Analiza Matematyczna część 4

[wersja z 6 III 7] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski

Analiza funkcji wielu zmiennych

Przestrzeń wektorowa (liniowa) x, y, z X - wektory, a, b - skalary, tj. liczby pewnego ciala K x+ y = y + x przemiennosć dodawania ( x+ y) + z = x+ ( y + z) laczmosć dodawania + x = x istnienie wektora zerowego, X x y: x+ y = istnienie wektora przeciwnego, y = x x = x abx ( ) = ( abx ) a( x+ y) = ax+ ay Inna notacja: x = x ( a+ b) x = ax+ bx X nazywamy przestrzenią wektorową (lub liniową) nad cialem K 3

Przyklad: wektory na plaszczyźnie X = R, K = R x x+ y ax x =, x y,, ax x + = = = x + y ax n ax i i i= n Jeżeli ax = a = a =... = a =, i= - kombinacja liniowa i i n to wektory x, i =,..., n nazywamy liniowo niezależnymi i A X napina X jeżeli każdy wektor z X mozna zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów z A. Jeżeli ponadto wektory z A są liniowo niezależne, to A nazywamy bazą przestrzeni X. 4

Przestrzeń wektorowa unormowana : X R - norma ) x x >, = ) x + y x + y 3) ax = a x Tw. Przestrzeń unormowana ( X, ) jest przestrzenią metryczną z metryką ρ(x,y) = x y. (norma indukuje metrykę, ale metryka nie indukuje normy) D: ρ : X X R+ {} ) ρ(x,x) = =, ) ρ(x,y) = ρ(y,x), 3) ρ(x,z) = x z = x y + y z x y + y z = ρ(x,y) + ρ(y,z) Przyklad: X = R n, x = x + x +... + x n (dlugosć wektora) 5

Baza kanoniczna: Iloczyn skalarny wektorów e =, e =,..., en = x = xe+ xe+... + xnen, y = ye+ ye+... + ynen Iloczyn skalarny: x y = xy+ xy +... + xnyn Tw. x = x x dla normy euklidesowej Tw. Z nierównosci Schwarza x y x y Ponadto x y =± x y dla x = αy, α > - równolegle, α < - antyrównolegle i rcos φ r'cos φ' x = y = x = r y = r r sinφ r 'sin φ' x y = rr'(cosφcos φ' + sinφsin φ') = rr'cos( φ φ') Przyklad: R,,,, ' i 6

Przyklady: n n ) X =, K =, x y = x y + x y +... + x y, x = x x +... + x x n n ) X przestrzeń funkcji rzeczywistych calkowalnych na przedziale [a,b] Iloczyn skalarny: ( ) ( ) b b f g = f x g x dx, f = f( x) dx a 3) X - pre z strzeń ciągów o wyrazach rzeczywistych, ( a ) n n, n(( n) takie, że wyrażenia mają sens) n= n= a b= a b a = a a a n n n 7

Odwzorowanie liniowe XY, - przestrzenie wektorowe nad cialem K Odwzorowanie liniowe L: X Y : xy, X ab, KLax : ( + by) = alx ( ) + bl( y) n k Odwzorowanie L: R R można przedstawić w postaci macierzy o n kolumnach i k wierszach a a a n x a a a n x Lx= = y ak ak akn xn n k Tw. Odwzorowanie liniowe R R jest ciągle 8

Konwencja Einsteina o sumowaniu (fiz.) n m= k A B = A B... m...... m...... m...... m... (sumujemy po powtarzających się wskaźnikach) n a b = a b = y m= ( AB) = A B - iloczyn macierzy kk n k = m kk m = Mx y = αβ αγ γβ ab m m M x k kl l M = M = TrM - slad macierzy 9

Pochodna cząstkowa n f : R R, y = f( x) = f( x, x,..., xn) Pochodna cząstkowa po x w punkcie x: f f( x,..., xk + δ,..., xn) f( x,..., xk,..., xn) ( x) = lim x δ k δ Inna notacja: f ( x), f ( x) x k k k Pochodną funkcją cząstkową po x nazywamy funkcję f przyporządkowującą każdemu x wartosć ( x) x Pochodna cząstkową po x k wyliczamy tak samo, jak zwykłą pochodną, traktując pozostałe zmienne jako stałe f( x, y, z) = zsin( xy) f ( x, y, z) = zy cos( xy), f ( x, y, z) = zx cos( xy), f ( x, y, z) = sin( xy) x y z k k

Pochodna Frécheta n Rozważmy f : R R k. Pochodna Frécheta zdefiniowana jest jako odwzorowanie n k liniowe A: R R takie, że f( x + h) f( x) Ah lim = (uwaga, f( x) jest wektorem o k skladowych!) h h f f f ( x) ( x) ( x) x x x Wiersze macierzy A stanowią n pochodne cząstkowe kolejnych f f f ( ) ( ) ( ) Tw. A = x x x składowych funkcji f. Wierszy jest x x x k (wymiar przeciwdziedziny), a n kolumn n (wymiar dziedziny). fk fk fk ( x) ( x) ( x) x x x n f( x, y) xy y x k = 3, n =, f( x, y) = f( x, y) = x+ y, f '( x, y) = A= f3( xy, ) x y

Gradient n f : R R Gradientem nazywamy pochodną Frécheta funkcji f, tj. f( x) f( x) f( x) f( x) = grad f( x) =,,..., x x xn Operator Nabla =,,..., x x xn f( x, y) = x + y, f( x) = x, y ( )

Pochodna kierunkowa n k n f : R R, u R, u =, h R. Pochodna kierunkowa w kierunku u: f f( x + δu) f( x) ( x) = f u ( x) = lim u δ δ f Tw. Jeżeli A jest pochodną Frécheta w punkcie x, to ( x) = Au u f( x + h) f( x) Ah D: h = δu, lim = h h f( x + δu) f( x) δau lim = f u ( x) Au = δ δ Pochodna kierunkowa f jest największa w Tw. Dla k = mamy ( x) = u f u u kierunku gradientu! u f f f f f f f D: ( x) Au,,..., = = = u + u +... + un = u f u x x xn x x xn un 3

Interpretacja geometryczna gradientu f ( x, y) = x y f( x, y) = ( x, y) F = V 4

Pochodna funkcji złożonej k m m n f : R R, g: R R, posiadające pochodne Frécheta w punkcie x i y = g( x). Tw. Pochodna Frecheta funkcji f g wynosi f g '( x) = f '( y) g'( x) ( ) ( ) f f g g ( g( x)) ( g( x)) y y ( x) ( x) m x x n f g '( x) =, fk fk gm gm ( g( x)) ( g( x)) ( x) ( x) y y m x x n ( f g) ( x) i fi( g( x)) f y i j notacja tensorowa: = = ( x) x x y x l l x y m =, k = n = 3, f( y) = + y3, g( x) = x x y, f( g( x)) = + sinx sin x y f '( y),,, g'( x) x =, ( f g) '( x),, x = cos x y y = = + 4 x cos x cos x j l 5

h( α( s,), t β(,), s t γ(,)) s t h α h β h γ = + + s α s β s γ s h( α(,), s t β(,), s t γ(, s t)) h α h β h γ = + + t α t β t γ t κ( f( x, y), y) κ f = x f x κ ( f( x, y), y) κ f κ = + y f y y 6

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów n f U R, f : U R, ( x) różniczkowalna x i f Pochodna cząstkowa drugiego rzędu: ( x) = fxx = f j i x x f f f f Tw. W U istnieją pochodne i, ciągle w x. Wtedy =. x x x x x x x x i D: Φ ( xy, ) = f( x + h, y+ k)- f( x, y+ k)- f( x+ h) + f( x, y) ϕ( xy, ) = f( x+ hy, ) f( xy, ), ψ( xy, ) = f( xy, + k) f( xy, ) Z Tw. Lagrange'a o wartosci sredniej θ, θ, η, η (,) : j j j i i Φ ( xy, ) = ϕ( xy, + k) ϕ( xy, ) = kϕ ( xy, + θ k) ϕ ( xy, + θ k) = f( x+ hy, + θ k) f( xy, + θ k) = hfxy( x+ θh, y+ θk) y Φ ( xy, ) = hkf ( x+ θ hy, + θ k) xy Podobnie Φ ( xy, ) = ψ( x+ hy, ) ψ( xy, )... Φ ( xy, ) = hkf ( x+ η hy, + ηk) yx y f ( x+ θ h, y+ θ k) = f ( x+ η h, y+ ηk). Z ciaglosci f ( x, y) = f ( x, y) xy yx xy yx ji i j j i 7

3 f f Pochodna cząstkowa rzędu trzeciego: ( x) = = x x x x x x k j i k j i f kji f = + 3 : R R, f( x, y, z) x yx f = x+ y, f = x, f =, f = f =, f = x y xx xy yx yy a b g : R R, g( a, b) = ab a b ga =, gb =, gaa = b a, gab =, gbb = 8

Operator Laplace a i dywergencja (fiz.) Operator to funkcja, która funkcji przyporządkowuje Operator Laplace'a (laplasjan) Δ= = = + + + = n i i i i... n i= f Δ f( x,..., x ) = +... + n x xn 3 f( x, y) = x + y + x, Δ f = 4+ 6x n n Dywergencja: g : U R R (pole wektorowe) g gn div g = igi = g = +... + x x x (,, ), xyz gxyz= zy g= + z + xy f n funkcję. 9

Elementy rachunku tensorowego (fiz.) dla i = j Delta Kroneckera: δij = dla i j tensor symetryczny : δ = δ, δ = n (wymiar przestrzeni) δ A x = A, = δ i ij... j...... i... ij x j ij ji ii Pseudotensor Levi-Civity (w 3 wymiarach): ε ε = ε = ε =, ε = ε = ε = 3 3 3 3 3 3 tensor calkowicie (we wszystkich wskaźnikach) antysymetryczny εijkεilm = δ jlδkm δ jmδkl, εijkεijm = δkm, εijkεij k = 6 Iloczyn wektorowy (a b) = ε a b i ijk j k iˆ ˆj kˆ równoważny zapis: a b = a a a 3 b b b 3 ijk, pozostale =

ε a ε bc = ε ε a bc = ( δ δ δ δ ) a bc ijk j klm l m kij klm j l m il jm im jl j l m = δδ abc δ δ abc = acb abc a ( b c) = a c b a b c il jm j l m im jl j l m j j i j j i ( ) ( ) ε abε cd = ( δ δ δ δ ) abcd = acbd bca a b c d = b a d b c ijk j k ilm l m jl km jm kl j k l m j j k k j j k k ( ) ( ) ( a c)( d) ( )( ) d

Rotacja (fiz.) 3 3 f : U R R rot f = f, rot f = ε ( ) i f ijk j k ε f = ε f = ε f = ( i j) = ε f = ε f i ijk j k ijk i j k jik i j k ijk j i ijk i j iεijk j fk = div (rot f ) = rot grad f = i( u( x) fi( x)) = fi iu+ u i fi div ( uf ) = f u + u f = f grad u+ u div f

Wzór Taylora dla wielu zmiennych (fiz.) f U R R P = x y P x+ h y + k PP U :, (, ), (, ), j j j j f( x, y) j l l d f( x, y) = h k dwa wymiary, n czlonów j l l i l = x y Tw. f ma ciągle pochodne cząstkowe rzędu n w U θ (,): n n d f( P ) d f( P) d f( P) d f( x + hθ, y + kθ )) f( P) = f( P ) + + +... + +!! ( n )! n! m Dla d wymiarów i n = czlonów, f : R R, mamy θ f( x + h) = f( x) + h + hh d d d f( x) f( x + h) i i j i= xi i= j= xi xj d f : U R R d-wymiarów = f( x) + if( x) hi + i j f( x + θh) hh i j i id f( a,..., ad ) i id f( x,..., xd ) =...... ( x a)...( xd ad) (szereg) i id x x i!... i! i = i = d d 3

Przyklad: y x xy x y xy x xy 7x y f( x) = sin( x)cos( xy) e x xy + + + + 6 6 6 4 3 3 3 5 4 3 dokładna przybliżona wielomianem 4

Ekstrema funkcji wielu zmiennych Tw. (warunek konieczny ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie x i ma w tym f( x ) pochodne cząstkowe, to =. x i Dowód: Ustalmy i, następnie rozważmy g( x) = f(..., x, x, x Funkcja gx ( ) ma ekstremum dla x= x, i i x+, a zatem z tw. o warunku,...). dg( x) koniecznym ekstremum dla funkcji jednej zmiennej mamy =, dx f(..., xi, x, xx+,...) co oznacza =. x f( x, y) = x + y x =, y = f ( x, y) f( x, y) = = x y 5

Forma kwadratowa to wyrażenie postaci (konwencja Einsteina o sumowaniu!) gh ( ) = h i a ij h j (np. x + y z zx+ xy) Forma kwadratowa jest dodatnio okreslona, jeżeli h : g( h) > a ujemnie okreslona, jeżeli h : g( h) <. Jeżeli nie zachodzi żaden z tych przypadków, to forma jest nieokreslona. f( x) Tw. Rozważmy formę d f( x)( h) = hh i j i niech f( x) ma ciągle pierwsze xi x j f( x ) i drugie pochodne w okolicy x, oraz =. Wtedy jeżeli xi a) d f( x)( h) jest dodatnio okreslona to f ma w x minimum lokalne b) d f( x)( h) jest ujemnie okreslona to f ma w x maksimum lokalne c) d f( x )( h) jest nieokreslona to f nie ma w x ekstremum lokalnego 6

Minorem rzędu k macierzy a rzędu m nazywamy wyznacznik utworzony z pierwszych k rzędów i pierwszych k kolumn tej macierzy: A k a a k k a = a kk Tw. Forma gh ( ) = hah jest dodatnio okreslona, jeżeli wszystkie jej minory są i ij j A > k = m A > k = m k dodatnie, k,,,..,, a ujemnie okreslona, jeżeli (-) k,,,..,. Jeżeli nie zachodzi żadna z tych dwóch sytuacji, to forma jest nieokreslona. Przypadek m = : W= f ( x, y) f( x, y) x x y f( x, y) f( x, y), = = f ( x, y) f( x, y) x y xy y f( x, y) ) W >, > - minimum x f( x, y) ) W >, < - maksimum x 3) W < - punkt siodlowy 4) W = - brak rozstrzygnięcia 7

minimum maksimum 8

Siodło: f(x)=x -y +xy 9

Poszukiwanie ekstremów globalnych na obszarze domkniętym: ) znalezienie ekstremów lokalnych we wnętrzu ) inspekcja brzegu i "rogów" 3

Funkcje uwikłane (fiz.) F( x, y) - ciągla, F( x, y) = y = y( x) - funkcja uwiklana Tw: F( x, y ) =, F, F - ciągle w otoczeniu ( x, y ), F ( x, y ) x y y ) ε > δ > x ( x δ, x + δ) jedyne y ( y ε, y + ε) : F( x, y) = ) y'( x) = Fx ( x, yx ( )) F ( x, y( x)) y F x y = x + y = y = x Fx = x, Fy = y y'( x) =, y'( ) = - mamy "bez wysilku" y (, ), x - równanie okręgu i punkt doń należący F( x y F y = x x y + x y x = y = - nie da się odwiklać! y, ) ( )sin, (,) = y xy x sin y y '( x) =, y'() = y xln x y + ( x )cos y 3

Wyprowadzenie ): F( x, y( x)) =, d F ( x, y ( x )) = F x( x, y ) + y '( x ) F y( x, y ) = dx + + + = Ponadto Fxx y'( x) Fxy y''( x) Fy ( y'( x)) Fyy F x F x Fxx Fxy + y''( x) Fy + Fyy = F y F y F F y ''( x) = F F F + F xx y xy x y 3 Fy Fxx Ekstremum yx ( ) : y'( x) = Fx = y''( x) = F yy F x y 3

Przyklad krzywej trzeciego stopnia: Lisć Kartezjusza F x y = x + y 3xy = 3 3 (, ) F = y x y + y y y y x y 6 3 3 3 3 3 3 x y 3 3 (, ) (,) (, ) ( 4, ) F x y y y y x x x x x 3 3 3 6 3 ' = = ' = dla = + 3 = Fy 3y 3x x =, y = F y '' = 3 xx 3 4, F F F F + F F y xy x y yy x 3 Fy 6 x(3y 3 x) + 6(3x 3 y)(3y 3 x) + 6 y(3x 3 y) = 3 (3y 3 x) (po wstawieniu) y''( x, y ) < - maksimum = 33

Ekstrema warunkowe (fiz.) f, g: R R Funkcja f ma w punkcie ( x, y ) maksimum warunkowe, jeżeli δ > x, y: ( x- x ) + ( y- y ) < δ g( x, y) = f( x, y ) f( x, y) analogicznie: minimum... f( x, y ) f( x, y) g gxy (, ) = y= yx ( ), y' = g x y g x Rozważmy F( x) = f( x, y( x)) F'( x) = fx + fyy' = fx fy = g funkcja może mieć ekstremum gdy fg = f x Przyklad: (, ), (, ) warunek: y = x, x = y =± x y y x y = x+ y g x y = x + y fg y fg x y y x g y fg 34

Metoda mnożników Lagrange a (fiz.) Tworzymy pomocniczą funkcję Φ ( x, y) = f( x, y) λg( x, y), gdzie λ nazywa się mnożnikiem Lagrange'a lub czynnikiem nieoznaczonym Lagrange'a. Następnie znajdujemy ekstrema funkcji Φ tak, jakby zmienne x i y byly niezależne. Rozwiązujemy uklad równań Φ =, Φ =, gxy (, ) =. x y Dowód: Φ = f + λg =, Φ = f + λg =. Eliminując λ dostajemy f g = f g x x x y y y x y y x. Dla n zmiennych i k warunków mamy następujące uogólnienie: Φ( x, x,..., x ) = f( x, x,..., x ) + λ g ( x, x,..., x ) +... + λ g ( x, x,..., x ) Szukamy ekstremum n n n k k n Φ ( x, x,..., x ) = f( x, x,..., x ) + λ g ( x, x,..., x ) +... + λ g ( x, x,..., x ) = j n j n j n k j k n Ponadto g ( x, x,..., x ) =, r =,..., k, co lacznie daje n+ k równań na n+ k niewiadomych r ( n zmiennych x i k czynników λ). n 35

Przyklad: znajdź największą i najmniejszą wartosć formy kwadratowej w trzech wymiarach, f = x a x, a = a, przy warunku gx (, x, x) = x + x + x =. 3 3 i ij j ij ji Φ / = ( a λ) x + a x + a x = x 3 3 Φ y / = ax + ( a λ) x a3x3 + = Φ / = a x + a x + ( a λ) x = z 3 3 3 3 3 (*) a λ a a 3 a a λ a = 3 a a a 3 3 3 λ co daje 3 pierwiastki λ, λ, λ. Ponadto, mnożąc (*) przez x i dodając stronami 3 3 dostajemy f( x, x, x ) = λ( x + x + x ). Wniosek: maksimum i minimum warunkowe 3 funkcji f pokrywa się z maksymalną i minimalną wartoscią λ. i i 36

Krzywe i rozciągłości wielowymiarowe Φ V R U R k n Φ Φ k n :, homeomorfizm (, i ciągle), U, V otwarte. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią (hiperpowierzchnią, rozciągloscią, rozmaitoscią) Jeżeli Φ jest homeomorfizmem regularnym ( x V rząd Φ '( x) = k) to U nazywamy k-wymiarową powierzchnią gladką k= - zerowymiarowa powierzchnia (punkty izolowane) k= - krzywa, linia k= - powierzchnia k> - hiperpowierznia 37

Przyklad: π π cost sint k =, n=, U = (, ), Φ=, ', : ' rz ' luk gladki t U sint Φ = cost Φ Φ = t k, n, U (,),, t : ' sgn( t) = = = Φ= Φ = w t = szpic t t Parametr t numeruje punkty wzdłuż krzywej 38

Krzywa domknięta: Φ:[ ab, ] R n Φ( a) początek, Φ( b) koniec Φ( a) Φ( b) homeomorficzna z przedzialem Φ ( a) =Φ( b) homeomorficzna z okregiem RYS., str. 39

Krzywe stopnia drugiego (stożkowe) Powstają z przecięcia stożka płaszczyzną: Okrąg, elipsa, parabola, hiperbola ax + bxy + cy + dx+ fy + g = a b d a b Δ = b c f, J = b c d f g a d c f I = a+ c, K = + d g f g okrąg=elipsa, a = c krzywa Δ J Δ / I K elipsa > < parabola hiperbola < linie przecinajace się < linie przekrywające się 4

Redukcja do prostszej postaci: Przez obrót możemy się pozbyć czlonu mieszanego x' = xcosφ + ysinφ y ' = xsinφ + ycosφ x y a c φ φ + b φ φ Czlon mieszany wynosi wtedy ' '[( ) cos sin (cos sin )] b π i znika dla tg( φ) = dla c a oraz φ= dla c = a. Po takim obrocie c a 4 mamy Ax ' + Cy ' + Dx' + Fy ' + G =. Czlonow liniowych pozbywamy się przez transformację x'' = x' + D/ A y' ' = y' + F / C Wted y Ax + Cy + G =. '' '' '' x y c a b c a b e + =, >, =, = mimosród a b a a = b = r, x + y = r okrąg y ax, x ay parabola x a = = y =, xy = c hiperbola b 4

Elipsa x a y + b = =, ( ) c a b a b c e = a mimośród XF + XF = a = const. F, F -ogniska a - półoś wielka b - półoś mała 4

Całki eliptyczne (fiz.) x = asin φ, y = bcosφ długość łuku elipsy Ψ Ψ Ψ dφ k sin dx dy dx dy d a b d ( ) + ( ) = φ cos φ sin φ φ dφ + = + = dφ a cos φ + ( a c )sin φdφ = a c sin φdφ = a e sin Φ L( Φ ) = a e sin d φ φ π = Fk (, Ψ ), k<, Fk ( ) = Fk (, ) φ dφ k φ E k k E k E k sin = (, Ψ ), <, ( ) = (, ) dφ ( + hsin φ) k sin = Khk (,, Ψ) φ π φdφ Całka eliptyczna: I rodzaju II rodzaju III rodzaju W wielomian stopnia 3 lub 4 45

Hiperbola PF PF = a = const. x y = a b c = a + b c e = > a asymptoty 46

Parabola x = e = 4ay 47

Stosunek długości czerwonych odcinków ukośnych do poziomych wynosi e directrix = kierownica 49

Krzywa y = y( x) Krzywizna krzywej płaskiej (fiz.) równanie stycznej w ( x, y ) : y y = y'( x)( x x ) równanie normalnej w ( x, y ) (prostopadla do stycznej): y y = ( x x ) y '( x ) π ( jest tak dlatego, bo y '( x) = tgα, więc tg( α + ) = ctgα = ) y '( x) Rozważmy punkty na krzywej, ( x, y ) i ( x, y ), oraz normalne w tych punktach: y y = ( x x ), y y = ( x x ). Ich punkt wspólny to y'( x) y'( x) ( y y) ( y y) + y'( x ) + y'( x ) * x x * x x x = x y'( x), y = y +. y'( x) y'( x) y'( x ) y'( x) x x x x * + y x * + y x = = + y''( x) y''( x) 3/ ( + y' ( x ) ) x y ρ = krzywizna to y' '( x ) ( '( )) ( '( )) W granicy x x dostajemy x x y'( x ), y y. Odleglosć tego punktu od (, ) to, a z def. ρ 5

d y dy y dt x x y y x Dla krzywej parametrycznej ( xt ( ), yt ( )) mamy =, = =, dx x dx x x r. stycznej y ( x x( t)) x ( y y( t)) = t r. normalnej x ( x x( t)) + y ( y y( t)) = t * wsp. srodka krzywizny ( ) krzywizna = ρ t x = x t xy yx t tt t tt 3/ ( xt + yt ) t t t d y t t tt t tt 3 t t ( t) x + y x + y y y t x xy yx xy yx t t * t t t, y = ( ) + t tt t tt t tt t tt t Krzywizna nie zależy od ukladu wspólrzędnych (translacje, obroty). 5

Parametryzacja kanoniczna krzywej (fiz.) ( xt ( ), yt ( ), zt ( )) t st ( ) = dt' x + y + z dlugosć krzywej mierzona od s s t t t t' t' t' s = x + y + z > t( s) t ( xts [ ( )], yts [ ( ), zts [ ( )]) krzywa sparametryzowana kanonicznie dx xt xt dy dz = =, =..., =... ds st x + y + z ds ds t t t dx dy dz + + = ds ds ds Dla d = y = f( x) dα dα dx f kąt stycznej do Ox: α = arctg f ' = ds dx ds f xx = + x + = f ρ Interpretacja: krzywizna jest pochodną tangensa nachylenia krzywej po parametrze kanonicznym x 5

Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Alexandra Butelka Kleina 53

Całki wielowymiarowe Uogólnienie calki Riemanna: P = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] P = ( b a )... ( b a ) δ = ( b a ) +... + ( b a ) n n Dokonujemy podzialu prostokąta n m = inf{ f( x): x P}, M = sup{ f( x): x P} i i i i s = m P +... + m P, S = M P +... + M k k Rozważamy normalny ( δ * * n n * * Jeżeli s = to wielkosć tę na n n n n ) ciąg podzialów s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P S n n k P zywamy wielokrotną calka Riemanna k Notacja: P dxdy f ( x, y), dxdydz g( x, y, z) P 55

Całka iterowana P = [ a, b ] [ a, b ] b b b b dy dx f ( x, y), dx dy f ( x, y) calki iterowane a a a a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna P dxdy f ( x, y). (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [,] [, ] P x y dxdy (x y + ) = dx dy ( x y + ) = dx ( + y) = dx(x + 4) = + 4 3 y= 3 xy y = dy dx ( x y + ) = dy ( + x) = ( ) 4 3 dx + = + 3 3 x= 56

Całki po dowolnym obszarze A R n f( x) dla x A F( x) = dla x P\ A ϕψ, :[ ab, ] R A= {( x, y): a x b, ϕ( x) y ψ( x)} zbiór normalny względem Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( x) dxdy f ( x, y) = dx dy f ( x, y) A a ϕ ( x) b Przyklad: A={( x, y) : x, y x} trójkąt x dxdy dx dy dx x x xy = xy = ( ) = 4 A Ox 57

Zastosowania całek wielokrotnych V = dxdydz A A= {( x, y, z): x, y, x, x+ y + z } x, y ustalone z x y x ustalone, szukamy największego możliwego y: y x z, ponieważ najmniejsze z = y x x x y x V = dx dy dz = dx dy( x y) = dx ( x) Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! ( x) = 6 58

Środek ciężkości x = x dxdy y y dxdy A = A x A figura -wym. = x dxdydz, z z dxdydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól Ox: V = π y dxdy Reguly Guldina: V = πη A, η = y dxdy, A Dla torusa V = πa πr Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkoci luku od osi obrotu L Dla torusa S = πa πr β α A A 59

Pole powierzchni z = f( x, y), ( x, y) A f f S = dxdy + + x y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię równolegloboami k Przyklad: f( x, y) = x y A= {( x, y) : x, y, x+ y } 3 S = dxdy 3 = A 6

Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm n n f C R U V R :, homeomorfizm rzędu n - (bijekcja, pochodna Frecheta odwracalna, f i f ciągle) n n Tw. ϕ : X R Y R klasy C ϕ ( b) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) = dx f [ ϕ( x)] ϕ '( x), y = ϕ( x) ϕ ( a) J( x) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy n n... f( y) dy.. dy =... f[ ϕ( x)] J( x) dx.. dx, y = ϕ ( x,..., x ) Y ϕ x ϕn x n ϕ x ϕn x X b a n i i n 6

Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ: R R Φ xr (, φ) Φ (, r φ) = =, x rcos, y r sin yr (, φ) = φ = φ Φ rxy (, ) y Φ ( x, y) =, r x y, φ=arctg φ( x, y) = + x x x r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ rcosφ r φ cosφ r sinφ J = = r sinφ r cosφ dxdy f ( x, y) = rdrdφ f ( x( x, φ), y( r, φ) ) Homeomorfizm regularny dla r, rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta 6

Przyklady: dxdy x + y = rdrdφ r π = dr dφ = r x + y R r R Rπ I = e dxdy = e rdrdφ = π rdre = π e = π πe I R = lim I = π R R x y r r r R x + y R r R R R = = x y x I dx e dy e dx e dx e x = π r= 63

Współrzędne eliptyczne x = arcosφ y = brsinφ x a y + = r b, J = abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) x = rcosφ y = rsinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali x = ax' y = by' z = cz' J = abc 64

Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ: R R 3 3 x = rsinθ cosφ y = rsinθ sinφ z = rcosθ θ [, π] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [, π) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr. ) sinθ cosφ rcosθ cosφ rsinθ sinφ Φ ' = sinθ sinφ rcosθ sinφ rsinθ cosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ' = w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąt a φ 65

Przykla d: Objętosć kuli π π R π 3 R 4 3 V = dxdydz = dr dθ dφr sinθ = dr dcosθ dφr = π = πr 3 3 x + y + z < R ( dcosθ = sinθdθ) R Srodek ciężkosci pólkuli: η = x + y + z < R z> x + y + z z> < R zdxdydz dxdydz R π / π dr d d r r 3 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R π 4 3 R 3 3 πr 3 3 3 = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R πr 4 8 66

Płaszczyzna styczna Płaszczyzna styczna do powierzchni gładkiej o równaniu f(x,y,z)= dana jest równaniem f( x, y, z) f( x, y, z) f( x, y, z) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = x y z f( x, y, z ) f( x, y, z ) f( x, y, z ) x y z powierzchni w punkcie ( x, y, z ). Prosta prostopadla do powierzchni w tym Wektor,, jest prostopadly do punkcie ma więc równanie parametryczne f( x, y, z) f( x, y, z) f( x, y, z) t + x, t + y, t + z x y z Dla sfery f = x + y + z R, więc prosta prostopadla ma równanie ( xt+ x, y t+ y, z t+ z ) 67

Plaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie x jest przestrzenią liniową. k n k Niech Φ: V R R, e, e,..., e tworzą bazę w R, oraz y =Φ( x). Wtedy u =Φ' ( x) e tworzą bazę w przestrzeni stycznej. i i k Przyklad: Dla powierzchni danej jako Φ ( x, y) = ( x, y, f( x, y)) mamy Φ'=, fx f y u = Φ ' e =, v 'e = =Φ = = fx f y f x fx f y f y 68

Orientacja k Rozważmy bazy w przestrzeni R : ( v,..., v ) oraz ( w,..., w ). Bazy te powiazane są n i ij j j= k przeksztalceniem liniowym w = a v, przy czym musi zachodzić warunek a aby zachować liniową niezależnosć. Jeżeli a >, to mówimy, że bazy są zgodnie zorintowane, a gdy a <, to mówimy, że są zorientowane przeciwnie. k Dla k = mamy jedną bazę jednoelementową v = i drugą w =. Dla k = przykladowe bazy v =, v = i baza, są w = w = powiązane przeksztaceniem o macierzy a =, zatem a i bazy są = > zorientowane zgodnie, natomiast dla bazy u =, u, a, a = = = <, więc ta baza jest zorientowana przeciwnie do poprzednich. Orientację bazy kanonicznej nazywamy prawoskretną (zorientowaną dodatnio). 69

Wektor normalny 3 Niech M będzie powierzchnią dwuwymiarową w R, T x plaszczyzną styczną do M w punkcie x, a wektory ( u, v) bazą na plaszczyźnie stycznej. Wektor normalny definiujemy u v jako n =. Wektor ten wskazuje zewnętrzną (wewnętrzna) stronę powierzchni u v orientowalnej jesli baza jest prawoskrętna (lewoskrętna). c. d. przykladu: uv 3 uv 3 f x f x u =, v, u v = = u3v uv 3 f y, n f = = y f x f f y uv uv x f + y + x x y Dla górnej pólsfery f = R x y = z, fx =, fy =, n = y z z x + y + z z Dla dolnej pól am sfery wynik taki s (je f = R x y = z ż!) 7

Powierzchnie orientowalne (mają stronę wewnętrzną i zewnętrzną) i nieorientowalne (nie można wyznaczyć strony) Wstęga Möbiusa Butelka Kleina 7

t t t x = ( R+ s cos ) cos t, y = ( R+ s cos ) sin t, z = ssin t [, π ), s [ w, w] (M.C Escher) 7

Całka krzywoliniowa zorientowana F = ( F, F,..., Fk ), C - krzywa gladka I = F dx + F dx +... + F dx = F dx I C k k C = I + I C + C C C, I C = I C Tw. Calka IC nie zależy od parametryzacji krzywej b dy D: yt ( ) = x( ϕ( t)) F( y) dy= F( y( t)) dt = dt C a b β dx( ϕ) dϕ dx( ϕ) = F( x( ϕ( t))) dt = F( x( ϕ)) dϕ = F( x) dx dϕ dt dϕ a α C (w konkretnej parametryzacji staje się zwyklą calką Riemanna) Przyklad: C: x( φ) = cos φ, y( φ) = sin φ, φ [, π] (pólokrąg o promieniu jednostkowym) C π xdx x ydy d d d + ( ) = [cos φ (cos φ) + cos φ φ sin φ (sin φ)] = φ= 3 π π cos sin φ π φ π = + = + 3 3 3 C 74

Całka krzywoliniowa niezorientowana b dx ))... dxk JC = f ds = f( x( t + + dt dt dt J C C C a Tw. Związek z calką zorientowaną: Fd x = Fds, F = F +... + F cos αα, kąt miedzy dx i F C = J C s s k Zastosowanie (fizyka): praca W = Fds = F dx+ π C: x = acos φ, y = bsin φ, φ [, ] ćwiartka elipsy kx F = sprężyna zamocowana w srodku ky C sin, cos, x y ( ) sin cos π / k W = k( a b ) cos φd(cos φ) = ( a b ) s C x F y dy F dz dx = a φdφ dy = b φdφ F dx + F dy = k a b φ φdφ + z 75

Tw. Greena Krzywą zamkniętą nazywamy konturem. Nich kontur C będzie brzegiem zbioru D. Kontur jest zorientowany dodatnio jeśli okala zbiór D w taki sposób, że D znajduje się po lewej stronie. Zbiór normalny D względem osi Ox to zbiór dający się zapisać jako D = {( x, y): f ( x) y f ( x), x [ a, b]}, f, f :[ a, b] R Zbiór normalny D względem osi Oy to zbiór dający się zapisać jako D = {( x, y) : g ( y) x g Tw. Greena D D- zbiór normalny ze względu na Ox i Oy, C = D jego brzeg zorientowany dodatnio Wtedy Q Pdx + Qdy = x b f ( x) P P D: dxdy = dx dy = dx[ P( x, f D ( y), x [ c, d] }, g, g :[ c, d] R P dxdy. y ( )) (, ( ))] y y D a f ( x) a C C = Pdx Pdx = Pdx C C D d g ( y) d b x P x f x = Pdx Pdx = Q Q dxdy = dy dx = dt[ Q( g ( y), y) Q( g ( y), y)] = Qdy Qdy = Qdy x x D c g ( y) c K K D 76

Pole potencjalne (fiz.) V( x, y) potencjal F x V V V V F F x =, Fy =, = = x y x y y x y x Fy Fx Fxdx + Fydy = dxdy = Fxdx + Fydy = Fxdx + Fydy (rys.) x y C D K K (Praca w polu potencjalnym nie zależy od drogi - można wprowadzić energię potencjalną. W poprzednim przykladzie z pracą na ćwiartce elipsy wynik wtedy natychmiastowy: W = V - V ) (w powyższym wzorze zauważamy rot grad V = ) y jest 77

Całka powierzchniowa niezorientowana (wspólrzędne kartezjańskie) Plat regularny S = {( x, y, z) : z = f( x, y),( x, y) D} Element powierzchni : ds = + f + f dxdy x y Pole powierzchni plata regularneg o : S = + f + f dxdy Calka powierzchniowa niezorientowana: S S g( x, y, z) ds = g( x, y, f ( x, y) + f + f dxdy D D x y (wspólrzędne krzywoliniowe) x= xuv (, ), y= yuv (, ), z= zuv (, ), ( uv, ) D x y gxyzds (,, ) = gxuv ( (, ), y( u, v), z( u, v)) J + J + J dudv D ( yz, ) ( xz, ) ( xy, ) J =, J =, J3 = ( uv, ) ( uv, ) ( uv, ) 3 78

Przyklad (wspólrzędne kuliste) x = rsinθ cos φ, y = rsinθ sin φ, z = rcosθ J J J 3 rcosθsin φ rsinθ cosφ = = r r sinθ sin rcosθ cosφ rsinθsinφ = = r r sinθ rcosθ cosφ rsinθsinφ = = r rcosθsin φ rsinθ cosφ J + J + J3 = r sinθ θ cosφ sin θ sinφ sinθ cosθ 79

Całka powierzchniowa zorientowana F S R 3 : - pole wektorowe S plat regularny n zewnętrzny wektor normalny Calka powierzchniowa zorientowana pola F lub strumień pola F: I = F( x, y, z) n( x, y, z) ds strumień S Niech F = ( F, F, F ). Wtedy oznaczamy I = S 3 x y D 3 Jeżeli S dana jest równaniem z = f( x, y), to n = ( fx, fy,) + f + f Ff x Ff y + F3 I = ds = ( Ff x F f y + F3) dxdy + f + f S F dydz + F dxdz + F dxdy x y 8

V Tw. Gaussa (Ostrogradskiego-Gaussa) div Fdxdydz= F nds S Slownie: calka po objętosci V z dywergencji z pola F równa się strumieniowi wyplywającemu przez powierzchnie S ograniczającą V F F F3 + + dxdydz = Fdydz + Fdxd dx dy dz z+ Fdxd 3 y V S D: Niech V będzie obszarem normalnym względem plaszczyzny Oxy, ograniczonym funkcjami gxy (, ) i dxy (, ). Wtedy g( x, y) F 3 F 3 I3 = dxdydz = dz dxdy F3( x, y, g( x, y)) F3( x, y, d( x dz = dz (, y)) ) dxdy V D d( x, y) D Oznaczmy S = S + S, gdzie S dana jest przez z = g( x, y) a S przez z = d( x, y). I ' = F dxdy = F dxdy + F dxdy = F ( x, y, g( x, y)) dxdy F ( x, y, d( x, y)) dxdy 3 3 3 3 3 3 S S S D D Znak wynika z przeciwnej orientacji S. Zatem I = I '. Podobnie pokazujemy, że I = I ' oraz I = I 3 3 '. Jeżeli V nie jest normalny, to dzielimy go na podzbiory normalne. 8

Tw. Stokesa Tw. Niech K będzie regularnym konturem bedącym brzegiem plata regularnego S. Orientacje K i S są zgodne. Niech Fi mają ciągle pochodne. Wtedy F dl = rotf n ds K S Cyrkulacja pola F po krzywej zamkniętej K jest równa calce zorientowanej z rotacji pola F po placie S. Inna notacja: F F F F F F + + = + + 3 3 Fdx Fdy Fdz 3 dydz dxdz dxdy y z z x x y K S 8

Formy różniczkowe (fiz.) Różniczka zewnętrzna stopnia p : ax (,..., x) dx dx... dx, p n, wszystkie i różne i... i n i i i k dx dx = dx dx dx dx = i j j i i i Suma różniczek tego samego stopnia: forma różniczkowa zewnętrzna α = i... i a p ( x,..., x ) dx dx... dx i... ip j... j p Przyklady: Pdx + Qdy, Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy, A dx dy dz Dodawanie analogiczne do dodawania wielomianów. Mnożenie: p i... i j... j i i j p q p n i i i p p+ q α β= a b dx... dx dx... dx = ( ) β α q dα = p p Różniczkowanie:..... i... i p a x a dx + + dx dx. dx x n i... i i... i P Q Q P d( Pdx+ Qdy) = dy dx+ dx dy = dx dy y x x y d( Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy) = ( P + Q + R ) dx dy dz x y z j q n i i p 83

a i... i i... i p a p = = x x x x k l l k dda ( ) α jest formą zupelną, jeżeli γ : α = dγ, α jest formą zamknietą, jeżeli dα = Zamiana zmiennych x t: ( xi,..., xi ) a = a x x dt dt V p (,..., )... p i... i n p i... i ( t,..., tp ) p Calkowanie po hiperpowierzchni V: a = A( t) dt... dt = A( t) dt... dt (zwykla calka Riemanna) D p D Ogólne Tw. Stokesa: V hiperpowierzchnia zorientowana, Jeżeli wspólczynniki formy a = to V a = V da i... i p a p V jej brzeg i... i ( x) dx... są klasy C na, p i dx i V + V p Przyklady: Tw. Greena, Gaussa, Stokesa, także f( x) dx = F( b) - F( a), bo df( x) df( x) = dx = f ( x) dx, V = { a, b} dx [ a, b] 84