Rys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy

Transkrypt

1 XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N) : () Równanie równowagi wzgl dem punktu D ma posta (rys.) H y q x ; () y q x H : () Linia tzw. maªego zwisu jest parabol. Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z () przy x l, y f, a wi c: H q l 8 f : (4)

2 Dªugo± kabla w temperaturze t jest zgodnie ze wzorem podanym w tre±ci zadania, równa: s l + 8 f l C A : (5) Gdy temperatura ulegnie zmianie z t na t, dªugo± kabla ulegnie zmianie wskutek rozszerzalno±ci liniowej i zmiany naci gu z H na H. Dªugo± kabla w temperaturze t b dzie wi c równa: przy czym: s s + t t t l + H H H q l 8 f ; H q l 8 f ; s l A E l ; (6) + 8 f l C A : (7) Wstawiaj c dane liczbowe otrzymujemy: s f 8 C A 8 + ; f m, t t t s + 8 ; 8 A 8; m, l ; 5 [ ( )] 8 ; 84 m. H q l 8 4 N, 8 f 8 f f H q l 8 f 8 8 ; 4 N.

3 H H A E 4 A 8 f ; 64 ; 64 m. f Wstawiaj c do równania (6) te wyliczone warto±ci, mamy: 8; 8 + ; f + ; 84 + ; 64 ; 64 f ; f + ; 946 f ; 79 : Po rozwi zaniu: f ; 645 m 64; 5 mm. Zwis kabla w temperaturze t C powinien by równy f ; 645 m 64; 5 mm, aby w temperaturze t + C nie byª wi kszy od f ; m mm. Rozwi zanie zadania Rysunek przedstawia przekrój ukªadu w pªaszczy¹nie z w ze schematycznie wrysowanymi poªo»eniami kul dla przypadku kuli pojedynczej (jej ±rodek w punkcie O) i dla przypadku trzech kul (jedna z nich zaznaczona, o ±rodku w punkcie O ). Widoczny na górnym rysunku trójk t prostok tny ABO ma nast puj ce boki: AO R r ; BO h ; AB R r p p ; i st d: (R r) h + R r p p ; () gdzie h { jak to wynika z dolnego rysunku { stanowi / wysoko±ci trójk ta równobocznego o boku r i st d wynosi: h p r. Z równania () promie«sfery wynosi: R p p + 4 r + r : p p

4 Rysunek Warto± nominalna promienia R nom R nom (4 4) + 4 (4 4) + 44; mm. Niedokªadno± pomiaru R R max R min W celu ustalenia warto±ci R max i R min nale»y okre±li które wymiary zwi kszaj, a które zmniejszaj promie«r. Mo»na to wykona na dwa sposoby.. Wykorzystanie znaku pochodnej Ar; p p (4 4) ; 8 > @p Ar; p r p p (4 4) ; 8 < ; 4

5 ! p ; p 4 r + p p 4 (4 4) + 7; 7 > : Z powy»szego wynika,»e f r; p ; p jest rosn c funkcj p i r oraz malej c funkcj p.. Wykorzystanie tabeli badania funkcji R f r; p ; p wstawiaj c do niej kolejno warto±ci wi ksze od nominalnych. p 4; 5 p > p nom R 44; 44 R > R nom funkcja rosn ca p 4; 5 p > p nom R 44; 54 R < R nom funkcja malej ca r ; r > r nom R 44; 4 R > R nom funkcja rosn ca Z powy»szej analizy wynika,»e: p min p max R max + 4 r max + r max p p min max (4; 995 4; 5) + 4 (4; 995 4; 5) + 44; 496 ; p max p min R min + 4 r min + r max p p max min (4; 5 9; 995) + 4 9; 99 (4; 5 9; 995) + 9; 99 44; 96 : st d: R R max R min 44; ; 96 ; 4 : 5

6 Odchyªki promienia r R max R nom 44; ; +; 6 ; r R min R nom 44; 96 44; ; 7 : Odpowied¹ R 44; + ; 6 ; 7 lub R 44 + ; ; 96 Rozwi zanie zadania Ad. Z warunków podanych w tre±ci zadania wynika,»e reakcja na podporze A równa jest. Jedynymi siªami w ukªadzie s rozªo»ony ci»ar belki oraz siªa ci»aru i bezwªadno±ci masy m dziaªaj ca w obu cz ±ciach liny. (rysunek obok) Równanie momentów wzgl dem punktu B: q m dtj g ; () P m (g + a) : () q l q l + P l : () z równania () i (): P m dtj g 4 l l l ; (4) nast pnie z równa«() i (4): m dtj a 4 4 l m l l 5 g ; (5) 6

7 a " # 5; ; 8 ; m/s Ad. Moc silnika wynosi: N P v : (6) Poniewa» masa porusza si z przyspieszeniem ÿa" jego pr dko± na wysoko±ci ÿh" wynosi: v p a h ; (7) a maksymalna niezb dna moc wyniesie: N m (a + g) p a h ; (8) p N (; + 9; 8) ; 5 W. Ad. W tym wypadku belka jest obci»ona jej rozªo»onym ci»arem oraz siª ci»aru masy m w obu cz ±ciach liny. Moment siª na podporze B wynosi: M B q l + P ; (9) gdzie: P m max g ; () warunek wytrzymaªo±ci na zginanie: Z trzech ostatnich zale»no±ci oraz z () wynika,»e: M B < k g W x : () m dtj g l + m max g < k g W x ; m max < k g W x g m dtj l 4 ; () 7

8 m max < 5 6 9; 6 5; 94 9; 8 4 kg. Odpowied¹. maksymalne przyspieszenie wynosi ; m/s.. minimalna moc wynosi 5 W.. maksymalna masa wynosi kg. 8

9 Przykªadowe rozwi zanie problemu technicznego (schemat) Tok rozumowania oraz schemat rozwi zania jest pokazywany na wykresie (czas lotu) { (odlegªo± od miejsca startu). Nachylenie linii na tym wykresie jest miar szybko±ci samolotów. O d le g ło ś ć o d lo tn is k a ½ zasięgu samolotu Ad. Pojedynczy samolot startuj c z peªnymi zbiornikami mo»e dolecie na odlegªo± 45 km (poªowa zasi gu). Czas lotu Ad. Aby zwi kszy odlegªo± od lotniska nale»y wysªa dwa samoloty. Po pewnym czasie jeden z samolotów () ÿoddaje" cz ± swojego paliwo pierwszemu samolotowi (), tankuj c go do peªna. Samolot () wraca do bazy. Samolot () z peªnymi zbiornikami paliwa leci dalej 45 km i wraca. W odpowiednim momencie z bazy startuje kolejny samolot () i leci na spotkanie pierwszego. W momencie spotkania samolot () ma puste zbiorniki, i musi otrzyma paliwo od (), aby móc wróci do bazy. Jak ªatwo policzy samoloty () i () musz dokona operacji tankowania po przeleceniu / zasi gu. Równie» samolot () musi wystartowa w takim momencie, aby spotka si z samolotem () w odlegªo±ci / zasi gu od bazy. O d le g ło ś ć o d lo tn is k a / z asięgu samolotu Start samolotu i Samolot przepompowuje / paliw a do samolotu Samolot przepompowuje / paliw a do samolotu Start samolotu Czas lotu Przyjmuj c opisany wy»ej schemat post powania przebieg misji w uj ciu gracznym mo»e wygl da jak na rysunku: 9

10 5 5 5 km O d le g ło ś ć o d lo tn is k a k m 4 k m 6 km B E k m km A C D k m F k m,,, 4 5 6, 7 8 Nume ry sta rt uj ących samolotów Czas lotu Opis misji:. W chwili rozpocz cia misji startuj cztery samoloty:,,, 4;. Po pokonaniu / zasi gu pojedynczego samolotu km nast puje tankowanie: dwa samolotu oddaj cz ± paliwa pozostaªym dwóm (operacja A), dwa samoloty wracaj do bazy;. Samoloty i z peªnymi zbiornikami lec dalej do punktu odlegªego 6 km od bazy, w którym nast puje operacja tankowania B { zbiorniki paliwa samolotu s uzupeªniane do peªna, samolot rozpoczyna lot powrotny; 4. W czasie trwania operacji tankowania B z bazy startuje samolot 5, którego celem jest dostarczenie paliwa wracaj cemu samolotowi { operacja tankowania C; 5. Samolot (gªówny samolot misji) po operacji tankowania B ma peªne zbiorniki paliwa, a wi c mo»e przelecie 9km. Do celu ma 4km. Po wykonaniu zadania (pojawieniu si nad terytorium pa«stwa ÿy") rozpoczyna lot powrotny { mo»e przelecie jeszcze 5km;

11 6. Paliwo dla samolotu jest dostarczane przez samoloty 6 i 7 startuj ce w takim momencie, aby po tankowaniu D samolot 6 spotkaª si z samolotem w odlegªo±ci 4 km od bazy { operacja tankowania E; 7. Poniewa» samolot 6 w punkcie D ma peªne zbiorniki paliwa, a do spotkania z ma tylko km, wobec tego od tankowania E do kolejnego tankowania samoloty i 6 mog przelecie jeszcze 5 km ( km, zasi g samolotu na peªnym zbiorniku); 8. W odlegªo±ci 5 km od bazy samolotom i 6 zabrakªoby paliwa, wobec tego w odpowiednim momencie startuje samolot 8, który w czasie operacji tankowania F uzupeªnia brakuj ce paliwo obu samolotom. Samolot w towarzystwie 6 i 8 wraca do bazy. Punkty czasowe (na podstawie analizy wykresu, odlegªo±ci oraz szybko±ci lotu):. Samolot 5 startuje w czasie operacji tankowania B, która ma miejsce po pokonaniu 6 km, czyli po czasie 68 7,5 godz.. W punkcie E samolot b dzie po pokonaniu 5 km, czyli po 8 godz. i 45 min. Do tego punktu samolot 6 ma 5 km, co zajmie mu 6 godz. i 5 min. Samoloty 6 i 7 musz wystartowa po czasie 8; 75 6; 5 ; 5 godz., czyli godz. i min od pocz tku operacji.. Analogicznie: w punkcie F, pokonaniu 85 km samolot (oraz 6) b dzie po czasie godz. i 7,5 min (,5 godz.). Samolot z paliwem 8 ma do pokonania 5 km, co zajmie im godz. i 5,5 min. Samolot 8 musi wystartowa po czasie godz. i 5 min od pocz tku operacji. 4. Caªkowity czas operacji to 5 godz. Przy zaªo»eniu,»e samolot musi przej± krótka obsªug po ka»dym locie, nale»y dysponowa 8 samolotami. Gdyby samoloty mogªy startowa od razu, po bardzo krótkim tankowaniu, wystarczyªoby tylko 5 samolotów (piaty samolot musi startowa dokªadnie w chwili l dowania i 4, zamiast 6 i 7 mo»na u»y i 4, a zamiast 8 { lub 5). Ilo± paliwa Samolot tankuje: 9 km8 km/h l/h 5 l paliwa. W misji jest 8 startów samolotów z peªnymi zbiornikami. Zabieraj wi c 9 l paliwa. Jednak»e samoloty, 6 i 8 (ostatni etap misji) nie zu»ywaj caªego paliwa. W odniesieniu do jednego samolotu ostatnia faza liczy 5+5 6km, na co potrzeba / zbiornika paliwa. Caªkowite zapotrzebowania na paliwo wynosi l paliwa.