Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna,

Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 1, Adam Kolany 1. Zbiory liczbowe. Liczbynaturalne: N={1,2,3,}, N 0 = N {0}={0,1,2,3,}. Dladowolnychx,y,z N 0. (1) x+y=y+x, (2) x y=y x, (3) (x+y)+z=x+(y+z), (4) (x y) z=x (y z), (5) x+0=0+x=x, (6) x 1=1 x=x, (7) x y=0 x=0 y=0, (8) x+y=0 x=y=0, (9) x y=1 x=y=1, (10) [0 A& ] x+1 A N A, x A (11) 0 x, (12) x y &y x x=y, (13) x y &y z x z, (14) x y x y y x, (15) x y &u v x+u=y+v, (16) x y &u v x u y v, (17) x y+1&x y+1 x y, (18) x y [ u(u+x=y), ] (19) (x A) y A N A, gdziex<y x y &x y. x<y Liczbycałkowite: Z={, 3, 2, 1,0,1,2,3,}. Dladowolnychcałkowitychx,y,zzachodząwłasności:(1) (7),(12) (15)oraz (9 ) x,y 0&x y=1 x=y=1, (16 ) x y &0 z x z y z, (20) (x+y=0), x y (21) (y<x), x y 0 Matematyka, WT info, konspekt 1, Adam Kolany

Liczbywymierne: Q= { m n :m,n Z,n 0}, m n =m1 n 1 mn 1 =nm 1. Dladowolnychwymiernychx,y,zzachodząwarunki:(1) (7),(12) (15),(16 ),(20) (21)oraz (22) (23) x 0y x,y (x y=1), [ x<y (x<z<y) z ], Liczbyrzeczywiste: R=Q {,π,,e,,ln(2),, 2,, 3 5,,sin1, }. Dladowolnychrzeczywistychx,y,xzachodząwarunki:(1) (7),(12) (15),(16 ),(20) (23).Ponadto: (24) (y n =x), n N 0, n-nieparzyste, (24 ) (25) x y x 0y (y n =x), n N 0, [ A & x a A ] a x s ( x a A ) (a x) x s, Liczbyzespolone: C=R R. Dodawanie: a,b + c,d = a+c,b+d, Mnożenie: a,b c,d = ac bd,ad+bc. Dla dowolnych zespolonych x, y, z zachodzą warunki:(1) (7),(20),(22). Ponadto: (24 ) (y n =x), n N 0. x y Mamy też: a,0 + b,0 = a+b,0 i a,0 b,0 = ab,0 Utożsamiamy: a a,0, a R. Definicja. i= 0,1. oraz Stąd Mamy: a i= a,0 0,1 = a 0 0 1,a 1+1 0 = 0,a i 2 = 0,1 0,1 = 0 0 1 1,0 1+1 0 = 1,0 1. a,b = a,0 + 0,b = a,0 + b,0 0,1 a+bi. Postać:a+binazywamypostaciąGaussaliczbyzespolonej a,b.

Pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej: Niechz=a+bi.Szukamyzespolonychu=x+yi,dlaktórychu 2 =z. a+bi=(x+yi) 2 =(x 2 y 2 )+2xyi, skąd { a = x 2 y 2 b = 2xy { 4y 2 a = (2xy) 2 (2y 2 ) 2 b = 2xy { 4y 2 a = b 2 (2y 2 ) 2 b = 2xy b=2xy &(2y 2 ) 2 +2 2ay 2 +a 2 =b 2 +a 2 b=2xy &(2y 2 +a) 2 =b 2 +a 2 b=2xy &2y 2 +a= b 2 +a 2 b=2xy &y=± b2 +a 2 a 2 x=± b2 +a 2 +a 2 &y=± b2 +a 2 a 2 Znakixiywybieramytak,abyiloczynx ybyłtakiegoznakujakb. Równania kwadratowe: Przykład: Stąd 0=z 2 +z+1=z 2 +2 1 2 z+1 4 +3 4 =(z+1 2 )2 ( = z+ 1 i ) ( 3 z+ 1 +i ) 3 2 2 2 2 z 1 = 1 2 +i 3 2 i z 2 = 1 2 i 3 2 [ 3 2 i ] 2= Postać trygonometryczna: Niechz=a+bi.Mamy: a+bi= a 2 +b 2 ( a b a2 +b 2+ )= a2 +b 2 i = a 2 +b 2 (cos(φ)+i sin(φ) ) = z (cos(φ)+i sin(φ) ) z = a 2 +b 2 modułliczbyz, φ jejargument. Argφ argumentgłówny tospośródφ,któreleżywprzedziale 0,2π. 2 Matematyka, WT info, konspekt 1, Adam Kolany

Wzory Moivre a: ( z (cosφ+i sinφ )) ( w (cosψ+i sinψ )) = = z w (cos(φ+ψ)+i sin(φ+ψ) ) Stąd ( z (cosφ+i sinφ )) n = z n (cos(nφ)+i sin(nφ) ), n N, φ R. Pierwiastkowanie liczb zespolonych: Niechz=a+b i= z (cosφ+i sinφ), φ=argz. Szukamywszystkichw= w ( cosψ+isinψ ),dlaktórychw n =z. Mamy: w k = n ( z cos 2kπ+φ n +i sin 2kπ+φ ), k=0,1,,n 1. n Dlan=7widzimy: z 2 z 1 z 3 z 70 z 4 z 5 z 6 Postać wykładnicza: Niechzbędzieliczbązespoloną.Zamiastz= z (cosφ+isinφ)piszemytakżez= z e iφ. Wówczas: [ z e iφ] [ w e iψ] [ = z w e i(φ+ψ)]. oraz [ z e iφ] n = z n e inφ, n N. Ponadto mamy: W szczególności: e iφ =cosφ+isinφ, cosφ= eiφ +e iφ, sinφ= eiφ e iφ, 2 2 e πi = 1. Skład: DrAK, Racławicka 1/8, 41-200 Sosnowiec, tel. 0602-804-128

Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 2, Adam Kolany 1. Przestrzenie euklidesowe: R n ={ a 1,,a n :a 1,a n R}, n N, n 2. Przykłady: 1. R 2 ={ a,b :a,b R}, 2. R 3 ={ a,b,c :a,b,c R}. Wektory: e 1 = 1,0,,0,0, e 2 = 0,1,,0,0,. e n 1 = 0,0,,1,0, e n = 0,0,,0,1, nazywać będziemy wektorami bazy kanonicznej. DziałaniawR n : α a 1,,a n = α a 1,,α a n, a 1,,a n + b 1,,b n = a 1 +b 1,,a n +b n, a 1,,a n, b 1,,b n R. Iloczynskalarnywektorów a 1,,a n, b 1,,b n R n : Norma(długość)wektora a 1,,a n R n : Kąt między wektorami: a 1,,a n b 1,,b n =a 1 b 1 + +a n b n. a 1,,a n = a 1,,a n a 1,,a n = cos ( a 1,,a n, b 1,,b n )= a 2 1 + +a2 n. a 1,,a n b 1,,b n a 1,,a n b 1,,b n 0 Matematyka, WT info, konspekt 2, Adam Kolany

2. Odwzorowania liniowe. Macierze. Odworowanief : R n R n,n N,nazywamyodwzorowaniemliniowym,jeżelispełnianastępujące warunki: 1. f(α x)=α f( x) 2. f( x+ y)=f( x)+f( y) dladowolnych x, y R,α R, Przykłady (ObrótwR 2 ): f: R 2 R 2, f( u,v )= ucos(φ) vsin(φ),usin(φ)+vcos(φ), u,v R, (PowinowactwoprostokątnewR 2 ): (φ [0,2π]). f: R 2 R 2, f( u,v )= a u,v, u,v R (ObrotywR 3 ): (a R\{0}). (OX): (OY): (OZ): u f( u,v,w )= vcosφ wsinφ, vsin(φ) + wcos(φ) f( u,v,w )= ucosφ wsinφ v, usin(φ) + wcos(φ) f( u,v,w )= ucosφ vsinφ usin(φ) + vcos(φ), u,v R. w (Rzutprostokątny): f: R 3 R 2 Π OX ( u,v,w )= v,w, Π OY ( u,v,w )= u,w, Π OZ ( u,v,w )= u,v, u,v,w R. Ogólnief: R m R n, m,n N. f( u 1,,u m )= a 1,1u 1 + +a 1,m u m, u 1,,u m R m a n,1 u 1 + +a n,m u m

macierz odwzorowania: Zapisujemy: a 1,1 a 1,m a n,1 a n,m A f = a 1,1 a 1,m a n,1 a n,m u 1 =f( u 1,,u m )= u m a 1,1u 1 + +a 1,m u m a n,1 u 1 + +a n,m u m, u 1,,u m R m. Zamiast piszemy też A f = a 1,1 a 1,m a n,1 a n,m A f =(a i,j ) i=1,,n,j=1,,m R n m zbiórmacierzyonwierszachimkolumnach. Macierze 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 E n = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i Θ n = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nazywamy macierzą jednostkową i zerową, odpowiednio. Możnatakżerozważaćfunkcjeliniowetypu C m C n,coprowadzidomacierzyowspółczynnikach zespolonych. Np. ( ) 1+i i 1 i i+1 Wówczas 2. Działania na macierzach. Niech K {R, C}iniechf: K m K n ig: K n K k,m,n,k N.Niechdalej A f =(a i,j ) i,j, A g =(b k,l ) k,l, i A g f =(c s,t ) s,t, ( ) c s,t = n a s,k b k,t, s=1,,m,t=1,,k. k=1 NiechterazA=(a i,j ) K n m orazb=(b k,l ) K m k.wówczasmacierzc=(c s,t ) K n k,spełniającą związek( )nazywamyiloczynemmacierzyaib.piszemywówczasc=a B.MacierzB K n m jest odwrotnadomacierzya K m n,jeżelia B=E n. 2 Matematyka, WT info, konspekt 2, Adam Kolany

JeżeliA=(a i,j ),B=(b i,j ) K n m,tomacierzd=(d i,j ) K n m nazywamysumąmacierzya ib,jeżeli d i,j =a i,j +b i,j, i=1,,n,j=1,,m. PiszemywówczasD=A+B. Macierz A=( a i,j )nazywamymacierząprzeciwnądoa=(a i,j ). IloczynemmacierzyA=(a i,j )przezliczbęαnazywamymacierzb=(b i,j ),dlaktórej PiszemywówczasB=α A. b i,j =α a i,j, i=1,,n,j=1,,m. Macierz nazywamy transpozycją macierzy A τ = A= a 1,1 a m,1 a 1,n a m,n a 1,1 a 1,m a n,1 a n,m. Własności działań: Działanie dodawania macierzy jest przemienne i łączne, tj. 1)A+B=B+A, 2)A+(B+C)=(A+B)+C, Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania macierzy, tj. 3)A+Θ=Θ+A=A PonadtoA+( A)=Θ. Mnożenie macierzy nie jest przemienne, jest łączne: A B B A, A (B C)=(A B) C, A K m n,b K n k,c K k l. Macierzjednostkowajestelementemneutralnymmnożenia:E A=A A=A. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania: A (B+C)=A B+A C, (A+B) C=A C+B C oraz Ponadto: (α+β) C=α A+β A, α (A+B)=α A+α B. α (A B)=(α A) B=A (α B). Skład: DrAK, Racławicka 1/8, 41-200 Sosnowiec, tel. 0602-804-128

Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 3, Adam Kolany 1. Wyznaczniki Definiujemyrodzinęfunkcjidet n : K n n K,n N,zapomocąnastepującychwarunków: det 1 (a)=a, det n (E n )=1, det n (A)=det n (A τ ), det n (A )= det n (A), det n (A )=α det n (A), 1 0 0 0 det n =det 0 A n 1 A 0 gdziea powstajezapoprzezzamianędwukolumn(wierszy),aa powstajepoprzezwymnożeniecałej kolumny(wiersza) przez liczbę α. MacierzA K n n jestnieosobliwa,jeżelidet n (A) 0. Macierze niesobliwe są odwracalne: A 1 = 1 det n A (d i,j), d i,j =( 1) i+j det n 1 (A j,i ), i,j=1,,n. gdziea j,i powstajezapoprzezskreśleniej-tegowierszaii-ejkolumny.macierz(d i,j )nazywamymacierzą dołączoną macierzy A. NiechA=(a i,j ) K n n.zachodząwzory: oraz n det n (A)= ( 1) i+j a i,j det n 1 (A i,j ) i=1 det n (A)= ( 1) sgn(σ) a 1,σ(1) a n,σ(n). σ S(n) Podmacierzą macierzy A nazywamy dowolną macierz powstałą z A poprzez wykreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn. Podmacierz B jest maksymalna jeżeli nie jest zawarta w żadnej innej podmacierzy macierzy A. RzędemmacierzyA K m n rza nazywamymaksymalnyrozmiarnieosobliwejpodmacierzymacierzy A. 0 Matematyka, WT info, konspekt 3, Adam Kolany

2. Układy równań Układ równań liniowych: ( ) a 1,1 x 1 ++a 1,m x m = b 1 a 2,1 x 1 ++a 2,m x m = b 2. a n,1 x 1 ++a n,m x m = b n lub W zapisie macierzowym: JeżeliAjestnieosobliwa,toX=A 1 β. a 1,1 a 1,m a 2,1 a 2,m.. a n,1 a n,m x 1 x 2 x m A X=β. = Macierz A nazywamy macierzą układu( ). Wektor β nazywamy wektorem wyrazów wolnych układu( ).MacierzA βpowstałązmacierzyapoprzezdołączeniedoniejkolumnyzłożonejzelementówβ nazywamy macierzą uzupełnioną. Twierdzenie(Kronecker, Capelli) Układ( ) posiada rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy b 1 b 2 b m (K) rza=rz(a β). JeślispełnionyjestwarunekK,toistniejes=n+1 rzatakichwektorówu 0,,u s K m,żekażde rozwiązanie x 1,,x m K m układu( )jestpostaci: dlapewnychα 1,,α s K. Twierdzenie(Crammer) x 1 x m =u 0 +α 1 u 1 ++α s u s, Niechm=niniechdet n A 0.WówczasrzA=rz(A β)oraz x j = det n 1A (j) det n A, j=1,,n, jestjedynymrozwiązaniemukładu( ).SymbolA (j) oznaczatutajwynikzamianyj-tejkolumnymacierzy Anakolumnęzłożonązwyrazówwolnych,j=1,,n. Skład: DrAK, Racławicka 1/8, 41-200 Sosnowiec, tel. 0602-804-128

Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 4, Adam Kolany 1. Funkcje elementarne. Funkcje liniowe. y=ax+b Funkcje kwadratowe. y=ax 2 +Bx+C Funkcje wielomianowe. y=a 0 +A 1 x 1 +A 2 x 2 ++A n-1 x n-1 +A n x n 0 Matematyka, WT info, konspekt 4, Adam Kolany

Funkcje homograficzne. y=- Ax+B Cx+D Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. y=e x y=lnx Funkcje trygonometryczne. y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx

Funkcje cyklometryczne. y=arcsinx y=arcsinx y=arctgx y=arcctgx Funkcje hiperboliczne. y=sinhx y=coshx y=tghx y=cthx 2 Matematyka, WT info, konspekt 4, Adam Kolany

2. Granice i ciągłość. Granice: f:u R k,u R n,p 0 U.Q 0 R k jestgranicąfunkcjifwpunkciep 0 (ozn.q 0 = limf(p)), P P 0 jeżeli ( P P 0 δ f(p) Q 0 ǫ) Własności: ǫ>0δ>0p U\{P 0} NiechQ 1 = lim P P 0 f(p),q 2 = lim P P 0 g(p),q 3 = lim Q 1 0 h(q).wtedy Jeżelig(P) 0wpewnymotoczeniuP 0,to [ ] lim f(p) g(p) =Q1 Q 2, {+,, }. P P 0 f(p) lim P P 0 g(p) =Q 1. Q 2 Ponadto lim P P 0 h(f(p))=q 3. Granice jednostronne(n = 1): R-przedziałokońcachaib, a b,f: R k,x 0. PunktQ 0 R n jestgranicąlewostronnąfwx 0 (ozn.q 0 = lim x x 0 0 f(x)),jeżeli: ǫ>0δ>0 x,x<x 0 ( x x 0 δ f(x) Q 0 ǫ) Analogiczniedefiniujemygranicęprawostronną(ozn.Q 0 = lim x x 0+0 f(x)): ǫ>0δ>0 x,x>x 0 ( x x 0 δ f(x) Q 0 ǫ) Ciągłość. FunkcjafjestciągławpunkcieP 0 swojejdziedziny,jeżelimagranicęwtympuncieiwartośćfunkcji fwpunkciep 0 równajesttejgranicy: lim P P 0 f(p)=f(p 0 ) Funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. UWAGA: Funkcje tg i ctg są funkcjami ciągłymi!!! - Iloczyn, suma, różnica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. - Iloraz przy dzielniku niezerowym funkcji ciągłych jest ciągły. - Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Skład: DrAK, Racławicka 1/8, 41-200 Sosnowiec, tel. 0602-804-128

Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 5, Adam Kolany 1. Różniczkowanie funkcji. Różniczka 1. da=0, a=const, 2. d(u n )=nu n 1 du, 3. d(sinu)=cosu du, 4. d(cosu)= sinu du, 5. d(e u )=e u du, 6. d(lnu)= du u, 7. d(u±v)=du±dv, 8. d(u v)=u dv+v du, 9. d 1 u = du u 2, Różniczki wyższych rzędów d 2 u=d(du), d 3 u=d(d 2 u),, d n+1 u=d(d n u), Pochodne cząstkowe u u(,x j +η,) u(,x j,) =lim x j η 0 η Ponadto,współczynnikprzydx j : du= u x 1 dx 1 + u x 2 dx 2 ++ u x n dx n x y = u x y, 3 u x y z = x y z, Ekstrema. FunkcjaumawpunkcieP 0 minimumlokalne,jeżeli u(p) u(p 0 ), wpewnymotoczeniupunktup 0. FunkcjaumawpunkcieP 0 istotneminimumlokalne,jeżeli u(p)>u(p 0 ), wpewnymotoczeniupunktup 0. 0 Matematyka, WT info, konspekt 5, Adam Kolany

FunkcjaumawpunkcieP 0 maksimumlokalne,jeżeli u(p) u(p 0 ), wpewnymotoczeniupunktup 0. FunkcjaumawpunkcieP 0 istotnemaksimumlokalne,jeżeli u(p)<u(p 0 ), wpewnymotoczeniupunktup 0. JeżeliumawP 0 ekstremum,tod P0 u=0. JeżeliumawP 0 minimumlokalne,to 1 0, 2 0, 3 0,. JeżeliumawP 0 istotneminimumlokalne,to 1 >0, 2 >0, 3 >0,. JeżeliumawP 0 maksimumlokalne,to 1 0, 2 0, 3 0,. JeżeliumawP 0 istotnemaksimumlokalne,to 1 >0, 2 <0, 3 0,. gdzie 1 = 2 u x 2 1, 2 =det x 2 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 2, 3 =det x 2 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 2 x 2 2 x 3 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2 3, Jeżeli 1 >0, 2 >0, 3 >0,,toumawP 0 istotneminimumlokalne. Jeżeli 1 <0, 2 >0, 3 <0,,toumawP 0 istotnemaksimumlokalne. Skład: DrAK, Racławicka 1/8, 41-200 Sosnowiec, tel. 0602-804-128

Wydział Techniki, Informatyka Zaoczna, Matematyka, konspekt 6, Adam Kolany 1. Różniczkowanie funkcji, c.d. Pochodna macierz różniczki jako odwzorowania liniowego. u u = x, u y,, du=u dx dy Różniczkowanie złożenia. w=u(v 1,,v k ), v 1 =v 1 (x,y,),, v k =v k (x,y,) Funkcje uwikłane. w x = u v 1 v 1 x ++ u v k v k x, w y = u v 1 v 1 y ++ u v k v k y,. w =u v, v = v 1 y,.. v k y, v 1 x, v k x, (1) F(x,y(x))=0, krzywa (2) F(x,y,z(x,y))=0, powierzchnia. Przykład. y x (x 0)= F x F y z x (x 0,y 0 )= F x F z z y (x 0,y 0 )= F x F z 0=F(P)=F(P+dP)=F(P)+ F x dx+ F dy = y F = x, F dx,dy =dp = dp=λ y dp =ε = dp =ε F y, F, x F y, F / df, df = x ( F x ) 2 ( ) 2 F + y 0 Matematyka, WT info, konspekt 6, Adam Kolany

( x ) 2+ ( y ) 2 1, F F= a b x =2x F a 2, y =2y b 2, dp =ε, Przykład. y=arcsinx, dy= dx 1 x 2. 2. Wzór Taylora. u(p+dp)= = u(p)+d P u+ 1 2! d2 P u+1 3! d3 P u++1 n! dn P u+r n(p,dp), dp= dx,dy,, R n (P,dP) 1 (n+1)! d(n+1) (Q) u, Q [P,P+dP]. Przybliżone wartości funkcji. 1. (3.01 2 +3.90 2 = u= x 2 +y 2, P= 3,4, dp= 0.01, 0.10, u(3.01,3.90)=u(3,4)+d P u+ 1 2 d2 Pu+R 1 (P,dP) u(3,4)+ dx+dy x2 +y2+12 (xdy ydx)2 (x2 2 ) = 3 =5+ dx+dy 5 + (3dy 4dx)2 250 =5+ 0.01 0.10 5 + ( 3 0.10 4 0.01)2 250 = 4.926924800. Skład: DrAK, Racławicka 1/8, 41-200 Sosnowiec, tel. 0602-804-128