Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli a > 0 oraz b > 0, to: i) a b a b, ii) a b a b, albo stosujemy przejścia, które ie są rówoważe Korzystamy wtedy z relacji przechodiości: jeżeli a b oraz b c, to a c, albo z możliwości dodawaia stroami zgodie skierowaych ierówości: jeżeli a b oraz c d, to a + b c + d, albo z możliwości możeia stroami zgodie skierowaych ierówości dla liczb dodatich: jeżeli a b 0 oraz c d 0, to a c b d Zapowiadae w tytule trzy elemetare ierówości są astępujące (z podaej umeracji będziemy korzystali w przedstawiaych rozwiązaiach przykładowych zadań): 1 Dla każdych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest ierówość a + b ab, przy czym rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b Nierówość dla średiej arytmetyczej i geometryczej Średią geometryczą dwóch ieujemych liczb rzeczywistych a, b azywamy liczbę ab Dla każdych ieujemych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest ierówość a + b ab, którą często zapisujemy w postaci a + b ab, przy czym rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b 3 Dla każdych liczb rzeczywistych a, b, takich, że ab > 0, prawdziwa jest ierówość a b +, b a przy czym rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b a b Jeżeli ab < 0, to + Rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b b a 1
Nierówość 1 Zadaia wprowadzające Zadaie 1 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest ierówość Przekształcamy ierówość rówoważie: + 1 + 1 0 1 0 Ostatia ierówość jest oczywista Rówość ma miejsce, wtedy i tylko wtedy, gdy = 1 Zadaie Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest ierówość Zauważamy, że = i przekształcamy ierówość rówoważie: + 1 + 1 0 1 0 + 1 + 1 Ostatia ierówość jest oczywista Rówość ma miejsce, gdy wtedy i tylko wtedy, gdy = 1, czyli dla = 1 albo = 1 Nierówość 1 Dla każdych liczb rzeczywistych oraz y prawdziwa jest ierówość + y y Dowód Przekształcamy ierówość rówoważie: + + 0 0 y y y y y Ostatia ierówość jest oczywista Rówość ma miejsce, wtedy i tylko wtedy, gdy = y Przykłady zastosowań ierówości 1 Przykład 1 Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych oraz a prawdziwa jest ierówość ( + a) 4a Przekształcamy ierówość rówoważie: ( a) a a a a a a ( a) + 4 + + 4 + 0 0 Ostatia ierówość jest oczywista Rówość ma miejsce, wtedy i tylko wtedy, gdy = a Przykład Wykaż, że jeżeli a, b są długościami przyprostokątych trójkąta prostokątego oraz c jest długością przeciwprostokątej tego trójkąta, to a + b c
Jest wiele dowodów geometryczych tej ierówości, my przedstawimy dowód algebraiczy, ale oczywiście ie obejdzie się bez zastosowaia twierdzeia Pitagorasa Pokażemy, że a b c +, co jest rówoważe z tezą a + b = a + ab + b a + a + b + b = a + b = c Rówość ma miejsce, gdy trójkąt jest róworamiey (jest połową kwadratu ) Uwaga Zauważmy, że przy okazji udowodiliśmy ierówość o związku między średią arytmetyczą i średią kwadratową a + b Średia kwadratowa liczb a, b jest rówa Wykazaliśmy, że dla dowolych liczb a, b prawdziwa jest ierówość a + b a + b, i gdy a 0, b 0, to rówość zachodzi, dla a = b Przykład 3 Wykaż, że jeżeli w prostopadłościaie a, b, c są długościami krawędzi wychodząch z jedego wierzchołka oraz d jest długością przekątej tego prostopadłościau, to a + b + c d 3 Jest wiele dowodów geometryczych tej ierówości, my przedstawimy dowód algebraiczy, korzystając z wzoru a długość przekątej prostopadłościau: a + b + c = d Pokażemy, że a b c 3d + +, co jest rówoważe z tezą a + b + c = a + b + c + ab + ac + bc ( a b c ) d a + b + c + a + b + a + c + b + c = = 3 + + = 3 Rówość ma miejsce, dla a = b = c, czyli gdy prostopadłościa jest sześciaem Uwaga 1 + + + Średia arytmetycza liczb 1,,, to, średia kwadratowa liczb 1,,, to + + + 1 Rozumując tak, jak w przykładach oraz 3, możemy udowodić ierówość między średia arytmetyczą i średią kwadratową liczb 1,, tz wykazać, że dla dowolych liczb 1,, prawdziwa jest ierówość 3
1 + + + 1 + + + Przykład 4 Wykaż, że jeżeli + y = a, to a + y, w szczególości, gdy + y = 1, to + y Podosimy obie stroy rówości + y = a do kwadratu i korzystamy z ierówości (1) 1 a = + y = + y + y + + y + y = + y, stąd po podzieleiu obu stro ierówości przez otrzymujemy tezę a Rówość ma miejsce, gdy = y = Przykład 5 Wykaż, że jeżeli + y + z = a, to W szczególości + y + z = 1, to a + y + z 3 + y + z 3 1 Podosimy obie stroy rówości + y + z = a do kwadratu i korzystamy z ierówości (1) a = + y + z = + y + z + y + z + yz 3 + y + z + + y + + z + y + z = + y + z Stąd po podzieleiu obu stro ierówości przez 3 otrzymujemy tezę a Rówość ma miejsce, gdy = y = z = 3 Uwaga Rozumując aalogiczie jak w przykładach 3 oraz 4 moża wykazać, że jeżeli 1,, są liczbami rzeczywistymi takimi, że 1 + + + = a, to a Rówość ma miejsce, gdy 1 = = = = a 1 + + + Przykład 6 Wykaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych, y, z prawdziwa jest ierówość + y + z y + z + yz 4
Zapisujemy trzy razy ierówość 1 + y y, z z +, y + z yz, po dodaiu stroami otrzymujemy ( y z ) ( y z yz) + + + +, a po podzieleiu obu stro przez otrzymujemy tezę Rówość ma miejsce, gdy = y = z Uwaga Rozumując aalogiczie jak w przykładzie 6 możemy wykazać, że jeżeli 1,, są liczbami rzeczywistymi, to 1, k i j k = 1 1 i< j i rówość ma miejsce, gdy 1 = = = Nierówość Zadaie wprowadzające Zadaie 1 Wykaż, że jeżeli 0, to + 1 Przekształcamy ierówość rówoważie: + 1 + 1 0 + 1 0 1 0 Ostatia ierówość jest oczywista Rówość ma miejsce, wtedy i tylko wtedy, gdy = 1 Nierówość Da każdych liczb ieujemych rzeczywistych a, b prawdziwa jest ierówość dla średiej arytmetyczej i geometryczej a + b ab, którą często zapisujemy w postaci a + b ab Rówość ma miejsce, wtedy i tylko wtedy, gdy a = b Dowód Przekształcamy ierówość rówoważie: a + b ab a + b ab a ab + b 0 ( a b ) 0 Ostatia ierówość i fakt, że rówość ma miejsce, wtedy i tylko wtedy, gdy a = b są oczywiste Uwaga Nierówość ta zasługuje a szczególą uwagę 5
a + b Z faktu, że dla każdych liczb dodatich a, b prawdziwa jest ierówość ab wyika, że: a) jeżeli stała jest suma dwóch liczb dodatich, to ich iloczy jest ajwiększy, gdy obie liczby są rówe, (p wśród prostokątów o ustaloym obwodzie ajwiększe pole ma kwadrat), b) jeżeli stały jest iloczy dwóch liczb dodatich, to ich suma jest ajmiejsza, gdy obie liczby są rówe, (p wśród prostokątów o ustaloym polu ajmiejszy obwód ma kwadrat) Przykłady zastosowań ierówości Przykład 1 Wykaż, że jeżeli > 0, y > 0 oraz 5 ( y y y y ) y =, to ( )( y) 1+ 1+ 36 1+ 1+ = 1+ + + = 6 + + 6 + 5 = 36 Rówość ma miejsce, gdy = y = 5 Przykład Wykaż, że jeżeli a, b, są liczbami dodatimi oraz 4 ab =, to ( a )( b ) ( ) + + + a b ab a b a b + + = + + + = + 4 + + + 4 + 4 = + 4 + 4 = + Rówość ma miejsce, gdy a = b = Przykład 3 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi oraz yz = 1, to ( )( y)( z) 1+ 1+ 1+ 8 Zapisujemy trzy razy ierówość dla średich: 1+, 1+ y y, 1+ z z Możą te trzy ierówości stroami otrzymujemy tezę Rówość ma miejsce, gdy = y = z = 1 Przykład 4 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi, to ( + y)( + z)( y + z) 8yz Zapisujemy trzy razy ierówość dla średich: 6
+ y y, y + z yz, + z z Możąc te trzy ierówości stroami otrzymujemy tezę Rówość ma miejsce, gdy = y = z Przykład 5 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi, to y + yz + z yz + y z + z y Dla uproszczeia dowodu pomożymy obie stroy tezy przez, przekształcimy lewą stroę otrzymaej ierówości i trzy razy zastosujemy ierówość () ( y + yz + z = y + z + y + yz + z + zy = y + z + y + z + z + y ) yz + y z + z z = yz + y z + z y Rówość ma miejsce, gdy = y = z Przykład 6 Wykaż, że jeżeli a, b, c, d są liczbami dodatimi, to 4 a + b c + d abcd Obie stroy ierówości są dodatie, więc po podiesieiu ich do kwadratu otrzymamy ierówość rówoważą ( a + b)( c + d ) 4 abcd Zapisujemy teraz dwa razy ierówość () a + b ab, c + d cd Po pomożeiu tych ierówości stroami otrzymujemy tezę Rówość ma miejsce, gdy a = b oraz c = d Przykład 7 Wykaż, że jeżeli, y są liczbami dodatimi oraz + y = 16, to ( )( y) 1+ 1+ 81 Korzystając z ierówości mamy ( y ) + y y = = 64 Przekształcając lewą stroę ierówości otrzymujemy 1+ 1+ y = 1+ + y + y 1+ 16 + 64 = 81, co ależało wykazać Nierówość 3 7
Zadaia wprowadzające Zadaie 1 1 Wykaż, że jeżeli > 0, to + Poieważ > 0, to po pomożeiu obu stro ierówości przez, otrzymujemy ierówość + 1, rówoważą z oczywistą ierówością ( 1) 0 Rówość ma miejsce, gdy = 1 Zadaie 1 Wykaż, że jeżeli < 0, to + Poieważ < 0, to po pomożeiu obu stro ierówości przez, otrzymujemy ierówość + 1, rówoważą z oczywistą ierówością ( + 1) 0 Rówość ma miejsce, gdy = 1 Nierówość 3 a b a) Jeżeli ab > 0, to + b a a b b) Jeżeli ab < 0, to + b a Dowód a) Poieważ ab > 0, to możąc obie stroy ierówości przez ab otrzymujemy ierówość a b ab +, rówoważą z oczywistą ierówością ( a b) 0 Rówość ma miejsce, gdy a = b b) Poieważ ab < 0, to możąc obie stroy ierówości przez ab otrzymujemy Nierówość a b ab Rówość ma miejsce, gdy a +, rówoważą z oczywistą ierówością ( a b) 0 = b + Przykłady zastosowań ierówości 3 Przykład 1 Z ierówości 3a) wyika atychmiast, że jeżeli α jest kątem ostrym, to siα cosα +, cosα siα przy czym rówość ma miejsce wtedy i tylko gdy α = 45 Przykład 8
1 1 Wykaż, że jeżeli y > 0, to ( + y) + 4 y Przekształcając lewą stroę ierówości otrzymujemy: 1 1 y y ( + y) + = 1+ + + 1 = + + y y y Stosujemy teraz ierówość (3) ( 3 y ) + + + = 4 y Rówość ma miejsce, gdy = y Przykład 3 1 1 1 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi, to ( + y + z) + + 9 y z Przekształcając lewą stroę ierówości otrzymujemy: 1 1 1 y y z z ( + y + z) + + = 1+ + + + 1+ + + + 1 = y z y z z y y z y z 3 + + + + + + y z z y Stosujemy teraz do każdego z trzech awiasów ierówość (3) ( 3 y ) z y z 3+ + + + + + 3 + + + = 9 y z z y i otrzymujemy tezę Rówość ma miejsce, gdy = y = z Przykład 4 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi, to y + y z + yz y + z + z + z y 0 Przekształcając lewą stroę ierówości otrzymujemy: y + y z + yz y + z + z + z y = y y z z = yz + + + + = z z y y y z y z = yz + + + + + y z z y Stosując do każdego z trzech awiasów ierówość (3) w wersji a b + 0, otrzymujemy tezę b a Rówość ma miejsce, gdy = y = z Przykład 5 9
Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi, to y yz z + + + y + z z y Dla uproszczeia dowodu pomożymy obie stroy tezy przez, przekształcimy lewą stroę otrzymaej ierówości i zastosujemy do każdego z trzech awiasów ierówość (3) y yz z y z yz y yz z + + = + + + + + = z y z y z y y z z y = + + y + + z + + y + z = + y + z z y z y Rówość ma miejsce, gdy = y = z ( 3) Przykład 6 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi oraz yz = 1, to y + z + yz + + y + z 6 1 1 1 1 1 Z waruku yz = 1 wyzaczymy z = otrzymując: z = =, yz = y = y y y y 1 1 1 1 1 1 Zapisujemy ierówość w postaci y + + + + y + = + + y + + y + y y y y Stosując do każdego z awiasów ierówość (3) otrzymujemy tezę Rówość ma miejsce, gdy = y = z = 1 Przykład 7 Wykaż, że jeżeli, y, z są liczbami dodatimi oraz yz = 1, to ( )( y)( z) 1+ 1+ 1+ 8 Wskazówka Wykoaj działaia po lewej stroie ierówości i porówaj z poprzedim zadaiem 10