Jakobiany. Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu

Podobne dokumenty
Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

2.12. Zadania odwrotne kinematyki

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów

Manipulatory i roboty mobilne AR S1 semestr 5

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

MECHANIKA OGÓLNA (II)

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Kinematyka manipulatorów robotów

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Układy równań i nierówności liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Układy równań liniowych

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Egzamin 1 Strona 1. Egzamin - AR egz Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2. Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same

Podstawy robotyki wykład III. Kinematyka manipulatora

Układy równań liniowych

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

PODSTAWY ROBOTYKI. Opracował: dr hab. inż. Adam Rogowski

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Równania różniczkowe wyższych rzędów

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne

Rozwiązanie: I sposób Dla prostego manipulatora płaskiego można w sposób klasyczny wyznaczyćpołożenie punktu C.

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Łańcuchy kinematyczne

Zadania kinematyki mechanizmów

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Własności wyznacznika

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

Przestrzenie wektorowe

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

Kinematyka płynów - zadania

Układy równań i równania wyższych rzędów

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

Definicje i przykłady

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Wektory i wartości własne

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Ogłoszenie. Egzaminy z TEORII MASZYN I MECHANIZMÓW dla grup 12A1, 12A2, 12A3 odbędą się w sali A3: I termin 1 lutego 2017 r. godz

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

Przykład przedstawia rozwiązanie problemu brzegowego 7u +3xu=9x 2 +4 u ( 1)=3 u(2)= 2

Równanie Schrödingera

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

Przekształcenia liniowe

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11

Obliczenia iteracyjne

Formy kwadratowe. Rozdział 10

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Manipulator OOO z systemem wizyjnym

Rozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów

2. Układy równań liniowych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wektory i wartości własne

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Zaawansowane metody numeryczne

Transkrypt:

Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Jakobiany Kinematykę we współrzędnych możemy potraktować jako operator przekształcający funkcje czasu ( t )z(t)=k(x(t)) Ponieważ funkcje w powyższym równaniu są różniczkowalne, to ż(t)= k x (x(t))ẋ(t) zwane równaniem kinematyki różniczkowej(kinematyki na prędkości). Macierz Jacobiego(w robotyce zwana jakobianem) J A (x)= k x (x) nazywamy jakobianem analitycznym manipulatora. Równanie kinematyki różniczkowej można zapisać jako ż=j A (x)ẋ Postać jakobianu analitycznego zależy od wyboru układu współrzędnych(parametryzacji) dla określenia odwzorowania k. Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 2 Przykład 1: Jakobian analityczny dla płaskiego manipulatora 3R. Kinematyka tego manipulatora we współrzędnych ma postać L 1 c 1 +L 2 c 12 z= z 1 z 2 z 3 = L 1 s 1 +L 2 s 12 x 1 +x 2 +x 3 Bezpośrednio różniczkując prawą stronę powyższego równania obliczamy jakobian analityczny dla tego manipulatora L 1 s 1 L 2 s 12 L 2 s 12 J A (x)= L 1 c 1 +L 2 c 12 L 2 c 12 1 1 1

Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 3 Jakobian manipulatora można zdefiniować bez odwoływania się do układów współrzędnych. Wprowadza się pojęcie jakobianu geometrycznego rozumianego jako przekształcenie prędkości ruchu w przegubach w wektor prędkości końcówki manipulatora w przestrzeni ν ω =J(q) q gdzieν=[ν 1,ν 2,ν 3 ] T wektorprędkościliniowej,ω=[ω 1,ω 2,ω 3 ] T wektorprędkościkątowejkońcówki, aq=[q 1,...,q n ] T wektorwspółrzędnychkonfiguracyjnych. Występuje, ponadto pojęcie jakobianu manipulatora rozumianego jako przekształcenie prędkości ruchu w przegubach w wektor prędkości końcówki manipulatora w układzie bazowym robota nṗ ω =JM (q) q Związek między jakobianem geometrycznym a jakobianem manipulatora jest następujący J M ((q))= I 3 n [p ] I J(q) 3 np z n p y gdzie[p ]= np z np x jestmacierząskośniesymetrycznąstowarzyszonązwektorem np,który np y n p x opisuje położenie końcówki w układzie bazowym. Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 4 Przestrzeń robocza manipulatora Przestrzeń robocza manipulatora jest to zbiór punktów, które końcówka robocza może osiągnąć. Aby istniało rozwiązanie OZK zadany punkt docelowy dla końcówki musi należeć do przestrzeni roboczej. Można wyróżnić dwa rodzaje przestrzeni roboczej: manipulacyjna przestrzeń robocza jest to część przestrzeni roboczej, którą końcówka robocza może osiągnąć z dowolną orientacją, osiągalna przestrzeń robocza jest to część przestrzeni roboczej, którą końcówka robocza może osiągnąć z co najmniej jedną orientacją. Przykład 2: Przestrzeń robocza dla płaskiego manipulatora 2R: 2 L +L 1 2 L L 1-2 y 1 L 1 x L 2

Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 5 Odwrotne zadanie kinematyki(ozk) manipulatora Odwrotne zadanie kinematyki: Mając dane położenie i orientację efektora manipulatora w układzie bazowym należy znaleźć odpowiadające im współrzędne przegubowe(konfiguracyjne). Dla danego manipulatora o n stopniach swobody z przestrzenią przegubową Q oraz przestrzenią zadaniową Z SE(3) odwrotne zadanie kinematyki można wyrazić symbolicznie jako k 1 : SE(3) Z z q=k 1 (z) Q (1) Jednakże,odwzorowanieodwrotnek 1 możenieistniećlubbyćniejednoznacznieokreślone. Rozwiązanie odwrotnego zadania kinematyki: Dane są wartości liczbowe elementów macierzy przekształcenia jednorodnego H H= opisujących położenie i orientację końcówki w układzie bazowym związanym z nieruchomą podstawą robota. Należy znaleźć rozwiązanie(jedno lub wszystkie) równania macierzowego R d 1 równanie to daje 12 nieliniowych równań z n niewiadomymi nt(q 1,...,q n )=H (2) t ij (q 1,...,q n )=h ij ; i=1,2,3; j=1,2,3,4 gdziet ij orazh ij 12nietrywialnychelementówmacierzy ntih. Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 6 Wartośća i Liczbarozwiązań a 1 =a 3 =a 5 = 4 a 3 =a 5 = 8 va 3 = 16 a i 16 Istnienie rozwiązania OZK: Dlarobotao6stopniachswobodymamy6niewiadomychoraz12równań.Jednaktylko3równaniaz 9 wynikających z porównania elementów macierzy orientacji jest niezależnych, mamy zatem układ 6 równań z 6 niewiadomymi. Równania te są nieliniowe i przestępne. Brak jest ogólnych metod rozwiązywania układów równań nieliniowych. Może istnieć wiele rozwiązań dla danego położenia i orientacji(rozwiązania wielokrotne). W szczególnych przypadkach(w punktach osobliwych) może być nieskończenie wiele rozwiązań. Liczba rozwiązań zależy od liczby przegubów, wartości parametrów D-H i dopuszczalnych zakresów ruchu w przegubach. Na ogół im więcej niezerowych parametrów D-H tym więcej rozwiązań. Przykładowo dla robota 6R zależnośćliczbyrozwiązańodparametrua i jestnastępująca:

Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 7 Strategie rozwiązywania OZK: rozwiązania w postaci jawnej rozwiązania numeryczne(iteracyjne) Wyróżnia się dwa podstawowe podejścia do rozwiązania OZK w postaci jawnej: metody algebraiczne metody geometryczne Przykład 3: Rozwiązać OZK dla płaskiego manipulatora trójczłonowego pokazanego na rys.1. y 2 y 3 x 3 y 1 y L 1 L 2 2 3 x 1 x 2 {} 1 x Rysunek 1: Manipulator płaski typu 3R Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 8 Rozwiązanie PZK dla manipulatora płaskiego typu 3R: 3T= c 123 s 123 L 1 c 1 +L 2 c 12 s 123 c 123 L 1 s 1 +L 2 s 12 1 1 Rozwiązanie algebraiczne OZK Zadaną pozycję końcówki manipulatora można zapisać w postaci macierzy H= c ϕ s ϕ x s ϕ c ϕ y 1 1 (3) (4) Porównującprawestronyrównań(3)i(4)otrzymujemyukład4równańz3niewiadomymiθ 1,θ 2,θ 3 : c ϕ =c 123 (5) s ϕ =s 123 (6) x=l 1 c 1 +L 2 c 12 (7) y=l 1 s 1 +L 2 s 12 (8)

Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 9 Podnosimy do kwadratu równania(7) i(8) i dodajemy stronami stąd x 2 +y 2 =L 2 1+L 2 2+2L 1 L 2 c 2 (9) c 2 = x2 +y 2 L 2 1 L 2 2 2L 1 L 2 (1) Prawa strona równania(1) musi zawierać się w przedziale[ 1, 1], aby punkt docelowy należał do przestrzeni roboczej, wtedy s 2 =± 1 c 2 (11) Kątθ 2 obliczamyjako Mającobliczoneθ 2 możnarozwiązać(7)i(8)względemθ 1 : gdzie θ 2 =atan2(s 2,c 2 ) (12) x=m 1 c 1 m 2 s 1 (13) y=m 1 s 1 +m 2 c 1 (14) m 1 =L 1 +L 2 c 2 m 2 =L 2 s 2 Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 1 Dokonujemy zamiany zmiennych r=+ m 2 1+m 2 (15) γ=atan2(m 2,m 1 ) (16) tom 1 =rcosγ,m 2 =rsinγ.równania(13)i(14)możnazapisaćjako x r =cosγcosθ 1 sinγsinθ 1 (17) y r =cosγsinθ 1+sinγcosθ 1 (18) lub cos(γ+θ 1 )= x r sin(γ+θ 1 )= y r (19) (2) stąd czyli γ+θ 1 =atan2( y r,x )=atan2(y,x) (21) r θ 1 =atan2(y,x) atan2(m 2,m 1 ) (22) Jeślix=y=to(22)stajesięnieokreśloneiθ 1 możeprzyjąćdowolnąwartość. Ostatecznie z(5) i(6) można znaleźć θ 1 +θ 2 +θ 3 =atan2(s ϕ,c ϕ )=ϕ

Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 11 stąd θ 3 =ϕ θ 1 θ 2 (23) Rozwiązanie geometryczne: y y L 2 O 3 L 1 O 1 {} x x Rysunek 2: Rozwiązanie geometryczne OZK dla płaskiego manipulatora 3R Kątα=π ( θ 2 )=π+θ 2.Ztwierdzeniakosinusówobliczamyθ 2 ponieważcos(π+θ 2 )= cosθ 2,mamy x 2 +y 2 =L 2 1+L 2 2 2L 1 L 2 cos(π+θ 2 ) cosθ 2 =c 2 = x2 +y 2 L 2 1 L 2 2 2L 1 L 2 Wstęp do Robotyki c W. Szynkiewicz, 29 12 s 2 =± 1 c 2 stądθ 2 θ 2 =atan2(s 2,c 2 ) Drugierozwiązaniejestdlaθ 2= θ 2. Abywyznaczyćθ 1 należywyznaczyćkątyβiψ Stosując powtórnie twierdzenie kosinusów obliczamy β=atan2(y,x) cosψ= x2 +y 2 +L 2 1 L 2 2 2L 1 x2 +y 2 gdziearccos()musibyćtakieabydla ψ πzachowaćrelacjegeometryczne.kątθ 1 θ 1 = β+ψ gdyθ 2 < β ψ gdyθ 2 > Kątθ 3 obliczamy θ 1 +θ 2 +θ 3 =ϕ θ 3 =ϕ θ 1 θ 2