ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II zasada dynamk dla uchu obotowego -moment bezwładnośc -enega knetyczna uchu obotowego 5. Pecesja
WSTĘP Dotychczas opsywalśmy uch (knematykę) pzyczyny uchu (dynamkę) tylko dla punktu matealnego Ale zeczywste obekty są znaczne badzej skomplkowane: składają sę z welu punktów matealnych, czasem zupełne ze sobą ne powązanych. Jeśl wzajemne położene punktów matealnych w cele jest stałe, to cało take nazywa sę byłą sztywną, a jego uch jest szczególne posty: da sę opsać jako złożene uchu postępowego uchu obotowego.
WIELKOŚCI W UCHU OBOTOWYM: PĘDKOŚĆ KĄTOWA uch cała obacającego sę względem stałej os można opsać szybkoścą zman kąta θ zakeślonego pzez wekto wodzący dowolnego punktu dθ Pędkość kątowa jest wektoem dθ V θ θ Keunek wektoa pędkośc kątowej zależy od keunku obotu V V v Keunek wektoa pędkośc kątowej okeślony jest egułą pawej dłon
WIELKOŚCI W UCHU OBOTOWYM: PZYŚPIESZENIE KĄTOWE Pzyśpeszene cała w uchu obotowym można opsać szybkoścą zman pędkośc kątowej ε d V Pzyśpeszene kątowe jest wektoem ε d V a s a s ε θ a s ε a s - pzyśpeszene styczne do tou Keunek wektoa pzyśpeszena kątowego zależy od keunku zman a s V V ε θ a s
MOMENT SIŁY Efekt pzyłożene sły F do cała, któe może sę obacać zależy od: welkośc sły odległośc punktu pzyłożena od os obotu kąta pzyłożena sły w stosunku do pędkośc punktu pzyłożena uch obacającego sę cała można zmenć pzykładając do nego moment sły z F 1 N F Moment sły F pzyłożonej do były w punkce o wektoze wodzącym, w stosunku do początku necjalnego układu odnesena wynos x 1 F y N F N 1 1 F 1 Jeśl sł jest węcej, to całkowty moment jest sumą wektoową wszystkch momentów N F
MOMENT PĘDU Efektem pzyłożene momentu sły N do cała, jest nadane mu uchu obotowego Jeśl do cała pzyłożony jest moment sły, to zmena sę moment pędu cała z LΣ p p 1 Moment pędu były w stosunku do początku necjalnego układu odnesena wynos L p x y Moment pędu moment sły to pojęca, któe można stosować do dowolnego uchu, ne tylko obotowego
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU W jakch okolcznoścach moment pędu może sę zmenć? Szybkość zmany momentu pędu wynos: d( p) d dp p + dp (v mv) + dp F x z p F F p p p F F y Jeśl bak jest zewnętznego momentu sły to moment pędu układu mas jest zachowany N zewn 0 L const ale F f F f 0 F F f stąd L L f f
UCH OBOTOWY BYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM NIEUCHOMEJ OSI Była obaca sę ze stałą pędkoścą kątową wokół stałej os z Jak jest moment pędu były? W ogólnośc jest to skomplkowane zagadnene: tzeba zsumować loczyny, w wynku czego moment V m pędu będze zależał od ozłożena masy w byle. Poneważ jednak pędkość V każdego punktu były leży w płaszczyźne xy dlatego wyażene na L ozpada sę na dwe częśc: L ll V m V m + ( ll + V m ) V m L + L xy z L z z V z L y x L poneważ V leży w płaszczyźne xy. Tutaj: L xy jest składową L w płaszczyźne xy, a L z jest składową L wzdłuż os z Oblczene L z jest poste: z V m zˆ V m m poneważ pędkość elementu m masy w położenu wynos V. I m zˆ I-moment bezwładnośc zˆ m, V obót były względem stałej os w keunku z y x
UCH OBOTOWY BYŁY SZTYWNEJ WZGLĘDEM NIEUCHOMEJ OSI Stąd: L z I Jeśl była obaca sę ze stałą pędkoścą kątową wokół stałej os to składowa jej momentu pędu wzdłuż tej os wynos L z I L z z Jeśl obacająca sę była jest symetyczna względem os obotu, to jej całkowty momentu pędu wynos L I V w jak sposób można zmenć moment pędu takej były? L z I ale poneważ L d z d I I ε czyl z N zewn N zewn, z węc: N zewn, z I ε Składowa pzyśpeszena kątowego wzdłuż os obotu ustalonej w układze necjalnym (lub pzechodzącej pzez śodek masy), zależy od składowej zewnętznego momentu sły wzdłuż tej os N zewn I ε
PZYKŁAD: STOLIK OBOTOWY Jeśl obacająca sę była jest symetyczna względem os obotu, to jej całkowty momentu pędu wynos L I Jeśl bak jest zewnętznego momentu sły to moment pędu układu mas jest zachowany N zewn 0 L const N zewn 0 L I ysunek skopowane z http://hypephyscs.phy-ast.gsu.edu/ Cężak odległe od os obotu: mała pędkość kątowa Cężak blske os obotu: duża pędkość kątowa
PZYKŁAD: TOCZENIE PO ÓWNI Pełny walec o mase M pomenu toczy sę bez poślzgu po ówn o dl. L nachylonej pod kątem α do pozomu. Ile wynos pędkość śodka masy walca w najnżej położonym punkce ówn? T y OZWIĄZANIE Śodek masy walca będze sę pouszał tak, jakby wszystke sły zewnętzne (, T G) były do nego pzyłożone, czyl będze pouszał sę uchem jedn. pzyśp. wzdłuż ówn. Walec będze sę obacał względem os pzechodzącej pzez ten śodek masy. G L α x am + G + T εi N + N + G N T Opsuje uch śodka masy Opsuje uch obotowy względem śodka masy Każdy z momentów N F to XF tylko T ma nezeowy moment sły względem os obotu. MaMgsnα-T T Iε zut sł pzyśpeszena na keunek x zut momentów sł pzyśpeszena kątowego na keunek z Poneważ I dla walca wynos I(1/)M, dlatego T(1/)M *ε. Jeśl toczene bez poślzgu, to uch postępowy śodka masy uch obotowy wokół os obotu walca są powązane: aε* εa/. T(1/)M*a T(1/)M*a a/3gsnα MaMgsnα-T MaMgsnα-T (Poneważ Vat Lat /) 4 V La gl sn α 3
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: OBLICZANIE Moment bezwładnośc względem os obotu, to suma mas odległośc od os obotu I m dm moment bezwładnośc obęczy Poneważ masa jest ozłożona symetyczne w odległośc względem os obotu, to I dm m moment bezwładnośc walca dm Walec składa sę z peścen o mase dm w odległośc względem os obotu, to M M I dm dm' d π π 0 0 3 d M
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI: TWIEDZENIE STEINEA Moment bezwładnośc względem os obotu, to suma mas odległośc od os obotu I m dm śm Oznaczmy pzez I 0 moment bezwładnośc jeśl oś obotu pzechodz pzez śodek masy I0 a A jak jest moment bezwładnośc względem nnej os, ne pzechodzącej pzez śodek masy? I 0 I + a m Moment bezwładnośc względem dowolnej os jest ówny momentow bezwładnośc względem os do nej ównoległej pzechodzącej pzez śodek masy plus loczyn masy pzez kwadat odległośc mędzy obema osam oś obotu Pzykład: moment bezwładnośc walca I M 3M + M
ENEGIA KINETYCZNA UCHU OBOTOWEGO Jeśl była obaca sę wokół stałej os to całkowta enega knetyczna jest sumą eneg knetycznych poszczególnych mas m: E K 1 m v 1 m ( ) 1 m E K 1 I PZYKŁAD: Kozystając z zasady zachowana eneg oblczyć pędkość śodka masy walca u podnóża ówn T E p mgh Enega potencjalna na szczyce pzekształca sę w enegę knetyczna uchu postępowego obotowego E p E (mv +I )/mgh Ale: K Im / V/, to mv V 3 4 + 1 m V gl sn α V mgl sn α 4 3 gl sn α h L α E K (mv +I )/
Bąk symetyczny podpaty u podstawy, wuje z badzo dużą pędkoścą kątową. Jego chwlowy moment pędu wynos LI, czyl skeowany jest wzdłuż os obotu. Jak będze uch bąka, jeśl pzestane dzałać pozymująca go sła? PECESJA Lsnα sm GsnαL dθ sm Na bąk dzałają dwe sły: - cężkośc Gmg, (moment sły z ną zwązany, oblczony względem punktu podpaca, wynos N sm XG jest skeowany ll do podłoża), - sła eakcj podłoża pzyłożona do punktu podpaca (moment sły pochodzący od tej sły wynos 0). α G N Całkowty moment sły N sm X G powoduje zmanę momentu pędu N, czyl w keunku do L (bo N jest do sm, a sm ll L). L obaca sę (pecesuje) wokół keunku ównoległego do dzałającej sły. Poneważ sm Gsn(α), a kąt dθ wynos: dθ L sn α G sm sn α L sn α G sm L węc pędkość kątowa pecesj Ω: Ω dθ G L sm mg I sm