Spis tre±ci. I Grawitacja 3

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis tre±ci. I Grawitacja 3"

Transkrypt

1 Spis tre±ci I Grawitacja 3 1 Teoria Grawitacji Newtona Siªy grawitacji Prawo Powszechnego Ci»enia Twierdzenia o przyci ganiu si ciaª Pole grawitacyjne Równowa»no± ªadunku grawitacyjnego i masy bezwªadnej Wprowadzamy poj cie pola grawitacyjnego Nat»enie pola grawitacyjnego Statyczne, centralne i sferycznie symetryczne pole grawitacyjne *Fale pola grawitacyjnego O ruchach ciaª w centralnym polu grawitacyjnym Ruchy ciaª po orbitach koªowych Wiadomo±ci o elipsie Prawa Keplera Energia w centralnym polu grawitacyjnym Zasady zachowania w centralnym polu grawitacyjnym *O wyprowadzeniu torów ruchu w centralnym polu grawitacyjnym O mo»liwych torach ruchu w centralnym polu grawitacyjnym Ruchy po torach otwartych Ruchy po torach zamkni tych Ruch po torze radialnym O pr dko±ciach ucieczki w ró»nym kierunku *O ruchach wzgl dem wspólnego ±rodka masy *O ruchu dwóch ciaª oddziaªuj cych grawitacyjnie Przykªady i zadania Przykªady z rozwi zaniami Zadania do samodzielnego rozwi zania *Podstawy Teorii Grawitacji Einsteina *Krótki wst p *Matematyka a rozumienie teorii *Pªaska czasoprzestrze«bez grawitacji

2 SPIS TRE CI Mariusz Mroczek *Geometryczne konsekwencje Zasady Bezwªadno±ci *Geometryczne konsekwencje Szczególnej Zasady Wzgl dno±ci *Grawitacja jako krzywizna czasoprzestrzeni *Lokalna Zasada Równowa»no±ci (Silna) *Lokalna pªasko± czasoprzestrzeni z grawitacj *Siªy pªywowe *Zakrzywione linie ±wiata swobodnie spadaj cych ciaª *Krzywizna czasoprzestrzeni i geodezyjne *Ogólna Zasada Wzgl dno±ci *Absolutne wielko±ci w Teorii Wzgl dno±ci *Zaªo»enia Ogólnej Teorii Wzgl dno±ci *Koncepcja zakrzywionej czasoprzestrzeni - podsumowanie *Zaªo»enia modelu matematycznego OTW *Równania pola grawitacyjnego, ¹ródªa krzywizny *Sªowo o metodzie naukowej Einsteina *Wa»niejsze dokonania OTW *Sferycznie symetryczne pole grawitacyjne. Porównanie teorii *Granica Newtonowska *Horyzonty zdarze«, Czarne Dziury, Osobliwo±ci

3 Rozdziaª 2 *Podstawy Teorii Grawitacji Einsteina 2.1 *Krótki wst p Teoria Grawitacji Einsteina nazywana jest Ogóln Teori Wzgl dno±ci. B dziemy dla niej u»ywali skrótu OTW. By mo»e Czytelnik po raz pierwszy styka si z OTW w formie wykªadu zyki, a nie przy okazji zadziwiaj cych i wyj tych z kontekstu zagadnie«, przedstawianych w programach lub ksi»kach popularnych w sposób sensacyjny. W zwi zku z tym na pocz tku podkre±lamy status OTW we wspóªczesnej zyce. Teoria Grawitacji Einsteina jest jedyn teori najlepiej opisuj c kategori zjawisk zwi zanych z grawitacj, ruchem, czasem i przestrzeni. OTW najlepiej wyja±nia oraz najlepiej przewiduje wszelkie zjawiska kosmologiczne we Wszech±wiecie - zjawiska obserwowane z niebywaª dokªadno±ci przy u»yciu najbardziej zaawansowanych technologii. Zaªo»enia modelu matematycznego OTW wywodz si wprost z najbardziej fundamentalnych praw zyki: Zasady Równowa»no±ci masy grawitacyjnej i bezwªadnej, Zasady Bezwªadno±ci oraz Zasady Wzgl dno±ci dla zjawisk mechanicznych i elektromagnetycznych. *Matematyka a rozumienie teorii Zastanówmy si na wst pie, dlaczego zrozumienie lub przyj cie Teorii Grawitacji Newtona zazwyczaj nie sprawia kªopotów wspóªczesnym uczniom i studentom. Otó» dlatego,»e u»yty w niej aparat matematyczny jest stosunkowo prosty i daje si wizualizowa. Ponadto poj cie pró»ni materialnej nie budzi w naszych czasach»adnych kontrowersji. Oddziaªywanie grawitacyjne pomi dzy odlegªymi punktami materialnymi w ukªadzie inercjalnym reprezentuje para wektorów siª, zaczepionych do tych ciaª i skierowanych centralnie ku sobie. Cho s to abstrakcyjne wektory, to mo»emy je sobie jako± wyobra»a. Mamy tak»e stosunkowo prosty wzór na warto± siªy grawitacji. Wiemy tak»e,»e obliczanie grawitacji pochodz cej od ró»nych ciaª wykonuje si tak, jak dodaje si wektory. No dobrze, ale co to znaczy,»e owe siªy grawitacji powoduj przyci ganie si ciaª? Si gamy wi c do aparatu matematycznego Teorii Newtona i odpowiadamy: zgodnie z II Zasad Dynamiki, siªa wypadkowa dziaªaj ca na ciaªo powoduje przyspieszenie ciaªa w kierunku tej siªy. Dlatego wzajemne przyci ganie grawitacyjne ciaª przejawia si na przykªad w tym,»e ich przyspieszenia grawitacyjne 87

4 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek w ukªadzie inercjalnym skierowane s ku sobie. Wyobra»amy wi c sobie wektory siª powoduj ce przyci ganie si ciaª. Pami tajmy jednak,»e na pocz tku dokonali±my zaªo»enia o postaci siª i»e siªy te istniej. Zachowanie si ciaª zgodne z tym zaªo»eniem, które dodatkowo potramy sobie wyobrazi, sprawia,»e interpretacja Teorii Newtona nie jest dzisiaj trudna. Pami tamy jednak,»e za czasów Newtona, a nawet pó¹niej, samo zaªo»enie o siªach dziaªaj cych na odlegªo± przez pró»ni materialn byªo niedopuszczalne, i to przez najwi kszych luminarzy nauki. Zapami tajmy to. Kopernik w swojej teorii u»ywaª geometrii Euklidesa, w tym najcz ±ciej kóª, trójk tów, funkcji trygonometrycznych i równa«. Kepler tak»e u»ywaª geometrii Euklidesa, ale ju» w jej nieco szerszym zakresie - badaª elipsy, obliczaª pola ich wycinków, rozwi zywaª równania. Newton równie» posªugiwaª si geometri Euklidesa, a nawet rozwin ª j o dodatkowe twierdzenia z pogranicza rachunku ró»niczkowego i caªkowego. W j zyku geometrii Euklidesa Newton uj ª zarówno Prawa Ruchu, jak i Prawo Powszechnego Ci»enia. Teoria Grawitacji Einsteina, nie opiera si na geometrii Euklidesa. Opiera si na uogólnieniu geometrii nieeuklidesowych - na teorii tak zwanych rozmaito±ci riemannowskich, i do tego z pewn ich modykacj. Matematyka OTW jest matematyk 4-wymiarowych rozmaito±ci, posiadaj - cych wewn trzn krzywizn i ponadto takich, w których odlegªo± pomi dzy dwoma ró»nymi od siebie punktami rozmaito±ci mo»e by dodatnia lub równa zero albo ujemna. U»yty tylko na chwil, lecz wªa±nie celowo,»argon matematyczny w momencie wzmiankowania o OTW u±wiadamia,»e j zyk tej teorii jest wysoce specjalistyczny. Trudno±ci w rozumieniu OTW wi» si z u»ywanym tam aparatem matematycznym. Uj cie podstawowych zasad zyki w taki model matematyczny zaj ªo Einsteinowi 10 lat. Trudno±ci, które napotkaª nawet Einstein, nie byªy zwi zane ze stopniem skomplikowania tej teorii (w sensie nagromadzenia wielu ró»nych równa«, tysi cy zale»no±ci itp.). W takim sensie prace Keplera lub Kopernika byªy bardziej skomplikowane, niemniej wykonane w j zyku geometrii, któr wszyscy znaj. Zaªo»enia modelu matematycznego OTW s wyprowadzone na gruncie gª bokiej analizy najbardziej fundamentalnych praw zyki: Zasady Wzgl dno±ci, Zasady Bezwªadno±ci i Zasady Równowa»no±ci masy grawitacyjnej i bezwªadnej oraz czterowymiarowo±ci czasoprzestrzeni. Einstein to wyra¹nie podkre±laª. U»yty w OTW aparat matematyczny jest, po pierwsze, trudny do wyobra»enia, a po drugie, jest tak specjalistyczny,»e zna go jedynie w skie grono fachowców. Nawet posiadaj c wyksztaªcenie zyka, in»yniera czy matematyka, mo»na nie zetkn si z takimi poj ciami, jak forma koneksji, tensor metryczny, tensor krzywizny, geodezyjna na rozmaito±ci. Niemniej popularyzacja OTW nie musi by skazana na stosowanie jedynie chwytliwych i upraszczaj cych sloganów. Przyjmijmy,»e podstawowym zaªo»eniem w OTW jest to,»e czasoprzestrze«jest zakrzywiona (cokolwiek to oznacza na chwil obecn ). Za pomoc zaªo»enia zakrzywionej czasoprzestrzeni wyja±nione s wszelkie zjawiska mechaniczne i grawitacyjne. Wyra»enie wyja±niane zjawisko oznacza,»e w ramach teorii istnieje udowodnione matematycznie twierdzenie, opisuj ce w sposób ilo±ciowy przebieg zjawiska - np. spadku swobodnego ciaªa na Ziemi lub Wielkiego Wybuchu lub biegu promienia ±wietlnego lub promieniowania grawitacyjnego ukªadu dwóch gwiazd neutronowych. Skoro wszelkie zjawiska s wyja±niane przy zaªo»eniu krzywizny czasoprzestrzeni, to oznacza,»e wªa±nie czasoprzestrze«posiada krzy- 88

5 EDUKARIS 2.2. *PŠASKA CZASOPRZESTRZE BEZ GRAWITACJI wizn. Pami tamy,»e wierzyli±my w istnienie siª grawitacji Newtona dlatego,»e za ich pomoc wyja±niali±my zjawiska. Skoro zjawiska zachodziªy tak, jakby zaªo»one siªy grawitacji istniaªy, to siªy grawitacji istniej (w modelu Newtona). Je»eli wi c wszelkie zjawiska przebiegaj tak, jak gdyby czasoprzestrze«posiadaªa krzywizn, to t krzywizn ona posiada. Poniewa» tak ªatwo nie potramy sobie wyobrazi krzywizny czasoprzestrzeni, jak np. newtonowskich siª, to tym bardziej pozostaje nam zda si na czyst matematyk. Jako autor stawiam przed sob wªa±nie zadanie, aby w tym wykªadzie doprowadzi Czytelnika do koncepcji grawitacji jako krzywizny czasoprzestrzeni. Moim zaªo»eniem jest tylko - i a», u±wiadomienie Czytelnikowi tej koncepcji. Zastrzegam,»e dalej nie b d rozwijaª aparatu matematycznego OTW, gdy» wymagaªoby to odr bnego wykªadu specjalistycznego. 2.2 *Pªaska czasoprzestrze«bez grawitacji Aby uchwyci ide zakrzywionej czasoprzestrzeni, nale»y najpierw powiedzie o czasoprzestrzeni pªaskiej. Postaramy si sukcesywnie poprowadzi Czytelnika do koncepcji grawitacji jako zakrzywionej czasoprzestrzeni. Sam Einstein utrzymywaª,»e koncepcja zakrzywionej czasoprzestrzeni powstaªa w wyniku odkrycia. Przypomnijmy sobie, jak Galileusz odkryª Zasad Bezwªadno±ci (lub prawo spadków swobodnych) - odkryª, gdy» ani nie istniaªo bezpo±rednie do±wiadczenie potwierdzaj ce t Zasad, ani nie istniaª dowód matematyczny na jej istnienie. Dopiero gdy twierdzenia wynikaj ce z odkrytego zaªo»enia okazuj si opisywa dokªadnie zjawiska zyczne, wówczas wªa±nie to powinno si traktowa jako formalny ju» dowód,»e odkryte zaªo»enia opisuj pewn prawd zyczn. Odkrycia jednak dokonuje si na podstawie pewnych przesªanek. Niniejszym prze±ledzimy, jakie przesªanki nasun ªy Einsteinowi koncepcj zakrzywionej czasoprzestrzeni. Einstein dokonaª niezwykle gª bokiej analizy fundamentalnych Zasad Fizyki: Zasady Bezwªadno±ci, Zasady Wzgl dno±ci, Zasady Równowa»no±ci masy grawitacyjnej i bezwªadnej. eby podj wysiªek zrozumienia grawitacji jako zakrzywionej czasoprzestrzeni, musimy zrozumie najpierw, dlaczego czasoprzestrze«bez grawitacji jest pªaska i co w ogóle owa pªasko± oznacza. B dziemy posªugiwali si poznanymi ju» poj ciami, takimi jak: zdarzenia, czasoprzestrze«(zbiór wszystkich zdarze«), linia ±wiata, czas wªasny, synchronizacja zegarów, czasoprzestrzenny ukªad wspóªrz dnych. Poj cia te omówili±my szczegóªowo w jednej z sekcji pierwszego rozdziaªu (oznaczonej jako dodatkowa), a dotycz cej czasoprzestrzeni w mechanice. B dziemy tak»e korzystali z niektórych rezultatów Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci - to mo»e przejawia si w postaci diagramów lub wzorów i twierdze«przedstawionych bez dowodu. Czytelnik przyjmie je tutaj do wiadomo±ci lub si gnie do polecanych opracowa«. *Geometryczne konsekwencje Zasady Bezwªadno±ci W tej sekcji b dziemy rozwa»ali ruchy ciaª izolowanych od oddziaªywa«. Dokonujemy zatem abstrakcyjnego zaªo»enia,»e ciaªa takie istniej. Wymaga to przyj cia,»e w naszej czasoprzestrzeni nie ma grawitacji. Poj cie inercjalnego ukªadu odniesienia deniujemy za pomoc Zasady Bezwªadno±ci w nast puj cy sposób. 89

6 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek Sformuªowanie I. Inercjalny ukªad odniesienia to taki, w którym ciaªo izolowane od oddziaªywa«z innymi ciaªami spoczywa lub porusza si po linii prostej ze staª szybko±ci. Podkre±lamy wi c dwie rzeczy:»e w inercjalnym ukªadzie odniesienia tor ruchu ciaªa izolowanego jest lini prost oraz»e szybko± ruchu ciaªa jest staªa. Ciaªo mo»e bowiem porusza si po prostej, ale ze zmienn szybko±ci, mo»e te» porusza si ze staª szybko±ci, ale np. po okr gu. Szybko± ciaªa w ukªadzie odniesienia jest stosunkiem pokonanej wzdªu» toru drogi do czasu. W zwi zku z tym, oprócz wyznaczania poªo»e«ciaªa w ukªadzie odniesienia wzgl dem wybranego punktu zero, nale»y okre±la czas dziej cych si zdarze«wzgl dem wybranej chwili zero. Inaczej nie mogliby±my mówi o szybko±ci ciaªa, a jedynie o torze ruchu ciaªa. Denicja inercjalnego ukªadu odniesienia wymaga istnienia systemu umo»liwiaj cego pomiar czasu. System ten mog stanowi w ukªadzie odniesienia nieruchome i zsynchronizowane ze sob zegary, umieszczone w ka»dym punkcie, lub mo»e by to system nadajników i odbiorników sygnaªów elektromagnetycznych umieszczonych w jakim± miejscu. Abstrakcj systemu umo»liwiaj cego wyznaczanie miejsc i czasu wzgl dem danego ukªadzie odniesienia nazywamy czaso-przestrzennym ukªadem wspóªrz dnych lub krótko - ukªadem wspóªrz dnych. Teraz szczególnie nie nale»y myli tego z przestrzennym ukªadem wspóªrz dnych. Ukªad wspóªrz dnych wprowadzony w ukªadzie inercjalnym nazywamy inercjalnym ukªadem wspóªrz dnych. Z wykªadów o ruchu jednostajnym prostoliniowym pami tamy rzecz podstawow,»e wykresem takiego ruchu we wspóªrz dnych t, x, y, z jest linia prosta. Pami tamy tak»e z kolejnych wykªadów,»e w odró»nieniu od tego wykresem ruchu przyspieszonego (jednostajnie przyspieszonego) wzdªu» linii prostej x jest w ukªadzie wspóªrz dnych t, x parabola. Wykres ruchu ciaªa w jakim± ukªadzie wspóªrz dnych jest de facto wykresem linii ±wiata tego ciaªa. Linia ±wiata ciaªa jest zbiorem wszystkich zdarze«(punkto-chwil) z historii danego ciaªa, reprezentuje wi c ruch ciaªa. Zasad bezwªadno±ci sformuªowan powy»ej mo»emy wyrazi w sposób bardziej geometryczny. Sformuªowanie II. Wykresem linii ±wiata ciaªa izolowanego od oddziaªywa«z innymi ciaªami jest w ka»dym inercjalnym (czaso-przestrzennym) ukªadzie wspóªrz dnych linia prosta. 90

7 EDUKARIS 2.2. *PŠASKA CZASOPRZESTRZE BEZ GRAWITACJI Oczywiste jest,»e wªasno± bycia prost jest dla linii ±wiata ciaªa izolowanego prawdziwa w ka»dym inercjalnym ukªadzie wspóªrz dnych. W zwi zku z tym wªasno± bycia prost jest niezale»na od wyboru inercjalnego ukªadu wspóªrz dnych. Wªasno± t pragniemy zatem wyrazi w sposób niezale»ny od inercjalnych ukªadów wspóªrz dnych. T podstawow wªasno± zakodujemy w strukturze geometrycznej samej czasoprzestrzeni. Sformuªowanie III. Linia ±wiata ka»dego ciaªa izolowanego od oddziaªywa«z innymi ciaªami jest lini prost w czasoprzestrzeni. Czasoprzestrze«bez grawitacji posiada struktur rozmaito±ci liniowej. Rozmaito± liniowa Sªowo rozmaito±ci zostaªo powy»ej u»yte zamiast sªowa przestrzeni, oznaczaj cego w matematyce po prostu pewien zbiór. Termin przestrze«posiada jednak u nas zyczne znaczenie, podobnie jak termin czasoprzestrze«. Bezpiecznie jest wi c mówi o rozmaito±ci. Rozmaito±ci jest zarówno czasoprzestrze«, jak i przestrze«. Rozmaito±ci jest tak»e na przykªad sfera. Rozmaito±ci jest continuum, w którym mo»emy wyodr bni pewne podzbiory pokrywaj ce caª rozmaito± i posiadaj ce cz ±ci wspólne. Na podzbiorach rozmaito±ci mo»emy zada wspóªrz dne. Ka»demu punktowi rozmaito±ci z danego podzbioru przyporz dkowujemy unikalny zestaw liczb - jego wspóªrz dne. Ilo± wspóªrz dnych okre±la wymiar rozmaito±ci. Rozmaito±ci jest czasoprzestrze«, poniewa» potramy wprowadza tam ukªady czterech wspóªrz dnych. Podobnie rozmaito±ci jest przestrze«euklidesa lub sfera. Na sferze mo»na wydzieli dwa nachodz ce na siebie obszary, mog ce by sfer odpowiednio bez bieguna póªnocnego i poªudniowego, punkt sfery mo»na oznaczy dwoma wspóªrz dnymi, przypisanymi do danego obszaru. Na bie» ce potrzeby powiemy jedynie w skrócie, co to oznacza,»e rozmaito± jest liniowa (aniczna). Nie b dziemy tutaj podawali peªnej aksjomatyki. Otó» w ka»dym punkcie rozmaito±ci liniowej istnieje przestrze«wektorowa. Dziaªania na wektorach w przestrzeni wektorowej s takie, jak omówione w pierwszym rozdziale. Pomi dzy punktem rozmaito±ci a wektorem zaczepionym w tym punkcie okre±la si dziaªanie, nazywane czasem translacj, które to dziaªanie przeprowadza jeden punkt rozmaito±ci w inny. Translacja punktu p o wektor v, a nast pnie otrzymanego punktu o wektor u, daje wynik taki, jak translacja punktu p o sum wektorów v + u. Rozmaito± liniowa posiada t wªasno±,»e wektory z ró»nych punktów mo»na ze sob porównywa. Oznacza to,»e mo»na wskaza dwa równolegªe wektory zaczepione w dwóch ró»nych punktach. W ogólno±ci, dla rozmaito±ci nieliniowych, aby stwierdzi, który z wektorów w punkcie p jest równolegªy do wektora v zaczepionego w punkcie q, nale»y przenie± równolegle wektor v z punktu q do p wzdªu» krzywej ª cz cej te punkty. Wynik takiej operacji zale»y w ogólno±ci od krzywej ª cz cej p z q, dlatego nie da si stwierdzi bezwzgl dnie, które wektory w dwóch ró»nych punktach s równolegle. Rozmaito± liniowa posiada t wªasno±,»e wynik przeniesienia równolegªego wektora z jednego punktu do drugiego punktu nie zale»y od krzywej, wzdªu» której si to czyni. Dzi ki temu mo»emy np. mówi o dwóch prostych równolegªych do siebie. Powiemy,»e rozmaito± liniowa jest pªaska. Wspomnimy jedynie dla kontrprzykªadu, który omówimy pó¹niej,»e wynik przeniesienia równolegªego wektora stycznego do sfery, wzdªu» krzywej na sferze, zale»y od krzywej, wzdªu» której si to czyni. Powiemy wi c,»e sfera posiada krzywizn i nie jest pªaska. 91

8 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek Z wªasno±ci rozmaito±ci liniowej wynika,»e w dowolnym jej punkcie mo»emy wskaza prost równolegª do zadanej, a tak»e mo»emy korzysta z twierdzenie Talesa. Czasoprzestrze«posiada struktur rozmaito±ci liniowej. Linie ±wiata ciaª izolowanych s tam prostymi. Dla nich prawdziwe s stwierdzenia: i) dwie linie ±wiata mog by do siebie równolegªe; ii) dwie równolegªe linie ±wiata przecinaj ce dwie inne nierównolegªe linie ±wiata o wspólnym zdarzeniu, odcinaj na nich odcinki w proporcjach jak w twierdzeniu Talesa. W istocie, dwa izolowane ciaªa mog spoczywa wzgl dem siebie. Wtedy ich wzajemna odlegªo± przestrzenna jest niezmienna, a zatem linie ±wiata obu ciaª b d równolegªe. W odró»nieniu od tego, linie ±wiata ciaª, które si wymijaj, b d si przecinaªy. Przyjmijmy dalej do wiadomo±ci,»e odcinek wzdªu» linii ±wiata danego ciaªa odmierzany jest czasem wªasnym tego ciaªa. Ró»ne ciaªa mog mie w ogólno±ci ró»nie wyskalowane zegary. Niech dwa spoczywaj ce wzgl dem siebie ciaªa O 1 i O 2 wymijaj dwa inne ciaªa A i B, posiadaj ce wspólne zdarzenie. Odci te liniami O 1 i O 2 odcinki na liniach ±wiata ciaª A i B, odmierzone tam czasami wªasnymi, speªniaj proporcje jak w twierdzeniu Talesa (zobacz rysunek powy»ej). Zaznaczamy tutaj,»e odcinki mierzymy zmian pewnego parametru tylko wzdªu» linii ±wiata i nie stosujemy wzoru na odlegªo± znanego z geometrii Euklidesa, gdy» omawiamy czasoprzestrze«, która nie jest euklidesowa. Wspóln geometryczn wªasno±ci czasoprzestrzeni i przestrzeni Euklidesa jest tylko struktura liniowa, dzi ki której sens posiada poj cie równolegªo±ci prostych oraz zachodzi twierdzenie Talesa. *Geometryczne konsekwencje Szczególnej Zasady Wzgl dno±ci Analiza Zasady Bezwªadno±ci Galileusza doprowadziªa nas do stwierdzenia,»e czasoprzestrze«posiada struktur przestrzeni liniowej. Teraz do naszych rozwa»a«wª czymy Zasad Wzgl dno±ci. Zasada Wzgl dno±ci dotycz ca zjawisk mechanicznych mówi,»e zjawiska mechaniczne przebiegaj w ukªadach inercjalnych wedªug takich samych praw. Te podstawowe prawa mechaniczne sformuªowaª Newton. Einstein rozszerzyª Zasad Wzgl dno±ci o zjawiska elektromagnetyczne. Szczególna Zasada Wzgl dno±ci Einsteina mówi wi c,»e tak»e zjawiska elektromagnetyczne przebiegaj w ukªadach inercjalnych wedªug takich samych praw. Jednym ze zjawisk elektromagnetycznych jest rozchodzenie si ±wiatªa pró»ni. Wªasno±ci tego 92

9 EDUKARIS 2.2. *PŠASKA CZASOPRZESTRZE BEZ GRAWITACJI zjawiska okre±lon w pewnym ukªadzie inercjalnym jest fakt,»e pr dko± rozchodzenia si fali elektromagnetycznej w pró»ni jest staªa, a ponadto nie zale»y ona od ruchu ¹ródªa tej fali. Ruchome ¹ródªo wysyªa fal elektromagnetyczn rozchodz c si w danym ukªadzie inercjalnym z tak pr dko±ci, z jak wysyªaªoby, gdyby w danym ukªadzie inercjalnym spoczywaªo. Z drugiej strony fakt spoczywania lub ruchu ¹ródªa ±wiatªa jest wzgl dny. A wi c, zgodnie z Zasad Wzgl dno±ci rozszerzon o zjawiska elektromagnetyczne, pr dko± rozchodzenia si fali elektromagnetycznej jest taka sama wzgl dem ka»dego inercjalnego ukªadu wspóªrz dnych. Jest to bowiem zjawisko elektromagnetyczne, które wªa±nie ma tak samo przebiega we wszystkich ukªadach inercjalnych. Powiemy,»e pr dko± rozchodzenia si ±wiatªa jest uniwersalnym zjawiskiem w ukªadach inercjalnych. Aby ustalanie miejsc i czasu zdarze«byªo czynione tak samo we wszystkich ukªadach inercjalnych, nale»y u»ywa takich samych procedur do pomiarów odlegªo±ci i czasu. Dopiero wtedy b dzie miaªo sens porównywanie wielko±ci zmierzonych przez ró»nych obserwatorów. Do tego celu nale»y posªugiwa si zjawiskiem uniwersalnym w ukªadach inercjalnych. Tym uniwersalnym zjawiskiem jest rozchodzenie si ±wiatªa. Za jego pomoc wprowadzamy wspóªrz dne: czasow i przestrzenne. Rozchodzenie si punktu czoªa fali elektromagnetycznej mo»emy reprezentowa w czasoprzestrzeni lini ±wiata. Poniewa» fale elektromagnetyczne rozchodz si w danym kierunku z t sam pr dko±ci, to reprezentuj ce je linie ±wiata s do siebie równolegªe. Linie te wyró»nimy. Wszelkie zagadnienia zwi zane z wprowadzaniem wspóªrz dnych w ukªadzie inercjalnym, z okre±laniem relacji czasowo-przestrzennych pomi dzy zdarzeniami w czasoprzestrzeni bez grawitacji, najlepiej w STW opisuje uj cie w duchu Einsteina i Minkowskiego, zgodnie z którym STW wyprowadzaj Trautman i Kopczy«ski. Zainteresowanego Czytelnika odsyªam do ¹ródeª, o których mowa w pierwszym paragrae sekcji. Dla nas istotny b dzie w szczególno±ci jeden rezultat, dotycz cy interwaªu czasoprzestrzennego. Prosty i geometryczny dowód podanego ni»ej twierdzenia pomijamy, zaznaczaj c jedynie,»e korzysta si w nim z twierdzenia Talesa oraz uniwersalnych linii ±wiata reprezentuj cych rozchodzenie si czoªa fali elektromagnetycznej. Interwaª czasoprzestrzenny. Niech A i B b d dowolnymi zdarzeniami w czasoprzestrzeni, za± c oznacza dalej warto± pr dko±ci ±wiatªa. Niech t i r b d odst pem czasu i odlegªo±ci przestrzenn, zmierzonymi pomi dzy zdarzeniami A i B w ukªadzie inercjalnym spoczywaj cego obserwatora O, za± t i r b d odst pem czasu i odlegªo±ci przestrzenn, zmierzonymi pomi dzy tymi samymi zdarzeniami A i B w ukªadzie inercjalnym spoczywaj cego obserwatora O. Wprowadzamy wielko± zwi zan ze zdarzeniami A i B, któr oblicza si w ka»dym z inercjalnych ukªadów wspóªrz dnych wzorem: s 2 = (c t) 2 ( r) 2, s 2 = (c t ) 2 ( r ) 2. (2.1) 93

10 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek Twierdzimy,»e pomimo i» ró»nice wspóªrz dnych zdarze«w obu ukªadach s na ogóª ró»ne, to prawdziwa jest równo± : s 2 = s 2. Tak okre±lon w dowolnym inercjalnym ukªadzie wspóªrz dnych wielko± pomi dzy zdarzeniami nazywamy interwaªem czasoprzestrzennym. Interwaª czasoprzestrzenny jest miar odlegªo±ci pomi dzy zdarzeniami w czasoprzestrzeni i nie zale»y od wyboru ukªadu inercjalnego. Interwaªy czasowe, zerowe i przestrzenne Zgodnie ze wzorem na interwaª czasoprzestrzenny, mo»e on posiada warto± dodatni, równ zero lub ujemn. Interwaª taki nazywamy odpowiednio: czasowym, zerowym lub przestrzennym. Je»eli warto± interwaªu jest dodatnia, to oznacza (zobacz rysunek oraz wzór 2.1),»e c > r/ t. W zwi zku z tym zdarzenia oddzielone interwaªem czasowym mog by poª czone lini ±wiata ciaªa (zdarzenia mo»e osi ga ciaªo), które porusza si z szybko±ci v = r/ t mniejsz od ±wiatªa. Zdarzenia oddzielone interwaªem zerowym mog by poª czone lini ±wiata punktu poruszaj cego si z pr dko±ci ±wiatªa: c = r/ t (np. punkt czoªa fali elektromagnetycznej). Ukªady wspóªrz dnych s tak skonstruowane, aby pr dko± ±wiatªa byªa taka sama w ka»- dym z nich. Wyra»a si to na diagramach tym,»e linia ±wiata punktu o pr dko±ci ±wiatªa 94

11 EDUKARIS 2.2. *PŠASKA CZASOPRZESTRZE BEZ GRAWITACJI le»y pomi dzy osiami t i r. W jednostkach u»ytych na diagramach c = 1, co wida na ±rodkowym rysunku wy»ej, gdy» oznacza to równo± odcinków: 1 t = r. Zauwa»my,»e odlegªo± mi dzy ró»nymi zdarzeniami w czasoprzestrzeni mo»e wynosi zero. Zdarzenia oddzielone interwaªem przestrzennym mogªyby by poª czone lini ±wiata takiego obiektu, który poruszaªby si z szybko±ci wi ksz od ±wiatªa: c < r/ t. Poniewa» ªamaªoby to Zasad Przyczynowo±ci, obiekty poruszaj ce si z tak szybko±ci nie powinny wi c istnie. Je»eli dwa dowolne zdarzenia na linii prostej w czasoprzestrzeni oddzielone s interwaªem czasowym, to tak lini prost nazywamy czasow. Je»eli proste styczne w ka»dym punkcie do pewnej krzywej (czyli niekoniecznie prostej) s czasowe, to tak krzyw w czasoprzestrzeni nazywamy czasow. Proste czasowe s liniami ±wiata ciaª izolowanych od oddzia- ªywa«, natomiast krzywe czasowe s liniami ±wiata ciaª przyspieszaj cych, czyli poddanych oddziaªywaniom. Dªugo± krzywej czasowej lub prostej czasowej, reprezentuj cej ruch jakiego± ciaªa, jest odmierzana czasem wªasnym tego ciaªa. Analogicznie okre±lamy linie proste i krzywe przestrzenne oraz zerowe. Ani proste przestrzenne, ani krzywe przestrzenne nie mog by liniami ±wiata ciaª, s formalnymi podzbiorami czasoprzestrzeni. Nierówno± trójk ta w czasoprzestrzeni Ze wzoru 2.1 na odlegªo± w czasoprzestrzeni wynika nierówno± trójk ta, którego wierzchoªkami s zdarzenia w czasoprzestrzeni. Rozwa»my trójk t o wierzchoªkach w zdarzeniach ABC, jak na ilustracji. Odcinek AC posiada wi ksz dªugo± czasoprzestrzenn ni» suma czasoprzestrzennych dªugo±ci odcinków AB i BC. Podkre±lamy, wi ksz dªugo± czasoprzestrzenn! Wªasno± ta staje si oczywista na mocy wzoru 2.1, w szczególnym przypadku, gdy odcinek AC umie±cimy na osi czasu. Analogiczne twierdzenie w geometrii przestrzeni euklidesowej jest przeciwne - dªugo± boku trójk ta jest zawsze mniejsza od sumy dªugo±ci pozostaªych boków. Koniecznie zwró my uwag na to,»e wzór na odlegªo± pomi dzy zdarzeniami w czasoprzestrzeni ró»ni si od wzoru d 2 = ( x) 2 +( y) 2 na odlegªo± pomi dzy punktami na pªaszczy¹nie kartezja«skiej ze 95

12 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek wspóªrz dnymi (x, y) tym,»e we wzorze na interwaª jest minus po ±rodku. Ten fakt odró»nia geometri czasoprzestrzeni od geometrii euklidesowej. Jednak rysunki siª rzeczy wykonujemy na pªaszczy¹nie euklidesowej, co utrudnia wizualizacj geometrii czasoprzestrzeni. Geodezyjna w czasoprzestrzeni Z omówionej powy»ej wªasno±ci geometrycznej wynika bardzo wa»ny fakt. Zauwa»my,»e odcinek AC na zamieszczonym wy»ej rysunku przedstawia fragment linii ±wiata ciaªa izolowanego, gdy» odcinek AC jest fragmentem prostej czasowej. Natomiast ªamana ABC nie mo»e by wykresem linii ±wiata ciaªa izolowanego, gdy» nie jest prost. Poniewa» jednak odcinki AB i BC s czasowe i proste, to ªamana ABC mo»e by lini ±wiata ciaªa, które przyspiesza w punkcie B - zmienia swój ruch jednostajny prostoliniowy z AB na BC. W poprzednim paragrae stwierdzili±my,»e dªugo± czasowego odcinka AC jest wi ksza od dªugo±ci czasowej ªamanej ABC. Mo»na wykaza wi cej,»e dªugo± czasowego odcinka AC jest w czasoprzestrzeni najwi ksza spo±ród dªugo±ci wszystkich innych krzywych czasowych ª cz cych A i C (co tªumaczy dylatacj czasu). Powiemy,»e linia czasowa o najwi kszej dªugo±ci w czasoprzestrzeni, ª cz ca dwa zdarzenia, jest geodezyjn czasow. Geodezyjna ma ponadto t cech,»e wektor styczny do niej, przenoszony równolegle wzdªu» geodezyjnej, wci» pozostaje stycznym do geodezyjnej. W przestrzeni mamy sytuacj odwrotn. Dªugo± odcinka ª cz cego dwa punkty przestrzeni jest najmniejsza spo±ród dªugo±ci wszystkich innych krzywych ª cz cych takie punkty. Na powy»szym rysunku linia AC posiada w czasoprzestrzeni dªugo± wi ksz od narysowanych tam innych linii. Podsumujmy geometri czasoprzestrzeni bez grawitacji, która wynika z Zasady Bezwªadno±ci i Zasady Wzgl dno±ci rozszerzonej o zjawiska elektromagnetyczne. Wªasno±ci czasoprzestrzeni bez grawitacji 1. Czasoprzestrze«bez grawitacji jest 4-wymiarow, pªask rozmaito±ci liniow. 2. Miar odlegªo±ci czasoprzestrzennej (metryk ) pomi dzy dwoma zdarzeniami jest interwaª czasoprzestrzenny, którego warto± nie zale»y od wyboru ukªadu wspóªrz dnych i który wyra»a sie wzorem Liniami ±wiata ciaª izolowanych od oddziaªywa«s linie proste czasowe. 4. Linie ±wiata ciaª przyspieszaj cych, czyli poddanych siªom, s krzywymi czasowymi. 5. Odcinek prostej czasowej, ª - cz cy jakie± dwa zdarzenia, posiada najwi ksz dªugo± po±ród innych krzywych czasowych ª cz cych te dwa zdarzenia. 6! Prosta linia ±wiata ciaªa izolowanego od oddziaªywa«nie zale»y od masy tego ciaªa. 96

13 EDUKARIS 2.3. *GRAWITACJA JAKO KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI Chciaªbym zwróci szczególn uwag na punkt ostatni. Otó» punkt ten mówi,»e dana prosta linia ±wiata mo»e by lini ±wiata ciaªa niezale»nie od jego masy. Zauwa»my, i» Zasada Bezwªadno±ci nie mówi nic o masie ciaª. Znaczy to,»e ruch wzdªu» wskazanej prostej i z zadan ciaªu na pocz tku konkretn pr dko±ci, b dzie si dalej odbywaª wzdªu» tej prostej i z tak» pr dko±ci, bez wzgl du na mas ciaªa, gdy tylko ciaªo b dzie dalej izolowane od oddziaªywa«. Geometri czasoprzestrzeni bez grawitacji wyprowadzili±my, rozwa»aj c Zasad Bezwªadno±ci oraz Zasad Wzgl dno±ci. Powiemy,»e oba te fundamentalne prawa zyczne uj te s teraz w geometrii czasoprzestrzeni bez grawitacji. Powiemy,»e omówiona wªa±nie geometria wyra»a podstawowe prawa zyki czasoprzestrzeni bez grawitacji. 2.3 *Grawitacja jako krzywizna czasoprzestrzeni Rozwa»ania prowadz ce do geometrycznych wªasno±ci czasoprzestrzeni bez grawitacji oparli±my na poj ciu ciaªa izolowanego od oddziaªywa«oraz na poj ciu ukªadu inercjalnego. W czasoprzestrzeni z grawitacj ka»de ciaªo podlega grawitacji. W zwi zku z tym nie ma ciaª izolowanych. Mo»e pojawi si pomysª, aby rozwa»a ciaªa, na które dziaªaj siªy równowa» ce siªy grawitacji. Ten pomysª jest bª dny, jak bowiem zobaczymy dalej (o czym ju» wspominali±my w wykªadzie), nie da si za pomoc do±wiadcze«lokalnych stwierdzi, czy w danym ukªadzie odniesienia ciaªa podlegaj grawitacji, czy siªom bezwªadno±ci, czy ich sumie. Dlatego nie b dziemy wiedzieli, czy w danym ukªadzie odniesienia równowa»ymy siª grawitacji, czy mo»e bezwªadno±ci, czy mo»e ich sum. Geometri czasoprzestrzeni bez grawitacji wyprowadzili±my w oparciu o rozwa»ania ruchów ciaª izolowanych od oddziaªywa«. Pami tamy,»e Galileusz nazywaª takie ruchy neutralnymi. Nie ma jednak ruchów neutralnych w Rzeczywisto±ci, gdy» panuje powszechna grawitacja oddziaªuj ca na ciaªa. Rozwa»ajmy zatem ciaªa poddane tylko i wyª cznie grawitacji. Ruchy pod wpªywem jedynie grawitacji s teraz najbardziej naturalnymi ruchami. Geometri czasoprzestrzeni z grawitacj b dziemy próbowali odkry, analizuj c takie wªa±nie naturalne ruchy. *Lokalna Zasada Równowa»no±ci (Silna) Przypominamy,»e na gruncie Teorii Newtona zdeniowali±my takie poj cia, jak masa bezwªadna ciaªa i ªadunek grawitacyjny ciaªa (masa grawitacyjna). Poznali±my tak»e prawo spadków swobodnych, mówi ce o tym,»e ruch ciaª spadaj cych swobodnie w polu grawitacyjnym nie zale»y od ich mas. Konsekwencj tego byªa równo± masy grawitacyjnej i bezwªadnej. Teoria Newtona nie tªumaczy tego faktu, tylko z niego korzysta. Lokalny charakter zjawisk Wyobra¹my sobie ukªad odniesienia, który porusza si swobodnie jedynie pod wpªywem grawitacji. Zaªó»my,»e w takim ukªadzie odniesienia b dziemy dokonywali obserwacji zjawisk dziej cych si na stosunkowo maªych obszarach przestrzeni i trwaj cych stosunkowo krótko. Powiemy,»e b dziemy dokonywali obserwacji lokalnych. 97

14 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek W tym ukªadzie odniesienia b dziemy obserwowali w szczególno±ci zachowanie si ciaª, które tak»e podlegaj tylko grawitacji. Takich obserwacji lokalnych mo»emy dokonywa np. w ukªadzie odniesienia statku kosmicznego poruszaj cego si z wyª czonymi silnikami. Spójrzmy na zamieszczony rysunek. Na rysunku widzimy statek kosmiczny poruszaj cy si jedynie pod wpªywem grawitacji. W pewnej chwili i miejscu, jak to zostaªo oznaczone po lewej stronie rysunku, statek kosmiczny podlega grawitacyjnemu przyspieszeniu a(r). Zgodnie z Zasad Równowa»no±ci ruchów ró»- nych mas w polu grawitacyjnym i zgodnie z zaªo»eniami o lokalno±ci ukªadu odniesienia, temu samemu przyspieszeniu podlegaj tak»e wszystkie ciaªa znajduj ce si wewn trz owego statku (zobacz praw cz ± rysunku). Wprawdzie ciaªa te rozmieszczone s w ró»nych miejscach stosunkowo maªego statku i, gwoli ±cisªo±ci, ich przyspieszenia s ró»ne, ale ró»nice w przyspieszeniach s absolutnie tak nieznaczne,»e z powodzeniem mo»emy zaªo»y, i» wszystkie ciaªa wewn trz statku poruszaj si z tym samym przyspieszeniem co sam statek. W ka»dym razie, obserwacje wykonywane na stosunkowo maªym obszarze przestrzeni statku i trwaj ce krótki czas, nie wykrywaj tych ró»nic przyspiesze«dla ciaª. Na ilustracji widzimy,»e oba kubki, ksi»ka i astronautka Jeny posiadaj takie same przyspieszenia grawitacyjne. Ich przyspieszenia wzgl dne wynosz zero. Oznacza to dalej,»e oba kubki, ksi»ka i astronautka Jeny poruszaj si wzgl dem statku ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaj wzgl dem statku w spoczynku. Tak jakby speªniaªy lokalnie Zasad Bezwªadno±ci. Do tego ciaªa nie naciskaj na siebie nawzajem ani na»adn cz ± statku. W takim lokalnym ukªadzie odniesienia, który porusza si pod wpªywem grawitacji, nie mo»na wykry grawitacji przeprowadzaj c do±wiadczenia lokalne, to znaczy na maªych obszarach przestrzeni i w krótkich odst pach czasowych. Powiemy za Einsteinem,»e nawet zjawiska elektromagnetyczne przebiegaj tam tak samo, jakby w czasoprzestrzeni bez grawitacji. Ten fundamentalny wniosek wyró»nimy. Lokalna Zasada Równowa»no±ci (Silna) Przebieg zjawisk mechanicznych i elektromagnetycznych, zachodz cych w dostatecznie maªym obszarze przestrzeni i trwaj cych dostatecznie krótko, obserwowanych w ukªadach odniesienia, które poruszaj si jedynie pod wpªywem grawitacji, 98

15 EDUKARIS 2.3. *GRAWITACJA JAKO KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI jest taki sam, jak przebieg zjawisk mechanicznych i elektromagnetycznych w czasoprzestrzeni bez grawitacji. Na przykªad ciaªa swobodnie spadaj ce poruszaj si lokalnie w takich ukªadach odniesienia zgodnie z Zasad Bezwªadno±ci oraz lokalnie pozostaje w mocy uniwersalne prawo rozchodzenia si ±wiatªa. To po prostu oznacza,»e lokalny przebieg zjawisk zachodzi dokªadnie tak, jak w ukªadach inercjalnych w czasoprzestrzeni bez grawitacji. *Lokalna pªasko± czasoprzestrzeni z grawitacj Podany wy»ej wniosek ma bodaj najwa»niejsze znaczenie w konstrukcji nowej teorii grawitacji. Powiedzieli±my,»e w ukªadzie odniesienia poruszaj cym si swobodnie w polu grawitacyjnym, mo»emy lokalnie wprowadzi ukªad odniesienia, w którym zjawiska przebiegaj jak w ukªadzie inercjalnym w czasoprzestrzeni bez grawitacji. W zwi zku z tym twierdzimy,»e czasoprzestrze«w dostatecznie maªym jej fragmencie, podkre±lamy - dostatecznie maªym, posiada wªasno±ci geometryczne podobne jak czasoprzestrze«bez grawitacji. Te za± wªasno±ci do± szczegóªowo omówili±my w poprzedniej sekcji. Najwa»niejsze z nich to struktura liniowa oraz wzór na interwaª, czyli odlegªo± czasoprzestrzenn pomi dzy zdarzeniami. Interwaª zadaje nam podziaª na linie czasowe, zerowe i przestrzenne. To wszystko oznacza w szczególno±ci,»e dostatecznie maªy odcinek linii ±wiata ciaªa poruszaj cego si jedynie pod dziaªaniem grawitacji mo»emy uzna za prosty. Wªasno±ci te pozostaj sªuszne w czasoprzestrzeni, ale jedynie na dostatecznie maªym jej fragmencie. Powiemy,»e czasoprzestrze«z grawitacj jest lokalnie podobna do pªaskiej czasoprzestrzeni liniowej. Podobnie jak powierzchnia Ziemi wydaje nam si lokalnie pªaska, gdy obserwujemy jej lokalny fragment - np. powierzchni wody w basenie. Na razie nic nie mówimy o tym, jak czasoprzestrze«wygl da globalnie. O tym za chwil. *Siªy pªywowe Rozwa»my przykªad, w którym odrzucimy zaªo»enia o lokalno±ci. Wyobra¹my sobie cztery ciaªa punktowe rozmieszczone pocz tkowo na wielkim pomy±lanym okr gu. Niech w ±rodku tego okr gu znajduje si pi te ciaªo punktowe, które oznaczymy O. Zaªó»my,»e tak ustalona w chwili pocz tkowej konguracja ciaª rozpoczyna spadek w centralnym polu grawitacji ziemskiej. Zakªadamy,»e ciaªa podlegaj jedynie grawitacji. B dziemy przygl dali si, jak 99

16 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek wygl da ów spadek w ukªadzie odniesienia Ziemi (Z) i w ukªadzie odniesienia zwi zanym ze spadaj cym ±rodkowym ciaªem (O). Konguracj ciaª w chwili pocz tkowej wzgl dem Ziemi przedstawia lewa cz ± rysunku poni»ej. Na rysunku oznaczyli±my strzaªkami wektory przyspiesze«, którym podlegaj poszczególne ciaªa. Nie mo»emy teraz uzna,»e pole grawitacyjne jest takie samo w caªym obszarze konguracji. Dlatego przyspieszenia ciaª w ró»nych miejscach s ró»ne, zarówno je»eli chodzi o warto±ci, jak i zwroty przyspiesze«. Ciaªa opadaj z ró»nymi przyspieszeniami wzgl dem Ziemi oraz wzgl dem ciaªa ±rodkowego, a tak»e wzgl dem siebie. Dlatego wzgl dne ruchy ciaª nie b d ruchami jednostajnymi prostoliniowymi. Na ±rodkowym rysunku porównane s przyspieszenia ciaª A, B, C, D z przyspieszeniem ciaªa ±rodkowego O. Na rysunku po prawej oznaczone s ró»nice ich wektorów przyspiesze«. Ciaªa B i D b d oddalaªy si coraz szybciej od ciaªa O, natomiast ciaªa A i C b d si przybli»aªy coraz szybciej do ciaªa O. Przyspieszenia wzgl dne spowoduj deformacj okr gu spadaj cych ciaª. Na kolejnym rysunku ogl damy, jak wygl da to opadanie w ukªadzie odniesienia zwi zanym z 100

17 EDUKARIS 2.3. *GRAWITACJA JAKO KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI Ziemi. Konguracj przestrzenn ciaª przedstawiamy w dwóch wybranych chwilach czasu. Na rysunku oznaczono odlegªo± ciaª B i D od ±rodka Ziemi w dwóch chwilach czasu. Na nast pnym za± rysunku ogl damy, jak wygl da opadanie ciaª w ukªadzie odniesienia zwi - zanym z ciaªem O. Przedstawiamy konguracj przestrzenn ciaª w ukªadzie odniesienia opadaj cego ciaªa O w dwóch wybranych chwilach czasu. Siªy pªywowe Konguracja spadaj cych ciaª podlega deformacji. Fakt ten, jak zostaªo pogl dowo ukazane powy»ej, nie zale»y od wyboru ukªadu odniesienia. Zjawisko jest konsekwencj niejednorodno±ci pola grawitacyjnego. W deformacji okr gu spadaj cych ciaª przejawia si zatem grawitacja. Ksztaªt tej deformacji mo»na w tym wypadku obliczy z teorii Newtona, niemniej zadanie ±cisªego obliczenia ksztaªtu pominiemy. Rysunki traktujemy pogl dowo. Powiemy jedynie,»e w newtonowskim równaniu, z którego oblicza si tak deformacj jak zmienia si w przestrzeni nat»enie pola grawitacyjnego, czyli stoi wyra»enie opisuj ce niejednorodno±ci pola. Przypomnijmy,»e w newtonowskim równaniu ruchu ciaªa w polu grawitacyjnym, po prawej stronie stoi nat»enie pola grawitacyjnego. Równanie spadku swobodnego i równanie na deformacj ró»ni si od siebie. Mo»na wybra ukªad odniesienia spadaj cy z ciaªem, aby wyeliminowa nat»enie pola grawitacyjnego wzdªu» toru spadku ciaªa, ale nie mo»na wybra ukªadu odniesienia tak, a»eby wyeliminowa wyra»enie informuj ce o zmianach (pochodnych) nat»enia pola grawitacyjnego, opisuj cego deformacje spadaj cej konguracji. Powiedzmy raz jeszcze,»e grawitacja przejawia si w deformacji ksztaªtu konguracji ciaª poruszaj cych si jedynie pod dziaªaniem grawitacji. Je»eli wyobrazimy sobie dalej,»e zamiast naszych ciaª opada sztywna obr cz, to by mo»e siªy reakcji materii obr czy b d przeciwdziaªaªy zmianie jej ksztaªtu. Niemniej obr cz b dzie podlegaªa siªom ±ciskaj cym i rozci gaj cym, dziaªaj cych w ró»nych kierunkach, podobnie jak nasz okr g ciaª podlegaª deformacjom spadaj c. Owe siªy s obiektywnym przejawem grawitacji, którego nie mo»na ju» wyeliminowa, wybieraj c swobodnie spadaj cy ukªad odniesienia. Siªy deformuj ce z naszego przykªadu obserwujemy zarówno w ukªadzie odniesienia Ziemi, jak i w ukªadzie odniesienia spadaj cego ciaªa. Zjawisko to obserwujemy dla ka»dego ruchu odbywaj cego si 101

18 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek pod wpªywem grawitacji, to znaczy niezale»nie od nadanych ciaªom pr dko±ci pocz tkowych. Przyspieszenia grawitacyjne nie zale» od pr dko±ci pocz tkowych ciaª, tylko od miejsc tych ciaª w przestrzeni. Dlatego niekoniecznie musi to by przedstawiony w przykªadzie spadek pionowy na centrum. Du»e ciaªo poruszaj ce si po orbicie koªowej lub eliptycznej w centralnym polu grawitacyjnym, b dzie poddane takim samym siªom rozci gaj cym i ±ciskaj cym, zale» cym od miejsca ciaªa w przestrzeni. Siªy te, nazywane siªami pªywowymi, mo»na zmierzy w ka»dym ukªadzie odniesienia. Przypomnijmy sobie dla odró»nienia,»e ci»aru ciaªa punktowego nie mo»na zmierzy w ukªadzie odniesienia spadaj cym swobodnie. Odró»niamy wi c te siªy pªywowe, które ±ciskaj lub rozci gaj lub skr caj ciaªa rozci gªe przestrzennie, gdy poruszaj si w polu grawitacyjnym, od siª dziaªaj cych w szczególno±ci na ciaªa punktowe, które w teorii Newtona nazywali±my ci»arem. Nie mówimy teraz o ci»arze ciaª, gdy» pomiar jego warto±ci zale»y od ukªadu odniesienia. Mówimy o siªach pªywowych - obiektywnych przejawach grawitacji w ka»dym ukªadzie odniesienia. Nasza nowa teoria grawitacji nie posªuguje si poj ciem ci»aru ciaªa. Przykªadem omawianego zjawiska s przypªywy morskie. Ziemia porusza si po orbicie eliptycznej dookoªa Sªo«ca, ale tak»e porusza si pod wpªywem oddziaªywania z Ksi»ycem dookoªa punktu ±rodka masy Ziemia - Ksi»yc, przypadaj cego wewn trz Ziemi. Siªy pªywowe dziaªaj ce na Ziemi od obu ciaª nie ró»ni si znacz co rz dami wielko±ci, aby które± z nich pomija. Do tego Ziemia wykonuje obrót dookoªa wªasnej osi. To wszystko sprawia,»e siªy pªywowe dziaªaj ce na Ziemi rozci gaj j po obu stronach i ±ciskaj po obu stronach, co przejawia si odpowiednio w przypªywach i odpªywach mórz oraz oceanów. Ze wzgl du na ruch dobowy Ziemi, w danym akwenie wodnym zjawisko zachodzi ±rednio co 12 godzin. *Zakrzywione linie ±wiata swobodnie spadaj cych ciaª Lokalne obserwacje zjawisk doprowadziªy nas do twierdzenia,»e odcinek linia ±wiata ciaªa spadaj cego swobodnie mo»emy uzna za prosty. Globalne obserwacje zjawisk przekonuj, co za chwil ujrzymy,»e linii ±wiata ciaª spadaj cych swobodnie nie mo»emy uzna za proste w sensie globalnym. Linie ±wiata ciaª spadaj cych mogliby±my uzna za proste wtedy, gdyby udaªo nam si wyró»ni takie czasoprzestrzenne ukªady wspóªrz dnych, w których ka»da, podkre±lamy - ka»da linia ±wiata ciaªa swobodnie spadaj cego byªaby prost. Takiego programu jednak nie udaje si wykona. Globalnie zakrzywione linie ±wiata spadaj cych ciaª Na pierwszych dwóch rysunkach ilustracji poni»ej przedstawione s linie ±wiata ciaª B i D, a tak»e Z (Ziemi) oraz ciaªa O z naszego poprzedniego przykªadu. Korzystamy z rysunków i oznacze«na stronach 100 i 101. Linie ±wiata ciaª B i D rysujemy w ukªadzie odniesienia Ziemi, a nast pnie w ukªadzie odniesienia ciaªa O. Linie ±wiata ciaª A i C pomijamy. O± czasu, w danym ukªadzie wspóªrz dnych, jest odpowiednio lini ±wiata ciaªa Z lub O, za± warto±ci na osi przestrzennej r wyra»aj odlegªo±ci ciaª B, D od ciaªa odniesienia. Na kolejnych dwóch rysunkach ilustracji przedstawiamy w sposób analogiczny linie ±wiata ciaª A i C, pomijaj c linie B i D. Czynimy to w ukªadzie wspóªrz dnych zwi zanym z Ziemi, a nast pnie z ciaªem O. Rysunki maj 102

19 EDUKARIS 2.3. *GRAWITACJA JAKO KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI charakter pogl dowy, ksztaªt linii ±wiata mo»e nieznacznie odbiega od ±cisªych rozwi za«równa«ruchu. Nasz p czek linii ±wiata ciaª A, B, C, D, O zachowuje si tak,»e linie B i D odginaj si od linii O, za± linie ±wiata ciaª A i C nachylaj si ku linii O. Ponadto wszystkie linie A, B, C, D, O zaginaj si w kierunku linii Z. To ostatnie jest przejawem przyci gania ciaª A, B, C, D, O przez Z, natomiast to pierwsze jest przejawem wªasno±ci niejednorodno±ci pola grawitacyjnego. Widzimy,»e w»adnym z ukªadów odniesienia nie mo»na przedstawi globalnie wszystkich linii ±wiata jako linii prostych. Linie ±wiata ciaª poruszaj cych si pod wpªywem grawitacji nie mog by wszystkie przedstawione jako linie proste w jakim± ukªadzie odniesienia. To znaczy,»e w czasoprzestrzeni z grawitacj nie mo»emy wprowadzi inercjalnych ukªadów odniesienia. *Krzywizna czasoprzestrzeni i geodezyjne Linie ±wiata ciaª poruszaj cych si pod wpªywem grawitacji posiadaj krzywizn, której nie uda si wyeliminowa poprzez odpowiedni wybór ukªadu wspóªrz dnych. Owa krzywizna caªych p czków linii ±wiata jest obiektywna i nieusuwalna poprzez odpowiedni wybór 103

20 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek ukªadu wspóªrz dnych. Jest wi c cech zwi zan z geometri czasoprzestrzeni. Dlatego nie mo»emy wprowadzi struktury liniowej w czasoprzestrzeni z grawitacj. Rezygnacja ze struktury liniowej nakazuje rozpatrywa czasoprzestrze«jako rozmaito± posiadaj c krzywizn. Po prostu, rezygnuj c z czego± bardzo szczególnego, jak struktura liniowa rozmaito±ci, musimy rozwa»a rozmaito±ci najbardziej ogólne, czyli posiadaj ce krzywizn. Zauwa»my rzecz niesamowit - konstruujemy teori dokonuj c uogólnie«, poprzez odrzucenie szczególnej wªasno±ci. Lokalnie proste linie ±wiata spadaj cych ciaª Powiedzieli±my,»e linie ±wiata spadaj cych ciaª posiadaj krzywizn. Z drugiej strony, odcinki linii ±wiata ciaª swobodnie spadaj cych s lokalnie odcinkami prostymi czasowymi. Przypomnijmy sobie bowiem Lokaln Zasad Równowa»no±ci oraz rysunek na stronie 99. Pami tamy tak»e,»e przenoszenie równolegªe wektora stycznego wzdªu» prostej czasowej w czasoprzestrzeni bez grawitacji nie zmieniaªo tego wektora. Przypomnijmy sobie w tym celu rysunek i wiadomo±ci na stronie 96. T wªasno±, na mocy Zasady Równowa»no±ci lokalnej, utrzymujemy co najmniej lokalnie wzdªu» maªego odcinka prostego linii ±wiata ciaªa spadaj cego swobodnie. Poniewa» lini ±wiata ciaªa spadaj cego swobodnie mo»na traktowa jako zªo»enie bardzo wielu maªych odcinków prostych czasowych, to stwierdzamy,»e wektor styczny przenoszony wzdªu» takiej linii ±wiata wci» pozostaje stycznym. Linie ±wiata o tej wªasno±ci nazwiemy geodezyjnymi. Geodezyjne s liniami, o których chciaªoby si powiedzie,»e s jakby najbardziej prostymi jak tylko to mo»liwe, ale w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Analogiczn sytuacj mamy na powierzchni sfery: mo»emy wyruszy w podró» po kuli ziemskiej, caªy czas id c prosto, wzdªu» lokalnie odkªadanych równolegle prostych pr tów, jednak w ten sposób globalnie zakre±limy koªo wielkie. Koªo wielkie jest geodezyjn na sferze, a jego male«ki fragment uznajemy za odcinek prosty. Geodezyjna lokalnie wygl da jak prosta i przedªu»a si w kierunku swojego wªasnego wektora stycznego. Ponadto, podobnie jak w czasoprzestrzeni bez grawitacji, linia geodezyjna czasowa ª cz ca jakie± dwa zdarzenia jest jedna i posiada najwi ksz dªugo± po±ród innych krzywych czasowych ª cz cych te zdarzenia. Podsumujmy nasze rozwa»ania. 104

21 EDUKARIS 2.3. *GRAWITACJA JAKO KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI Linie ±wiata ciaª poruszaj cych si jedynie pod wpªywem grawitacji s geodezyjnymi czasowymi w czasoprzestrzeni. Zwracam uwag, jak»e naturalnym uogólnieniem Zasady Bezwªadno±ci jest powy»sze stwierdzenie. Krzywizna rozmaito±ci Powró my na chwil do ogólnych rozwa»a«o rozmaito±ci. Tak zwana rozmaito± ró»niczkowalna jest obiektem posiadaj cym t wªasno±,»e w ka»dym lokalnym, dostatecznie maªym obszarze wydaje si pªaska. To oznacza,»e przeniesienie równolegªe wektora, które odbywa si lokalnie, jest podobne do przeniesienia równolegªego wektora na rozmaito±ci liniowej. Dlatego wªa±nie potramy przenosi równolegle wektor wzdªu» dowolnej krzywej na rozmaito±ci. Jednak, cho lokalne przenoszenie wektora odbywa si jak na rozmaito±ci liniowej, to krzywizna rozmaito±ci wpªywa na caª t procedur. Otó» przeniesienie wektora v z punktu p do punktu q zale»y od krzywej ª cz cej oba punkty. Oznacza to,»e wektor przeniesiony równolegle po krzywej γ 1 z punktu p do punktu q ró»ni si od wektora przeniesionego równolegle po innej krzywej γ 2 z punktu p do punktu q. Pami tamy,»e na rozmaito±ci liniowej efekt ten nie wyst puje. Miar ró»nicy wektorów przeniesionych równolegle wzdªu» ró»nych krzywych jest obiekt, który nazywa si tensorem krzywizny Riemanna. Okazuje si,»e w czasoprzestrzeni z grawitacj tensor krzywizny Riemanna opisuje siªy pªywowe. Podkre±lamy,»e grawitacja jest zakodowana w krzywi¹nie czasoprzestrzeni. Przypomnijmy sobie ze strony 103 linie ±wiata ciaª swobodnie opadaj cych na centrum grawitacyjne, narysowane w dwóch ró»nych ukªadach wspóªrz dnych: (t, r z ) lub (t, r o ). Te linie ±wiata, wykre±lone na stronie 103 we wspóªrz dnych t i r, s liniami najbardziej prostymi jak to mo»liwe (s geodezyjnymi), ale w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Zaznaczmy,»e chodzi o krzywizn w czasie i przestrzeni, a nie tylko w przestrzeni, jak to czasem ilustrowane jest w programach popularnych. Przypomnijmy, jak trudno wyobra»ali±my sobie pªaszczyzn czasoprzestrzenn t, r, czyli czasoprzestrze«nie zakrzywion. Trudno± wynikaªa z faktu, i» wzór na odlegªo± czasoprzestrzenn pomi dzy zdarzeniami ma posta : s 2 = (c t) 2 ( r) 2 i»e jego konsekwencj jest odwrócona nierówno± trójk ta, przecz ca naszym intuicjom i przyzwyczajeniom wyniesionym z geometrii euklidesowej. Teraz z kolei dochodzi dodatkowa trudno±, jak jest wyobra»anie sobie geometrii takiej zakrzywionej powierzchni czasoprzestrzennej. Gdyby takie wyobra»enia byªy mo»liwe, to obrazki ze strony 103 mogliby±my ulepszy, rysuj c linie ±wiata ciaª A, B, C, D, O i Z jako linie najbardziej proste, ale na jakiej± zakrzywionej powierzchni, na której lokalnie zadaliby±my wspóªrz dne t i r. Niestety, ka»da wizualizacja, czy to 2D, czy 3D, wykonywana jest w geometrii przestrzennej, a nie czasoprzestrzennej. Pozostaje nam zda si na formalne wzory matematyczne i nic wi cej. Nauczyli±my si ju» od Newtona i Galileusza,»e zyki nie uprawia si w oparciu o wyobra»enia zmysªowe. Warto jednak poda najprostszy i tylko jako±ciowy przykªad rozmaito±ci zakrzywionej oraz przejawów krzywizny przy przeniesieniu równolegªym wektora. Zaznaczamy,»e przy- 105

22 ROZDZIAŠ 2. *PODSTAWY TEORII GRAWITACJI EINSTEINA Mariusz Mroczek kªad b dzie dotyczyª dwuwymiarowej rozmaito±ci przestrzennej (ale nie czasoprzestrzennej), jak jest sfera, czyli powierzchnia kuli. Wyobra¹my sobie tylko i wyª cznie sfer i nic, co jest poza sfer. Przypomnijmy sobie dalej,»e powierzchnia niewielkiego basenu albo powierzchnia lodowiska wydaj nam si idealnie pªaskie, pomimo»e w istocie stanowi niewielki fragment powierzchni sferycznej (kuli ziemskiej). Na takiej lokalnie pªaskiej powierzchni potramy przenosi równolegle sztywne i krótkie pr ty: pr ty mo»emy ukªada równolegle jeden obok drugiego wzdªu» linii lokalnie równolegªych lub jeden za drugim wzdªu» linii lokalnie prostej. Poniewa» wªa±nie sfera wydaje si pªaska w lokalnym otoczeniu dowolnego jej punktu, to wiadomo, jak przenosi równolegle wektor styczny do takiej sfery. Przedªu»anie linii lokalnie caªy czas w kierunku wektora stycznego do niej, czyli przydªu»anie linii w wyniku przenoszenia równolegªego wektora stycznego do tej linii (pr t równolegle za pr tem), prowadzi na sferze do zakre±lenia okr gu wielkiego. Zakre±lenie innego okr gu na sferze (nie okr gu wielkiego) wymagaªoby przenoszenia wektora z jednoczesnym staªym obracaniem go o pewien k t. Wiedz o tym»eglarze, którzy - aby utrzymywa ruch statku wzdªu» równole»nika (który nie jest równikiem)- musz caªy czas utrzymywa nieznaczny zakr t statku w stron bieguna. Dowolna cz ± koªa wielkiego na sferze jest geodezyjn. Przejawem krzywizny sfery jest fakt,»e wynik przeniesienia równolegªego wektora stycznego do sfery zale»y od drogi, wzdªu» której si to czyni. Rozwa»my wektor v zaczepiony w pewnym punkcie A nale» cym do sfery oraz rozwa»my dwie drogi na sferze: AC i ABC. Przyjmijmy dla uªatwienia wizualizacji,»e krzywe AB, BC i AC s geodezyjnymi na sferze i stanowi wier kóª 106

Kwantowa teoria wzgl dno±ci

Kwantowa teoria wzgl dno±ci Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 16 wrze±nia 2006 Plan wykªadu Grawitacja i geometria 1 Grawitacja i geometria 2 3 Grawitacja Grawitacja i geometria wedªug Newtona:

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

r = x x2 2 + x2 3.

r = x x2 2 + x2 3. Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Kinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka

Kinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski   ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem

Bardziej szczegółowo

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a, Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

1 Trochoidalny selektor elektronów

1 Trochoidalny selektor elektronów 1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny

1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Dynamika 3/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Dynamika

Dynamika 3/15. Andrzej Kapanowski   ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Dynamika Dynamika 3/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Dynamika jest cz ±ci mechaniki klasycznej, która zajmuje si

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne. WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Zwierciadªa. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Zwierciadªa. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 Spis tre±ci 1 2 Jak konstuowa obraz w zwierciadle pªaskim 3 Konstrukcja obrazu w zwierciadle kulistym wkl sªym Równanie

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006 Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy

Bardziej szczegółowo

TOM I MECHANIKA I GRAWITACJA

TOM I MECHANIKA I GRAWITACJA Mariusz Mroczek Kurs zyki dla maturzystów i kandydatów na wy»sze uczelnie TOM I MECHANIKA I GRAWITACJA Mechanika i grawitacja jest tomem I podr cznika: Kurs zyki dla maturzystów i kandydatów na wy»sze

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Dynamika. Adam Szmagli«ski. Kraków, Instytut Fizyki PK

Dynamika. Adam Szmagli«ski. Kraków, Instytut Fizyki PK Dynamika Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 22.10.2016 Pierwsza Zasada Dynamiki Newtona Ka»de ciaªo pozostaje w spoczynku lub porusza si ruchem jednostajnym prostoliniowym, je±li nie dziaªaj na

Bardziej szczegółowo

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych: Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow

Bardziej szczegółowo

Rys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy

Rys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N)

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.

Bardziej szczegółowo

(wynika z II ZD), (wynika z PPC), Zapisujemy to wszystko w jednym równaniu i przeksztaªcamy: = GM

(wynika z II ZD), (wynika z PPC), Zapisujemy to wszystko w jednym równaniu i przeksztaªcamy: = GM ODPOWIEDZI, EDUKARIS - kwiecie«2014, opracowaª Mariusz Mroczek 1 Zadanie 1.1 (2 pkt) Zmiana kierunku wektora pr dko±ci odbywa si, zgodnie z II ZD, w kierunku dziaªania siªy. Innymi sªowami: przyrosty pr

Bardziej szczegółowo

Liczby zmiennoprzecinkowe

Liczby zmiennoprzecinkowe Liczby zmiennoprzecinkowe 1 Liczby zmiennoprzecinkowe Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów na cz ± caªkowit oraz m na

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków

Bardziej szczegółowo

Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan

Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola

Bardziej szczegółowo

Proste modele o zªo»onej dynamice

Proste modele o zªo»onej dynamice Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v) Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla

Bardziej szczegółowo

Pole grawitacyjne 5/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków

Pole grawitacyjne 5/15. Andrzej Kapanowski   ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków Pole grawitacyjne 5/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Wprowadzenie Oddziaªywanie grawitacyjne jest jednym z czterech podstawowych

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Lekcja 12 - POMOCNICY

Lekcja 12 - POMOCNICY Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Ukªady równa«liniowych

Ukªady równa«liniowych dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie krzywej rotacji Galaktyki na podstawie danych z teleskopu RT3

Wyznaczanie krzywej rotacji Galaktyki na podstawie danych z teleskopu RT3 Wyznaczanie krzywej rotacji Galaktyki na podstawie danych z teleskopu RT3 Michaª Litwicki, Michalina Grubecka, Ewelina Obrzud, Tomasz Dziaªa, Maciej Winiarski, Dajana Olech 27 sierpnia 2012 Prowadz cy:

Bardziej szczegółowo

Teoria wzgl dno±ci Einsteina

Teoria wzgl dno±ci Einsteina Fizyka dla Informatyków Wykªad 12 Katedra Informatyki Stosowanej P J W S T K 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Wst p 2 3 4 Spis

Bardziej szczegółowo

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Dynamika Bryªy Sztywnej

Dynamika Bryªy Sztywnej Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Mariusz Mroczek. II Prawo Ruchu Newtona oraz Prawo Pól w ruchu pod dziaªaniem siªy (do)centralnej

Mariusz Mroczek. II Prawo Ruchu Newtona oraz Prawo Pól w ruchu pod dziaªaniem siªy (do)centralnej II Prawo Ruchu Newtona oraz Prawo Pól w ruchu pod dziaªaniem siªy (do)centralnej Spis tre±ci Wst p............................................... 2 II Prawo Ruchu Newtona....................................

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +

Bardziej szczegółowo

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji). Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo