Istrukcja ocey iepewości pomiarów w I Pracowi Fizyczej (ONP) Nowe ormy międzyarodowe l. Wprowadzeie W roku 995, po wielu latach pracy, uzgodioo międzyarodowe ormy dotyczące termiologii i sposobu określaia iepewości w pomiarach. Międzyarodowa Orgaizacja Normalizacyja (ISO) opublikowała odpowiedi Przewodik" []. Dokoao jego przekładu a język polski []. Stosowaie orm ISO w zakresie obliczaia i podawaia iepewości pomiarów jest obowiązkiem, podobym do obowiązku stosowaia układu SI.. Wyrażaie iepewości pomiaru owe ormy międzyarodowe Wszystkie pomiary obarczoe są iepewościami pomiarowymi, które moża ieograiczeie zmiejszać, lecz ie moża ich całkowicie wyelimiować. Przewodik przyjmuje defiicję: Niepewość pomiaru parametr związay z wyikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który moża w uzasadioy sposób przypisać wielkości mierzoej. Słowo iepewość", bez dodatkowych określeń, ma podwóje zaczeie: zarówo pojęcia ogólego, jak i miary ilościowej. W przypadku stosowaia termiu w zaczeiu ilościowym dodaje się odpowiedi przymiotik. Stosowae są astępujące termiy o owym zaczeiu:. Niepewość stadardowa (stadard ucertaity) wyiku pomiaru bezpośrediego wielkości X. Ważą owością jest symbol iepewości stadardowej u (ucertaity), którego możemy używać a trzy sposoby: u,, stężeie NaCl). Przewodik ie wprowadził osobego symbolu dla pojęcia iepewości względej. Zgodym z logiką symbolem jest u r (ideks r od ag. relative) zalecoy do użytku w USA przez Natioal Istitute of Stadards ad Techology.. Złożoa iepewość stadardowa u c (y) (combied stadard ucertaity) jest iepewością wyików pomiarów pośredich y = f(x, x, x,...,x k,....x K ), gdzie symbole x, x, x,...,x k,...x K ozaczają K wielkości mierzoych bezpośredio. Jest oa obliczaa (wyzaczaa) z prawa przeoszeia iepewości pomiaru.. Niepewość rozszerzoa U lub U(y) (expaded ucertaity) jest miarą pewego przedziału ufości" otaczającego wyik pomiaru pośrediego. Oczekuje się, że w przedziale tym jest zawarta duża część wartości, które w rozsądy sposób moża przypisać wielkości mierzoej. Wartość U oblicza się możąc złożoą iepewość stadardową przez bezwymiarowy współczyik rozszerzeia k. 4. Współczyik rozszerzeia k (coverage factor) jest możikiem złożoej iepewości stadardowej, stosowaym w celu uzyskaia iepewości rozszerzoej.
5. Ocea iepewości metodą typu A (type A evaluatio of ucertaity) oparta a metodzie określaia iepewości pomiaru drogą aalizy statystyczej serii wyików pomiarów. 6. Ocea iepewości metodą typu B (type B evaluatio of ucertaity) obliczaa a podstawie rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego przez eksperymetatora (prawdopodobieństwa subiektywego). Ocea typu B może być zastosowaa w każdej sytuacji.. Ie miary iepewości. Niepewość maksymala Przyjęta przez Przewodik ogóla defiicja iepewości jako parametru charakteryzującego rozrzut wyików pomiaru ie wyklucza, że rozrzut te określać mogą też ie parametry. Niemiej w dokumecie tym ie możliwe miary rozrzutu ie są wymieioe awet z azwy. W wielu sytuacjach używaa jest miara iepewości, której azwą uzaą przez literaturę jest błąd graiczy. (Alteratywą azwą spotykaą w podręczikach jest błąd maksymaly). Zgodie z logiką ogólej defiicji iepewości, właściwą azwą wia być iepewość maksymala. Niepewość maksymala x jest miarą determiistyczą, twierdzimy miaowicie, że moża określić przedział x 0 x < x i < x 0 + x, w którym mieszczą się wszystkie wyiki pomiaru x i, aktualie wykoae i przyszłe. Z powyższej ierówości wyika, że wartość rzeczywista x 0 zawarta jest a pewo w przedziale x i ± x wokół dowolego wyiku pomiaru x i. 4. Niepewości pomiarów bezpośredich 4.. Metoda typu A obliczaia iepewości stadardowej Ocea typu A opiera się a aalizie statystyczej serii wyików pomiarów. Wykoywaie pomiarów bezpośredich jest odpowiedikiem losowaia - elemetowej próbki {x, x,...x } z ieskończeie liczej populacji, którą staowią wszystkie możliwe do wykoaia pomiary. Za wyik pomiaru przyjmuje się średią arytmetyczą wyików pomiarów x = x i. () Niepewością stadardową wyiku pomiaru wielkości X azywamy odchyleie stadardowe eksperymetale średiej arytmetyczej x, które oblicza się ze wzoru = ( xi ( ). () UWAGA! Chociaż iepewość ta odosi się do x jej symbolem jest u ( a ie u (.
Oceami typu A są wszelkie ie metody określaia iepewości przy użyciu metod statystyczych, p. iepewości parametrów dopasowaia prostej regresji do puktów eksperymetalych. 4.. Prosta regresji Zagadieie polega a poprowadzeiu prostej y = ax + b () jak ajlepiej dopasowaej do zbioru puktów doświadczalych (x, y ), (x, y ),... (x, y ). Celem dopasowaia jest ie tylko uzyskaie efektu wizualego, ale przede wszystkim uzyskaie oce wartości parametrów a i b opisujących prostą, oraz ich iepewości a) i b). Najczęściej wykorzystujemy do tego celu metodę ajmiejszych kwadratów. Najpowszechiejszy wariat tej metody, stosoway gdy iepewości przypisae puktom eksperymetalym są jedakowe, prowadzi do astępujących wzorów a a i b: a x y ( xi ) ( yi ), i i = (4) D ( xi )( yi ) ( xi ) ( xi yi ), b D gdzie D = ( ). = (5) x i x i oraz a ich iepewości stadardowe a) i b) gdzie xi a) = s y, b) = s y, (6) D D [ y ( ax + b) ] i i s y =. (7) 4.. Metoda typu B obliczaia iepewości stadardowej Niepewość stadardową szacuje się metodą typu B w przypadku, gdy dostępy jest tylko jede wyik pomiaru, albo gdy wyiki ie wykazują rozrzutu. Wówczas iepewość stadardową oceia się a podstawie wiedzy o daej wielkości lub o przedziale, w którym wartość rzeczywista powia się mieścić. 4... Niepewość wzorcowaia W przypadku wyików ie wykazujących rozrzutu główym przyczykiem iepewości pomiarów jest iepewość wzorcowaia (iepewość maksymala) d x.
Produceci przyrządów takich jak przymiar milimetrowy, suwmiarka czy termometr lekarski a ogół ie określają ich dokładości. Powszechie uważa się, że iesprecyzowaa bliżej dokładość (iepewość wzorcowaia d jest rówa wartości ajmiejszej działki skali, zwaej działką elemetarą. Jej wartość wyosi dla liijki mm, suwmiarki 0,05 mm, śruby mikrometryczej 0,0 mm, termometru lekarskiego 0, C. Ocea ta może być skorygowaa w górę lub w dół zgodie z posiadaą wiedzą i doświadczeiem. Na przykład, jeżeli mierzymy liijką średicę moety jedogroszowej i oceiamy a oko rówież dziesiąte części milimetra, to iepewość wzorcowaia d x może zmiejszyć się do 0, mm. Z drugiej stroy, przy pomiarze rozmiarów pokoju taśmą miericzą, iepewość wzorcowaia ależy przyjąć większą iż mm, choć skalę z podziałką milimetrową mamy a całej pięciometrowej taśmie. Przyjmuje się, że wartość d x jest rówa połowie szerokości rozkładu jedostajego, a iepewość stadardowa wyosi x = d (8) (Jest to odchyleie stadardowe eksperymetale w rozkładzie jedostajym). W wyiku rewolucji w mierictwie wyikającej z postępów elektroiki prawie wszystkie używae współcześie przyrządy pomiarowe to albo proste przyrządy ze skalą aalogową, albo też elektroicze mieriki cyfrowe. Dla każdego z typów tych przyrządów określeie iepewości wzorcowaia (iepewości maksymalej) przebiega ieco iaczej. Niepewość wzorcowaia przyrządów aalogowych W przyrządzie aalogowym jego dokładość precyzuje tzw. klasa przyrządu, która wyraża w procetach stosuek iepewości maksymalej x do pełego wychyleia mierika a daym zakresie pomiarowym. Jej ses jest taki, że wyiki prawidłowo wykoaych pomiarów ie różią się od wartości rzeczywistej x 0 więcej iż o ± x. I tak by było, gdyby obserwator odczytywał absolutie dokładie położeie wskazówki a skali przyrządu. Odczyt dokoyway jest z pewą dokładością (do działki skali, do ½ działki skali, itd.), dlatego też iepewość wzorcowaia (iepewość maksymala) przyrządu aalogowego jest sumą iepewości wyikającej z klasy i z odczytu, a iepewość stadardową obliczamy ze wzoru [( klasa zakres /00) + = x odczytu )] (9) Niepewość wzorcowaia przyrządów cyfrowych Iaczej odbywa się określaie iepewości wzorcowaia (iepewości maksymalej) dla przyrządów z cyfrowym wyświetlaiem wyików pomiarów. W tego typu przyrządach ie występuje iepewość związaa z odczytem wielkości mierzoej. Zmiaę wartości mierzoej odpowiadającą przeskokowi ostatiej cyfry azwać moża działką elemetarą daego przyrządu. Waże jest, by działki elemetarej ie utożsamiać z iepewością pomiaru przyrządu z cyfrowym wyświetlaczem. 4
W celu określeia iepewości wzorcowaia musimy zajrzeć do istrukcji przyrządu. Zajdziemy tam iformację o wartości iepewości wzorcowaia, ajczęściej podaą jako kombiacja liiowa wartości mierzoej i zakresu d x = C wartość mierzoa + C zakres pomiarowy. (0) Uzyskaą w te sposób iepewość maksymalą zamieiamy a iiepewość d x stadardową przy użycie wzoru = 4... Niepewość eksperymetatora Drugim przyczykiem iepewości pomiarów ie wykazujących rozrzutu jest iepewość eksperymetatora (iepewość maksymala) e x, spowodowaa przyczyami zaymi eksperymetatorowi, ale od iego iezależymi. Eksperymetator korzysta ze swego doświadczeia i wiedzy w celu określeia iepewości e x oraz wyikającej stąd iepewości stadardowej. Niepewość stadardową eksperymetatora moża oszacować a podstawie rozkładu jedostajego; wtedy u ( = ex. 4... Niepewość tablicowa Niepewościami obarczoe są rówież wyiki zaczerpięte z literatury, tablic matematyczych lub kalkulatora. Jeśli ie jest podaa wartość odchyleia stadardowego eksperymetalego (jeśli jest podaa, wtedy iepewość jest rówa temu odchyleiu) i brak jest jakiejkolwiek iformacji o iepewości, przyjmujemy, że iepewość tablicowa (iepewość maksymala) t x jest rówa 0 jedostkom ostatiego miejsca dziesiętego. Niepewość stadardowa jest szacowaa a podstawie x rozkładu jedostajego; = t. 4..4 Całkowita iepewość stadardowa Najczęściej przyczyki od iepewości wzorcowaia i iepewości eksperymetatora występują jedocześie i wtedy iepewość stadardowa szacowaa metodą B powia być obliczoa ze wzoru ( d ( e = +. () Jeśli atomiast obydwa typy iepewości, A i B, występują rówocześie, to ależy posłużyć się astępującym wzorem a iepewość stadardową (całkowitą): = ua( + ub ( = ( x ( ) ( d + ( e ) + x i. () 5
5. Pomiar pośredi. Prawo przeoszeia iepewości W większości pomiarów fizyczych szukaa wielkość ie daje się zmierzyć bezpośredio. Jest oa wyzaczaa z zależości fukcyjej y= f(x, x, x,...x k,...x K ), () gdzie x, x, x,...x k,...x K ozacza K wielkości mierzoych bezpośredio. Zakłada się, że zae są wyiki pomiarów (średie arytmetycze) tych wielkości x, x, x,k x k, K xk oraz ich iepewości stadardowe x ), x ), x ),..., xk ),..., xk ). Wyik (końcowy) pomiaru wielkości złożoej oblicza się ze wzoru y f x, x, x, K x k, K x ). (4) ( K Przy obliczaiu iepewości stadardowej wielkości złożoej ależy rozróżić ieskorelowae i skorelowae pomiary wielkości mierzoych bezpośredio x k. 5. Wielkość złożoa - pomiary bezpośredie ieskorelowae W pomiarach ieskorelowaych (chodzi tu o korelację między wielkościami mierzoymi, której miarą są współczyiki korelacji) każdą wielkość mierzy się w iym, iezależym doświadczeiu. Złożoą iepewość stadardową u c ( y ) wielkości liczoej pośredio y oblicza się korzystając z prawa przeoszeia iepewości pomiarów bezpośredich ieskorelowaych w postaci u ( y) c K f = u ( xk ) k = x. (5) k 5. Wielkość złożoa pomiary bezpośredie skorelowae Pomiary ależy uzać za skorelowae zawsze wtedy, gdy dae wielkości są mierzoe bezpośredio za pomocą jedego zestawu doświadczalego, w jedym doświadczeiu. W praktyce ozacza to, że wszystkie pomiary elektrycze wykoywae w laboratoriach studeckich są pomiarami skorelowaymi. Z uwagi a bardzo skomplikowae obliczaie złożoej iepewości stadardowej wielkości mierzoej pośredio o skorelowaych wielkościach wejściowych (mierzoych bezpośredio) w pracowiach studeckich wygodiej jest postępować astępująco. Wyiki y i oblicza się korzystając z kompletu wyików pomiarów bezpośredich K wielkości x k,i uzyskaych w i pomiarze y i = f(x,i, x,i, x,i,...x k,i,...x K,i. Seria wyików y i, uzyskaych w pomiarach, staowi próbkę losową podobie jak w pomiarach bezpośredich. Przyjmuje się, że wyikiem pomiaru pośrediego jest 6
y = y i, (6) i = a złożoą iepewość stadardową wyiku określa wzór u c ( y ) = ( ) ( y i y). (7) 5. Prawo przeoszeia iepewości maksymalej W przypadku rachuku iepewości opartego a pojęciu iepewości maksymalej przyczyki pochodzące od poszczególych zmieych wejściowych obliczamy tak samo, ale zamiast sumy geometryczej obliczamy sumę algebraiczą ich wartości bezwzględych, y = K k= f x k x k. (8) Postępowaie takie azywae było dawiej metodą różiczki zupełej. Aalogicze obliczeie dla względej iepewości maksymalej osiło azwę metody pochodej logarytmiczej. 6. Niepewość rozszerzoa i zapisywaie wyików Dla celów komercyjych, przemysłowych, zdrowia i bezpieczeństwa zachodzi koieczość podaia miary iepewości, która określa przedział otaczający wyik pomiaru zawierający dużą, z góry określoą, część wyików, jakie moża przypisać wielkości mierzoej. Niepewość spełiającą powyższy waruek azywa się iepewością rozszerzoą i ozacza symbolem U(y) lub U. Defiiuje się ją wzorem U(y) = k u c (y), gdzie k azywa się współczyikiem rozszerzeia. Jest to umowie przyjęta liczba, wybraa tak, by w przedziale y ± U(y) zalazła się większość wyików pomiaru potrzeba do daych zastosowań, a przykład a I Pracowi do wioskowaia o zgodości z wartością tabelaryczą. W Przewodiku stwierdza się, że wartość k wyosi ajczęściej. Przewodik przyjmuje zasadę zapisywaia iepewości z dokładością do dwu cyfr zaczących. Spośród dwu sposobów skrótowego zapisu wartości mierzoej i jej iepewości (patrz Tabela), utrwala się zasada, by zapis z użyciem symbolu "±" stosować wyłączie do iepewości rozszerzoej, atomiast zapis z użyciem awiasów do iepewości stadardowej. 7
Wielkość Niepewość stadardowa: ocea typu A Najważiejsze elemety Międzyarodowej Normy Ocey Niepewości Pomiaru Symbol i sposób obliczaia Statystycza aaliza serii pomiarów, w tym: dla serii rówoważych pomiarów = ( xi ( ) a), b) dla parametrów prostej regresji, itp. Niepewość Naukowy osąd eksperymetatora, stadardowa: x = (gdy zaa jest iepewość x wzorcowaia ocea typu B d x, eksperymetatora e x, odczytu z tablic czy kalkulatora t x ) Złożoa iepewość K f stadardowa uc ( y) = u ( xk ) k= x (dla ieskorelowaych x k ), k K liczba wielkości mierzoych bezpośredio Współczyik k rozszerzeia Niepewość rozszerzoa U(y) = k u c (y), Zalecay zapis iepewości stadardowa g = 9,78 m/s, u c (g) = 0,076 m/s g = 9,78(76) m/s rozszerzoa g = 9,78 m/s, U(g) = 0,5 m/s g =(9,78±0,5) m/s (zasada podawaia cyfr zaczących iepewości) Literatura. Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet, ISO, Switzerlad 995.. Wyrażaie iepewości pomiaru: Przewodik, Główy Urząd Miar, Warszawa 999.. H. Szydłowski, Postępy Fizyki, 5 Z, 9 (000). 4. A. Zięba, Postępy Fizyki, 5 Z 5, 8 (00). 5. H. Szydłowski, Niepewości w pomiarach. Międzyarodowe stadardy w praktyce, Wydawictwo Naukowe UAM, Pozań 00. 6. A. Zięba, Opracowaie wyików pomiaru w aukach przyrodiczych i techiczych z uwzględieiem zaleceń Międzyarodowej Normy Ocey Niepewości Pomiaru, w druku 8