WSTĘP DO ELEKTRONIKI

Transkrypt

1 WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część IV Czwórniki Linia długa Janusz Brzychczyk IF UJ

2 Czwórniki Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe dwa za wyjście. sygnał wejściowy (wymuszenie) czwórnik sygnał wyjściowy (odpowiedź) wejście wyjście Sprzężenie wyjścia z wejściem opisywane jest przez funkcję (operator) przejścia, zwany też transmisją układu lub transmitancją: T = odpowiedź wymuszenie =

3 liniowe nieliniowe bierne (pasywne) aktywne Przykłady czwórników: Rodzaje czwórników wzmacniacz = K K wzmocnienie układu prostownik = filtr

4 Czwórniki liniowe Dla fali sinusoidalnej t = U e j t funkcja przejścia ma postać T = T e j Odpowiedź: t = T t = T e j U e j t = T U e j t =U 2 e j t 2 Amplituda sygnału wyjściowego: U 2 = T U Przesunięcie fazy: 2 = W ogólnym przypadku funkcja przejścia zależy od częstości sygnału T = T. Funkcję określającą zależność amplitudową. Funkcję określającą zależność T od częstości nazywamy charakterystyką od częstości nazywamy charakterystyką fazową.

5 Czwórnik liniowy filtr sygnałów elektronicznych Jeżeli sygnał wejściowy jest superpozycją fal sinusoidalnych o amplitudach a k a a a 2 a 3 i częstościach k t = k a k e j k t k to dla T = T e j T napięcie wyjściowe wynosi: t = k = T k a k e j k t k k k T k a k e j k t k T a

6 T Rodzaje filtrów Filtr dolnoprzepustowy Filtr środkowoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy Filtr środkowozaporowy

7 Czwórniki liniowe bierne Czwórniki te zbudowane są z elementów R, L, C. Rozważamy czwórniki zawierające impedancje Z oraz Z 2, połączone według nastepującego schematu: Dla sygnałów sinusoidalnych: i t = U e j t Z Z2 t = Z 2 i t = Z 2 t Z Z 2 t = T t Czwórnik ten nazywany jest filtrem typu lub też uogólnionym dzielnikiem napięcia. T = Z 2 Z Z 2

8 Czwórnik R R (dzielnik napięcia) i Dla sygnałów o dowolnych przebiegach czasowych: R R2 t = R 2 i t = R 2 t R R 2 = R 2 R R 2 t Z = R = const Z 2 = R 2 = const T = R 2 R R 2

9 Czwórnik C R filtr górnoprzepustowy układ różniczkujący i C R Z = jc Z 2 = R T = Z 2 Z Z 2 = R jc R = j RC jrc = j 0 j 0 gdzie: 0 = RC = = RC (stała czasowa)

10 Czwórnik C R charakterystyka amplitudowa C R T = j 0 j 0 T T =

11 Czwórnik C R charakterystyka fazowa C R T = j 2 j j = = arctg ImT ReT = arctg 0 0

12 Czwórnik CR : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie i C R Q ładunek na okładce kondensatora t = Q t C d t t różniczkując względem czasu oraz uwzględniając, że d t = i t C du t 2 = u t 2 RC du t 2 i t = t R dq t = i t, ponieważ otrzymujemy: Rozwiązując to równanie różniczkowe znajdujemy odpowiedź na zadany sygnał wejściowy. Dla małych stałych czasowych RC, przy powolnych zmianach napięcia w czasie: d t t RC czyli t d t Napięcie wyjściowe śledzi zróżniczkowany sygnał wejściowy. Dlatego nazwa: układ różniczkujący

13 Układ różniczkujący : Przechodzenie impulsów prostokątnych U sygnał wejściowy t t = 0 dla t0 i tt p t p t = U dla 0tt p d t = t d t, = RC U sygnał wyjściowy gdy = 0.t p Poza punktami t = 0 oraz t = t p : d t = 0 0 = t t = d t d t d t = t p Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem warunków początkowych otrzymujemy: t =U e t/ dla 0 t t p = 0t p t =U e t p / e t/ dla t t p

14 Czwórnik R C filtr dolnoprzepustowy układ całkujący i R C Z = R Z 2 = jc T = Z 2 Z Z 2 = jc R jc = jrc = j 0 gdzie: 0 = RC = = RC (stała czasowa)

15 Czwórnik R C charakterystyka amplitudowa R C T skala liniowa 0.7 T = j 0 T skala log log 0 T = T

16 Czwórnik R C charakterystyka fazowa R C T = j 0 = j = arctg ImT ReT = arctg 0

17 Czwórnik R C : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie i R C Q ładunek na okładce kondensatora t = Ri t t uwzględniając, że i t = dq t = C d t otrzymujemy: t = RC d t t = du t 2 u 2 t Gdy d t t (duża częstotliwość, duża stała czasowa) wówczas: t d t czyli t t 0 t t' ' Napięcie wyjściowe śledzi scałkowany sygnał wejściowy. Dlatego nazwa: układ całkujący

18 Układ całkujący : Przechodzenie impulsów prostokątnych U sygnał wejściowy t = 0 dla t0 i tt p t p t t = U dla 0tt p t = du t 2 u 2 t, = RC Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem warunków początkowych otrzymujemy: U U t p sygnał wyjściowy gdy: = 0.t p = t p t t = U e t/ dla 0 t t p t = U e t / p e t/ dla t t p U = 0t p

19 Czwórnik Wiena filtr środkowo przepustowy układ różniczkująco całkujący i R C R 2 C 2 Z = R jc Z 2 = jc R 2 2 T = Z 2 Z Z 2 =

20 Czwórnik Wiena filtr środkowo przepustowy układ różniczkująco całkujący

21 Symetryczny czwórnik Wiena i C R R C Z = R jc Z 2 = R jc T = Z 2 Z Z 2 = Z Z 2 = 3 j 0 0 = 3 j T = T T = = arctg ImT ReT = arctg [ ]

22 Symetryczny czwórnik Wiena charakterystyka częstotliwościowa Charakterystyka amplitudowa ⅓ T 0. T = Charakterystyka fazowa = arctg [ ]

23 Czwórniki o elementach rozłożonych: Linia długa l wejście wyjście ~ Z obc d x x L d x R d x konduktancja Propagację sygnału w linii długiej opisują tzw. równania telegrafistów: u x,t i x,t = L x t i x,t u x,t = C x t R i x,t G u x,t G d x d x C d x u x,t, i x,t R, L, C, G odnoszą się do jednostki długości linii uogólnione napięcie i prąd (zespolone)

24 Linia długa Jeżeli na wejściu linii sygnał sinusoidalny, całkowanie równań telegrafistów daje: i x,t = Z 0 A e x A 2 e x e jt u x,t = A e x A 2 e x e j t fala biegnąca (od wej. do wyj.) fala odbita (od wyj. do wej.) gdzie: A, A 2 stałe całkowania Z 0 = R jl G jc impedancja charakterystyczna linii = R jl G jc stała propagacji linii (bezwymiarowa) Zapisując stałą propagacji w postaci = a jb otrzymujemy: u x,t = A e ax e j t b x A2 e ax e j t b x Prędkość fali biegnącej i odbitej: amplituda fali biegnącej amplituda fali odbitej v f = b

25 Linia długa Linie długie (np. kable) są tak projektowane, aby R << L oraz G << C dla używanego zakresu częstości Można wtedy taką linię traktować jako linię bez strat : R = 0, G = 0. Wówczas: a = 0 oraz b = LC amplitudy fal padającej i odbitej nie zależą od x v f = nie zależy od b = LC wartość Z 0 = L rzeczywista (rezystancja) C W liniach ze stratami: fala padająca i odbita są tłumione (czynniki ) prędkości fal zależą od ich częstości Z 0 jest zespolone e ax, e ax

26 Linia długa W linii jednorodnej fala wsteczna może powstać jedynie w wyniku odbicia fali od końca linii. Stosunek amplitudy fali odbitej do amplitudy fali padającej określony jest przez współczynnik odbicia: = A 2 A = Z obc Z 0 Z obc Z 0 Wyróżnić można następujące przypadki szczególne: Z obc = Z 0 = 0 Mówimy, że linia jest zwarta prawidłowo (lub dopasowana). Brak jest odbić od końca linii, mamy tylko sygnał od źródła do odbiornika. Z obc = = Linia rozwarta, sygnał odbija się z taką samą amplitudą. Z obc = 0 = Linia jest krótko zwarta. Obserwujemy całkowite odbicie sygnału z jego inwersją. Gdy linia nie jest zwarta prawidłowo odbicia na końcach linii utrudniają lub uniemożliwiają obserwację właściwego sygnału.

27 Przesyłanie sygnałów: Zastosowania linii długiej ~ Z W Z obc Do przesyłania sygnałów stosuje się najczęściej kable koncentryczne. Są one tak wykonywane aby Z 0 L/C (kilkadziesiąt kilkaset omów). Dla uzyskania maksymalnego przekazu mocy musi być spełniony warunek Z W = Z 0. Aby nie było odbić musi być Z obc = Z 0. W linii bez strat sygnały są przenoszone bez tłumienia i zniekształceń. Opóźnianie impulsów linie opóźniające: Dla linii bez strat v f = LC Dla typowych kabli t(l) ~ 5 ns/m. t l = l LC = l c c prędkość światła przenikalność dielektryczna izolatora kabla Formowanie impulsów: Przy pomocy linii długiej można dokonać formowania impulsów, a więc zmiany ich kształtu. Wykorzystuje się efekt odbicia sygnału na końcu linii (np. linii krótko zwartej) i interferencji fali odbitej z falą padającą.