Fika dla Infomatki Stosowanej Jacek Golak Semest imow 06/07 Wkład n 8
Na kolejnch wkładach ajmiem się wbanmi agadnieniami dotcącmi elektcności i magnetmu. Polecam ainteesowanm nakomit podęcnik Davida J. Giffithsa, Podstaw elektodnamiki, Wdawnictwo Naukowe PWN, Wasawa 00 Polecam także wkład pofesoa Reinhada Kuless, skąd acepnąłem wiele obaków.
Znacenie elektomagnetmu Oddiałwania elektomagnetcne są jednm oddiałwań fundamentalnch. Są odpowiedialne a: niektóe własności cąstek elementanch wiąanie elektonów i jąde atomowch w atom, wiąanie atomów w molekuł, twoenie upoądkowanch stuktu (kstał)
Oddiałwania elektomagnetcne są obecne na bado wielu poiomach budow Wsechświata: od kstałów i molekuł do cąstek elementanch (be widocnej wewnętnej stuktu) np. elektonów i kwaków, któe też posiadają ładunek elektcn i oddiałują elektomagnetcnie.
Ponajem świat dięki oddiałwaniom elektomagnetcnm! Móg wkauje aktwność elektcną!
Właściwości ładunku elektcnego Od casów staożtnch wiadomo, że bustn (łac. electum, g. elekton) potat kawałkiem futa pciąga płki, skawki mateiału itp. Pocieanie jest więc postm pepisem na kontolowane wtwaanie elektcności! (Inne możliwości kontaktu elektcnością dawał pioun i niektóe gatunki b) () Dopieo w XVIII wieku stwiedono we Fancji, że istnieją dwa odaje ładunków elektcnch. Nawam je dodatnimi i ujemnmi, bo ich jednocesne wstępowanie powadi do mniejsenia obsewowanch skutków. Obecnie możem mówić o ładunkach gomadonch na potatm skle (+) i potatm bustnie lub ebonicie (-). () W wcajnej mateii ładunki dodatnie i ujemne wstępują w dokładnie ównch ilościach. Na pkład atom wodou jest dokładnie neutaln, choć poton i elekton mają upełnie óżne własności!
Pąd do podstawowch doświadceń elektcności: oscloskop Może posłużć na pkład do wkaania, że istnieją dwa odaje ładunku elektcnego.
Tak mogłb wglądać dalse doświadcenia ładunkami elektcnmi Ładunki jednego naku odpchają się Ładunki óżnch naków pciągają się
ebonit ebonit skło ebonit
Właściwości ładunku elektcnego c.d. () Ładunek elektcn jest achowan i nie można w żadnm pocesie wtwoć ładunku netto! W scególności pocieanie bustnu jakimś mateiałem powadi jednie do odielenia ładunków międ mateiał i bustn. Zachowanie ładunku jest jednm najbadiej fundamentalnch paw fiki. (4) Ładunek elektcn jest skwantowan, cli wstępuje tlko w dsketnch pocjach, któe są całkowitmi wielokotnościami ładunku elementanego, e. (Na pkład ładunek potonu wnosi e, a ładunek elektonu wnosi dokładnie -e.) Nawet jeśli niektóe cąstki budowane są kwaków o ładunkach ułamkowch, to swobodnch kwaków nie udało się aobsewować.
Kwaki posiadają ładunki ułamkowe poton meon π + Istnieją też antkwaki, któe mają ładunki peciwne do ładunków kwaków neuton antpoton Obaki Wikipedii
lektostatka Poblem (wdawałob się łatw) oddiałwań pousającch się ładunków wmaga m.in. włącenia STW, więc acnam od cegoś postsego. Podielim umownie ładunki na tw. źódła (ładunki nieuchome) i badam ich oddiałwanie na ładunek póbn (któ może się pousać). Punkt wjścia to pawo Coulomba, któe mówi o sile, jaką diałają na siebie dwa ładunki punktowe: siła diałająca na q F q q ( ) k F q F q F F q O. q q 0 q O. q q 0
Co dieje się, gd mam więcej ładunków? Najpiew powólm diałać na q osobno siłom pochodącm od ładunków q i q F q q ( ) k F k q q ( ) siła diałająca na q e ston q siła diałająca na q e ston q F q q 0 O. q q q O. q q 0 q F
) ( ) ( q q k q q k F F F Tea niech ładunek (póbn) q najduje się w obecności obu ładunków q i q. Jaka siła diała na ładunek q? Okauje się, że siła diałająca na q jest ówna sumie wektoowej sił diałającch nieależnie e ston q i q. Jest to asada supepocji. F q F q q O. F
N i i i i N i i N q q k F F F F F ) (... ) ( Zasada supepocji nie jest cmś ocwistm! (Istnieją tw. jawiska nieliniowe.) Jest bado dobe potwiedonm faktem doświadcalnm. Gd mam N ładunków q, q,, q N omiesconch w pesteni, to siła diałająca na ładunek q dana jest woem:
Do tej po stałą popocjonalności w pawie Coulomba i we woach na siłę wpadkową onacaliśm ogólnie k. Tea oważm scególn układ jednostek. Układ SI Jednostką ładunku jest kulomb (C). e k 0.60 0 4 0 8.850 9 C 8.98750 C 9 /( N m N m ) / C penikalność dielektcna póżni
Wpowadim tea bado ważne pojęcie: pole elektcne. Jest to taka własność pesteni, że na ładunek najdując się w spocnku w danm punkcie diała siła popocjonalna do tego ładunku. Powiedm, że mam do dspocji ładunek (póbn) q, któ możem swobodnie pemiescać od punktu do punktu. Z każdm punktem pesteni możem wiąać wielkość wektoową, któa chaakteuje pole elektcne i jest definiowana jako stosunek sił diałającej w tm miejscu na ładunek q (któ musi bć w spocnku) i watości tego ładunku. Jest to natężenie pola elektcnego!
q F ) ( ) ( x F q O W scególności, gd mam N ładunków punktowch q, q,, q N omiesconch w pesteni, to natężenie pola elektcnego wtwaane pe ten układ ładunków dane jest woem: N i i i i N i i N q k q F q F F F q F ) (... ) ( ) ( natężenie pola elektcnego definicja ogólna
Podobnie, jak w mechanice, gdie oważaliśm nie tlko układ pelicalnch punktów mateialnch, ale także ciągłe okład mas (np. definicje śodka mas, c momentów bewładności) tak samo w elektostatce wgodnie jest wpowadić ciągłe okład ładunku elektcnego i odpowiednie funkcje gęstości ładunku (gęstości objętościowej, powiechniowej lub liniowej). Dla gęstości objętościowej, (x,,), ważonej w [C/m ], ładunek awat w elemencie objętości dv jest ówn dq = dv. Dla gęstości powiechniowej, σ(x,,), ważonej w [C/m ], ładunek awat w elemencie powiechni ds jest ówn dq = σ ds. Dla gęstości liniowej, λ(x,,), ważonej w [C/m], ładunek awat w elemencie długości dl jest ówn dq = λdl.
) ( ) ( ) ( dv k x P dv tójwmiaow obsa ładunkiem Ω O Dla ładunku ołożonego w obsae Ω gęstością objętościową ρ(x,,).
Dla ładunku ołożonego na powiechni S gęstością powiechniową (x,,). P x S ds ) ( ) ( ) ( ds k S dwuwmiaow obsa ładunkiem O
) ( ) ( ) ( dl k Dla ładunku ołożonego w na linii Γ gęstością liniową λ(x,,). x P dl jednowmiaow obsa ładunkiem Γ O
Pkład : pole elektcne na ewnąt jednoodnie naładowanej objętościowo kuli o pomieniu R i całkowitm ładunku Q. Podstawą obliceń jest wbó osądnej paametacji tójwmiaowego obsau wpełnionego ładunkiem współędne sfecne. Ab achunki bł najpostse, teba wacać uwagę na smetię poblemu! V {( x' ' sin cos, ' ' sin sin, ' 'cos ) R ' [0, R],, V ρ > 0 O R P [0, ], [0, ]}, R 0 x
Wstac policć pole na pkład na osi. Z smetii agadnienia oa asad supepocji wnika, że pole elektcne ma tlko składową wdłuż osi. Ile wnosi (x=0, > R, =0)? ( ) dv ( x 0, R, 0) k ( ) (0, R,0), ( ' sin cos, ' sin cos, ' cos ), dv ( ) ' d 'sin dd' Q 4 R const ' sin d' d d, dv jest ilocnem długości tech boków postopadłościanu: wdłuż południka, wdłuż ównoleżnika i wdłuż pomienia
0 0 0 4 sin sin ' ' sin ' ' sin sin ',0) (0, Q k R k d d d k R R Całka jest nietwialna, ale wnik jest taki, jak gdb cał ładunek kuli bł ładunkiem punktowm najdującm się w śodku kuli.
Pkład : pole elektcne na ewnąt jednoodnie naładowanej powiechniowo sfe o pomieniu R i całkowitm ładunku Q. S {( x' Rsin cos, ' R sin sin, ' Rcos ) R [0, ], [0, ]}, R 0, x S R O σ > 0 P
Wstac policć pole na pkład na osi. Z smetii agadnienia oa asad supepocji wnika, e pole elektcne ma tlko składową wdłuż osi. Ile wnosi (x=0, > R, =0)? ( ) ds ( x 0, R, 0) k ( ) S (0, R,0), ( Rsin cos, Rsin cos, R cos ), ds ( ) Rd R sin d Q 4 R const R sin d d, ds jest ilocnem długości dwóch łuków: wdłuż południka i wdłuż ównoleżnika
(0, R,0) k 0 4 R k 0 R k Q Rsin sin R sin d d R sin sin Całka jest nowu nietwialna, ale wnik jest taki, jak gdb cał ładunek sfe bł ładunkiem punktowm najdującm się w śodku sfe, cli w pocątku układu.
Pkład : pole elektcne pochodące od jednoodnie naładowanej liniowo nieskońcenie długiej postoliniowej nici. {( x' 0, ' 0, ' t ) R, t R } Γ O P x λ > 0
Wstac policć pole na pkład na osi. Z smetii agadnienia oa asad supepocji wnika, e pole elektcne ma tlko składową wdłuż osi. Ile wnosi (x=0, > 0, =0)? ( ) dl ( x 0, 0, 0) k (0, 0,0), (0, 0, t), t R, dl dt, ( ) const ( )
(0, 0,0) k t dt k Całka jest tm aem posta, a wnik wskauje, że watość natężenia pola elektcnego maleje odwotnie popocjonalnie do odległości od naładowanej nici. Dla nieskońcenie długiej nici wnik nie ależ od. W paktce wnik może bć użtecn, jeśli najdujem się blisko naładowanej liniowo nici, dala od jej begów.
Można też be poblemu policć pole od nici o skońconej długości, któa ociąga się w pediale [, ] na osi. Uwaga: w tm ppadku pole elektcne ma też nieeową składową w kieunku osi i teba je wnacć w dowolnm punkcie półpłascn ( > 0). Inne ppadki wnikają smetii! ) ( ) ( ) 0, 0, ( k t dt k dl k x
) ( ) ( ) 0, 0, ( k t dt t k dl k x
Jak można obaować pole wektoowe? Jednm e sposobów gaficnego pedstawienia pola elektcnego jest wsowanie linii pola. Są to linie o tej własności, że wekto natężenia pola elektcnego jest stcn do linii pola w każdm jej punkcie. Im więksa gęstość linii, tm więksa watość natężenia pola elektcnego. Linie pola dla ładunków pojedncch.
Linie pola dla dwóch ładunków o peciwnch nakach i tej samej watości bewględnej. (Układ taki nawam dipolem elektcnm.)
Linie pola dla dwóch takich samch ładunków dodatnich. Dla dwóch ównch ujemnch ładunków wot wsstkich linii błb peciwn.
Linie pola dla dwóch ładunków peciwnego naku o nieównej watości bewględnej. Lew ładunek jest dodatni, bo linie pola niego wchodą!
Polecam notebook e ston Wolfam Demonstations Poject: http://uses.uj.edu.pl/~golak/f6-7/ lecticfieldlinesduetoacollectionofpointchages-autho.nb oa moje własne podukcje http://uses.uj.edu.pl/~golak/f6-7/calki_ciagle_okład_ladunkow.nb http://uses.uj.edu.pl/~golak/f6-7/linie_pola_elektcnego.nb
Okauje się, że w kilku ważnch ppadkach można policć pole elektcne, nie kostając asad supepocji, ale wpowadając pojęcie stumienia pola elektcnego.
Stumień wielkości wektoowej ΔS Najpiew najpostsa stuacja. Zakładam, że mam do cnienia płaskim elementem powiechni ΔS, któ jest epeentowan pe wekto nomaln (postopadł do powiechni). Pole wektoowe jest stałe dla wsstkich punktów powiechni ΔS. Wówcas stumień pola wektoowego V pe powiechnię ΔS wnosi: ΔS S V Φ V V ΔS V ΔS cosα L
Pkład: V S S Φ V ΔS V S V S S 60 o Φ 0 Φ V ΔS
W ogólnm ppadku mam całkę powiechniową Całka powiechniowa dugiego odaju nietwialn jest już sam apis, gd statujem paametacji x=x(t,s), =(t,s), =(t,s)! ds Φ V V ds S ds S L
Pechodim do elektostatki Ppadek piews: Otacam pojednc ładunek Q > 0 sfeą o pomieniu R i licm stumień natężenia pola elektcnego pe tę powiechnię amkniętą. Dla każdego elementu powiechni sfe wekto nomaln wskauje na ewnąt sfe (umowa!) i jest skieowan wdłuż pomienia sfe. Q > 0 R ds
W każdm punkcie sfe natężenie pola elektcnego ma tę samą watość i jest skieowane wdłuż pomienia. Dla Q > 0: Φ Sfea Sfea ds ds Q SI 0 0 kq R Sfea ds cos0 4 R 4 k Q
o Dla Q < 0: Φ ds ds cos 80 Sfea Sfea ds Q SI 0 0 Sfea kq R 4 R 4 k Q Q < 0 R ds Stumień nie ależ od pomienia sfe, a tlko od ładunku w śodku sfe. Jest do ładunku wpost popocjonaln!
Tea weźmiem pojednc ładunek, powiedm Q > 0, i otocm go dowolną powiechnią amkniętą: Q > 0 ΔS 0 0 R 0 ΔS ΔS S S Roważając stumień ΔΦ odpowiadając bado małemu kątowi błowemu ΔΩ, dochodim do wniosku, że S S 0 S0 Całkowit stumień, po uwględnieniu pełnego kąta błowego, nie ależ od kstałtu powiechni amkniętej! Natężenie mienia się jak /, a istotna powiechnia wcinana pe ΔΩ (ΔS ) ośnie jak.
Dlatego dla dowolnej powiechni amkniętej awieającej pojednc ładunek Q : Φ ds S 4 k Q SI Q 0 Q
Ppadek teci: Q (a) Dowolna powiechnia amknięta 5 awieająca ładunki punktowe Q i Q Φ S S 4 k Q ds ds Q Q... Q SI Q 0 S S... Q ds N... N Q... tot 0 S N N ds Q 4 ds Q Q ładunek całkowit wewnąt powiechni amkniętej
Ppadek teci: (b) Powiechnia amknięta awiea obsa ociągłego ładunku o gęstości objętościowej ρ(x,,). ( x,, ) S Φ S ds 4 k ( x,, ) dv SI Q tot 0 Ppadek cwat: Powiechnia amknięta nie awiea żadnego ładunku (choć na powiechni natężenie pola elektcnego nie nika!) Q 0 Φ S ds 0
Podsumowanie, cli pawo Gaussa: Stumień natężenia pola elektcnego pe dowolną powiechnię amkniętą, obejmującą dowoln okład ładunku jest nieależn od kstałtu tej powiechni i ależ jednie od wielkości ładunku położonego wewnąt powiechni. Uwaga: Pawo Gaussa jest awse spełnione, ale nie awse użtecne! Ab pawa Gaussa uskać infomacje o wektoe natężenia pola elektcnego, okład ładunku musi bć odpowiednio smetcn.
Pawa Gaussa nie można wkostać na pkład do policenia natężenia pola elektcnego pochodącego od jednoodnie naładowanego seścianu, bo nie istnieje powiechnia, na któej wekto natężenia pola elektcnego miałb stałą watość i stał kieunek wględem powiechni!?
Pawa Gaussa można wkostać do naleienia natężenia pola elektcnego pochodącego od: jednoodnie naładowanej powiechniowo nieskońconej płascn, jednoodnie naładowanego objętościowo nieskońcenie długiego walca o pomieniu R (na ewnąt i wewnąt walca), jednoodnie naładowanej powiechniowo powiechni bocnej nieskońconego walca o pomieniu R (na ewnąt i wewnąt powiechni walca), jednoodnie naładowanej liniowo nieskońcenie długiej postoliniowej nici, jednoodnie naładowanej objętościowo kuli o pomieniu R (na ewnąt i wewnąt kuli), jednoodnie naładowanej powiechniowo sfe o pomieniu R (na ewnąt i wewnąt sfe), ładunku punktowego (gdb pawo Gaussa bło nane ped pawem Coulomba )
Wacam do jednoodnie naładowanej objętościowo kuli o pomieniu R i całkowitm ładunku Q. (a) Natężenie pola elektcnego na ewnąt kuli. Otacam kulę ładunkiem fikcjną sfeą o pomieniu > R i śodku w śodku naładowanej kuli. Z smetii wnika, że w każdm punkcie sfe o pomieniu natężenie pola elektcnego ma tę samą watość i jest skieowane wdłuż pomienia. Ponieważ cał ładunek jest objęt sfeą o pomieniu, pawa Gaussa R dostajem: x ρ > 0 O V P Φ S ds kq 4 4 kq
(b) Natężenie pola elektcnego wewnąt kuli. Fikcjna sfea ma tea pomieniu < R i śodek w śodku naładowanej kuli. Z smetii wnika, że w każdm punkcie sfe o pomieniu natężenie pola elektcnego ma tę samą watość i jest skieowane wdłuż pomienia. Sfea o pomieniu obejmuje tlko cęść ładunku kuli: 4, 4 4 4 4 R Q R kq k k ds Φ S R ρ O
Z smetii agadnienia i pawa Gaussa wnika, że natężenie pola elektcnego wewnąt jednoodnie powiechniowo naładowanej sfe wnosi eo! Φ ds 4 0 0 S O wew Q 0 R 0