proporcja oka»e si speªniona, to b dzie oznaczaªo,»e Twierdzenie IV jest sªuszne. Niniejszym wykonamy obliczenia podobnie jak u Newtona, z tym,»e w ukªadzie jednostek SI i przy u»yciu wspóªcze±nie zmierzonych warto- ±ci, a tak»e posªuguj c sie bezpo±rednim wzorem na przyspieszenie do±rodkowe. Przyjmiemy do oblicze«: R z = km (±redni promie«ziemi), r k = km (±rednia odlegªo± ±rodków Ziemi i Ksi»yca), g = 9, 81 m/s 2 (przyspieszenie spadaj cych swobodnie ciaª przy powierzchni Ziemi). Znaj c okres obiegu Ksi»yca dookoªa Ziemi T k = 2, s, i zakªadaj c»e porusza si on po orbicie koªowej, mo»emy obliczy przyspieszenie do±rodkowe Ksi»yca w tym ruchu: ( ) 2 2π a(r k ) = r k 2, m/s 2. T k Na mocy prawa Galileusza obliczone przyspieszenie jest równe przyspieszeniu grawitacyjnemu wszystkich ciaª znajduj cych si na wysoko±ci orbity Ksi»yca. Obliczenia prowadz nas do nast puj cych wyników (Newton w ci gu wielu lat podejmowaª kilka prób podobnych oblicze«, ostatecznie uzyskaª poprawny wynik jak poni»ej): g a(r k ) = 9, 81 2, , r 2 k R 2 z = ( ) Zwró my uwag,»e wyniki nie zale» od obranych jednostek, poniewa» ostatecznie dotycz proporcji. Wszystkie swoje twierdzenia Newton formuªowaª bez u»ycia poj cia iloczynu wielko±ci zycznych i wzorów, a jedynie posªuguj c si proporcjami. Jest to genialny i ponadczasowy zabieg. Prosz zauwa»y,»e i my go wykorzystali±my, uwalniaj c si tym samym od dodatkowych poj. Podobnie b dziemy czynili w dalszej cz ±ci wykªadu, aby wyodr bni jak ± omawian wªasno±. Otrzymane wyniki dowodz,»e siªa oddziaªywania grawitacyjnego pochodz ca od Ziemi i dziaªaj ca na stosunkowo maªe ciaªo jest skierowana do ±rodka Ziemi, jej warto± za± jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy ±rodkiem Ziemi a tym ciaªem. Wa»ne jest,»e ta reguªa do obliczania siªy funkcjonuje powszechnie, to znaczy niezale»nie od tego, gdzie znajduje si ciaªo. Zgodnie z t reguª obliczamy siª grawitacji dziaªaj c na ciaªo zarówno znajduj ce si przy powierzchni Ziemi, jak i na wysoko±ci orbity Ksi»yca oraz dalej. Newton w swoich rozwa»aniach przedstawia albo kcyjny maªy Ksi»yc kr» cy dookoªa Ziemi tu» nad wierzchoªkami gór, albo Ksi»yc, który zostaª zatrzymany na swojej orbicie i rozpocz ª opadanie wzdªu» linii prostej w kierunku ±rodka Ziemi. Wªa±nie udowodnili±my,»e taki zatrzymany i spadaj cy na Ziemi Ksi»yc miaªby tu» przed uderzeniem w Ziemi przyspieszenie o warto±ci g, albo»e przyspieszenie do±rodkowe w ruchu Ksi»yca dookoªa Ziemi po kcyjnej orbicie tu» nad wierzchoªkami gór tak»e miaªoby warto± g. Ostatecznie uczony podsumowuje: Zatem siªa, która utrzymuje Ksi»yc na jego orbicie, staje si podczas zbli»ania od Ksi»yca do powierzchni Ziemi równa sile grawitacji tutaj na Ziemi, a wi c (na mocy Reguª I i II) jest t siª, któr ogólnie nazywamy grawitacj. 482

50 O powszechno±ci grawitacji Dalej Newton zauwa»a,»e obroty ksi»yców Jowisza wokóª Jowisza, ksi»yców Saturna wokóª Saturna oraz planet wokóª Sªo«ca s zjawiskami tego samego rodzaju co obroty Ksi»yca wokóª Ziemi. W zwi zku z tym i zgodnie z Reguª II, zjawiska te musz by wywoªane przyczynami tego samego rodzaju. Czyli grawitacj. Kolejne twierdzenie brzmi wi c nast puj co. Twierdzenie V. Ksi»yce Jowisza ci» (grawituj ) w kierunku Jowisza, ksi -»yce Saturna w kierunku Saturna, planety w kierunku Sªo«ca i dziaªaniem siª ci»enia (grawitacji) s zawsze ±ci gane z ich prostoliniowych ruchów i utrzymywane na krzywoliniowych orbitach. Twierdzenie to rozci ga poj cie grawitacji na wszystkie planety. W tym caªym procesie odkry, który wªa±nie ±ledzimy, w potrzebie dowodzenia ka»dego stwierdzenia, dostrzegamy gª bi my±lenia Newtona. Format jego geniuszu. Ale to jeszcze nie wszystko. O sile grawitacji (wg Ksi gi III) W tym miejscu udowodnione jest,»e wszystkie planety podlegaj sile grawitacji od Sªo«ca, ksi»yce za± podlegaj sile grawitacji od planet, zgodnie z prawem odwrotnych kwadratów. Dlatego, zgodnie z Reguª III wnioskowania, powinni±my uzna,»e wszystkie ciaªa podlegaj sile grawitacji pochodz cej od siebie nawzajem. Nie ma bowiem podstaw do tego, aby np. materii ksi»yców grawituj cych ku planetom nadawa inne wªasno±ci grawitacyjne ni» materii planet, Sªo«ca lub innych ciaª. Na przykªad Ksi»yc ziemski podlega sile grawitacji od Ziemi, od Sªo«ca, ale i od np. Jowisza; jednak siªa grawitacji dziaªaj ca od Jowisza jest zaniedbywalnie maªa ze wzgl du na du» odlegªo± Ksi»yca ziemskiego od Jowisza. Kolejne twierdzenie przybli»a nas do Prawa Powszechnego Ci»enia. Twierdzenie VI. Wszystkie ciaªa grawituj w kierunku ka»dej planety, ci»ary ciaª skierowane w kierunku tej samej planety na jednakowych odlegªo±ciach od ±rodka tej planety s proporcjonalne do ilo±ci zawartej w nich materii. Oprócz tego,»e siªa grawitacji dotyczy wszystkich ciaª, twierdzenie mówi, i» siªa grawitacji dziaªaj ca na dane ciaªo jest proporcjonalna do jego masy. Niniejszym udowodnimy (pozostaj c w duchu wywodu Newtona),»e siªa grawitacji jest proporcjonalna do masy ciaªa, na które dziaªa. Od Galileusza wiadomo,»e przy pomini ciu siª oporów, ciaªo poddane jedynie sile grawitacji ziemskiej porusza si z przyspieszeniem niezale»nym od swojej masy. Poniewa» zgodnie z Twierdzeniem VI nie musimy ogranicza si do grawitacji ziemskiej, to na mocy reguª wnioskowania twierdzimy,»e ciaªo poddane jedynie sile grawitacji (pochodz cej od dowolnego ¹ródªa) b dzie poruszaªo si z przyspieszeniem niezale»nym od swojej masy. Rozwa»my wi c ciaªo A o masie m A w polu grawitacyjnym jakiej± planety. Zgodnie z drugim Prawem Ruchu (II Zasad Dynamiki Newtona) ciaªo A uzyska pod wpªywem siªy grawitacji F przyspieszenie o warto±ci: a = F m A. 483

51 Z drugiej jednak strony, uzyskane pod wpªywem grawitacji przyspieszenie ciaªa A nie mo»e zale»e od jego masy m A, czyli: a = wyra»enie niezale»ne od m A. W zwi zku z tym, aby zapewni prawo Galileusza i II Prawo Ruchu, siªa grawitacji dziaªaj ca na ciaªo A musi by proporcjonalna do masy ciaªa A: F m A. Tylko siªa proporcjonalna do masy ciaªa b dzie przyspieszaªa to ciaªo niezale»nie od jego masy (masa skraca si w wyra»eniu F/m A ). Problem ten przedyskutujemy szerzej w sekcji dotycz cej równowa»no±ci ªadunku grawitacyjnego i masy bezwªadnej ciaªa. Wzajemno± siªy grawitacji Zgodnie z III Prawem Ruchu (III Zasad Dynamiki), je»eli ciaªo B dziaªa na ciaªo A okre±lon siª, to ciaªo A dziaªa na ciaªo B siª o tej samej warto±ci, przy czym zwroty siª dziaªaj cych na oba ciaªa z osobna s przeciwne. W zwi zku z tym, je»eli ciaªo B dziaªa siª grawitacji na ciaªo A, to ciaªo A dziaªa na ciaªo B siª grawitacji o tej samej warto±ci i przeciwnym zwrocie. W dotychczasowych rozwa»aniach wyodr bniane byªo ciaªo A (np. kamie«, ksi»yc, planeta), na które dziaªaªa siªa grawitacji pochodz ca od innego ciaªa B, z reguªy du»o wi kszego (dla kamienia planeta albo ksi»yc, dla ksi»yca planeta, dla planety Sªo«ce). Przy takim wygodnym zaªo»eniu skutki dziaªania siªy grawitacji na du»e ciaªo s zaniedbywalnie maªe, dlatego mo»na du»e ciaªo uzna za nieruchome w ukªadzie inercjalnym i bada jedynie ruch mniejszego ciaªa A. Pami tajmy jednak,»e oddziaªywanie jest wzajemne. Zgodnie z Twierdzeniem VI, siªa grawitacji dziaªaj ca na ciaªo A musi by proporcjonalna do m A, natomiast siªa grawitacji dziaªaj ca na ciaªo B musi by proporcjonalna do m B : F A m A, F B m B. Nast pnie, zgodnie z III Prawem Ruchu, warto±ci siª wzajemnego oddziaªywania grawitacyjnego pomi dzy ciaªami A i B s sobie równe: F A = F B = F AB, przy czym poprzez F AB oznaczyli±my wªa±nie wspóln warto± dla obu siª. Zapisane powy»ej formuªy mo»na speªni jedynie w przypadku, gdy siªa grawitacji pomi dzy dwoma ciaªami jest proporcjonalna do iloczynu mas ciaª: F AB m A m B. O tym wszystkim genialnie mówi Newton w kolejnym twierdzeniu oraz jego obja±nieniu. Twierdzenie VII. Grawitacja istnieje w ka»dym ciele i jest dla ka»dego ciaªa proporcjonalna do ilo±ci materii tego ciaªa. 484

52 Zwró my uwag na to, jak w tym subtelnym wyra»eniu (i bez u»ycia poj cia iloczynu liczb) zawiera si powy»ej omówiony akapit, a nawet wi cej. Wiemy,»e ciaªo A uzyskuje pod wpªywem siªy grawitacji F AB m A m B przyspieszenie a A = F AB /m A niezale»ne od swojej masy, ale zale»ne od masy ciaªa B w sposób proporcjonalny a A m B. Mo»na wi c powiedzie za Newtonem,»e dla ciaªa A ciaªo B jest ¹ródªem grawitacji proporcjonalnej do m B (masy tego ¹ródªa). Analogiczne rozumowanie mo»na powtórzy dla ciaªa B podlegaj cego sile pochodz cej od ciaªa A: dla ciaªa B ciaªo A jest ¹ródªem grawitacji proporcjonalnej do m A. Genialnie sformuªowane Twierdzenie VII jest równowa»ne zasadzie wyra»anej dzisiaj,»e siªa grawitacji jest proporcjonalna do iloczynu mas ciaª. Dodawanie grawitacji Jednym z wa»niejszych i ostatnich twierdze«, które ukazuje wªasno±ci grawitacji, jest Twierdzenie VIII o kulach. Twierdzenie VIII. Je±li dwie kule grawituj wzajemnie ku sobie oraz ich materia jest jednorodna dookoªa ze wszystkich stron w regionach jednakowo odlegªych od ich ±rodków, to ci»ar ka»dej kuli w kierunku drugiej b dzie odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy ich ±rodkami. W dowodzie tego twierdzenia Newton zakªada trzy rzeczy: 1) grawitacja pomi dzy dwiema kulami jest zªo»eniem wszystkich grawitacji pomi dzy najmniejszymi cz ±ciami obu kul, 2) siªy grawitacji dodaj si jak wektory; 3) najmniejsze cz ±ci kul grawituj centralnie ku sobie zgodnie z prawem odwrotnych kwadratów. Matematyczny dowód tego twierdzenia jest bardzo niebanalny i znajduje si w Ksi dze I. Do dowodu tego twierdzenia u»yliby±my dzisiaj metod rachunku ró»niczkowego i caªkowego. Nawet dzisiaj, przy u»yciu metod wspóªczesnej matematyki, dowód twierdzenia o kulach byªby zaawansowanym zadaniem dla studenta. Zaªo»enia wykorzystane w twierdzeniu o kulach, s sªuszne w przypadku ogólnym i opisuj wªasno± skªadania grawitacji: wypadkowa siªa grawitacji dziaªaj ca na dany punkt materialny jest wektorow sum siª grawitacji, które pochodz od innych punktów materialnych z osobna. Podsumowanie Z tego, co zostaªo powiedziane do tej pory, a czego Newton nie wypowiedziaª wprost w formie ostatecznego twierdzenia, wyªania si idea, któr dzisiaj nazywamy Prawem Powszechnego Ci»enia. Prawo Powszechnego Ci»enia wyªania si z kart Principiów w postaci wielu twierdze«o wªasno±ciach grawitacji. Dzisiaj podajemy PPC w formie jak»e oszlifowanej reguªki i wzoru. Reguªk t i wzór podamy w dalszych partiach wykªadu, dotycz cych zagadnie«rachunkowych. Tutaj natomiast starali±my si pod»a za Newtonem, aby podziwia gª bi wyªaniaj c si z idei Prawa Powszechnego Ci»enia, aby jej nie strywializowa i nie utraci jej znaczenia. Dodajmy,»e Newton w Principiach nie posªugiwaª si poj ciem iloczynu wielko±ci zycznych, swoje twierdzenia i obliczenia opieraª natomiast na poj ciu proporcji. To jest naprawd zabieg ponadczasowy o wielkich walorach dydaktycznych. Newton ani nie wypowiedziaª, ani nie napisaª wzoru wyra»aj cego Prawo Powszechnego Ci»enia w takiej postaci, w jakiej czynimy to dzisiaj. Prawo Powszechnego 485

53 Ci»enia jest przesªaniem caªego arcydzieªa, jednego z najwi kszych w historii my±li ludzkiej, najbardziej przeªomowego obok dzieª Einsteina, fundamentalnego jak dzieªa Euklidesa, najgª biej wykorzystuj cego intelekt ludzki, jakim s Philosophiae naturalis principia mathematica. Et hypotheses non ngo Mimo»e Prawo Powszechnego Ci»enia byªo wywiedzione w drodze logicznej dedukcji z uznanych faktów do±wiadczalnych i przy u»yciu matematyki, mimo»e razem z Prawami Ruchu wyja±niaªo i przewidywaªo wszelkie mechaniczne zjawiska na niebie i Ziemi, to byªo przez do± dªugi czas kontestowane przez uczonych najwi kszego formatu, takich jak Huygens, Leibniz, Kartezjusz, Euler, d'alambert. Ka»dy z tych uczonych znacz co zapisaª si na kartach lozoi, matematyki czy zyki. Leibniz jest przecie» uwa»any przez niektórych lozofów za najwi kszego lozofa wszech czasów, a przez matematyków - za jednego z najwi kszych matematyków (z podobn sytuacj kontestowania dzieªa idealnego zetkn si kiedy± teorie Einsteina). Newtonowska koncepcja siªy przyci gaj cej i dziaªaj cej pomi dzy dwoma odlegªymi ciaªami, bez po±rednictwa ciaª trzecich i czwartych i pi tych, bez po±rednictwa substancji eteru, nie mie±ciªa si w kategoriach mo»liwych do przyj cia przez ówczesn nauk. Przypomnijmy, i» oddziaªywanie pomi dzy odlegªymi ciaªami mogªo by wedªug kartezjan przenoszone tylko za po±rednictwem zderzaj cych si cz stek lub ciaª albo za po±rednictwem eteru. Nie do pomy±lenia byªo oddziaªywanie ciaª na odlegªo± i to przez pró»ni. Samej pró»ni przecie» by nie mogªo. Grawitacja Newtona jawiªa si niczym magia. Nale»y jednak zrozumie, co jest sensem oraz istot Teorii Newtona. Teoria ta ma wyja±nia przebieg zjawisk za pomoc siª grawitacji o pewnych zaªo»onych wªasno±ciach matematycznych. Skoro wi c zjawiska zachodz zawsze zgodnie z Prawami Ruchu i zaªo»onymi postaciami siª, to te siªy po prostu istniej i s wªa±nie jak w zaªo»onej postaci. Tyle, tylko tyle i a» tyle. Dalsza dyskusja jest caªkowicie bezprzedmiotowa i nie ma sensu dla tego, kto posªuguje si regu- ªami rozumowania wymienionymi przez Newtona (w szczególno±ci I Reguª i IV Reguª ). Prawo Powszechnego Ci»enia okre±la po prostu sposób, w jaki oddziaªuj na siebie ciaªa materialne, ale tego mechanizmu ju» nie wyja±nia. To znaczy PPC nie wyja±nia samo siebie. To wyja±ni dwa wieki pó¹niej Einstein, Newton natomiast nie wypowiadaª si, dlaczego ciaªa si przyci gaj i co owo przyci ganie przenosi z jednego ciaªa do drugiego. Do tej pory podaªem wyja±nienie zjawisk na niebie i naszych morzach za pomoc siªy grawitacji, lecz wci» nie odkryªem przyczyny tej grawitacji. Uczony wykazaª tylko i a»,»e dwa dane ciaªa materialne przyci gaj si w pewien konkretny sposób, daj cy si wyznaczy z rozkªadu materii w tych ciaªach oraz ich wzajemnego poªo»enia. To (wraz z Prawami Ruchu) wystarczaªo do wyja±niania przebiegu zjawisk mechanicznych. W ostatnim rozdziale Principiów, w znamiennym Sholium Ogólnym, w przedostatnim akapicie dzieªa, uczony wypowiada si tak. Jak dot d nie byªem w stanie wydedukowa ze zjawisk przyczyny tych wªasno±ci 486

54 grawitacji, a z drugiej strony - nie chciaªbym wymy±la hipotez 2. Cokolwiek bowiem, co nie jest wydedukowane ze zjawisk, musi by nazwane hipotez, a z drugiej strony - nie ma miejsca na hipotezy w lozoi eksperymentalnej czy to metazyczne, czy to zyczne, oparte czy to na wªasno±ciach ukrytych [okultyzmie], czy to na mechanice. W lozoi eksperymentalnej twierdzenia dedukowane s ze zjawisk i uogólniane metod indukcji. Nieprzenikliwo±, poruszalno±, impet ciaªa oraz prawa ruchu i grawitacja opieraj si na tej metodzie. Wystarczy,»e grawitacja rzeczywi±cie istnieje i dziaªa zgodnie z tymi prawami, które powy-»ej przedstawili±my, oraz wa»ne jest, i» wystarczy to do wyja±niania wszystkich ruchów ciaª niebieskich oraz ruchów mórz. 2 et hypotheses non ngo 487

55 488

56 Rozdziaª 9 Teoria Grawitacji Newtona 9.1 Siªy grawitacji Prawo Powszechnego Ci»enia Opadanie ciaª na Ziemi, opadanie ciaª na Ksi»yc lub inn planet, naciskanie spoczywaj - cych ciaª na powierzchni Ziemi, naciskanie spoczywaj cych ciaª na powierzchni Ksi»yca lub innej planety, ruch Ksi»yca po orbicie dookoªa Ziemi lub ruchy innych ksi»yców po orbitach koªowych albo eliptycznych dookoªa ich macierzystych planet, ruchy planet lub komet po orbitach eliptycznych dookoªa Sªo«ca, ruchy ciaª niebieskich przybywaj cych spoza Ukªadu Sªonecznego po torach parabolicznych lub hiperbolicznych, ruch caªej Galaktyki dookoªa jej centrum, ruchy ukªadu podwójnego gwiazd dookoªa wspólnego punktu ±rodka masy i wiele, wiele innych to wszystko s przejawy tego samego oddziaªywania. Oddziaªywania grawitacyjnego. Pierwsz Teori Grawitacji, nazywan Prawem (lub Prawami) Powszechnego Ci»enia (PPC), stworzyª Newton. W poprzednim rozdziale na podstawie Principiów Newtona ukazali±my, w jaki sposób uczony odkrywaª swoj Teori Grawitacji oraz omówili±my szereg jej twierdze«. Wªasno±ci grawitacji, czyli Prawo (lub Prawa) Powszechnego Ci»enia, opisuj nast puj ce twierdzenia. 1. Dwa dowolne ciaªa materialne we Wszech±wiecie grawituj ku sobie. Oznacza to,»e dwa dowolne ciaªa posiadaj ce mas przyci gaj si, ci» ku sobie. 2. Oddziaªywanie grawitacyjne pomi dzy dwoma punktami materialnymi opisujemy w j zyku wektorów siª. Grawitowanie dwóch ciaª o sko«czonych rozmiarach jest wektorowym zªo»eniem grawitacji wyst puj cych w ka»dej mo»liwej parze pomi dzy najmniejszymi cz ±ciami tych ciaª z osobna. 3. Siªy grawitacji pomi dzy najmniejszymi cz ±ciami ciaª materialnych lub pomi dzy ciaªami o zaniedbywalnie maªych rozmiarach wzgl dem ich odlegªo±ci wzajemnej, s siªami o kierunkach wzdªu» linii ª cz cej te najmniejsze cz ±ci lub ciaªa. 4. Warto±ci F siª grawitacji pomi dzy najmniejszymi cz ±ciami ciaª material- 489

57 nych, lub pomi dzy ciaªami o zaniedbywalnie maªych rozmiarach wzgl dem ich odlegªo±ci wzajemnej r, s odwrotnie proporcjonalne do kwadratu tej odlegªo±ci: F 1 r 2 5. Warto± siªy grawitacji dziaªaj cej na ciaªo A jest proporcjonalna do masy tego ciaªa: F A m A. 6. Zgodnie z III Zasad Dynamiki, siªa grawitacji F A dziaªaj ca na ciaªo A i pochodz ca od ciaªa B, posiada t sam warto± co siªa grawitacji F B dziaªaj ca na ciaªo B i pochodz ca od ciaªa A: F A = F B = F AB Z drugiej strony, zgodnie z punktem 5, siªy dziaªaj ce na ciaªa s proporcjonalne do ich mas: F A m A i F B m B. eby siªa wzajemnego oddziaªywania speªniaªa te zale»no±ci, musi by proporcjonalna do iloczynu mas ciaª: F AB m A m B. Ciaªo B mo»na traktowa jako ¹ródªo grawitacji dla ciaªa A i na odwrót. Uwagi Punkt 1 mówi o powszechno±ci oddziaªywania grawitacyjnego. Punkt 2 stwierdza mi dzy innymi,»e oddziaªywanie grawitacyjne mo»na opisa w j zyku wektorów. W zwi zku z tym, siª grawitacji reprezentujemy wektorem. Zatem grawitacja dziaªaj ca na ciaªo i pochodz ca od innych ciaª b dzie wektorowym zªo»eniem grawitacji pochodz cych od tych innych ciaª z osobna. Dlatego grawitacj pomi dzy dwoma ciaªami oblicza si skªadaj c grawitacje pomi dzy ich punktami materialnymi. W punktach 3 i 4 okre±la si kierunek siªy grawitacji oraz jej zale»no±ci od odlegªo±ci mi dzy punktami materialnymi. Zaªo»enie w punkcie 5,»e siªa grawitacji jest proporcjonalna do masy ciaªa, jest zgodne z Zasad Grawitacyjn Galileusza mówi c o tym,»e masa ciaªa nie ma wpªywu na przyspieszenie tego ciaªa w ruchu odbywaj cym si jedynie pod wpªywem grawitacji. Je»eli warto± siªy grawitacji jest proporcjonalna do masy ciaªa: F = m γ, oraz zgodnie z II Zasad Dynamiki nadaje ciaªu przyspieszenie a = F /m, to przyspieszenie ciaªa a = γ, nadane tylko przez siª grawitacji, nie zale»y od jego masy. Zaªo»enie w punkcie 6 jest zgodne z III Zasad Dynamiki i punktem 5. To wszystko ujmujemy w jednym zapisie. Zasada nr 10 (Prawo Powszechnego Ci»enia) Dwa punkty materialne A i B oddziaªuj na siebie siªami centralnymi o tych samych warto±ciach i przeciwnych zwrotach. Zwroty wektorów siª przyªo»onych do tych punktów materialnych skierowane s wzajemnie ku nim, punkty materialne przyci gaj si centralnie siªami o tych samych warto±ciach: F AB = F BA = F g 490

58 Warto± siªy wzajemnego oddziaªywania grawitacyjnego jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegªo±ci pomi dzy punktami materialnymi i wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas: F g = G ma m B r 2. (9.1) Staªa G jest staª oddziaªywania grawitacyjnego. Jej uniwersalna warto± jest aktualnie staªa w caªym Wszech±wiecie i ponadto wyznaczona eksperymentalnie wynosi 11 N m2 G 6, kg 2. Zanotujmy prosty fakt wynikaj cy z powy»szego prawa: je»eli dwa punkty materialne oddalimy od siebie na k razy wi ksz odlegªo±, to siªa grawitacji pomi dzy nimi zmaleje k 2 razy. Prawo Powszechnego Ci»enia mówi,»e oddziaªywanie grawitacyjne opisujemy w j zyku wektorów. Siªa grawitacji jest wielko±ci wektorow. Zatem oddziaªywanie grawitacyjne na dane ciaªo i pochodz ce od kilku innych ciaª b dzie wektorow sum siª pochodz - cych od tych ciaª z osobna. Poniewa» jest to bardzo wa»ny fakt, wyró»nimy go w postaci odr bnego twierdzenia. Zasada nr 11 (Prawo skªadania oddziaªywa«grawitacyjnych) Siªa grawitacji jest wielko±ci wektorow. Skªadanie oddziaªywa«grawitacyjnych odbywa si zgodnie z reguªami dodawania wektorów. Siªa grawitacji F dziaªaj ca na ciaªo C i pochodz ca od ciaª A i B, jest wektorow sum siª grawitacji pochodz cych z osobna od ciaª A i B. 491

59 Obliczanie grawitacji pomi dzy ciaªami Prawo skªadania oddziaªywa«grawitacyjnych ª cznie z Prawem Powszechnego Ci»enia pozwalaj oblicza siª grawitacji pomi dzy ciaªami, których nie mo»emy potraktowa jak punkty materialne. Taka sytuacja ma miejsce wtedy, gdy ciaªa posiadaj rozmiary porównywalne do ich odlegªo±ci wzajemnej. W celu obliczenia siªy grawitacji w takim ogólnym przypadku, musimy oba ciaªa potraktowa jak dwa zbiory punktów materialnych, nast pnie obliczy siªy grawitacji dla wszystkich mo»liwych par punktów materialnych branych osobno z obu ciaª, i w ko«cu obliczy z nich siª wypadkow. Aby tego dokona, u»ywa si technik rachunku caªkowego. Poni»ej zilustrowano pogl dowo, jak oblicza siª grawitacji pomi dzy ciaªem m, które potraktujemy jak punkt materialny, a ciaªem M o sko«czonych rozmiarach, porównywalnych z odlegªo±ci do m. Ciaªo M dzielimy domy±lnie na maªe cz ±ci, których rozmiary s du»o mniejsze od odlegªo±ci do ciaªa m. Cz ±ci te potraktujemy jak punkty materialne. Nast pnie na mocy PPC obliczamy siªy grawitacji dziaªaj ce na m i pochodz ce od wszystkich punktów ciaªa M (p czek wektorów siª na ilustracji). Siªa grawitacji F dzia- ªaj ca na m i pochodz ca od M jest wypadkow ze wszystkich tych siª pochodz cych od poszczególnych maªych cz ±ci ciaªa M. Punkt przyªo»enia siªy grawitacji Grawitacja dziaªa na ka»dy z punktów materialnych ciaªa M. Dlatego mówimy o umownym punkcie przyªo»enia siªy grawitacji dziaªaj cej na M. Poniewa» grawitacja dziaªa na wszystkie cz ±ci ciaªa M, to w niejednorodnym polu grawitacyjnym momenty siª grawitacji wzgl dem ±rodka masy M nie znios si w ogólno±ci. Dotyczy to ogólnego przypadku rodzaju pola grawitacyjnego i ksztaªtu ciaªa. Siªa przeciwna do siªy grawitacji dziaªaj cej na M i zaczepiona w umownym punkcie przyªo»enia, zrównowa»y wszystkie momenty siª grawitacji oraz siªy grawitacji przyªo»one do ka»dego z punktów materialnych ciaªa M. Taki umowny punkt przyªo»enia siªy grawitacji nazywamy ±rodkiem ci»ko±ci ciaªa. O punkcie przyªo»enia siªy grawitacji do ciaªa M mo»na my±le, jak o punkcie poªo»enia zast pczego ciaªa punktowego o masie M, od którego dziaªanie grawitacyjne 492

60 na m byªoby takie samo, jak od caªego M. Z tego co powiedzieli±my wynika,»e punkt przyªo»enia siªy grawitacji (±rodek ci»ko±ci) oraz ±rodek masy ciaªa nie s w ogólno±ci to»same. Siªa grawitacji dziaªaj ca na m nie musi by skierowana do ±rodka masy M, za to jest skierowana do ±rodka ci»ko±ci M. Podobnie, jak umowny punkt przyªo»enia siªy dziaªaj cej na M od m nie musi przypada w ±rodku masy M, gdy» mo»e powodowa obrotowy moment siªy. Punkt przyªo»enia siªy grawitacji do ciaªa zale»y od: 1) niejednorodno±ci pola grawitacyjnego, 2) rozkªadu masy ciaªa, 3) poªo»enia ciaªa wzgl dem pola. Istniej jednak bardzo szczególne przypadki, gdy punkt przyªo»enia siªy grawitacji jest w ±rodku masy ciaªa. W takich przypadkach grawitacja nie powoduje momentu obrotowego wzgl dem ±rodka masy ciaªa. 1. Punkt przyªo»enia siªy grawitacji do ciaªa o dowolnym ksztaªcie, w jednorodnym polu grawitacyjnym, przypada w punkcie ±rodka masy tego ciaªa. 2. Punkt przyªo»enia siªy grawitacji do ciaªa o kulistym ksztaªcie i sferycznie symetrycznym rozkªadzie masy, w centralnym i sferycznie symetrycznym polu grawitacyjnym, przypada w punkcie ±rodka masy tego ciaªa. W innych przypadkach, wzór na ±rodek ci»ko±ci (który w naszym wykªadzie pominiemy) ró»ni si od poznanego wzoru na ±rodek masy. W nast pnej sekcji omówimy twierdzenia dotycz ce przyci gania si ciaª o sferycznie symetrycznym rozkªadzie masy. Natomiast w odró»nieniu od tego, w przykªadzie na stronie 566 wyprowadzimy wzór na siª grawitacji pomi dzy jednorodnym pr tem a punktem materialnym, które le» na wspólnej prostej. 493

61 Przyci ganie si ciaª o sferycznie symetrycznym rozkªadzie masy Prawo Powszechnego Ci»enia okre±la siª oddziaªywania grawitacyjnego pomi dzy punktami materialnymi. Dzi ki temu mo»emy obliczy siª oddziaªywania grawitacyjnego pomi dzy dwoma rzeczywistymi ciaªami o sko«czonych rozmiarach, takich jak na przykªad planety lub gwiazdy. W tym celu musimy podzieli w domy±le oba ciaªa na bardzo du»o maªych cz ±ci (punktów materialnych), obliczy siªy oddziaªywania dla wszystkich mo»liwych par punktów materialnych, a nast pnie obliczy z nich siª wypadkow. W ten sposób otrzymamy siª oddziaªywania pomi dzy dwoma rzeczywistymi ciaªami. Aby tego dokona, u»ywa si praw rachunku caªkowego (Newton u»ywaª metod geometrycznych). Poni»ej podamy bez dowodu twierdzenia o przyci ganiu si ciaª, jakie wynikaj z takiej wªa±nie procedury obliczania siªy dziaªaj cej pomi dzy ró»nymi ciaªami. Podobne twierdzenia znajduj si w Principiach Newtona (cite). 1. Oddziaªywanie dwóch mas kulistych Rozwa»amy oddziaªywanie pomi dzy dwoma kulami o masach M i m, które posiadaj jednorodny lub sferycznie symetryczny rozkªad masy. Przykªadami takich ukªadów ciaª s dwie jednorodne kule czy te» w pewnym przybli-»eniu dwie planety lub gwiazda i planeta (ich ksztaªt nie zawsze jest idealn sfer ). Dowodzi si nast puj cego twierdzenia. Dwie kule o masach M i m, posiadaj ce jednorodny lub sferycznie symetryczny rozkªad masy, których ±rodki znajduj si w odlegªo±ci r od siebie, oddziaªuj na siebie siªami o tych samych warto±ciach i przeciwnych zwrotach. Zwroty tych siª skierowane s wzajemnie ku ±rodkom obu ciaª, natomiast ich warto± wyra»a si wzorem: F g = G Mm r 2. (9.2) 2. Punkt materialny na zewn trz kuli Cz sto mamy do czynienia z sytuacj, gdy chcemy obliczy siª dziaªaj c na ciaªo o masie m w polu grawitacyjnym planety lub gwiazdy. Czasami jednak masa m nie ma ksztaªtu kulistego, czego przykªadem jest np. 494

62 statek kosmiczny poruszaj cy si w polu grawitacyjnym Ziemi. Je»eli jednak ciaªo m ma bardzo maªe rozmiary w stosunku do masy M, to mo»na je potraktowa jak punkt materialny. W takim wypadku do obliczenia siªy oddziaªywania grawitacyjnego stosujemy nast puj ce twierdzenie. Punkt materialny o masie m znajduj cy si na zewn trz kuli o masie M, posiadaj cej sferycznie symetryczny rozkªad masy, w odlegªo±ci r od jej ±rodka, oddziaªuje wzajemnie z mas M siªami o tych samych warto±ciach i przeciwnych zwrotach. Zwroty tych siª skierowane s odpowiednio: do ±rodka masy M i do punktu materialnego, natomiast ich warto± wyra»a si wzorem: F g = G Mm r 2. (9.3) Uwaga, nale»y podkre±li, i» musimy rozró»nia Prawo Powszechnego Ci»enia i twierdzenia wynikaj ce z tego Prawa. 3. Ciaªo wewn trz sferycznej powªoki masywnej Rozwa»my punkt materialny, który znajduje si wewn trz (niekoniecznie w geometrycznym ±rodku) jednorodnej powªoki sferycznej. Podzielmy w domy±le powªok na maªe cz ±ci. Na punkt m dziaªaj siªy pochodz ce od poszczególnych cz ±ci. Na rysunku poni»ej przedstawiono siªy dziaªaj ce na punkt materialny, pochodz ce od dwóch wybranych cz ±ci m 1 i m 2. Je»eli powªoka jest jednorodna, to stosunek m 1 / m 2 mas wybranych cz ±ci jest taki, jak stosunek pól powierzchni tych cz ±ci - a ten jest z kolei równy (r 1 /r 2 ) 2 (kwadratowi skali podobie«stwa odpowiednich gur). W zwi zku z tym, gdy zastosujemy prawo odwrotnych kwadratów do obliczenia stosunku F 1 /F 2 warto±ci siª dziaªaj cych na mas m i pochodz cych od tych dwóch cz ±ci, to oka»e si,»e wynosi on jeden. Siªy dziaªaj ce na mas m caªkowicie si znios. T dyskusj mo»na uogólni do nast puj cego twierdzenia. Wypadkowa siªa grawitacji dziaªaj ca na ciaªo znajduj ce si wewn trz jednorodnej powªoki sferycznej wynosi zero: F g =

63 4. Punkt materialny wewn trz masy kulistej Rozwa»my punkt materialny o masie m wewn trz kuli o masie M, posiadaj cej sferycznie symetryczny rozkªad masy. Niech m znajduje si w odlegªo±ci r od ±rodka M. Promie«masy M wynosi R, przy czym R > r. Z tak sytuacj mieliby±my do czynienia, gdyby±my na przykªad chcieli obliczy siª grawitacji dziaªaj c na górnika w bardzo gª bokiej kopalni. Na mocy poprzednich twierdze«dowodzi si,»e siªa dziaªaj ca na punkt materialny wewn trz masy M pochodzi tylko od tej cz ±ci jej masy, któr zawiera sfera o promieniu r. Jako wiczenie pozostawiam Czytelnikowi udowodnienie,»e warto± tej siªy wyra»a si wzorem: F g = GMm R 3 r. (9.4) Staªa grawitacji Siª oddziaªywania grawitacyjnego okre±la staªa grawitacji. Interpretacja staªej grawitacji G jest nast puj ca: dwa punkty materialne odlegªe od siebie o r = 1 m, ka»dy o masie m = 1 kg, przyci gaj si z siª o warto±ci F g = 6, N (to wynika ze wzoru 9.1). Przekonajmy si teraz, z jak siª przyci ga Ziemia ciaªo o masie jednego kilograma, które znajduje si na jej powierzchni. Do tego celu podstawimy do wzoru 9.3 nast puj ce warto±ci: m = 1 kg - masa ciaªa próbnego; M z = 5, kg - masa Ziemi; r = R z = 6, m - ±redni promie«ziemi, a jednocze±nie odlegªo± pomi dzy ±rodkiem M i ciaªem m. Obliczenie prowadzi do wyniku: F g 9, 81 N. Jeden kilogram przyci gany jest na powierzchni Ziemi siª o warto±ci okoªo 10 N. Poni»ej zamieszczony jest rysunek ilustruj cy siªy wzajemnego oddziaªywania pomi dzy ciaªami o masach jednego kilograma we wzajemnej odlegªo±ci jednego metra oraz pomi dzy Ziemi a ciaªem o masie jednego kilograma na powierzchni Ziemi. 496

64 9.2 Pole grawitacyjne Równowa»no± ªadunku grawitacyjnego i masy bezwªadnej Niniejszym przyjrzymy si bardzo dokªadnie tej cesze ciaª, która odpowiada za ich ci»enie. Zobaczymy tak»e,»e Galileuszowe prawo spadków swobodnych wynika z prawa bardziej fundamentalnego. 1. Šadunek grawitacyjny Aby mówi o cesze ciaª odpowiedzialnej za ich ci»enie ku innym ciaªom i czyni to w sposób najbardziej ogólny, to znaczy nie zakªada niczego na pocz tku rozwa»a«, nazwijmy t cech ªadunkiem grawitacyjnym. Podobnie dla przykªadu nazywa si ªadunkiem elektrycznym cech ciaª odpowiedzialn za ich oddziaªywanie elektryczne. Wprowadzimy w naszym wykªadzie unikalne oznaczenie ªadunku grawitacyjnego, po to, aby nawet symbolem nie kojarzyª si z»adnymi znanymi nam wielko±ciami. Niech wi c: µ - oznacza ªadunek grawitacyjny ciaªa. W tej chwili jeszcze nie wiemy, jak owa cecha przejawia si we wzorze na siª grawitacji. Dopiero j wyªuskamy. 2. Pomiar siª grawitacji za pomoc dynamometru eby nie zakªada rzeczy, które wªa±nie b dziemy odkrywali, czyli aby nie popeªnia bª du petitio principii (» dania podstawy), musimy przypomnie sposób pomiaru siªy. Jak wiemy z wykªadów o podstawach dynamiki, siªa jest wielko±ci, któr mierz wyskalowane dynamometry. Aby bada wªasno- ±ci i cechy siªy, czyli aby odnale¹ jej matematyczn posta, musimy u»ywa do jej pomiarów dynamometru. Chc przez to wyra¹nie powiedzie, aby w rozwa»aniach dotycz cych poszukiwania cech siªy nie wyznacza jej warto±ci z II Zasady Dynamiki poprzez pomiar przyspieszenia ciaªa o znanej masie bezwªadnej poddanego danej sile, poniewa» relacja ma = F jest speªniona zawsze i to niezale»nie od wzoru na siª F i jakichkolwiek jej cech. Inne s przecie» wzory na siª spr»ysto±ci, siª elektryczn, grawitacyjn, magnetyczn, reakcji, tarcia, siª wypadkow z dowolnej sumy wymienionych, za± relacja ma = F jest prawdziwa zawsze i niezale»nie od wzoru na F. Siª grawitacji dziaªaj c na nieruchome ciaªo spoczywaj ce w danym punkcie przestrzeni b dziemy mierzyli dynamometrem. Siªa dynamometru b dzie równowa»yªa siª grawitacji Fg. Ilustruje to zamieszczony rysunek. Podkre±lam,»e nie mówimy tymczasem o przyspieszeniu grawitacyjnym, ale wyª cznie o sile. 497

65 3. Badamy cechy siª grawitacji Dokonuj c pomiarów warto±ci siªy grawitacji dziaªaj - cej na ciaªo A w ró»nych punktach przestrzeni p i q, stwierdzamy w ogólno±ci,»e warto±ci tych siª s ró»ne, czyli w ogólno±ci F (p) A jest ró»ne od F (q) A. Na przykªad, ci»ar danego ciaªa na szczycie Mount Everest jest mniejszy od ci»aru tego ciaªa w Warszawie. Kolejne spostrze»enie b dzie bardzo nietrywialne. Rozwa»my dwa dowolne ciaªa A, B i nast pnie dokonajmy pomiarów siª grawitacji dziaªaj cych na te ciaªa w dwóch ró»nych, dowolnie wybranych punktach przestrzeni: p i q. Okazuje si,»e dla danej pary ciaª A i B, wybranych dowolnie, stosunek ich siª grawitacji jest taki sam w ka»dym punkcie przestrzeni: F (p) A F (p) B = F (q) A F (q) B = F A F B dla pewnych A, B i dowolnych p, q. Stosunek warto±ci siª grawitacji zale»y tylko od ciaª, ale nie od punktu, w którym jest obliczany. Same za± siªy zale» ju» od punktu, w którym s obliczane. 4. Okre±lamy cechy siª grawitacji i ªadunki grawitacyjne Maj c na wzgl dzie powy»sze wnioski, rozwa»my dla przykªadu trzy ciaªa A, B i W, przy czym umawiamy si,»e ciaªo W b dzie ciaªem wzorcowym. Zgodnie z wnioskiem paragrafu 3, stosunki warto±ci siª grawitacji dziaªaj cych na ciaªa w dowolnym punkcie przestrzeni s staªe, dlatego mo»emy arbitralnie zapisa : F A F W = µ A µ W, F B F W = µ B µ W, F A F B = µ A µ B, dla pewnych liczb µ. Dowolnemu ciaªu A mo»emy przypisa wielko± µ A, któr to ciaªo posiada niezale»nie od punktu, w którym si znajduje. Wielko± µ A nazwiemy ªadunkiem grawitacyjnym ciaªa A. Ciaªa o tych samych ªadunkach grawitacyjnych maj takie same 498

66 ci»ary, ale by mo»e ciaªa te ró»ni si od siebie pod innym wzgl dem. Ci»ar ciaªa A w dowolnym punkcie p mo»emy wyrazi za pomoc ci»aru ciaªa wzorcowego, ªadunku grawitacyjnego ciaªa wzorcowego, oraz ªadunku grawitacyjnego ciaªa A. F (p) A = µ A µ W F (p) W. Umawiamy si teraz,»e warto± ªadunku grawitacyjnego ciaªa wzorcowego wynosi jeden: µ W = 1 l.g, w pewnych jednostkach tego ªadunku grawitacyjnego, które tymczasem oznaczyli±my l.g. Oznaczymy te» odr bnym symbolem wielko± γ(p) - stosunek ci»aru ciaªa wzorcowego do jego ªadunku grawitacyjnego: F (p) W = 1 γ(p), gdzie [1] = l.g, [γ] = N/l.g. Z tego wywodu wynika,»e siªa grawitacji dziaªaj ca na ciaªa w punkcie p, które posiadaj ten sam ªadunek grawitacyjny równy µ, wyra»a si wzorem: F (p) = µ γ(p). (9.5) Zauwa»my,»e warto± siªy grawitacji dziaªaj cej na ciaªo zale»y od jego ªadunku grawitacyjnego oraz wielko±ci γ(p), która nie zale»y ju» od ciaªa, a tylko od punktu przestrzeni. Wielko± t nazwiemy nat»eniem pola grawitacyjnego. 5. Šadunek grawitacyjny i masa bezwªadna Pami tamy z elementarnych wykªadów o elektryczno±ci,»e ten sam ªadunek elektryczny mog mie ciaªa o ró»nej masie bezwªadnej i odwrotnie - ciaªa o tej samej masie bezwªadnej mog mie ró»ne ªadunki elektryczne. Mo»na to wykry cho by poprzez fakt,»e ciaªa o tym samym ªadunku elektrycznym, ale innych masach bezwªadnych, b d ró»nie przyspieszaªy pod wpªywem takich samych siª przyªo»onych do tych ciaª. Maj c na wzgl dzie powy»sz zapowied¹, ciekawe jest wªa±nie to, czy ciaªa o tym samym ci»arze, czyli o tym samym ªadunku grawitacyjnym, ró»ni si masami bezwªadnymi czy si nie ró»ni. Problem ten badaª ju» Newton, co zaiste ±wiadczy o jego geniuszu; wcale nie byªo jasne dla Newtona, czy ciaªa o tym samym ci»arze (zmierzonym wag ) skªadaj si z tej samej ilo±ci materii (czyli»e maj te same masy bezwªadne). Aby zbada to zagadnienie, musimy skorzysta z II Zasady Dynamiki. B dziemy sprawdzali, jak przyspieszaj ciaªa o pewnym ustalonym ci»arze, pod wpªywem ustalonej siªy wypadkowej. Je»eli ciaªa o tym samym ci»arze i pod wpªywem tej samej siªy wypadkowej b d ró»nie przyspieszaªy, b dzie to oznaczaªo, i» ró»ni si masami bezwªadnymi; je»eli za± b d przyspieszaªy identycznie, b dzie to oznaczaªo równo± ich mas bezwªadnych. B dziemy tak»e badali ruch ciaª o ró»nych ci»arach, by mo»e dzi ki temu odkryjemy co± jeszcze. W tym celu mo»na bada ruchy wahadeª albo najpro±ciej - spadki swobodne. Siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo podczas spadku swobodnego to ci»ar danego ciaªa. W zwi zku z tym, zgodnie z II Zasad Dynamiki oraz zgodnie z dyskusj w paragrae 5 i zgodnie ze wzorem 9.5, zapiszemy: m a = F, m a = µ γ, 499

67 sk d wyznaczamy wzór na przyspieszenie ciaªa pod wpªywem jedynie jego wªasnego ci»aru: a = µ γ. (9.6) m Zgodnie z powy»szym wzorem, przyspieszenie ma prawo zale»e od µ oraz m. Przypomnijmy sobie z wykªadów o elektromagnetyzmie,»e przyspieszenie cz stki w polu elektrycznym o nat»enie E zale»y od jej ªadunku elektrycznego q i masy m: a = (q/m) E. Nasze do- ±wiadczenie wykazuje jednak,»e wszystkie swobodnie spadaj ce ciaªa, jakie tylko u»yjemy w do±wiadczeniu, posiadaj w danym miejscu przestrzeni to samo przyspieszenie. To oznacza dwie fundamentalne wªasno±ci. 1) Po pierwsze, je»eli tak samo przyspieszaj ciaªa o tych samych ci»arach, to oznacza,»e ciaªa o tych samych ci»arach, a zatem o tych samych ªadunkach grawitacyjnych, posiadaj te same masy bezwªadne. Dlatego dla nich wszystkich (ciaª o ustalonym ci»arze) ustalony jest stosunek ªadunku grawitacyjnego i masy bezwªadnej. 2) Po drugie, je»eli tak samo przyspieszaj ciaªa o tych ró»nych ci»arach, to b dzie oznaczaªo,»e ustalony stosunek µ m = const dla ciaª o pewnym ci»arze, b dzie taki sam jak dla ciaª o ka»dym innym ci»arze. Stosunek µ/m okazuje si by taki sam dla wszystkich ciaª we wszech±wiecie - niezale»nie od ich ci -»arów i mas bezwªadnych. Z tego wynika,»e jednostki dla ªadunku grawitacyjnego mo»emy przyj takie, jak jednostki masy bezwªadnej. Je»eli ponadto wyskalujemy warto± tego stosunku do jedno±ci, poprzez wª czenie jego niewyskalowanej warto±ci do staªej oddziaªywania grawitacyjnego, to ostatecznie uzyskujemy równanie: µ = m, które jest sªuszne dla ka»dego ciaªa. To równanie wyra»a prawo fundamentalne. Šadunek grawitacyjny, który oznaczyli±my µ, nazywamy w literaturze mas grawitacyjn, w odró»nieniu od masy bezwªadnej. Zasada Równowa»no±ci mi dzy innymi mówi,»e masa grawitacyjna i masa bezwªadna s sobie równe. Przyjmuj c ten fakt za prawo podstawowe, mo»emy ªatwo udowodni prawo Galileusza,»e ruch ciaªa jedynie pod wpªywem grawitacji jest niezale»ny od masy ciaªa. Zasad t nazwali±my Zasad Równowa»no±ci Galileusza o ruchu ró»nych mas w polu grawitacyjnym. Zasada Równowa»no±ci µ = m Zasada Równowa»no±ci Galileusza. Od tego momentu, w dalszej cz ±ci wykªadu, nie b dziemy odró»niali masy bezwªadnej i ªadunku grawitacyjnego. We wszystkich wzorach na siª grawitacji b dziemy pisa m zamiast µ. Dla przykªadu, zamiast pisa,»e zgodnie z III ZD siªa grawitacji dziaªaj ca pomi dzy ciaªami A i B jest proporcjonalna do iloczynu ich ªadunków grawitacyjnych, mówimy,»e jest proporcjonalna do iloczynu ich mas bezwªadnych: F AB µ A µ B zapisujemy równowa»nie,»e F AB m A m B. Konsekwencj równo±ci µ = m i wzoru 9.6 jest równanie: a = γ, (9.7) 500

68 wyra»aj ce równo± przyspieszenia grawitacyjnego i nat»enia pola grawitacyjnego. Pami tajmy jednak,»e nat»enie pola grawitacyjnego i przyspieszenie grawitacyjne s odr bnie zdeniowanymi wielko±ciami, ich równo± za± jest konsekwencj Prawa Przyrody: równo±ci masy i ªadunku grawitacyjnego. Taka równo± nie istnieje w elektromagnetyzmie! Pami tajmy,»e pisz c we wszystkich wzorach na siª grawitacji m zamiast µ, korzystamy z bardzo gª bokiego prawa zyki, o czym ªatwo mo»na zapomnie. 5. Do±wiadczenia testuj ce równowa»no± masy bezwªadnej i grawitacyjnej. Do- ±wiadczenia potwierdzaj ce równo± ªadunku grawitacyjnego i masy bezwªadnej odnajdujemy ju» u Galileusza w eksperymentach ze staczaj cymi si z równi pochyªej kulkami o ró»nych masach. Znane s tak»e z ustnych przekazów eksperymenty Galileusza polegaj ce na zrzucaniu ciaª o ró»nych masach z Krzywej Wie»y w Pizie. Eksperymenty te wykazywaªy wªa±nie niezale»no± przyspieszenia, uzyskiwanego jedynie pod wpªywem ci»aru ciaªa, od jego masy. Trudno dzisiaj ustali dokªadno± pomiarów Galileusza. Newton z kolei opisuje w Principiach eksperymenty z wahadªami. Zawieszone na niciach o tej samej dªugo±ci ciaªa o tym samym ci»arze (zmierzonym wag ), ale zªo»one z innej materii (zªoto, drewno, piasek, itp.) i umieszczone w pudeªkach o tej samej wadze i ksztaªcie, wychylaªy si synchronicznie tam i z powrotem przez bardzo dªugi czas. Ze wzgl du na ten sam ci»ar ciaª zawieszonych na niciach i umieszczonych w pudeªkach o identycznym ksztaªcie i wadze, podlegaªy one podczas ruchu tej samej sile wypadkowej z ci»aru, naci gu nici i oporów powietrza o pudeªko. Identyczno± ruchu ró»nych ciaª pod wpªywem identycznej siªy wypadkowej, wykazuje na mocy II Prawa Ruchu (m a = F w ) identyczno± mas bezwªadnych tych ciaª. Newton ujmowaª ten fakt, i» stosunki ci»arów ciaª s jak stosunki ilo±ci materii. Równowa»no± masy bezwªadnej i ªadunku grawitacyjnego prowadzi Newtona do nietrywialnego twierdzenia o tym,»e ci»ar ciaªa jest proporcjonalny do jego masy bezwªadnej. Porównywanie ruchu wahadeª Newton przeprowadzaª z tak dokªadno±ci, która pozwalaªa wyznacza proporcj ci»aru do masy ciaªa z dokªadno±ci do jednej tysi cznej: F g (m B 0, 001m B ). Warto tutaj zacytowa Newtona, aby zda sobie spraw z tego, jak niebanalny byª dla niego fakt proporcji ci»aru ciaªa do masy bezwªadnej. Eksperymenty te, wykonane z ciaªami o tym samym ci»arze, pozwalaªyby wykry ró»nice mas, które byªyby nawet mniejsze ni» tysi czna cz ± masy 1. Prosz zauwa»y,»e Newton wcale nie byª na pocz tku pewien, czy siªa grawitacji jest proporcjonalna do masy bezwªadnej. Równo± masy grawitacyjnej i masy bezwªadnej zostaªa potwierdzona eksperymentalnie z dokªadno±ci rz du 10 9 w do±wiadczeniach przeprowadzonych w 1909 roku przez Eotvosa oraz z dokªadno±ci rz du w eksperymentach przeprowadzonych w 1971 roku przez Braginskiego 2. Najbardziej dokªadny test równowa»no±ci masy grawitacyjnej i masy bezwªadnej, czyli test równo±ci przyspiesze«wszystkich ciaª w polu grawitacyjnym, polegaª na porównywaniu przyspiesze«, jakie uzyskuj Ziemia i Ksi»yc w polu grawitacyjnym Sªo«ca. Skomplikowane do±wiadczenia (przeprowadzone w latach 1996 i 2001 przez Wil- 1 Isaac Newton, Matematyczne Zasady Filozoi Przyrody, tªum. J. Wawrzycki, Copernicus Center PRESS 2011, str W. Kopczy«ski, A. Trautman, Czasoprzestrze«i Grawitacja, str

69 liamsa, Andersona i innych 3 ) z zastosowaniem laserów do pomiarów odlegªo±ci, wykazywaªy równo± przyspiesze«ziemi i Ksi»yca w polu grawitacyjnym Sªo«ca ze wzgl dn dokªadno- ±ci 1, Równowa»no± masy grawitacyjnej i bezwªadnej jest jednym z zadziwiaj cych i najbardziej fundamentalnych praw Przyrody. Jest to Prawo Przyrody o tym samym tajemniczym i fascynuj cym statusie co Zasady Wzgl dno±ci. Gª boka kontemplacja równo±ci masy grawitacyjnej i bezwªadnej doprowadziªa Einsteina do koncepcji zakrzywionej czasoprzestrzeni i modelu Ogólnej Teorii Wzgl dno±ci (Teorii Grawitacji Einsteina). Wprowadzamy poj cie pola grawitacyjnego Dotychczas nauczyli±my si opisywa oddziaªywania grawitacyjne w j zyku siª. Niniejszym wprowadzimy poj cie pola grawitacyjnego. Po pierwsze, zaznaczmy, i» ªadunek grawitacyjny ciaªa uto»samiamy z jego mas bezwªadn i nie czynimy dalej»adnego rozró»nienia pomi dzy nimi. Po drugie, przypomnijmy wªasno± grawitacji polegaj c na tym,»e warto± siªy grawitacji dziaªaj cej pomi dzy dwoma dowolnymi ciaªami o masach M i m, w ukªadzie inercjalnym, jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciaª: F M m. Z tego wynika prosta zale»no± : F m M. Wspóªczynnik owej proporcji ju» nie zale»y od m, ale zale»y w ogólno±ci od rozkªadu materii w obu ciaªach oraz od poªo»enia wzgl dnego obu ciaª, natomiast oblicza si go, sumuj c oddziaªywania od punktów materialnych z obu ciaª. Zaªó»my dla ustalenia uwagi,»e ciaªo m jest maªych rozmiarów wzgl dem ciaªa M. W zwi zku z tym mo»emy okre±li stosunek siªy dziaªaj cej na ciaªo m w punkcie p do jego masy m: F (p) m = γ(p), o wªasno±ci γ M. Stosunek ten nie zale»y od masy ciaªa m, tylko od punktu przestrzeni, w którym jest obliczany. Do tego ów stosunek zale»y od masy M i jej rozkªadu w ciele M, z którym oddziaªuje ciaªo m. Oznacza to,»e niezale»nie od tego, jakie ciaªo próbne umie±cimy w punkcie p, wielko± γ(p) b dzie niezale»na od ciaªa próbnego, natomiast b dzie zale»aªa od punktu p i ciaªa M (jego masy i jej rozkªadu). Poniewa» γ(p) jest wielko±ci niezale»n od tego, jakie ciaªo próbne umieszczone jest w punkcie p i czy w ogóle jest tam umieszczone, to jest wielko±ci obiektywnie istniej c w punkcie p i jakby wytwarzan jedynie przez ciaªo M. Do tego, wielko± γ mo»emy okre±li w ka»dym punkcie przestrzeni. Wielko± ta jest przyczyn faktu,»e umieszczone w dowolnym punkcie przestrzeni ciaªo m b dzie grawitowaªo ku M z siª : F (p) = m γ(p). 3 James Hartle, Grawitacja, str. 15 i str

70 Przypomnijmy w tym kontek±cie pocz tek znamiennego newtonowskiego Twierdzenia VII z Ksi gi III: Grawitacja istnieje w ka»dym ciele... Wªa±nie ciaªo M jest przyczyn grawitowania (ci»enia) dowolnego ciaªa m w caªym swoim otoczeniu, za po±rednictwem wielko±ci γ, któr wytwarza. Uznamy wi c za Newtonem,»e grawitacja istnieje w ciele M i rozchodzi si z niego na caª przestrze«. Grawitacja niejako rozprzestrzenia si na caªe otoczenie ciaªa M, jakby z niego wypªywaªa. Grawitacja wypeªnia caªe otoczenie ciaªa M. Ciaªo M jest ¹ródªem grawitacji wypeªniaj cej jego otoczenie. Miar tej grawitacji b dzie w teorii Newtona wielko± γ. Wielko± t mo»na wyznaczy po±rednio z równania Poissona (lub Laplace'a) na skalarny potencjaª grawitacyjny, gdy znany jest przestrzenny i statyczny rozkªad materii wytwarzaj cej pole grawitacyjne w ukªadzie inercjalnym. Równanie Poissona (lub Laplace'a) wynika z PPC i zasady skªadania grawitacji. Poj cie pola grawitacyjnego, pojawiaj ce si ju» u Laplace'a, uzupeªnia jako±ciowo Teori Newtona. Nat»enie pola grawitacyjnego Na podstawie przedstawionej wy»ej dyskusji deniujemy nat»enia pola grawitacyjnego. Denicja (Nat»enie pola grawitacyjnego) Nat»eniem ( γ) pola grawitacyjnego w danym punkcie (p) przestrzeni nazywamy stosunek siªy grawitacji F (p), dziaªaj cej na ciaªo próbne w tym punkcie, do masy (m) tego ciaªa próbnego: γ(p) = F (p) m. (9.8) Nat»enie pola grawitacyjnego jest w danym punkcie przestrzeni wektorem. Pole nat»enia grawitacyjnego jest polem wektorowym. Poni»ej w formie twierdzenia zapiszemy wªasno±ci nat»enia pola grawitacyjnego, które wynikaj z omówionej do tej pory teorii. Twierdzenie (Wªasno±ci nat»enia pola grawitacyjnego) 1) ródªem nat»enia pola grawitacyjnego jest ciaªo o masie M. 503

71 2) Warto± nat»enia pola grawitacyjnego jest proporcjonalna do masy ciaªa M, które jest ¹ródªem tego pola: γ M. 3) Nat»enie pola grawitacyjnego zale»y od punktu przestrzeni, w którym okre±la si to nat»enie. To znaczy,»e nat»enie zale»y od miejsca w przestrzeni wzgl dem ciaªa M. 4) Je»eli ciaªo M spoczywa w ukªadzie inercjalnym i nie zmienia w czasie swojej masy (ani jej rozkªadu), to pole grawitacyjne jest staªe w czasie w tym ukªadzie inercjalnym. 5) Nat»enia pola grawitacyjnego pochodz ce od kilku ¹ródeª dodaj si zgodnie z zasad superpozycji (zasada nr 12), któr zamieszczamy poni»ej. 6) Ciaªa próbne o masie m nieporównywalnie mniejszej od masy M nie zmieniaj pola grawitacyjnego w przestrzeni, wytworzonego przez M (ciaªa próbne wytwarzaj zaniedbywalnie maªe pole grawitacyjne). 7) Dzi ki równo±ci masy grawitacyjnej i bezwªadnej okazuje si,»e nat»enie pola grawitacyjnego w danym punkcie jest równe przyspieszeniu, jakie uzyskaªoby ciaªo w tym punkcie jedynie pod wpªywem siªy grawitacji. 8!) Zmiana nat»enia pola grawitacyjnego w jednym punkcie propaguje si dalej w postaci fali grawitacyjnej. Prawo nakªadania si pól grawitacyjnych Niejednokrotnie mamy do czynienia z ruchem ciaªa w polu grawitacyjnym wytwarzanym przez dwie lub wi ksz ilo± mas. Przykªadowo, planuj c lot statku kosmicznego na Ksi»yc, musimy uwzgl dni podczas caªej podró»y pole grawitacyjne Ziemi oraz pole grawitacyjne Ksi»yca. Musimy wyznaczy pole grawitacyjne pochodz ce od obu mas. Do tego celu stosuje si Zasad Superpozycji pól. Wynika ona wprost z faktu,»e siªy grawitacji dodaj si jak wektory (zobacz na stronie 491). Zasada nr 12 (Zasada superpozycji liniowej pól grawitacyjnych) Je»eli nat»enie pola grawitacyjnego w punkcie p i w polu jedynie masy M 1 wynosiªoby γ 1, za± nat»enie pola grawitacyjnego punkcie p i w polu tylko masy M 2 wynosiªoby γ 2, to nat»enie pola grawitacyjnego w punkcie p i w polu obu mas jest wektorow sum nat»e«γ 1 i γ 2 : γ = γ 1 + γ 2. Aby wyznaczy pole grawitacyjne wytworzone przez dwie masy lub wi cej mas, nale»y wyznaczy wektor nat»enia pola grawitacyjnego w ka»dym punkcie przestrzeni, w sposób zgodny z Zasad Superpozycji pól. 504

72 Statyczne, centralne i sferycznie symetryczne pole grawitacyjne Rozwa»ania ogólne o ruchu dwóch ciaª Rozwa»my dwa oddziaªuj ce ciaªa o masach m i M. Nie zakªadajmy na pocz tku nic o ich oddziaªywaniu ponad to,»e siªy opisuj ce oddziaªywania speªniaj Zasady Dynamiki i»e na oba ciaªa nie dziaªaj inne siªy, oprócz ich wzajemnego oddziaªywania. Na podstawie III i II Zasady Dynamiki dowodzi si matematycznie,»e ±rodek masy ukªadu tych dwóch ciaª spoczywa w pewnym ukªadzie inercjalnym. Taka jest konsekwencja Zasad Dynamiki, co pozornie nie jest oczywiste, gdy» oba ciaªa w wyniku oddziaªywania wzajemnego wykonuj na ogóª skomplikowane ruchy. Zanotujmy,»e je»eli ciaªo M posiada mas nieporównywalnie wi ksz od masy ciaªa m, to ±rodek masy obu ciaª jest blisko ±rodka masy ciaªa M. Oznaczmy dalej: a m - przyspieszenie ciaªa m, F m - warto± siªy dziaªaj cej na ciaªo m, a M - przyspieszenie ciaªa M, F M - warto± siªy dziaªaj cej na ciaªo M. Zapiszemy teraz równanie wynikaj ce z III ZD (równo± warto±ci siª), nast pnie w miejsce siª podstawimy równanie wynikaj ce z II ZD (sªuszne dla dowolnego rodzaju oddziaªywania). Nast pnie wyznaczymy stosunek przyspiesze«obu ciaª: F m = F M, a m m = a M M, a M a m = m M. Na podstawie ostatniej proporcji wnioskujemy,»e je»eli ciaªo m posiada mas nieporównywalnie mniejsz od masy M, to ciaªo M uzyskuje nieporównywalnie mniejsze przyspieszenie od ciaªa m. Zaªo»enia W dalszej cz ±ci wykªadu b dziemy zajmowali si ruchem ciaª m i M pod wpªywem siª ich wzajemnego oddziaªywania grawitacyjnego. W znakomitej wi kszo±ci b dziemy rozwa»ali takie przypadki, gdzie m jest ciaªem o masie nieporównywalnie mniejszej od masy ciaªa M. Zgodnie z argumentami podanymi wy»ej, ciaªa poruszaj si wokóª punktu ich ±rodka masy, ale je»eli masa M jest nieporównywalnie wi ksza od masy m, to mo»emy M uzna za nieruchome wzgl dem ich punktu ±rodka masy. Ponadto punkt ±rodka masy ukªadu obu ciaª b dzie w przybli»eniu przypadaª w punkcie ±rodka masy M. Przy takich zaªo»eniach mo»emy przyj z dobrym przybli»eniem,»e ukªad odniesienia, w którym spoczywa ±rodek masy M, jest ukªadem inercjalnym. Redukujemy wi c zagadnienie ruchu dwóch ciaª do zagadnienia ruchu ciaªa m w polu grawitacyjnym ciaªa M, spoczywaj cego w ukªadzie inercjalnym. Ponadto zaªo»ymy,»e ciaªo M jest kul i posiada sferycznie symetryczny rozkªad masy, tzn. w ka»dym kierunku wychodz cym od ±rodka M do jego powierzchni, g sto± ciaªa M zmienia si tak samo lub pozostaje staªa (rozkªad g sto±ci imituj na rysunkach gradienty szaro±ci). Zaªo»ymy dalej, ju» tylko dla wygody rachunkowej,»e nie tylko masa, ale i rozmiary ciaªa m s nieporównywalnie mniejsze od rozmiarów M. Ciaªo m nazwiemy ciaªem próbnym. Za ciaªo próbne w stosunku do Ziemi mo»emy uzna kamie«, gªaz, meteoryt, statek kosmiczny, ale Ksi»yc ju» niekoniecznie; za ciaªo próbne w stosunku do Ksi»yca mo»emy uzna kamie«, gªaz, meteoryt, statek kosmiczny; za ciaªa próbne w stosunku do Jowisza mo»emy uzna nawet jego ksi»yce, za ciaªa próbne w stosunku do Sªo«ca mo»emy uzna planety naszego ukªadu sªonecznego i wszystkie inne ciaªa w naszym Ukªadzie Sªo- 505

73 necznym. Przy takich zaªo»eniach wªa±nie b dziemy badali pole grawitacyjne wytwarzane przez wielkie masy oraz b dziemy badali ruchy ciaª próbnych w tym polu. Wszelkie twierdzenia, które wyprowadzimy przy omówionych zaªo»eniach, nie zastosujemy do opisu ruchu lub pól grawitacyjnych dotycz cych: ukªadów podwójnych gwiazd o porównywalnych masach, ukªadów planet o porównywalnych masach, ciaª, które nie posiadaj kulistego ksztaªtu lub sferycznie symetrycznego rozkªadu g sto±ci (np. planetoida Daktyl). Pole sferycznie symetryczne Zanotujmy,»e o masach m i M dokonujemy zaªo»e«jak w akapicie powy»ej. Zgodnie z twierdzeniami wynikaj cymi z Prawa Powszechnego Ci»enia (zobacz wiadomo±ci na stronie 494), siªa grawitacji dziaªaj ca na ciaªo m i pochodz ca od masy M, skierowana jest do punktu ±rodka masy M oraz posiada warto± : F g = G Mm r 2. (9.9) Wektor przyspieszenia ciaªa m pod wpªywem jedynie siªy grawitacji pochodz cej od M oraz wektor nat»enia pola grawitacyjnego dane s wzorami: a = F g m, γ = F g m (9.10) Przyspieszenie ciaªa m posiada taki sam kierunek i zwrot, jak dziaªaj ca na to ciaªo siªa - czyli zawsze do ±rodka masy M. Taki sam ma tak»e kierunek i zwrot wektor nat»enia pola grawitacyjnego. Warto± przyspieszenia ciaªa o masie m, na zewn trz masy M w odlegªo±ci r od jej ±rodka, a tak»e warto± nat»enia pola grawitacyjnego na zewn trz masy M i w odlegªo±ci r od jej ±rodka, wyra»aj si wzorami: a = GM r 2, γ = GM r 2 (9.11) Zamiast operowa poj ciem przyspieszenia ciaªa próbnego umieszczonego w polu grawitacyjnym (wymagaj cym istnienia ciaªa próbnego), b dziemy posªugiwali si wprowadzonym ju» poj ciem nat»enia pola grawitacyjnego γ, które nie wymaga ciaªa próbnego, tylko opisuje wªasno±ci pola wytwarzanego przez mas M. Obraz geometryczny nat»enia centralnego pola grawitacyjnego W ka»dym punkcie przestrzeni na zewn trz ciaªa M o sferycznie symetrycznym rozkªadzie masy, istnieje wektor nat»enia pola grawitacyjnego o warto±ci danej wzorem 9.11 i skierowany do ±rodka masy M. Takie pole posiada symetri obrotow wzgl dem punktu ±rodka M. Powiemy,»e mamy do czynienia z centralnym, statycznym i sferycznie symetrycznym polem grawitacyjnym. W literaturze czasami skrótowo nazywa si takie pole centralnym polem grawitacyjnym. Pami tajmy jednak,»e w ogólno±ci poj cie pola centralnego nie wymaga, aby posiadaªo ono symetri obrotow (centralne oznacza skierowane do jednego punktu). Na rysunku ukazano centralne pole grawitacyjne, wytworzone przez sferycznie symetryczne ¹ródªo M. 506

74 Przyspieszenie ciaªa lub nat»enie pola na powierzchni masy M Bardzo cz sto operuje si poj ciem przyspieszenia (lub nat»enia pola) tu» przy powierzchni masywnego ciaªa, takiego jak planeta lub gwiazda. Mówimy np. o przyspieszeniu ziemskim g, o przyspieszeniu na powierzchni Ksi»yca, Marsa itp. Chodzi tu o przyspieszenia, jakie uzyskuj ciaªa próbne tu» przy powierzchni obiektu niebieskiego. Analogicznie okre±lamy nat»enie pola grawitacyjnego tu» przy powierzchni ciaªa. Rysunek 9.1: a p - przyspieszenie uzyskiwane przez ciaªa tu» przy powierzchni masywnego, sferycznego obiektu niebieskiego. Wyra»enie tu» przy powierzchni ciaªa niebieskiego oznacza,»e rozwa»amy miejsca w takiej odlegªo±ci od ±rodka masy M, ile wynosi jej promie«r. Je»eli masa obiektu niebieskiego wynosi M, za± jego promie«to R, wtedy warto± przyspieszenia tu» przy powierzchni obiektu, a tak»e warto± nat»enia pola grawitacyjnego przy powierzchni obiektu wyra»aj si wzorem: a p = GM R 2, γ p = GM R 2 (9.12) *Fale pola grawitacyjnego Pole grawitacyjne jest wielko±ci zyczn, wyra»on przez γ - nat»enie pola grawitacyjnego. Nat»enie pola grawitacyjnego okre±la si w punkcie przestrzeni niezale»nie od tego, czy w danym miejscu przestrzeni jest pró»nia materialna, czy jej nie ma. Nat»enie pola grawitacji ziemskiej, si gaj cej Ksi»yca i dalej, czy grawitacji Sªo«ca, si gaj cej planet i dalej, jest okre±lone w ka»dym punkcie pustych materialnie obszarów przestrzeni kosmicznej. Ist- 507

75 nienie pola grawitacyjnego w danym miejscu przestrzeni okre±la zachowanie si ciaª, które przebywaj w tym miejscu przestrzeni. Na przykªad, kr»enie planet dookoªa Sªo«ca po ustalonych orbitach jest konsekwencj ustalonej dla wszystkich miejsc przestrzeni grawitacji Sªo«ca. Zmiana pola grawitacyjnego w danym miejscu przestrzeni zmieniªaby zachowanie si ciaª w tym miejscu. Przenoszenie oddziaªywa«grawitacyjnych Wyobra¹my sobie jaki± gigantyczny i gwaªtowny ruch materii na Sªo«cu, ale taki, który znacznie zaburzyªby sferycznie symetryczny rozkªad materii Sªo«ca. W takiej sytuacji wytwarzane przez Sªo«ce pole grawitacyjne nie mogªoby posiada symetrii sferycznej, któr miaªo przed zaburzeniem rozkªadu masy na Sªo«cu. Sferycznie symetryczne pole grawitacyjne Sªo«ca zostaªoby zaburzone. Zmiana pola grawitacyjnego Sªo«ca wi zaªaby si z jakimi± zmianami w ruchach i orbitach ciaª okr»aj cych Sªo«ce, poniewa» zmieniªyby si siªy grawitacji od Sªo«ca i dziaªaj ce na te ciaªa. Jednak zmiana pola grawitacyjnego, która wypªywaªaby ze Sªo«ca, nie mogªaby przecie» w sposób natychmiastowy obj Merkurego, Wenus, Ziemi, Marsa, Jowisza, Saturna, Urana, Neptuna, planet karªowatych, planetoid, komet i ciaª z pasa Kuipera. Zmiana pola grawitacyjnego niesie ze sob energi, i to pot»n, która przejawia si w postaci zmiany ruchów tak wielkich ciaª jak planety. W ogólno±ci, gdy pewna cecha jakiej± wielko±ci zycznej, propaguj c si od punktu p do punktu q, przenosi pomi dzy tymi punktami energi oraz informacj, to nie mo»e ona rozchodzi si natychmiastowo, lecz ze sko«czon szybko±ci, mniejsz od szybko±ci ±wiatªa w pró»ni. Te ograniczenia wynikaj z Zasady Przyczynowo±ci, rozwa»anej w ramach Teorii Wzgl dno±ci. Przenoszenie energii pomi dzy dwoma punktami przestrzeni mo»e w szczególno±ci odbywa si w wyniku: zwykªego ruchu ciaªa od jednego do drugiego punktu lub propagowania si pomi dzy punktami o±rodka materialnego impulsu falowego (np. d¹wi ku w powietrzu), lub w wyniku propagowania si w pró»ni fali elektromagnetycznej (np. rozbªysk ±wiatªa w pró»ni). Tak»e pole grawitacyjne, czyli wielko± γ, mo»e propagowa si ze sko«czon szybko±ci poprzez pró»ni materialn i w niej przenosi energi. Propagowanie si pola grawitacyjnego (lub jego zaburzenia) od punktu p do punktu q w czasie t oznacza,»e zmiana nat»enia pola grawitacyjnego γ(p) w punkcie p poci gnie za sob zmian nat»enia γ(q) w punkcie q, po upªywie czasu t. Dopuszczamy tak»e,»e pocz tkowe warto±ci nat»e«pól grawitacyjnych wynosz zero; w takiej sytuacji zmiana tej warto±ci oznacza po prostu,»e pole pojawia si w danym punkcie. Mo»emy wi c mówi o rozchodzeniu si zaburzenia pola grawitacyjnego w samym polu grawitacyjnym, a tak»e o propagowaniu si pola grawitacyjnego w obszar pró»ni materialnej, gdzie pola jeszcze nie ma. Powiemy wi c o fali grawitacyjnej. Przejawem fali grawitacyjnej jest propagowanie si oddziaªywania grawitacyjnego. Rozwa»my kolejny przykªad. Wyobra¹my sobie,»e w pewnym obszarze Wszech±wiata powstaje gwiazda w procesie zapadania olbrzymiej ilo±ci materii gazu, której rozkªad jest do± przypadkowy. Je»eli samo zapadanie nie zachodzi w sposób sferycznie symetryczny, natomiast w jego wyniku powstanie gwiazda ze sferycznie symetrycznym rozkªadem materii, to po wykreowaniu gwiazdy zmieni si pole grawitacyjne w caªej przestrzeni. To oznacza,»e ciaªa w 508

76 otoczeniu gwiazdy b d poddane innym siªom grawitacji po tym akcie ni» przed nim. Ka»de ciaªo odczuje zmian siªy grawitacji, jaka dziaªaªa na«przed i po akcie powstania gwiazdy. Nie jest jednak tak,»e zmiana siªy grawitacji nast pi w sposób natychmiastowy dla wszystkich ciaª. Jako pierwsze zmian siªy grawitacji odczuj ciaªa w pobli»u nowo utworzonej gwiazdy, nast pnie te poªo»one dalej i coraz dalej. Zmiana siªy grawitacji przechodzi na coraz bardziej odlegªe ciaªa i zmienia ich dotychczasowy ruch. Oczywiste jest tak»e,»e w przestrzeni propaguje si co±, co nie zale»y przecie» od ciaª stoj cych na drodze tego czego±, niemniej je±li owe ciaªa stan na drodze tego czego±, to ów fakt wykryjemy do±wiadczeniem, w którym wykrywamy pojawiaj c si nagle zmian siªy grawitacji dziaªaj cej na ciaªo. Zamiast mówi o tym,»e propaguje si w czasie zmiana siªy grawitacji dziaªaj cej na ciaªa, b dziemy mówili,»e propaguje si zmiana pola grawitacyjnego (zmiana jego nat»enia). Impuls fali grawitacyjnej. W ten sposób przenosz si oddziaªywania grawitacyjne. Newton nie wypowiadaª si na temat przenoszenia grawitacji, niemniej z jego Zasad Dynamiki wynikaªo,»e oddziaªywanie grawitacyjne miaªo by natychmiastowe. Powiedzieli±my wªa±nie,»e pole grawitacyjne rozchodzi si ze sko«czon szybko±ci. To oznacza,»e w podanym przez nas przykªadzie powstanie gwiazdy z zapadaj cej si materii nie mogªoby wywoªa natychmiastowej zmiany siª grawitacji dziaªaj cych na wszystkie ciaªa we Wszech±wiecie. Cywilizacja odlegªa o lata ±wietlne od narodzonej gwiazdy nie otrzymaªaby natychmiastowej informacji o jej powstaniu, wskutek wykrycia w swoim otoczeniu zmian siª grawitacji pochodz cych od obszaru wyklucia si gwiazdy. Fale grawitacyjne Zjawisko rozchodzenia si zaburzenia pola grawitacyjnego, czyli zjawisko fal grawitacyjnych, jest szczegóªowo wyja±nione na gruncie Ogólnej Teorii Wzgl dno±ci Einsteina. Teoria Grawitacji Newtona, z wprowadzonym polem, pozwala wyznaczy posta pola przy zadanych ¹ródªach - czyli rozkªadach materii. Grawitacji Newtona z wprowadzonym polem, niestety nie wyja±nia ilo±ciowo zjawiska propagowania si w czasie pola grawitacyjnego. Jednak wprowadzenie poj cia pola do newtonowskiej grawitacji pozwala cho by jako- ±ciowo wyja±nia zjawisko propagowania si grawitacji, czyli oddziaªywa«grawitacyjnych; do tego wyznacza kierunek poszukiwa«teorii grawitacji polowej, która wyja±niaªaby to zjawisko i by mo»e wiele innych. Ogólna Teoria Wzgl dno±ci Einsteina jest teori pola grawitacyjnego, wyja±niaj c cho by wªa±nie problem rozchodzenia si grawitacji. Propagowanie si w czasie pola grawitacyjnego w pró»ni nazywamy fal grawitacyjn. Rozwi zanie równa«teorii Grawitacji Einsteina dla fal grawitacyjnych jest zagadnieniem wysoko zaawansowanym, ze wzgl du na fakt,»e równania pola grawitacyjnego s bardzo skomplikowane, w odró»nieniu cho by od stosunkowo prostych równa«pola elektromagnetycznego, z których wynikaj fale elektromagnetyczne. Na przykªad fale grawitacyjne, w ogólno±ci, nie b d dodawaªy si wedªug zasady superpozycji liniowej, jak ma to miejsce dla fal elektromagnetycznych lub d¹wi kowych (zjawisko interferencji, fali stoj cej, dudnienia itp.). Fale grawitacyjne s obecnie badane przez zyków teoretycznych oraz do±wiadczalnych. Dlatego autor ograniczy si do podania wiadomo±ci jedynie podstawowych i tylko w sposób sªowny, bez wzorów matematycznych (dowody wymienianych dalej wªasno±ci wymagaj zaawansowanego aparatu matematycznego oraz znajomo±ci równa«pola grawitacyjnego). 509

77 Najwa»niejszymi ¹ródªami fal grawitacyjnych we Wszech±wiecie s zjawiska zwi zane ze zmian konguracji mas wytwarzaj cych pole grawitacyjne. S to gªównie: 1) ruch dwóch gwiazd, w wyniku ich wzajemnego oddziaªywania, wzgl dem wspólnego punktu ich ±rodka masy (ukªad podwójny); 2) zapadanie grawitacyjne gwiazdy; 3) wybuch supernowej; 4) Wielki Wybuch. Jak mo»na sobie wyobrazi, fala grawitacyjna posiada wªasno±ci zale» ce od jej ¹ródeª. Okre±lenie tych wªasno±ci wymaga rozwi zania równa«einsteina, które w ogólno±ci s bardzo skomplikowane. Mo»na jednak dokona pewnych szczególnych zaªo»e«o przestrzeni i ¹ródªach fal, nast pnie zbada te szczególne rozwi zania. Je»eli zaªo»ymy,»e fale rozchodz si w pustej materialnie przestrzeni i ponadto zaªo»ymy,»e rozchodz ce si pole grawitacyjne jest sªabe 4, to rozwi zania równa«einsteina opisuj fale o nast puj cych wªasno±ciach: 1) fale rozchodz si z pr dko±ci ±wiatªa; 2) s to fale poprzeczne o dwóch niezale»nych skªadowych polaryzacyjnych, tzn. zmiany pola grawitacyjnego w danym punkcie zachodz w dwóch kierunkach, prostopadªych do kierunku ruchu fali, czyli kierunku propagacji zaburzenia; 3) fale mo»na wykry obserwuj c ruch wzgl dny ciaª, na przykªad umieszczonych pocz tkowo w jednej pªaszczy¹nie na okr gu (okr g b dzie zmieniaª ksztaªty, pozostaj c w pªaszczy¹nie polaryzacji); 4) fale grawitacyjne przenosz energi ; 5) raz wyemitowane fale prawie nie ulegaj pochªoni ciu. 4 Je»eli warto± bezwzgl dna newtonowskiej energii potencjalnej ciaªa próbnego (GMm/r) jest nieporównywalnie mniejsza od energii spoczynkowej tego ciaªa (mc 2 ), to mówimy,»e pole grawitacyjne masy M jest sªabe. Zgodnie z tym, pole grawitacyjne Ziemi, a nawet Sªo«ca, to w terminologii OTW pola sªabe. Silnym polem grawitacyjnym jest np. pole blisko gwiazdy neutronowej, czarnej dziury lub bardzo masywnej gwiazdy. 510

78 9.3 O ruchach ciaª w centralnym polu grawitacyjnym Dalej powiemy o ruchach ciaª w centralnym, sferycznie symetrycznym polu grawitacyjnym. Twierdzenia o takich ruchach zastosujemy do wyznaczania ruchu planet, planetoid, meteorów, komet i innych ciaª w polu grawitacyjnym Sªo«ca lub innych gwiazd, a tak»e do wyznaczania ruchów ciaª w polu grawitacyjnym planet. Zaznaczmy,»e model centralnego i symetrycznego pola grawitacyjnego, z nieruchomym centrum w UI, jest pewn idealizacj, dzi ki której z bardzo dobr zgodno±ci z do±wiadczeniem udaje si wyznacza ruchy ciaª. Ruchy ciaª po orbitach koªowych Przykªadem ruchu ciaªa próbnego w centralnym, symetrycznym polu grawitacyjnym masy M, jest ruch ze staª warto±ci pr dko±ci v po orbicie koªowej o ±rodku w punkcie ±rodka masy M. W ruchu ciaªa próbnego o masie m, po orbicie koªowej o promieniu r, dookoªa masy M, rol przyspieszenia do±rodkowego peªni przyspieszenie grawitacyjne lub równowa»nie - siªa grawitacji odgrywa rol siªy do±rodkowej. Wykorzystuj c II ZD: ma = F, oraz wzór 9.3, otrzymujemy: ma do = G Mm r 2, czyli: a do = GM r 2. (9.13) Wynik ten mo»na byªo otrzyma bezpo±rednio ze wzoru Wyznaczymy teraz warto± pr dko±ci liniowej oraz okres w ruchu ciaªa po orbicie koªowej. Do tego celu skorzystamy ze wzorów na przyspieszenie do±rodkowe. Aby wyznaczy warto± pr dko±ci liniowej, wygodnie jest skorzysta ze wzoru a do = v 2 /r, który podstawimy do równania 9.13: Z powy»szego wyznacza si v: Warto ponadto zauwa»y, i»: v 2 r = GM r 2. v = GM r. v = a do r. 511

79 Okres w takim ruchu wyznaczymy korzystaj c ze wzoru na przyspieszenie do±rodkowe w postaci: a do = ω 2 r = (2π/T ) 2 r. Podstawiaj c to do równania 9.13, otrzymujemy: ( ) 2 2π r = GM T r. 2 Z równania powy»ej wyznaczamy okres T : r 3 T = 2π oraz zwi zek: GM Ostatnie równanie, jest zgodne z tre±ci III prawa Keplera. T 2 r 3 = 4π2 GM = const. (9.14) Twierdzenie (O ruchu ciaªa po orbicie koªowej) Rozwa»amy ruch ciaªa próbnego w centralnym polu grawitacyjnym masy M. Je»eli wektor pr dko±ci v ciaªa jest prostopadªy do promienia wodz cego r, ª cz cego ciaªo ze ±rodkiem masy M i ponadto warto± pr dko±ci tego ciaªa wyra»a sie wzorem: v = GM r, to ciaªo porusza si po orbicie koªowej o promieniu r. rodek masy M jest ±rodkiem tej orbity koªowej. Przyspieszenie grawitacyjne peªni rol przyspieszenia do±rodkowego. Okres w tym ruchu okre±la wyra»enie: r 3 T = 2π GM. Ponadto mamy przydatne do oblicze«zwi zki: a g = a do, v = a do r oraz T 2 r 3 = 4π2 GM = const. Wyznaczanie masy centrum grawitacyjnego z ruchu dookoªa niego Zaªó»my,»e ciaªo próbne porusza si w polu grawitacyjnym sferycznej masy M po orbicie koªowej o promieniu r z okresem obiegu T. Mas M sferycznego centrum grawitacyjnego mo»emy wyznaczy ze wzoru: M = 4π2 G r3 T 2 (9.15) Pierwsza pr dko± kosmiczna Rozwa»amy ruch ciaªa próbnego w centralnym polu grawitacyjnym masy M. Pierwsza pr dko± kosmiczna v I jest pr dko±ci, jak nale»y nada 512