Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n kolumnch 21 22 2n m1 m2 mn Mcierze b dziemy oznczli wielkimi litermi lfbetu np A, B, C, X itd Element mcierzy stoj cy w i tym wierszu orz w j tej kolumnie oznczmy przez ij Mcierz A mo»n zpisyw w postci ij m n lub ij, gdy znny jest jej wymir Mcierze A i B s równe, gdy mj tkie sme wymiry i gdy ij b ij, dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Przykªd 1 1 0 1 mcierz wymiru 2 2, 6 3 2 B 2 3 1 1 mcierz wymiru 1 4, 2 2 3 7 3 C 1 2 5 0 3 3 mcierz wymiru 4 3 Mmy tu: c 12 3, c 23 5 0 4 2 Denicj 2 1 Mcierz wymiru m n, w której wszystkie elementy s zermi nzywmy mcierz 1
zerow wymiru m n i oznczmy 0 m n lub 0, gdy znmy jej wymir 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Mcierz, w której ilo± wierszy jest tk sm jk ilo± kolumn (m n) nzywmy mcierz kwdrtow Liczb kolumn (wierszy) nzywmy wtedy stopniem mcierzy kwdrtowej Elementy mcierzy, które mj tki sm numer wiersz i kolumny ( 11, 22, nn ) tworz gªówn przek tn mcierzy 21 22 2n n1 n2 nn 3 Mcierz kwdrtow stopni n 2, w której wszystkie elementy le» ce nd gªówn przek tn s równe 0, nzywmy mcierz trójk tn doln 11 0 0 21 22 0 n1 n2 nn Anlogicznie okre±lmy mcierz trójk tn górn 0 22 2n 0 0 nn 4 Mcierz kwdrtow stopni n, w której wszystkie wyrzy nie stoj ce n gªównej przek tnej s równe 0, nzywmy mcierz digonln 11 0 0 0 22 0 0 0 nn Mcierz digonln stopni n, w której wszystkie elementy n gªównej przek tnej s równe 1 nzywmy mcierz jednostkow i oznczmy I n lub I, gdy znmy jej Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 2
wymir I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 Zªó»my,»e mmy m n ró»nych mcierzy A ij, i 1, 2,, m, j 1, 2,, n Ustwmy te mcierze w m wierszch i n kolumnch Otrzymn w ten sposób mcierz A nzywmy mcierz blokow A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A m1 A m2 A mn Oczywi±cie mcierze A i1, A i2,, A in stoj ce w i tym wierszu musz mie te sme liczby wierszy Podobnie mcierze A 1j, A 2j,, A mj stoj ce w j tej kolumnie musz mie te sme liczby kolumn Przykªd 2 1 Mcierze zerowe 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Mcierze kwdrtowe 1 2 7 0 5 8 9 5 4, 5 4 7 34 3 3 Mcierze trójk tne górn i doln 1 2 7 0 5 8 0 0 4, 5 0 0 0 4 5 4 0 0 5 7 5 2 0 4 77 11 7 4 Mcierz digonln 4 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 64 0 0 0 0 5 Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 3
5 Mcierz jednostkow 6 Mcierz blokow 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 5 7 1 2 3 1 3 1 2 4 2 1 7 7 19 6 1 0 11 12 Dziªni n mcierzch Denicj 3 Niech ij m n, B b ij m n Sum ró»nic mcierzy A i B nzywmy mcierz C c ij m n, której elementy okre±lone s wzormi c ij ij ± b ij, dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Piszemy wtedy C A ± B Ztem, c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n 11 ± b 11 12 ± b 12 1n ± b 1n 21 ± b 21 22 ± b 22 2n ± b 2n c m1 c m2 c mn m1 ± b m1 m2 ± b m2 mn ± b mn Uwg 1 Z denicji wynik,»e dodw i odejmow mo»emy od siebie tylko mcierze tych smych wymirów Przykªd 3 Niech Wówczs A + B 3 1 0 1 2 3 5 1 4 2 4 2 1 2 3, B 3 + 2 3 1 + 1 0 3 1 + 4 2 + 14 3 5 + 9 1 + 11 4 + 0 2 4 4 + 3 2 1 + 1 2 3 2 2 3 1 3 4 14 9 11 0 4 3 1 2 11 3 2 3 5 44 3 4 12 4 7 2 1 2 1 Denicj 4 Niech ij m n, α niech b dzie dowoln liczb rzeczywist Iloczynem mcierzy A przez liczb α nzywmy mcierz B b ij m n której elementy okre±lone s nst puj co: b ij α ij, Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 4
dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Piszemy wtedy B α A Ztem b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n b m1 b m2 b mn α m1 α m2 α mn Przykªd 4 Niech 1 4 2 1 Wówczs 3 3 1 4 2 1 3 1 3 4 3 ( 2) 3 1 3 12 6 3 Przykªd 5 Niech 5 6 2 5 2 1, B 3 7 1 4 1 3 Obliczymy 3 A 4 B Mmy 3 A 4 B 3 15 18 6 15 6 3 5 6 2 3 7 1 4 5 2 1 4 1 3 12 28 4 3 46 2 16 4 12 31 2 15 Przejdziemy terz do njtrudniejszego dziªni mno»eni mcierzy Denicj 5 Niech ij m n, B b ij n k Iloczynem mcierzy A i B nzywmy mcierz C c ij m k, której elementy okre±lone s wzormi c ij i1 b 1j + i2 b 2j + + in b nj dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, k} Piszemy wtedy C A B Uwg 2 Z denicji wynik,»e iloczyn A B jest wykonlny gdy ilo± kolumn mcierzy A jest tk sm jk ilo± wierszy mcierzy B Otrzymn mcierz m tyle wierszy ile miª mcierz A i tyle kolumn ile miª mcierz B Mno»enie mcierzy poleg ztem n mno»eniu kolejnych wierszy pierwszej mcierzy przez kolejne kolumny drugiej mcierzy (przez mno»enie rozumiemy tu znny ze szkoªy ±redniej iloczyn sklrny) Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 5
Przykªd 6 Niech 1 3 12 2 21 2, B 5 2 1 0 1 1 Wówczs AB 1 5 + 3 1 + 12 1 1 2 + 3 0 + 12 1 2 5 + 21 1 + ( 2) 1 2 2 + 21 0 + ( 2) 1 20 14 9 6 Uwg 3 Mno»enie mcierzy nie jest n ogóª przemienne Twierdzenie 1 Mmy nst puj ce wªsno±ci dziª«n mcierzch: 1 Je±li mcierz A m wymir m n orz mcierze B i C wymir n k, to A (B + C) AB + AC 2 Je±li mcierze A i B mj wymir m n orz mcierz C wymir n k, to (A + B) C AC + BC 3 Je±li mcierz A m wymir m n, mcierz B wymir n k orz α jest liczb rzeczywist, to A (αb) (αa) B α (AB) 4 Je±li mcierz A m wymir m n, mcierz B wymir n k orz mcierz C wymir k l, to (AB) C A (BC) 5 Je±li mcierz A m wymir m n, to AI n I m A Denicj 6 Niech ij m n Mcierz trnsponown do mcierzy A nzywmy mcierz B b ij n m okre±lon wzorem b ij ji, dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Piszemy wtedy B A T Uwg 4 Trnsponownie mcierzy poleg wi c n zminie wierszy z kolumnmi Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 6
Przykªd 7 Niech Wówczs 5 2 1 1 6 2 2 0 1 2 64 5 A T 5 1 2 2 2 6 0 64 1 2 1 5 Twierdzenie 2 Mmy nst puj ce wªsno±ci trnsponowni mcierzy 1 Je±li mcierze A i B mj wymir m n, to (A + B) T A T + B T 2 Je±li mcierz A m wymir m n orz α R, to ( ) A T T A orz (αa) T αa T 3 Je±li mcierz A m wymir m n,, mcierz B wymir n k, to 13 Wyzncznik mcierzy (AB) T B T A T Denicj 7 Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej A nzywmy liczb det A, okre- ±lon w sposób nst puj cy: 1 je±li mcierz A m stopie«n 1 ( 11 ), to 2 je±li A m stopie«n 2, to det 11, det ( 1) 1+1 11 det A 11 + ( 1) 1+2 12 det A 12 + + ( 1) 1+n 1n det A 1n, gdzie A ij ozncz mcierz stopni n 1, powstª z mcierzy A przez skre±lenie i tego wiersz i j tej kolumny Uwg 5 Okre±lmy stopie«wyzncznik z mcierzy jko stopie«tej mcierzy Je±li 21 22 2n, n1 n2 nn Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 7
to wyzncznik det A oznczmy równie» jko det 21 22 2n n1 n2 nn lbo 21 22 2n n1 n2 nn Uwg 6 Dl mcierzy stopni n 2 wyzncznik liczymy w nst puj cy sposób det c b d d cb Uwg 7 Dl mcierzy stopni n 3 wyzncznik liczymy stosuj c tzw metod Srrus b c det d e f g h i b c d e f g h i d g b e h ei + bfg + cdh ceg fh bdi Denicj 8 Niech ij b dzie mcierz kwdrtow stopni n 2 Wówczs dopeªnieniem lgebricznym elementu ij mcierzy A nzywmy liczb D ij ( 1) i+j det A ij, gdzie A ij ozncz mcierz stopni n 1, powstª z mcierzy A przez skre±lenie i tego wiersz i j tej kolumny Przykªd 8 Niech Wówczs 4 2 1 4 2 3 2 1 0 D 13 ( 1) 1+3 4 2 2 1 1 0 0, D 23 ( 1) 2+3 4 2 1 ( 8) 8 2 1 Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 8
Twierdzenie 3 Niech ij b dzie mcierz kwdrtow stopni n 2 Ustlmy liczby nturlne i, j {1, 2,, n} Wtedy wyzncznik mcierz A mo»emy obliczy z nst puj cych wzorów det i1 D i1 + i2 D i2 + + in D in, (11) det 1j D 1j + 2j D 2j + + nj D nj (12) Uwg 8 Wzór (11) mówi,»e wyzncznik mcierzy A jest równy sumie iloczynów wyrzów i tego wiersz i ich dopeªnie«lgebricznych Wzór ten nzywmy rozwini ciem Lplce' wzgl dem i tego wiersz Wzór (12) mówi,»e wyzncznik mcierzy A jest równy sumie iloczynów wyrzów j tej kolumny i ich dopeªnie«lgebricznych Wzór ten nzywmy rozwini ciem Lplce' wzgl dem j tej kolumny Przykªd 9 Niech 4 2 1 4 2 3 2 1 0 obliczymy det A rozwini ciem Lplce' wzgl dem 2 ego wiersz, nst pnie wzgl dem 3 ej kolumny det 4 ( 1) 2+1 2 1 1 0 + 2 4 1 ( 1)2+2 2 0 + 3 4 2 ( 1)2+3 2 1, 4 ( 1) + 2 ( 2) + ( 3) ( 8) 24 W drugim przypdku mmy: det 1 ( 1) 1+3 4 2 2 1 + 3 4 2 ( 1)2+3 2 1 + 0 ( 1)3+3 1 0 + ( 3) ( 8) + 0 24 4 2 4 2 14 Wªsno±ci wyznczników W rozdzile tym przedstwimy podstwowe wªsno±ci wyznczników, które b d brdzo pomocne przy ich obliczniu Twierdzenie 4 Wyzncznik mcierzy trójk tnej górnej lub dolnej równy jest iloczynowi wyrzów n gªównej przek tnej 11 0 0 21 22 0 11 22 nn, n1 n2 nn Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 9
0 22 2n 0 0 nn 11 22 nn Twierdzenie 5 Mmy nst puj ce wªsno±ci wyznczników 1 Wyzncznik mcierzy kwdrtowej mj cej kolumn lbo wiersz zªo»one z smych zer jest równy zero 2 Wyzncznik mcierzy mj cej dwie identyczne kolumny lbo dw identyczne wiersze jest równy zero 3 Wyzncznik mcierzy dnej i trnsponownej s równe 4 Je±li w mcierzy kwdrtowej przestwimy mi dzy sob dwie kolumny lbo dw wiersze, to wyzncznik zmieni znk n przeciwny 5 Je±li wszystkie wyrzy kolumny lub wiersz w dnej mcierzy kwdrtowej mj wspólnych czynnik, to czynniki ten mo»emy wyª czy przed znk wyzncznik 11 c 12 1n det 21 c 22 2n c det 21 22 2n, n1 c n2 nn n1 n2 nn det c 21 c 22 c 2n c det 21 22 2n n1 n2 nn n1 n2 nn 6 Wyzncznik mcierzy nie zmieni si, je»eli do elementów dowolnej kolumny wiersz dodmy odpowidj ce im wyrzy innej kolumny wiersz pomno»one przez dowoln liczb Korzystj c z powy»szych wªsno±ci mo»n tk poprzeksztªc mcierz kwdrtow, by otrzym mcierz trójk tn, której wyzncznik jest brdzo ªtwo policzy korzystj c z Twierdzeni 4 Aby doprowdzi dn mcierz do postci trójk tnej wygodnie jest zstosow poni»szy lgorytm pochodz cy od C F Guss Algorytm Guss Niech dn b dzie mcierz kwdrtow (niezerow) ij n n 1 Dzielimy pierwsz kolumn mcierzy przez wyrz 11, tk by pierwszy wyrz nowej mcierzy byª równy 1 (gdy 11 0, przestwimy wiersze lbo kolumny mcierzy Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 10
A tk, by po przestwieniu wyrz nowy wyrz 11 byª ró»ny od zer oczywi±cie nle»y pmi t o zminie znku wyzncznik): 1 12 1n det 21 22 2n 21 k 1 k 1 11 11 det 11 22 2n n1 n2 n1 nn 11 n2 nn 2 Od k»dego z wierszy (z wyj tkiem pierwszego) odejmujemy pierwszy wiersz pomno»ony przez pierwszy wyrz dnego wiersz: 1 12 1n 21 w 2 w 2 w 1 21 11 det 11 22 2n 11 n1 w n w n w 1 n1 11 n2 11 nn 1 12 1n 0 11 det 22 2n 0 n2 nn Otrzymmy wtedy mcierz, w której pierwsz kolumn skªd si z pierwszego wyrzu równego 1 i smych zer 3 Kontynuujemy nsze post pownie dziel c drugi wiersz przez 22 i zeruj c kolejne (le» ce poni»ej) wyrzy drugiej kolumny, itd Uwg 9 Aby uªtwi wykonywne dziªni mo»n zmieni ze sob komuny lub wiersze mi dzy sob pmi tj c oczywi±cie o ewentulnej zminie znku wyzncznik Jest to w szczególno±ci konieczne, gdy wyrz 11 0 Uwg 10 Cz sto zmist dzieli wiersz, by otrzym wyrz 1 od kolejnych wierszy odejmuje si pierwszy wiersz mno»ony przez tkie wspóªczynniki, by wyzerow kolejne wyrzy poszczególnych kolumn Przykªd 10 Obliczy stosuj c lgorytm Guss: det 1 4 2 3 5 7 4 2 1 1 4 2 w 2 w 2 3 w 1 4 2 1 3 5 7 0 7 1 4 2 1 w 3 w 3 + 4 w 1 0 14 9 1 4 2 1 4 2 0 7 1 w 3 w 3 + 2 w 2 0 7 1 77 0 14 9 0 0 11 Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 11
15 Mcierz odwrotn Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki Denicj 9 Niech A b dzie mcierz kwdrtow stopni n Mcierz odwrotn do mcierzy A nzywmy mcierz A 1, któr speªni wrunek AA 1 A 1 I n, gdzie I n jest mcierz jednostkow stopni n Przykªd 11 Niech wówczs Rzeczywi±cie orz 2 1, 5 3 A 1 3 1 5 2 AA 1 2 1 3 1 1 0 5 3 5 2 0 1 A 1 3 1 2 1 1 0 5 2 5 3 0 1 Uwg 11 Je±li mcierz A posid mcierz odwrotn, to nzywmy j odwrcln Denicj 10 Mcierz kwdrtow A nzywmy osobliw, gdy det 0 W przeciwnym rzie mcierz A nzywmy nieosobliw Twierdzenie 6 Mcierz kwdrtow jest odwrcln wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliw: det A 0 Pondto, je±li mcierz ij stopni n jest nieosobliw, to D 11 D 12 D 1n A 1 1 D 21 D 22 D 2n det A D n1 D n2 D nn gdzie D ij oznczj lgebriczne dopeªnieni elementów ij mcierzy A Twierdzenie 7 Niech mcierze A i B b d mcierzmi odwrclnym tego smego stopni orz niech α 0 Wówczs mcierze A 1, A T, AB, αa orz A n (n N) s odwrclne, pondto: 1 det (A 1 ) (det A) 1 2 (A 1 ) 1 A 3 ( A ) T 1 (A 1 ) T 4 (AB) 1 B 1 A 1 5 (αa) 1 1 α A 1 6 (A n ) 1 (A 1 ) n T, Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 12
Przykªd 12 Wyznczy mcierz odwrotn do mcierzy 2 5 7 6 3 4 5 2 3 Obliczmy wyzncznik det A 2 5 7 2 5 7 det 6 3 4 6 3 4 5 2 3 5 2 3 2 5 6 3 5 2 18 + 100 84 105 + 16 + 90 1 Obliczmy nst pnie dopeªnieni lgebriczne kolejnych elementów D 11 ( 1) 1+1 3 4 2 3 1, Ztem 1 38 27 A 1 1 1 41 29 1 34 24 D 12 ( 1) 1+2 6 4 5 3 38, D 13 ( 1) 1+3 6 3 5 2 27, D 21 ( 1) 2+1 5 7 2 3 1, D 22 ( 1) 2+2 2 7 5 3 41, D 23 ( 1) 2+3 2 5 5 2 29, D 31 ( 1) 3+1 5 7 3 4 1, D 32 ( 1) 3+2 2 7 6 4 34, D 33 ( 1) 3+3 2 5 6 3 24 T 1 1 1 1 38 41 34 27 29 24 1 1 1 38 41 34 27 29 24 Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 13
Podmy jeszcze jeden sposób znjdowni mcierzy odwrotnej W metodzie tej nie korzystmy z wyznczników Bezwyzncznikowy lgorytm znjdowni mcierzy odwrotnej Niech A b dzie mcierz nieosobliw Aby znle¹ mcierz A 1 post pujemy w nst puj cy sposób: 1 Z prwej strony mcierzy A dopisujemy mcierz jednostkow tego smego stopni 1 0 0 21 22 2n 0 1 0 n1 n2 nn 0 0 1 2 Dziªj c n wierszch tk przeksztªcmy otrzymn mcierz blokow A I by uzysk mcierz I B przy czym mo»emy: przestwi mi dzy sob dowolne wiersze, dowolny wiersz mno»y przez stª ró»n od zer, do elementów dowolnego wiersz dodw sumy innych wierszy pomno»onych prze dowolne liczby 3 Otrzymn w wyniku tych opercji mcierz B jest mcierz odwrotn do mcierzy A wiczenie 1 Znle¹ mcierz odwrotn do mcierzy korzystj c z bezwyzncznikowego lgorytmu 2 2 3 1 1 0 1 2 1 Aktulizcj: 2 p¹dziernik 2008 14
Skorowidz lgorytm - Guss, 10 - bezwyzncznikowy znjdowni mcierzy odwrotnej, 14 dopeªnienie lgebriczne, 8 iloczyn - mcierzy, 5 - mcierzy przez liczb, 4 Lplce' rozwini cie, 9 mcierz, 1 - blokow, 3 - digonln, 2 - jednostkow, 2 - kwdrtow, 2 - nieosobliw, 12 - odwrcln, 12 - odwrotn, 12 - osobliw, 12 - trójk tn - - doln, 2 - - górn, 2 - trnsponown, 6 - zerow, 2 ró»nic - mcierzy, 4 Srrus metod, 8 stopie«mcierzy kwdrtowej, 2 sum - mcierzy, 4 wyzncznik mcierzy kwdrtowej, 7 15