Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ eoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2016/2017 dr inż. Sebastian Korczak

Wykład 9 ransmitancja widmowa. Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej. 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2

ransmitancja Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISO o ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) G(s)= Y (s) X (s) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3

Wejście i wyjście dziedzina czasu x (t) g(t) y (t)=g(t) x(t) L L L -1 X (s) G(s) Y (s)=g(s) X (s) dziedzina zespolona 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4

wejście: x(t )=sin(ω t ) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5

wejście: x(t )=sin(ω t ) transmitancja: G(s) wyjście: wymuszenie harmoniczne y(t)=a sin(ωt +φ ) w stanie ustalonym 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) s= j ω G(s) G( j ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 7

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 8

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) Q(ω) Wykres Nyquista P(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 9

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) Q(ω) Wykres Nyquista ω= ω=0 P(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 10

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) Q(ω) Wykres Nyquista ω= ω=0 P(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 11

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) Q(ω) Wykres Nyquista φ (ω)=arg G( j ω)=arctg Q P ω= ω=0 P(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 12

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) Q(ω) Wykres Nyquista φ (ω)=arg G( j ω)=arctg Q P ω= ω=0 P(ω) A (ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 13

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) Q(ω) Wykres Nyquista φ (ω)=arg G( j ω)=arctg Q P ω= ω=0 φ (ω) P(ω) A (ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 14

wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) Q(ω) Wykres Nyquista φ (ω)=arg G( j ω)=arctg Q P ω= ω=0 φ (ω) P(ω) A (ω) Wykres transmitancji widmowej Częstościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 15

wejście: x(t )=sin(ω t ) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) Wykres Bodego 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 16

wejście: x(t )=sin(ω t ) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 17

wejście: x(t )=sin(ω t ) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) L(ω) [db] ω [rad/s] L(ω)=20 log A(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 18

wejście: x(t )=sin(ω t ) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) L(ω) [db] ω [rad/s] L(ω)=20 log A(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 19

wejście: x(t )=sin(ω t ) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) L(ω) [db] ω [rad/s] φ (ω) [rad] ω [rad/s] L(ω)=20 log A(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 20

wejście: x(t )=sin(ω t ) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) L(ω) [db] ω [rad/s] φ (ω) [rad] ω [rad/s] L(ω)=20 log A(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 21

wejście: x(t )=sin(ωt) ransmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) Wykres Nicholsa (współrzędne Blacka) L(ω) [db] φ (ω) [rad] 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 22

ransmitancja widmowa znajduje zastosowanie do opisu własności m.in.: układów sterowania (obiekty sterowane, regulatory) układów drgających (zawieszenia) układów audio (wzmacniacze, mikrofony, głośniki, kable) układów bezprzewodowej transmisji danych (wzmacniacze, anteny) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 23

Przykład 1 - obwód RC u 1 (t)=sin(ω t) u 2 (t)= A sin(ωt+φ ) G(s)= s 1+s - z poprzedniego wykładu 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 24

Przykład 1 - obwód RC u 1 (t)=sin(ω t) u 2 (t)= A sin(ωt+φ ) s= j ω G(s)= s 1+s - z poprzedniego wykładu G( j ω)= j ω 1+ j ω = j ω 1+ j ω 1 j ω 1 j ω = j ω 2 j 2 ω 2 1 2 2 j 2 ω 2 = j ω+ 2 ω 2 1 2 + 2 ω 2 = 2 ω 2 1 2 + 2 ω 2 + j ω 1 2 + 2 ω 2 P(ω)= 2 ω 2 1+ 2 ω 2 Q(ω)= ω 1+ 2 ω 2 L(ω)=20 log A(ω)=20 log φ (ω)=arg G ( j ω)=arctan Q P =arctan ( 1 ω ) A(ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω)= ω 2 ω 2 +1 ω 2 ω 2 +1 =20 log ω 20 log 2 ω 2 +1 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 25

Przykład 1 - obwód RC P(ω)= 2 ω 2 1+ 2 ω 2 Q(ω)= ω 1+ 2 ω 2 Wykres Nyquista 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 26

Przykład 1 - obwód RC P(ω)= 2 ω 2 1+ 2 ω 2 Q(ω)= ω 1+ 2 ω 2 Q(ω) 1/2 Wykres Nyquista ω=1/ ω=0 ω= 0 1/2 1 P(ω) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 27

Przykład 1 - obwód RC A(ω)= ω 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan ( 1 ω ) A (ω) 1 0.894 0.707 0 1 2 3 4 5 6 ω 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 28

Przykład 1 - obwód RC A(ω)= ω 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan ( 1 ω ) A (ω) φ (ω) 1 0.894 π/2 0.707 π/4 0 1 2 3 4 5 6 ω 0 1 2 3 4 5 6 ω 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 29

Przykład 1 - obwód RC L(ω)=20 log ω 20log 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan ( 1 ω ) Wykres Bodego 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 30

Przykład 1 - obwód RC L(ω)=20 log ω 20log 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan ( 1 ω ) 1 10 1 10 Wykres Bodego 100 3 ω [rad/s] L(ω) [db] 20 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 31

Przykład 1 - obwód RC L(ω)=20 log ω 20log 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan ( 1 ω ) 1 10 1 10 Wykres Bodego 100 3 ω [rad/s] π 2 L(ω) [db] 20 φ (ω) [rad] 1 1000 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 32 π 4 1 100 1 10 1 10 ω [rad/s] 100 1000

Przykład 1 - obwód RC u 1 (t)=sin(ω t) u 2 (t)= A sin(ωt+φ ) Przykładowe dane: R=1k Ω, C=10μ F 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 33

Przykład 1 - obwód RC u 1 (t)=sin(ωt) filtr RC u 2 (t)= A sin(ω t +φ ) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 34

Przykład 1 - obwód RC u 1 (t)=sin(ω t) filtr RC u 2 (t)= A sin(ω t +φ ) 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 35

Skala liniowa i decybelowa A (wzmocnienie) 20logA 1000 60 100 40 10 20 1 0 0.1-20 0.01-40 0.001-60 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 36

obiekt traktowany jako punkt materialny o masie m ransmitancja widmowa Przykład 2 - układ drgający przemieszczenie wyjściowe y(t) sprężyna liniowa o sztywności k c u(t) tłumik liniowy o wsp. tłumienia c przemieszczenie wejściowe 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 37

Przykład 2 - układ drgający 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 38

Przykład 2 - układ drgający m ÿ (t)+c ẏ(t)+k y(t)=c u(t)+k u(t) G(s)= c s+k m s 2 +c s+k P (ω )= k 2 +c 2 ω 2 kmω 2 3 (k mω, Q (ω )= cmω 2 ) 2 +c 2 ω 2 (k mω 2 ) 2 +c 2 ω 2 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 39

Przykład 2 - układ drgający Wykresy dla: m=300 kg, c=800 Ns m, k =11000 N m 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 40

Przykład 2 - układ drgający dla obliczeń z użyciem atan 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 43

Przykład 2 - układ drgający dla obliczeń z użyciem atan2 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 44

Przykład 2 - układ drgający Odp. na wymuszenie skokowe 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 45

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa elementu Równanie ransmitancja proporcjonalny (bezinercyjny) y (t )=ku (t ) k inercyjny I rzędu dy (t ) dt +y (t )=ku (t ) k s+1 całkujący t y (t )=k u (t ) dt 0 dy (t ) =ku (t ) dt k s 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 46

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa Równanie ransmitancja różniczkujący y (t )=k du (t ) dt ks różniczkujący rzeczywisty (z bezwładnością) dy (t ) dt +y (t )=k du (t ) dt ks s+1 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 47

Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa Równanie ransmitancja opóźniający y (t )=u (t τ ) e τ s inercyjny II rzędu (oscylacyjny) 2 d 2 y (t ) dy (t ) 1 + dt 2 2 dt +y (t )=ku (t ) + k 1 2 s 2 + 2 s+1 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 48

8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 49

8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 50

WolframAlpha 8.12.2016 MiPA, Wykład 9, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 51