Analiza Matematyczna 3
|
|
- Magda Filipiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 [wersja z 5 X ] Analiza Matematyczna 3 Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego / Wojciech Broniowski
2 Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Aleandra Butelka Kleina
3 3
4 Całki wielowymiarowe (powtórka) Uogólnienie calki Riemanna: P = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] P = ( b a )... ( b a ) δ = ( b a ) ( b a ) n n Dokonujemy podzialu prostokąta n m = inf{ f ( ) : P}, M = sup{ f ( ) : P} i i i i s = m P m P, S = M P M P k k * * n n n Rozważamy normalny ( δ ) ciąg podzialów n n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P n * * Jeżeli s = S to wielkosć tę nazywamy wielokrotną calka Riemanna n k k Notacja: P ddy f (, y), ddydz g(, y, z) P 4
5 Całka iterowana P = [ a, b ] [ a, b ] b b b b dy d f (, y), d dy f (, y) calki iterowane a a a a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna ddy f (, y). P (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [,] [, ] P y ddy ( y + ) = d dy ( y + ) = d ( + y) = d( + 4) = y= 3 y y dy d y + = dy ( + ) = ( ) 4 3 d + = = = ( ) 5
6 Całki po dowolnym obszarze A R n f ( ) dla A F( ) = dla P \ A ϕ, ψ :[ a, b] R A = {(, y) : a b, ϕ( ) y ψ ( )} zbiór normalny względem O Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( ) ddy f (, y) = d dy f (, y) A a ϕ ( ) b Przyklad: A={(, y) :, y } trójkąt ddy d dy d y = y = ( ) = 4 A 6
7 Zastosowania całek wielokrotnych V = A ddydz A = {(, y, z) :, y,, + y + z }, y ustalone z y ustalone, szukamy największego możliwego y: y z, ponieważ najmniejsze z = y y ( ) V = d dy dz = d dy( y) = d ( ) = 6 Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! 7
8 Środek ciężkości = ddy y y ddy A = A A figura -wym. = ddydz, z z ddydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól O: V = π y ddy Reguly Guldina: V = πη A, η = y ddy, A Dla torusa V = π a π r Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkosci luku od osi obrotu L Dla torusa S = π a π r β α A A 8
9 Pole powierzchni r r Pole powierzchni równolegloboku rozpiętego na wektorach a i b r r wynosi S= a b. Z rysunku wynika, że r r a = ( d,, f d), b = (, dy, f dy), zatem iˆ ˆj kˆ S = d f d dy = if ˆ ddy ˆjf ddy + kddy ˆ = + f + f ddy y y f dy y y 9
10 z = f (, y), (, y) A f f S = ddy + + y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię infinitezymalnymi równoleglobokami Przyklad: f (, y) = y A = {(, y) :, y, + y } S = ddy 3 = A 3
11 Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm ϕ ( b) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) = d f ( ϕ( )) ϕ '( ), y = ϕ( ) ϕ ( a) n n Tw. bijekcja ϕ : X R Y R klasy C, ϕ i ϕ ciagle J ( ) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy Y ϕ ϕn n ϕ n ϕn... f ( y,.., y ) dy.. dy n n... f ( ϕ (,.., ),..., ϕ (,.., )) J (,.., ) d.. d, y = ϕ (,..., ) X = n n n n n i i n b a (Dowód: RR)
12 Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ : R R Φ ( r, φ) Φ ( r, φ) = =, = r cos φ, y = r sinφ Φ y( r, φ) r(, y) y Φ (, y) =, r = + y, φ=arctg φ(, y) r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ r cosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ ddy f y = rdrdφ f φ y r φ Homeomorfizm regularny dla r, rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta
13 Przyklady: ddy y rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + + y R r R I = e ddy = e rdrdφ = π rdre = π e = π πe I R = lim I = π R R y r r r R + y R r R R R y I = d e dy e = d e d e = π Całka Gaussa r= 3
14 Współrzędne eliptyczne = ar cosφ y = br sinφ a y + = = b r, J abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) = r cosφ y = r sinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali = a ' y = by ' z = cz ' J = abc 4
15 Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ : R R 3 3 = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ θ [, π ] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [, π ) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.) sinθ cosφ r cosθ cosφ r sinθ sinφ Φ ' = sinθ sinφ r cosθ sinφ r sinθ cosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ ' = w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 5
16 Przyklad: Objętosć kuli π π R π 3 R 4 3 V = ddydz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = π R y + z < R ( d cosθ = sin θdθ ) R Srodek ciężkosci pólkuli: η = + y + z < R z> + y + z < R z> z ddydz ddydz R π / π dr d d r r 3 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R π 4 3 R 3 3 π R = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R π R 4 8 6
17 Równanie prostej i płaszczyzny 7
18 Płaszczyzna styczna Rozważmy powierzchnię gładką o równaniu f(,y,z)= w okolicy (, y, z ). f f f f ( +, y + y, z + z) = = = + = y + = z y z = = = y= y y= y y= y Dla punktów na plaszczyźnie (, y, z) = k( -, y y, z z ), więc f f f ( ) + ( y y ) + y y z= z z= z z= z y= y y= y y= y z= z z= z z= z ( z z ) = f f f Wektor =,, jest prostopadly (normalny) do = = y= y y z y= y y= y z= z z= z z= z powierzchni w punkcie (, y, z ). 8
19 Prosta prostopadla do powierzchni w tym punkcie ma więc równanie parametryczne f f f (, z, y) = t +, t + y, t + z y z = = = y= y y= y y= y z= z z= z z= z Dla sfery f = + y + z R ( ) (, z, y) = t +, y t + y, z t + z, więc prosta prostopadla ma równanie 9
20 Plaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie jest przestrzenią liniową. Niech Φ : V R R, e, e,..., e tworzą bazę w R, oraz y = Φ( ). Wtedy u i k n k k = Φ '( ) e tworzą bazę w przestrzeni stycznej. i Przyklad: Dla powierzchni danej jako Φ (, y) = y mamy Φ'=, f (, y) f f y u = Φ ' e = =, v 'e = Φ = = f f y f f f y f y
21 Orientacja k Rozważmy bazy w przestrzeni R : ( v,..., v ) oraz ( w,..., w ). Bazy te powiazane są n i ij j j= k przeksztalceniem liniowym w = a v, przy czym musi zachodzić warunek a aby zachować liniową niezależnosć. Jeżeli a >, to mówimy, że bazy są zgodnie zorintowane, a gdy a <, to mówimy, że są zorientowane przeciwnie. k Dla k = mamy jedną bazę jednoelementową v = i drugą w =. Dla k = przykladowe bazy v =, v = i baza w =, w = są powiązane przeksztaceniem o macierzy a =, zatem a = > i bazy są zorientowane zgodnie, natomiast dla bazy u =, u =, a =, a = <, więc ta baza jest zorientowana przeciwnie do poprzednich. Orientację bazy kanonicznej nazywamy prawoskretną (zorientowaną dodatnio).
22 Wektor normalny 3 Niech M będzie powierzchnią dwuwymiarową w R, T plaszczyzną styczną do M w punkcie, a wektory ( u, v) bazą na plaszczyźnie stycznej. Wektor normalny definiujemy u v jako n =. Wektor ten wskazuje zewnętrzną (wewnętrzna) stronę powierzchni u v orientowalnej jesli baza jest prawoskrętna (lewoskrętna). c. d. przykladu: uv3 u3v f f u =, v =, u v = u3v uv3 = f y, n = f y f f f y uv uv + f y + y f = R y = z f = f = n = y z z + y + z z Dla górnej pólsfery,, y, Dla dolnej pólsfery f = R y = z wynik taki sam (jeż!)
23 Nieco inne wyprowadzenie: r r a b= if ˆ ddy ˆjf ddy + kddy ˆ = ( f, f,) ddy y y Po znormalizowaniu r r r a b n = r r = ( f, f y,) a b + f + f y 3
24 Powierzchnie orientowalne (mają stronę wewnętrzną i zewnętrzną) i nieorientowalne (nie można wyznaczyć strony) Wstęga Möbiusa Butelka Kleina 4
25 t t t = ( R + s cos ) cos t, y = ( R + s cos ) sin t, z = s sin t [, π ), s [ w, w] (M.C Escher) 5
26 Całka krzywoliniowa zorientowana F = ( F, F,..., Fk ), C - krzywa gladka I = F d + F d F d = F d C k k C I = I + I, I = I C + C C C C C Tw. Calka IC nie zależy od parametryzacji krzywej b dy D: y( t) = ( ϕ( t)) F( y) dy = F( y( t)) dt = dt C a b β d( ϕ) dϕ d( ϕ) = F( ( ϕ( t))) dt = F( ( ϕ)) dϕ = F( ) d dϕ dt dϕ a α C (w konkretnej parametryzacji staje się zwyklą calką Riemanna) Przyklad: C : ( φ) = cos φ, y( φ) = sin φ, φ [, π ] (pólokrąg o promieniu jednostkowym) C π d y dy d d d + ( ) = [cos φ (cos φ) + cos φ φ sin φ (sin φ)] = φ = 3 π π cos sin φ π φ π = + = C 6
27 Całka krzywoliniowa niezorientowana b d dk JC = f ds = f ( ( t)) dt dt dt C a J C C Tw. Związek z calką zorientowaną: F d = F ds, F = F F cos α, α kąt miedzy d i F C = J C s s k Zastosowanie (fizyka): praca W = F ds = F d + F dy + F dz π C : = a cos φ, y = bsin φ, φ [, ] ćwiartka elipsy k F = sprężyna zamocowana w srodku ky C d = a φdφ dy = b φdφ F d + F dy = k a b φ φ dφ sin, cos, y ( )sin cos π / k W = k( a b ) cos φ d(cos φ) = ( a b ) s C y z 7
28 Nabla, operator Laplace a i dywergencja Operator to funkcja, która funkcji przyporządkowuje funkcję. Nabla Operator Laplace'a (laplasjan) = = = = n i i i i... n i= f f (,..., ) = n n 3 f (, y) y, f 4 6 = + + = + n n Dywergencja: g : U R R (pole wektorowe) g gn div g = igi = g = (,, ) =, = + + yz g y z z y g z y f n 8
29 Elementy rachunku tensorowego dla i = j Delta Kroneckera: δij = dla i j tensor symetryczny : δ = δ, δ = n (wymiar przestrzeni) δ A = A, = δ i ij... j i... ij j Pseudotensor Levi-Civity (w 3 wymiarach): ε ε = ε = ε =, ε 3 = ε3 = ε3 =, pozostale = ij ji ii tensor calkowicie (we wszystkich wskaźnikach) antysymetryczny εijkεilm = δ jlδ km δ jmδ kl, εijkεijm = δ km, εijkεijk = 6 Iloczyn wektorowy (a b) = ε a b i ijk j k iˆ ˆj kˆ równoważny zapis: a b = a a a 3 b b b 3 ijk 9
30 ε a ε b c = ε ε a b c = ( δ δ δ δ ) a b c ijk j klm l m kij klm j l m il jm im jl j l m = δ δ a b c δ δ a b c = a c b a b c a ( b c) = a c b a b c il jm j l m im jl j l m j j i j j i ( ) ( ) ε a b ε c d = ( δ δ δ δ ) a b c d = a c b d b c a d a b c d = a c b d a d b c ijk j k ilm l m jl km jm kl j k l m j j k k j j k k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3
31 Rotacja 3 3 f : U R R rot f = f, rot f = ε f ( ) i ijk j k ε f = ε f = ε f = ( i j) = ε f = ε f i ijk j k ijk i j k jik i j k ijk j i ijk i j iεijk j fk = div (rot f ) = rot grad f = i ( u( ) fi ( )) = fi iu + u i fi div ( uf ) = f u + u f = f grad u + u div f 3
32 Tw. Greena Krzywą zamkniętą nazywamy konturem. Niech kontur C będzie brzegiem zbioru D. Kontur jest zorientowany dodatnio jeśli okala zbiór D w taki sposób, że D znajduje się po lewej stronie. Zbiór normalny D względem osi O to zbiór dający się zapisać jako D = {(, y) : f ( ) y f ( ), [ a, b]}, f, f :[ a, b] R Zbiór normalny D względem osi Oy to zbiór dający się zapisać jako D = {(, y) : g ( y) g Tw. Greena ( y), [ c, d]}, g, g :[ c, d] R D - zbiór normalny ze względu na O i Oy, C = D jego brzeg zorientowany dodatnio Q P Wtedy Pd + Qdy = ddy. y D D b f ( ) P P D: ddy = d dy = d[ P(, f ( )) (, ( ))] y y D a f ( ) a C C = Pd Pd = Pd C C D d g ( y) d b P f = Pd Pd = Q Q ddy = dy d = dt[ Q( g ( y), y) Q( g ( y), y)] = Qdy Qdy = Qdy D c g ( y) c K K D 3
33 33
34 Pole potencjalne V (, y) potencjal F V V V V F F =, Fy =, = = y y y y Fy F Fd + Fydy = ddy = Fd + Fydy = Fd + Fydy (rys.) y C D K K (Praca w polu potencjalnym nie zależy od drogi - można wprowadzić energię potencjalną. W poprzednim przykladzie z pracą na ćwiartce elipsy wynik jest wtedy natychmiastowy: W = V - V ) ( V ) (w powyższym wzorze zauważamy rot grad = ) z y 34
35 Całka powierzchniowa niezorientowana (wspólrzędne kartezjańskie) Plat regularny S = {(, y, z) : z = f (, y),(, y) D} Element powierzchni : ds = + f + f ddy y Pole powierzchni plata regularnego: S = + f + f ddy Calka powierzchniowa niezorientowana: S S g(, y, z) ds = g(, y, f (, y) + f + f ddy (wspólrzędne krzywoliniowe) D D y = ( u, v), y = y( u, v), z = z( u, v), ( u, v) D y g(, y, z) ds = g( ( u, v), y( u, v), z( u, v)) J + J + J dudv D ( y, z) (, z) (, y) J =, J =, J3 = ( u, v) ( u, v) ( u, v) 3 35
36 Przyklad (wspólrzędne kuliste) = r sinθ cos φ, y = r sinθ sin φ, z = r cosθ J J J 3 r cosθ sinφ r sinθ cosφ = = r r sinθ sin r cosθ cosφ r sinθ sinφ = = r r sinθ r cosθ cosφ r sinθ sinφ = = r r cosθ sinφ r sinθ cosφ J + J + J3 = r sinθ θ cosφ sin θ sinφ sinθ cosθ 36
37 Całka powierzchniowa zorientowana F S 3 : R - pole wektorowe S plat regularny n zewnętrzny wektor normalny Calka powierzchniowa zorientowana pola F lub strumień pola F: I = F(, y, z) n(, y, z) ds strumień S Niech F = ( F, F, F ). Wtedy oznaczamy I = S 3 y D 3 Jeżeli S dana jest równaniem z = f (, y), to n = ( f, f y,) + f + f F f F f y + F3 I = ds = ( F f F f y + F3 ) ddy + f + f S F dydz + F ddz + F ddy y 37
38 V Tw. Gaussa (Ostrogradskiego-Gaussa) div F ddydz = F n ds S Slownie: calka po objętosci V z dywergencji z pola F równa się strumieniowi wyplywającemu przez powierzchnie S ograniczającą V F F F3 + + ddydz = F dydz + F dd d dy dz z + F3 ddy V S D: Niech V będzie obszarem normalnym względem plaszczyzny Oy, ograniczonym funkcjami g(, y) i d(, y). Wtedy g (, y) F 3 F 3 I3 = ddydz = dz ddy F3 (, y, g(, y)) F3 (, y, d( dz = dz (, y)) ) ddy V D d (, y) D Oznaczmy S = S + S, gdzie S dana jest przez z = g(, y) a S przez z = d(, y). I ' = F ddy = F ddy ( ) F ddy = F (, y, g(, y)) ddy F (, y, d(, y)) ddy S S S D D Znak (-) wynika z przeciwnej orientacji S. Zatem I = I '. Podobnie pokazujemy, że I = I ' oraz I = I 3 3 '. Jeżeli V nie jest normalny, to dzielimy go na podzbiory normalne. 38
39 Tw. Stokesa Tw. Niech K będzie regularnym konturem bedącym brzegiem plata regularnego S. Orientacje K i S są zgodne. Niech Fi mają ciągle pochodne. Wtedy F dl = rot F n ds K S Cyrkulacja pola F po krzywej zamkniętej K jest równa calce zorientowanej z rotacji pola F po placie S. Inna notacja: F F F F F F 3 3 F d + F dy + F3 dz = dydz + dzd + ddy y z z y K S 39
40 Formy różniczkowe (*) Różniczka zewnętrzna stopnia p : a(,..., ) d d... d, p n, wszystkie i różne i... i n i i i k d d = d d d d = i j j i i i Suma różniczek tego samego stopnia: forma różniczkowa zewnętrzna α = i... i p a p (,..., ) d d... d n i i i i... ip j... j p Przyklady: Pd + Qdy, Pdy dz + Qdz d + Rd dy, A d dy dz Dodawanie analogiczne do dodawania wielomianów. p+ q Mnożenie: α β = a b d... d d... d = ( ) β α q i... i j... j i i j p q p p p Różniczkowanie: α P Q Q P d( Pd + Qdy) = dy d + d dy = d dy y y d( Pdy dz + Qdz d + Rd dy) = ( P + Q + R ) d dy dz p ai... i ai... i d = d + + d d d i... i p n y z j q n i i p 4
41 ai... i a p i... ip = d( da) = k l l k α jest formą zupelną, jeżeli γ : α = dγ, α jest formą zamknietą, jeżeli dα = Zamiana zmiennych t: ( i,..., i ) a = a dt dt V p (,..., )... p i... i n p i... i ( t,..., t p ) p Calkowanie po hiperpowierzchni V: a = A( t) dt... dt = A( t) dt... dt (zwykla calka Riemanna) D p D Ogólne Tw. Stokesa: V hiperpowierzchnia zorientowana, V jej brzeg Jeżeli wspólczynniki formy a = to a = da V V i... i p a p i... i ( ) di... di są klasy C na V + V, p p Przyklady: Tw. Greena, Gaussa, Stokesa, także f ( ) d = F( b) - F( a), bo df( ) df( ) = d = f ( ) d, V = { a, b} d [ a, b] 4
42 Równania różniczkowe 4
43 Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F(, y( ), y '( ),...) =, gdzie... oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna jest zmienną niezależną, a y( ) jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej. W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F(, y, y ') =. Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać F(,,...,, y(,..., ), n n y(, n..., ) y(,..., n),...,,...) = (równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować) n Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji y ( ) ma postać F (, y ( ),..., y ( ), y '( ),..., y '( ),...) =, i =,..., n i n n i Model fizyczny/ekonomiczny/meteorologiczny... r. różniczkowe 43
44 Przykład: oscylator harmoniczny F( t, ( t), ( t), ( t)) = r. mechaniki f = ma prawo Newtona k k t = m t k m > = ω m t = ω ( ) ( ),,, oscylator harmoniczny ( ) ( t) r. różniczkowe do rozwiązania ( t) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ogólna postać rozwiązania t = Aω ωt + Bω ωt t = ω t Sprawdzenie: ( ) sin( ) cos( ), ( ) ( ) Warunki początkowe: ( t) =, ( t) = v A =, Bω = v v t = ωt + ωt ω ( ) cos( ) sin( ) rozwiązanie spelniające war. początkowe 44
45 Przykład: rozpad promieniotwórczy / wzrost populacji dn ( t) = λn( t), λ > dt (ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów) Rozw.: N ( t) = N ep( λt) liczba nierozpadlych atomów po czasie t λ λ N( t) = N ep( λt) populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa Bardziej realistyczne równanie: dn ( t) = λn t N t N dt = N N = λ * ( )[ ( ) / ], * / ( ) (nieliniowosć!) 45
46 Rozwiązanie równania populacji ( λ = ): d d = ( ) dt ln t C ep( t C) dt = = + = + ( ) = ep( C)ep( t) = C 'ep( t) ( t) = C 'ep( t) war. początkowy: ( t = ) = = C ' ( t) = + ep( t) + ep( t) ep( t) t ln, (,) (, ) (w t ln osobliwosć) = = ( t) = : lim ( t) = t 46
47 Ogólne uwagi i twierdzenia Rozwiązanie y( ) r.r. nazywamy calką r.r., a wykres (, y( )) krzywą calkową. Calka ogólna równania rzędu pierwszego jest postaci y( ) = f (, C), gdzie C jest stalą. Stalą tę wyznacza się z warunku poczatkowego y = f (, C). Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f (, C) dla żadnej wartosci C. y ' Przyklad: y ' = y = ( y )' = y = + C, + C y ( + C), C y( ) =, < C y( ) = rozw. osobliwe 47
48 Jednoznaczność rozwiązań Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y ' = f (, y), f (, y) i f (, y) ciagle w pewnym otoczeniu (, y ) y otoczenie ( a, + a), w którym jest okreslona dokladnie jedna funkcja φ( ) o wlasnociach: φ '( ) = f (, φ( )), φ( ) = y. 48
49 Równanie o zmiennych rozdzielonych dy p( y) y '( ) = q( ) p( y) = q( ) p( y) dy = q( ) d p( y) dy = q( ) d d P( y) = p( y) dy, Q( ) = q( ) d, P( y) = Q( ) + C, C pewna stala Rozwiązanie jest dane w postaci uwiklanej! 3 ' 3, ' d dy d d D: ( P( y( )) Q( ) C) = P( y) Q( ) = y ' p( y) q( ) = d d dy d Przyklad: 3 dy( t) y t 3 3 y = t y dy = tdt = + C y = t + 3C dt 3 3 C = C y = t + C 3 y t C ' Warunek początkowy: y( t) = y = + y = ( t t ) + y 3 3 Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno! 49
50 Rozwiązanie równania populacji ( λ = ): d d = ( ) dt ln t C ep( t C) dt = = + = + ( ) = ep( C)ep( t) = C 'ep( t) ( t) = C 'ep( t) war. początkowy: ( t = ) = = C ' ( t) = + ep( t) + ep( t) ep( t) t ln, (,) (, ) (w t ln osobliwosć) = = ( t) = : lim ( t) = t 5
51 Jednoparametrowe rodziny krzywych R. populacji = ( ) ( t) = + ep( t) Inne równanie y y = t y( t) 3t = 3 + y 3 5
52 Równania sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych y ' = f ( a + by + c) u = a + by + c u ' = a + by ' = a + bf ( u) u ' = a + bf ( u) R. jednorodne w i y : y y '( ) = f y u( ) =, y = u, y ' = u ' + u u ' + u = f ( u) u ' =, f ( u) u, f ( u) u 5
53 Ciąg dalszy w notatkach i skryptach... 53
Analiza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe
[wersja z X 008] Analiza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego 008/009 Wojciech Broniowski Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 3 Całki wielowymiarowe
[wersja z 6 X 9] Analiza Matematczna 3 Całki wielowmiarowe Konspekt wkładu dla studentów II r. fizki Uniwerstet Jana Kochanowskiego 9/ Wojciech Broniowski Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Aleandra
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowo[wersja z 5 X 2010] Wojciech Broniowski
[wersja z 5 X 1] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki Akademia Świętokrzyska 1/11 Wojciech Broniowski 1 Analiza funkcji wielu zmiennych Przestrzeń wektorowa unormowana : X
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 4
[wersja z 6 III 7] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski Analiza funkcji wielu zmiennych Przestrzeń wektorowa (liniowa)
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 4
[wersja z 1 IV 8] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 7/8 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoZAKRESY NATERIAŁU Z-1:
Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoSIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,
IMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, 2012-06-03 Całka powierzchniowa efinicja gładkiego płata powierzchni Gładkim płatem powierzchni nazywamy zbiór : = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) }, gdzie R 2 jest
Bardziej szczegółowoAnaliza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: Liczba punktów: wykład, ćwiczenia W, C 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoElementy równań różniczkowych cząstkowych
Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowo2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne
2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termodynamiczne 2.1 Definicja całki z formy różniczkowej ymbol ω oznacza całka z formy ω po obszarze Ω. To jak praktycznie obliczyć Ω taką całkę zależy jakiego stopnia
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej
Bardziej szczegółowo24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa
opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa 1. Funkcje wektorowe 1.1. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie Wektor r = x i + y j nazywamy wektorem wodzącym punktu (x, y). Jeśli x oraz y są funkcjami czasu,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoSpis wszystkich symboli
1 Spis wszystkich symboli Symbole podstawowe - pojedyncze znaki, alfabet grecki α β γ Γ δ ξ η ε ϕ ν ρ τ θ Θ ψ Ψ φ Φ Ω Υ Σ -alfa -beta - gamma - gamma (duże) - delta (małe) - delta (duże) -ksi -eta - epsilon
Bardziej szczegółowoRozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoCałka krzywoliniowa niezorientowana Niech R 3 będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- γ taką, że
Całka krzywoliniowa niezorientowana Niech R będzie krzywą prostowalną opisywaną parametryzacją r:,α, β- taką, że t α, β : r t = ( t, y t, z t ) ef. Mówimy, że krzywa jest kawałkami gładka funkcja r t ma
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 45 45
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: ANALIZA MATEMATYCZNA M3 Nazwa w języku angielskim: MATHEMATICAL ANALYSIS M3 Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 30 grudnia 2013 1 Całkowanie form różniczkowych 11 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a W tej części zajmiemy się interpretacją poniższych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoLista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }
Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna II Rok akademicki: 2013/2014 Kod: MIS-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: - Poziom
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWektory. Algebra. Aleksander Denisiuk. Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk
Algebra Wektory Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Wektory Najnowsza wersja
Bardziej szczegółowoAnaliza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń
Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 1 Rachunek wektorowy Co to jest,,pole? Matematyka: odwzorowanie Rn Rm które przypisuje każdemu punktowi wartość (skalarną lub wektorową). Fizyka: Własność przestrzeni
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. audytoryjne),
Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA 1. Wydział: InŜynierii Środowiska i Geodezji 2. Kierunek studiów: InŜynieria Środowiska 3. Rodzaj i stopień studiów: studia I stopnia, inŝynierskie, stacjonarne 4. Nazwa przedmiotu:
Bardziej szczegółowo