Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej Rozwiązanie w postaci parametrycznej Równanie różniczkowe Lagrange a Całki osobliwe i punkty osobliwe Wyszukiwanie rozwiązań osobliwych Punkty osobliwe równania różniczkowego Wyszukiwanie równań różniczkowych Zagadnienia dodatkowe Zadania Zadania na Zadania na Zadania na Wstęp 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej: F ( x, y, y ) = 0 Twierdzenie 1.1. Przez punkt P (x 0, y 0 ) przechodzi dokładnie n krzywych całkowych, jeśli spełnione są poniższe warunki: 1. W punkcie P (x 0, y 0 ) równanie: F (x 0, y 0, p) = 0 gdzie p = /dx ma n pierwiastków rzeczywistych p 1,..., p n. 2. Funkcja F (x, y, p) i jej pierwsze pochodne w punkcie (x 0, y 0, p i ) są ciągłe, przy czym F p 0 1

2 Jeśli dane równanie można rozwiązać ze względu na y, to problem rozpada się na n równań różniczkowych w postaci jawnej, ostatecznie otrzymujemy więc n rodzin krzywych całkowych równania wyjściowego Rozwiązanie w postaci parametrycznej Jeśli równanie daje się przedstawić w formie lub to podstawiając w nim x = ϕ ( y, y ) y = ψ ( x, y ) y = p oraz różniczkując po y lub x odpowiednio otrzymujemy równanie na dp/ lub dp/dx. Jego rozwiązanie wraz z równaniem wyjściowym opisuje rozwiązanie tego ostatniego w postaci parametrycznej. Zmienna p zastępuje zmienną niezależną x lub zmienną zależną y odpowiednio. Przykład: x = yy + y 2 Stosujemy podstawienie y = p i otrzymujemy x = yp + p 2 Po zróżniczkowaniu względem y (zakładamy, że x jest funkcją y oraz p jest funkcją y) otrzymujemy: dx = p + y dp + 2pdp Jako że: otrzymujemy: dx = p + dp (y + 2p) dx = p 1 p = p + dp (y + 2p), p 0 1 p p = dp (y + 2p) 1 p 2 p = dp (y + 2p) (y + 2p) p 1 p 2 = dp 2

3 dp py 1 p 2 = 2p2 1 p 2 Jest to równanie różniczkowe liniowe, w którym p traktujemy jako zmienną niezależną. Rozwiązaniem tego równania jest: y = p + c + arcsin p 1 p 2 Podstawiając powyższe do równania wyjściowego z p otrzymujemy drugie równanie: ( x = p p + c + arcsin p ) + p 2 1 p 2 Oba powyższe równania tworzą rozwiązanie w postaci parametrycznej. Równanie na wolframalpha.com, Równanie różniczkowe Lagrange a Równanie różniczkowe Lagrange a to równanie różniczkowe postaci: a ( y ) x + b ( y ) y + c ( y ) = 0 Równanie to można rozwiązać powyżej przedstawioną metodą rozwiązywania w postaci parametrycznej. Przykład: y = ( y ) 2 1 x + (1) y Otrzymujemy Rozwiązanie dx dp + 2 p 1 x = 1 p 3 (p 1) x = y = (2) 1 2p 2p 2 (1 p) 2 + C (1 p) 2 (3) 1 2p 2 (1 p) 2 + Cp2 (1 p) p Rozwiązanie szczególne tego równania y = x + 1 nie jest uwzględnione w rozwiązaniu powyższym. 1.3 Całki osobliwe i punkty osobliwe Trójkę uporządkowaną (x 0, y 0, y 0 ) nazywamy elementem osobliwym równania różniczkowego w postaci uwikłanej, jeśli oprócz samego równania wyjściowego F ( x, y, y ) = 0 (4) 3

4 spełnia ona również równanie F y = 0 Krzywą całkową przechodzącą tylko przez elementy osobliwe dla każdego x z pewnego przedziału nazywamy krzywą całkową osobliwą, jej równanie: φ (x, y) = 0 jest wte całką osobliwą (singular solution) danego równania Wyszukiwanie rozwiązań osobliwych Rozwiązanie osobliwe zazwyczaj nie daje się wyznaczyć z rozwiązania ogólnego przez dobór odpowiedniej stałej. Dla równania w postaci uwikłanej dokonujemy podstawienia: dołączamy równanie p = y F p = 0 i eliminujemy p. Jeśli tak otrzymana funkcja spełnia równanie wyjściowe, to jest ona rozwiązaniem osobliwym. Równanie wyjściowe należy przedtem przekształcić do postaci, która nie zawiera funkcji wieloznacznych, w szczególności pierwiastników, przy czym musimy brać pod uwagę również zespolone wartości funkcji. Przykład: x y 4 9 y y 3 = 0 x y 4 9 p p3 = 0 Warunek dla całki osobliwej jest następujący: 8 9 p p2 = 0 8 p (p 1) = 0 9 p = 0 lub p = 1 Podstawiając powyższe do równania wyjściowego otrzymujemy: x y = 0 lub x y = 4 27 y = x lub y = x 4 27 W pierwszym przypadku otrzymujemy sprzeczność, więc nie jest to rozwiązanie. W drugim przypadku równanie jest spełnione, więc jest to rozwiązanie osobliwe. Równanie 4

5 na wolframalpha.com, %2B+8%2F27y%27^3+%3D+0. Przykład 2: y xy = 0 Warunek dla całki osobliwej: y xp = 0 x = 0 Po podstawieniu otrzymujemy y = 0. A więc (0, 0, 0) jest elementem osobliwym, aczkolwiek w tym przypadku nie ma rozwiązania osobliwego. Równanie na wolframalpha.com, Przykład 3: 2y 2 y 2 + y 2 1 = 0 Warunek dla całki osobliwej: 2y 2 p 2 + y 2 1 = 0 4y 2 p = 0 p = 0 lub y = 0 W drugim przypadku po podstawieniu do równania wyjściowego otrzymujemy sprzeczność. Dlatego też: y = 1 lub y = 1 Po podstawieniu do równania wyjściowego w obu przypadkach równanie jest spełnione (y = 0), więc elementami osobliwymi są trójki (x, 1, 0), (x, 1, 0). Obie funkcje są całkami osobliwymi. Równanie na wolframalpha.com, input/?i=2y^2y%27^2+%2b+y^2+-+1+%3d+0. Przykład 4 y 2 x 2 = 0 Warunek dla całki osobliwej: Po podstawieniu: p = 0 x = 0 Elementy osobliwe to trójki: (0, y, 0). Krzywa x = 0 nie jest całką osobliwą. Równanie na wolframalpha.com, 5

6 1.3.2 Punkty osobliwe równania różniczkowego Punktami osobliwymi równania różniczkowego w postaci jawnej nazywamy te punkty, w których prawa strona równania w postaci jawnej jest nieokreślona. Równania różniczkowe z prawą stroną wymierną dx ax + by =, ae bc 0 cx + ey Równanie to w punkcie (0, 0) ma punkt osobliwy odosobniony. Zachowanie krzywych całkowych w otoczeniu punktu osobliwego zależy od pierwiastków równania charakterystycznego λ 2 (b + c) λ + bc ae = 0 Przypadek 1: Jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i mają ten sam znak, wte punkt osobliwy jest węzłem. W otoczeniu tego punktu osobliwego wszystkie krzywe całkowe przechodzą przez niego i mają, o ile tylko pierwiastki są różne, z wyjątkiem jednej krzywej całkowej, tę samą styczną. W przypadku pierwiastka dwukrotnego albo wszystkie krzywe całkowe mają wspólną styczną, albo dla każdego kierunku w tym punkcie istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa. Przykład. dx = 2y (5) x Pierwiastki równania charakterystycznego to λ 1 = 2, λ 2 = 1. Krzywe całkowe y = Cx 2. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, lub http: // Przykład. dx = x + y (6) x Pierwiastek dwukrotny λ 1 = λ 2 = 1. Krzywe całkowe y = x ln x +Cx. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, 28x%2By%29%2Fx}%2C+{x%2C+-10%2C+10}%2C+{y%2C+-10%2C+10}]. Przykład. dx = y (7) x Pierwiastek dwukrotny λ 1 = λ 2 = 1, krzywe całkowe y = Cx. Punkt osobliwy jest tzw. punktem promienistym. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, wolframalpha.com/input/?i=stream+plot+%281%2c2y%2fx%29. Przypadek 2: Jeśli pierwiastki są rzeczywiste i mają różny znak, to punkt osobliwy jest punktem siodłowym. Przechodzą przez niego dwie krzywe całkowe. Przykła: dx = y (8) x 6

7 Pierwiastki: λ 1 = 1, λ 2 = 1. Krzywe całkowe xy = C. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, 2Fx%29. Przypadek 3: Jeśli pierwiastki są zespolone sprzężone oraz R (λ) 0 to punkt osobliwy jest ściekiem (ujściem). Krzywe całkowe nawijają się wokół niego nieskończenie wiele razy. Przykład. dx = x + y (9) x y Pierwiastki: λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i. Krzywe całkowe we współrzędnych biegunowych r = Ce ϕ. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, Przypadek 4: Jeśli pierwiastki są urojone, to punkt osobliwy jest wirem. Punkt ten jest otoczony przez rodzinę zamkniętych krzywych całkowych. Przykła: dx = x (10) y Pierwiastki urojone λ 1 = i, λ 2 = i. Krzywe całkowe x 2 + y 2 = C. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, 2C-x%2Fy%29. Równanie różniczkowe z prawą stroną będącą ilorazem funkcji: P (x, y) = dx Q (x, y) Równanie powyższe ma dwa punkty osobliwe. Muszą one spełniać równanie: P (x, y) = Q (x, y) = Wyszukiwanie równań różniczkowych Zadanie polega na znalezieniu równania różniczkowego które opisuje zadaną rodzinę krzywych. Rodzina krzywych zdefiniowana jest w postaci Przykła: F (x, y, C) = 0 (11) y Cx 2 = 0 (12) y Cx = 0 (13) x + y C = 0 (14) G y oznacza pochodną funkcji y(x, C) określonej w postaci uwikłanej przez (11) możemy zróżniczkować to równanie obustronnie po x i otrzymamy F (x, y, C) x + F (x, y, C) y = 0 (15) y 7

8 Otrzymujemy układ równań (11) oraz (15). Jeśli pozbędziemy się parametru C to otrzymamy równanie ϕ ( x, y, y ) = 0 (16) które jest równanie różniczkowym rodziny linii (11). Przykład wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny parabol Układ równań wyniesie i równanie różniczkowe y Cx 2 = 0 (17) y Cx 2 = 0 (18) y 2Cx = 0 (19) y 1 2 xy (20) Krzywą, która w każm swym punkcie tworzy kąt prosty z krzywą rodziny (11) nazywamy trajektorią ortogonalną. Aby znaleźć rodzinę trajektorii ortogonalnych rodziny krzywych (11) należy wyznaczyć równanie różniczkowe dla niej, a następnie dokonać podstawienia i rozwiązać otrzymane równanie. Przykład: znaleźć trajektorie ortogonalne rodziny parabol Równanie różniczkowe dla tej rodziny to Po zastąpieniu pochodnej otrzymujemy Rozwiązanie to rodzina elips Wyznaczyć trajektorie ortogonalne rodziny krzywych Równanie różniczkowe dla tej rodziny to A równanie dla trajektorii ortogonalnych to Rozwiązanie y 1 y (21) y Cx 2 = 0 (22) y 1 2 xy = 0 (23) yy x = 0 (24) x 2 + 2y 2 = C (25) x 2 + y 2 = 2Cy (26) 2xy + y ( y 2 x 2) = 0 (27) 2xyy + x 2 y 2 = 0 (28) x 2 + y 2 = Cx (29) 8

9 1.5 Zagadnienia dodatkowe Równanie różniczkowe Clairauta. 2 Zadania 2.1 Zadania na 3.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi Odp.: y = ( 1 + y ) x + y 2 x = Ce p 2p + 2 y = C (1 + p) e p p ( ) 2yy = x y Odp.: y = Cx C lub y = 2x lub y = 2x 2.2 Zadania na 4.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1. Odp.: y = xy + y 2 x = C p p y = 1 3 p2 C p 9

10 2. 2y ( y + 2 ) = xy 2 Odp.: y = 1 C (x C)2 C 0 lub y = 0 lub y = 4x Znaleźć rozwiązania osobliwe równania: ( ) p 2 (x y) 2 1 2p + (x y) 2 1 = 0 Znaleźć położenie i rodzaj punktów osobliwych dla równania Jacobiego: ( 6x + 9y) dx + (6x 6y) + ( 4x + 5y) (x ydx) = Zadania na 5.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1. ( xy y ) 2 y 2 1 = 0 Odp.: Rozwiązanie osobliwe: y = Cx ± C 2 1 x 2 + y 2 = 1 Literatura [1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompendium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, [2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydawnictwa AGH,