Urz¹dzenie steruj¹ce. Obiekt. Urz¹dzenie steruj¹ce. Obiekt. 1. Podstawowe pojęcia. u 1. y 1 y 2... y n. z 1 z 2... z l.

Transkrypt

1 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str.. Podstawowe pojęcia z (t) z 2 (t)... u (t) u 2 (t). Obiet u m (t) z l (t) (t) 2 (t). n (t) u(t) z(t) Obiet (t) (a) u Rs. u u = 2..., z = u m z z 2... z l, = na ogół m l n; gd m = l = n =, to uład jednowmiarow gd m lub l lub n uład wielowmiarow 2. Otwart i zamnięt uład sterowania z z 2 (b) 2... n () Urz¹dzenie steruj¹ce u Obiet Rs. 2 Uład otwart z Urz¹dzenie steruj¹ce u Obiet Podstaw automati (z) Rs. 3 Uład zamnięt

2 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str Opis uładu tpu wejście-wjście a n d n (t) dt n + a n d n (t) dt n = b m d m u(t) dt m d(t) + + a + a (t) = (2) dt d m u(t) du(t) + + b dt m + b u(t) dt + b m a n (n) (t) + a n (n ) (t) + + a ẏ(t) + a (t) = (3) = b m u (m) (t) + b m u (m ) (t) + + b u(t) + b u(t) m n; waruni poczatowe: (i) (), i =,,... n u (j) (), j =,,... m u( t) U³ad dnamiczn Rs. 4 ( t) 4. ransmitancja operatorowa U(s) = L[u(t)] = Przpomnijm, że: u(t)e st dt, Y (s) = L[(t)] = (t)e st dt L[f (n) (t)] = s n F(s) n = s n f () ( + ) prz czm f () ( + ) = lim t + df () (t) dt Podstaw automati (z)

3 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 3 a n (n) (t) + a n (n ) (t) + + a ẏ(t) + a (t) = = b m u (m) (t) + b m u (m ) (t) + + b u(t) + b u(t) a n s n Y (s) + a n s n Y (s) + + a sy (s) + a Y (s) = (4) = b m s m U(s) + b m s m U(s) + + b su(s) + b U(s) Y (s)(a n s n + a n s n + + a s + a ) = = U(s)(b m s m + b m s m + + b s + b ) Y (s) = m b j s j j= n U(s) a i s i i= G(s) Y (s) U(s) = m b j s j j= n (5) a i s i prz czm (i) (+) =, i =,,... n u (j) (+) =, j =,,... m i= Podstaw automati (z)

4 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 4 Przład R L u ( t ) u2 ( t ) R 2 Eliminujem i(t): Rs. 5 u (t) = R i(t) + L di(t) dt u 2 (t) = R 2 i(t) + R 2 i(t) L du 2 (t) + R u 2 (t) + u 2 (t) = u (t) R 2 dt R ( 2 L u 2 (t) + + R ) u 2 (t) = u (t) R 2 R 2 ( s L + + R ) U 2 (s) = U (s) R 2 R 2 G(s) = U 2(s) U (s) = s L R R R 2 = R 2 sl + R + R 2 = R 2 R +R 2 L sr +R 2 + = R 2 R + R 2, = (element inercjn -go rzędu) L R + R 2 G(s) = + s Podstaw automati (z)

5 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str Odpowiedź soowa dla t > ½(t) = dla t = lub uproszcz. ½(t) = 2 dla t < dla t dla t < (6) ( t) ( t),5 lub t Rs. 6 t L[½(t)] = s u(t) G(s) Rs. 7 (t) U(s) = L[u(t)], Y (s) = L[(t)] Y (s) = G(s)U(s) ponieważ G(s) = Y (s) U(s) u(t) = ½(t) H(s) = G(s) s h(t) = L [ G(s) s ] Podstaw automati (z)

6 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 6 Przład G(s) = + s [ ] [ ] h(t) = L = L + s s s(s + ) = ) + lim s / s est = ( ) e t ½(t) = ( lim s ) ( e t s + ½(t) e st + h( t) Rs. 8 t 6. Odpowiedź impulsowa dla t δ(t) = dla t = lub inaczej: δ(t) = /ε dla t ( ε/2, ε/2) /(2ε) dla t = ±ε/2 dla t > ε/2 ( t) / /(2 ) δ(t)dt = (7) (8) Podstaw automati (z) t Rs. 9

7 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 7 u(t) G(s) Rs. (t) Y (s) = G(s)U(s) = G(s) L[δ(t)] = g(t) = (t) = L [G(s)] Przład G(s) = + s [ ] [ g(t) = L = L + s s + ] = e t ½(t) / g( t) Rs. t 7. Zwiaze międz h(t) i g(t) h(t) = 8. Cała splotowa t g(τ)dτ, g(t) = d h(t) (9) dt Y (s) = G(s)U(s) (t) = t u(τ)g(t τ)dτ = t u(t τ)g(τ)dτ () Podstaw automati (z)

8 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 8 Przład (element całujac idealn i rzeczwist) G (s) = Y (s) U(s) = s, G 2(s) = Y 2(s) U(s) = s( + s) równania różniczowe U(s) = sy (s) u(t) = ẏ (t) U(s) = sy 2 (s) + s 2 Y 2 (s) u(t) = ÿ 2 (t) + ẏ 2 (t) odpowiedzi soowe [ h (t) = L G (s) ] [ ] s = L s 2 [ h 2 (t) = L G 2 (s) ] [ = L s [ ( = = = lim s d ds = t½(t) ] = [ L s 2 ( + s) e st ) + lim s s + [ te st (s + lim ) est s (s e ( ) [ )2 ] t e t s 2est t ] ½(t) = ] ½(t) = s 2 (s + ) ½(t) = (t + e t )½(t) ] = h( t) h t ( ) h t 2 ( ) = arctg Rs. 2 t Podstaw automati (z)

9 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 9 odpowiedzi impulsowe: [ ] g (t) = L [G (s)] = L = ½(t) s [ ] g 2 (t) = L [G 2 (s)] = L s( + s) = ( e t )½(t) g( t) g t 2( ) g t ( ) Rs. 3 t 9. Charatersti statczne i dnamiczne u(t) G(s) Rs. 4 (t) ( t) u³. liniow u³. nieliniow u t (a) ch-i statczne (b) ch-a dnamiczna Rs. 5 Podstaw automati (z)

10 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str.. Wznaczanie transmitancji wpadowch a) połaczenie szeregowe (asadowe) u( t) u2( t) ( t) G( s) G2( s) Rs. 6 G (s) = U 2(s) U (s), b) połaczenie równoległe G 2(s) = Y (s) U 2 (s) G(s) = Y (s) U (s) = Y (s) U 2 (s) U 2 (s) U (s) = G (s)g 2 (s) () u( t) G s ( ) G s 2( ) Rs. 7 t ( ) t 2( ) ( t) Y (s) = Y (s) + Y 2 (s) = G (s)u(s) + G 2 (s)u(s) = = (G (s) + G 2 (s))u(s) G(s) = Y (s) U(s) = G (s) + G 2 (s) (2) Podstaw automati (z)

11 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. c) sprzężenie zwrotne u( t) e( t) ( t) G( s) Rs. 8 G s 2( ) Y (s) = G (s)e(s) = G (s) [U(s) G 2 (s)y (s)] Y (s) + G (s)g 2 (s)y (s) = G (s)u(s) Y (s) [ + G (s)g 2 (s)] = G (s)u(s) G(s) = Y (s) U(s) = G (s) + G (s)g 2 (s) dla dodatniego sprzężenia zwrotnego: G(s) = G (s) G (s)g 2 (s) gd G 2 (s) = bezpośrednie sprzężenie zwrotne i wted: G(s) = G (s) ±G (s). Przeształcanie schematów bloowch a) przenoszenie węzła sumacjnego z we na w i odwrotnie G (s) [U (s) + G 2 (s)u 2 (s)] = G (s)u (s) + G (s)g 2 (s)u 2 (s) (3) u G s ( ) u G s ( ) G s 2( ) G s ( ) G s 2( ) u 2 u 2 Rs. 9 Podstaw automati (z)

12 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 2 G (s)u (s) + G 2 (s)u 2 (s) = G (s) [ U (s) + ] G (s) G 2(s)U 2 (s) u G s ( ) u G s ( ) G2( s) /G( s) u 2 G s 2( ) u 2 Rs. 2 b) przenoszenie węzła informacjnego (rozgałęźnego) z we na w i odwrotnie u G( s) 2 Rs. 2 u G( s) /G( s) 2 u G( s) 2 Rs. 22 u G( s) G( s) 2 c) zamiana miejsc węzłów sasiaduj acch ze soba = (u u 3 ) + u 2 = (u + u 2 ) u 3 u u u 2 u u 3 2 u 3 Podstaw automati (z) Rs. 23

13 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str ransmitancja widmowa G(jω) = G(s) s=jω, ω = 2πf (4) u(t) G(jω) Rs. 24 (t) (t) = p (t) + u (t), u(t) = A sin ωt ½(t) lim p (t) = (5) t (t) = u (t) = A G(jω) sin(ωt + ϕ(ω)) ½(t) (6) Przład 2 G(s) = s 2 + 3s + 2 = 2 (s + )(s + 2) = (s + )(,5s + ) u(t) = 8 sin 2t ½(t) wznaczć przebieg u (t) G(s) s=j2 = = 2 (j2) 2 + 3(j2) + 2 = j6 = =,36e j8,4 ( 2) e jarctg u (t) = 8,36 sin(2t 8,4 ) ½(t) = = 2,528 sin(2t 8,4 ) ½(t) 3. Charatersti częstotliwościowe ω, + ) ch. amplitudowo-fazowa (wres Nquista), ch-i logartmiczne (wres Bodego). Podstaw automati (z)

14 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str Charatersta amplitudowo-fazowa G(s)= b ms m + b m s m + + b s + b a n s n + a n s n + + a s + a, m n (7) G(jω) = G(s) s=jω = (8) = b m(jω) m + b m (jω) m + + b (jω) + b a n (jω) n + a n (jω) n + + a (jω) + a G(jω) = P(ω) + jq(ω) = G(jω) e jϕ(ω) (9) P(ω) = Re[G(jω)], Q(ω) = Im[G(jω)], Im[ G( j)] G(jω) = P 2 (ω) + Q 2 (ω), ϕ(ω) = arctg Q(ω) P(ω). ( ) P( ) Re[ G( j)] G( j ) Q( ) Rs. 25 ( ω < ) u(t) = A sin ω t (t) = A G(jω ) sin(ω t + ϕ(ω )) Przład (element inercjn -go rzędu) ( jω) G(jω) = = = + jω + ω 2 2 = + ω 2 j ω = P(ω) + jq(ω) 2 + ω 2 2 ω > P >, Q IV ćw. Podstaw automati (z)

15 Politechnia Poznańsa, Katedra Sterowania i Inżnierii Sstemów Wład,2, str. 5 P = + ω 2 2 = + ω 2 2 P ω2 2 = P P P Q 2 = 2 ω ( + ω 2 2 ) = P = P( P) 2 2 /P 2 Q 2 + P 2 P = ( P 2 + Q 2) 2 = ( 2 P 2 P Q2 = 2 4 ) 2, Q Im[ G( j)] /2 Re[ G( j)] /2 / Rs. 26 Q( ) 3 2 P( ) Q( ) P( ) (a) = var, 3 < 2 < Rs. 27 /, /, / (b) = var 2 3 Podstaw automati (z)