INTERPOLACJA
Defiicja iterpolacji
Defiicja iterpolacji 3
Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję W(x) spełiającą waruki: W ( x ) 0 0 W ( x ) y y 1 1 f ( x ) i y i W ( x ) i y i f ( x ) y W ( x ) y 4
Wyzaczeie fukcji W(x) Defiicja iterpolacji Dobór w postaci kombiacji liiowej + 1 fukcji bazowych Fukcje bazowe: 0 (x), 1 (x), 2 (x),..., i (x),..., (x) Wielomia uogólioy: W ( x) a ( x) i0 i i a i - współczyiki 5
Defiicja iterpolacji Wprowadzając: Macierz bazową: Macierz współczyików: Φ ( x), ( x), ( x),..., ( x) A T 0 1 2 a0, a1, a2,..., a Wielomia uogólioy moża zapisać w postaci: W( x) Φ( x) A 6
Defiicja iterpolacji Waruek, który musi spełić wielomia iterpolacyjy, czyli: W ( x ) y i 0,1,2,..., i i Moża zapisać w postaci macierzowej: XA Y gdzie: A macierz kolumowa współczyików o ( + 1) wierszach Y macierz kolumowa wartości fukcji o ( + 1) wierszach X macierz o wymiarach ( + 1) ( + 1) 7
Defiicja iterpolacji Postać macierzy X i Y: X 0( x0) 1( x0)... ( x0) 0( x1 ) 1( x1 )... ( x1 )............ 0( x) 1( x)... ( x) y y Y y 0 1 8
Defiicja iterpolacji 1 Jeżeli det X 0 to: A X Y Podstawiając powyższy wzór do W( x) Φ( x) Wielomia iterpolacyjy: A otrzymuje się: 1 W ( x) Φ( x) X Y gdzie: (x) macierz bazowa X 1 macierz iterpolacyja wektor wartości fukcji w węzłach Y 9
Iterpolacja wielomiaowa (wielomiay w postaci aturalej)
Iterpolacja wielomiaowa Baza: x x x x x x x 2 0( ) 1, 1( ), 2( ),..., ( ) Postać wielomiau iterpolacyjego: W x a a x a x a x 2 ( ) 0 1 2... 11
Przy spełioym waruku: a a x a x... a x y 2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 1 1 2 1... 1 1 a a x a x a x y Iterpolacja wielomiaowa a a x a x... a x y 2 0 1 2 Te układ rówań, jeżeli wartości x 0, x 1,..., x są miedzy sobą róże posiada jedo rozwiązaie względem a i. Wyika to stąd, że wyzaczik macierzy X: 1 x... 0 0 1 x1 1 x... det X ( xi xj) 0............ 1 x... x x i j 12
Iterpolacja wielomiaowa Wady: Iterpolacja wielomiaowa ie jest zbyt efektywa, poieważ macierz X jest macierzą pełą błędy przy odwracaiu (oraz czas odwracaia) Macierz X ie zawsze jest dobrze uwarukowaa może być osobliwa 13
Iterpolacja wielomiaowa Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (1,3) ( 2,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 2 2 14
0 1 2 x0 x0 x 0 a0 y0 0 1 2 x1 x1 x 1 a 1 y 1 0 1 2 x2 x2 x 2 a2 y2 0 2 1 1 1 a0 3 0 1 2 ( 2) ( 2) ( 2) a 1 5 0 1 2 4 4 4 a2 7 1 1 1 a0 3 1 2 4 a 5 1 1 4 16 a2 7 X A Y Iterpolacja wielomiaowa 15
Iterpolacja wielomiaowa det X 54 0 jest jedo rozwiązaie Korzystając z: 1 A X Y otrzymujemy: 1 1 a0 3, a1, a2 3 3 Wielomia iterpolacyjy: W ( x) a a x a x 0 1 2 1 1 W ( x) 3 x x 3 3 2 2 16
Iterpolacja Lagrage a
Iterpolacja Lagrage a Baza: ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 0 1 2 3 ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 1 0 2 3... i ( x) ( x x0 ) x x1 x xi 1 x xi 1 x x ( )...( )( )...( )... ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 0 1 2 1 dla każdej i (x), i = 0, 1,..., brakuje składika (xx i ) 18
Iterpolacja Lagrage a Postać wielomiau iterpolacyjego: W ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) 0 0 1 1 a ( x x )( x x )...( x x ) 0 1 2 a ( x x )( x x )...( x x )... 1 0 2 a( x x0 )( x x1 )...( x x 1) 19
Iterpolacja Lagrage a Macierz X: X 0( x0) 0 0 0 0 1( x1) 0 0 0 0 2( x2) 0 0 0 0 ( x) w pukcie x = x i wszystkie fukcje oprócz i (x) zerują się, bo występuje w ich składik (x x i ) 20
Iterpolacja Lagrage a Współczyiki wielomiau Lagrage a wyzacza się ze wzoru: XA Y Poieważ macierz X ma tylko główą przekątą iezerową to: a a 0 1 y0 y0 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 0 1 0 2 0 0 0 y1 y1 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 1 0 1 2 1 1 1 a y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 0 1 1 21
Czyli wielomia iterpolacyjy możemy zapisać jako: Iterpolacja Lagrage a W ( x) ( x) i yi i0 i xi ( ) lub: ( x x ) j ji i i0 xi xj ji W ( x) y, j 0,1,..., ( ) 22
Iterpolacja Lagrage a Przykład Dla podaych węzłów zapisać wielomia iterpolacyjy Lagrage a. Węzły: (1,3) ( 2,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 2 2 23
Iterpolacja Lagrage a ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) W ( x) y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 0 2 0 1 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) W( x) 3 5 7 (1 2)(1 4) ( 2 1)( 2 4) (4 1)(4 2) Licziki ułamków to fukcje bazowe, reszta to współczyiki wielomiau iterpolacyjego 24
Różice skończoe
Różice skończoe Dla fukcji stabelaryzowaej przy stałym kroku h = x i+1 x i wprowadza się pojęcie różicy skończoej rzędu k y y y i i1 i 2 yi yi yi 1 yi yi2 2yi 1 yi k k k 1 k 1 k 1 j k y i y i yi 1 y i ( 1) j yik 1 j0 26
Różice skończoe Na podstawie zbioru wartości fukcji y i = f(x i ), x i+1 x i = h = cost buduje się tablicę różic skończoych r x y y 2 y 3 y 0 x 0 y 0 y 0 2 y 0 3 y 0 1 2 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 1 2 y 1 2 y 2 3 y 3 x y 27
Różice skończoe Przykład Dla podaych węzłów zbudować tablicę różic skończoych Węzły: (0.2, 0.259) (0.4, 0.364) (0.6, 0.448) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 0 0 1 1 2 2 (0.8, 0.517) (1, 0.577) (1.2, 0.631) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) 3 3 4 4 5 5 28
Różice skończoe r x y y 2 y 3 y 4 y 5 y 0 0.2 0.259 0.105 0.021 0.006 0 0.003 1 0.4 0.364 0.084 0.015 0.006 0.003 2 0.6 0.448 0.069 0.009 0.003 3 0.8 0.517 0.06 0.006 4 1.0 0.577 0.054 5 1.2 0.631 29
Różice skończoe Własości różic skończoych (wyikające z defiicji): y C y 0 y Cf ( x) y Cf ( x) y f ( x) y Cf ( x) k k k ( ) 1... y x y x h x hx h y a a x... a x y b b x... b x 0 1 0 1 1 1 30
Różice skończoe Twierdzeie (wyikające z ostatiej własości): Jeżeli f(x) jest wielomiaem stopia, to różica skończoa rzędu tej fukcji jest stała, a koleje zerami. Prawdziwe jest rówież twierdzeie odwrote. 31
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Dla zbioru węzłów: x0, x1 x0 h, x2 x0 2 h,..., x x0 h dae są wartości fukcji: f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2),..., f ( x ) 33
Wielomia iterpolacyjy: Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych W ( x) a a q a q( q 1) a q( q 1)( q 2)... 0 1 2 3 a q( q 1)( q 2)...( q 1) q x x 0 h Dla: 0 x x : q 0 x x : q 1 1 x x : q 2 2 x x : q 34
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Fukcje bazowe: 0 1 2 3 ( x) 1 ( x) q ( x) q( q 1) ( x) q( q 1)( q 2) ( x) q( q 1)( q 2)( q 3) ( q 1) 35
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Postać układu rówań, z którego wyzacza się współczyiki: 1 0 0 0 0 a0 y0 1 1 0 0 0 a 1 y 1 1 2 2 0 0 a y 2 2 1 3 6 6 0 a3 y3 1 ( 1) ( 1)( 2)! a y 36
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych a y 0 0 a a y a y 0 1 1 1 0 a 2a 2a y a 0 1 2 2 2 a 3a 6a 6a y a 0 1 2 3 3 3 2 y 2! 3 y 3! 0 0 a a ( 1) a! a y a 0 1 2 y! 0 37
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych I. Wzór iterpolacyjy Newtoa q( q 1) q( q 1)...( q 1) W ( x) y qy y... y 2!! 2 0 0 0 0 38
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Zaleźć wielomia iterpolacyjy stopia 3. dla daych z poprzediego przykładu (różice skończoe). Wykorzystujemy tablicę różic skończoych zbudowaą w poprzedim przykładzie x0 0.2 x x0 x 0.2 q 5x1 h 0.2 39
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych q( q 1) q( q 1)( q 2) W ( x) y qy y y 2! 3! 2 3 0 0 0 0 (5x1)(5 x2) W ( x) 0.259 (5x 1) 0.105 ( 0.021) 2 (5x 1)(5 x 2)(5x 3) 0.006 6 W x x x x 3 2 ( ) 0.125 0.412 0.7375 0.127 40
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Oblicz wartość fukcji w pukcie pośredim tabeli (tablicy różic skończoych z poprzedich przykładów) dla x = 0.7 z dokładością do 2 Przyjmujemy: x0 0.6 q x x0 0.7 0.6 h 0.2 0.5 41
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych qq ( 1) W ( x) y qy y 2! 2 0 0 0 0.5 ( 0.5) W( x) 0.448 0.50.069 ( 0.009) 0.483625 2 Zadaie ie jest wykoywale p. dla x = 1.1 brakuje różic skończoych 42
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych I. wzór iterpolacyjy Newtoa iterpolacja w przód II. wzór iterpolacyjy Newtoa iterpolacji wstecz 43
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Wielomia iterpolacyjy: W ( x) a a q a q( q 1) a q( q 1)( q 2)... 0 1 2 3 a q( q 1)( q 2)...( q 1) q x x h Współczyiki wielomiau a 0,..., a wyzaczae są idetyczie 44
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych II. Wzór iterpolacyjy Newtoa q( q 1) q( q 1)...( q 1) W ( x) y qy y... y 2!! 2 1 2 0 45
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych Przykład Oblicz wartość fukcji w pukcie pośredim tabeli (tablicy różic skończoych z poprzedich przykładów) dla x = 1.1 z dokładością do 2 Przyjmujemy: x 1.2 q x x 1.11.2 0.5 h 0.2 46
Wzory iterpolacyje dla argumetów rówoodległych qq ( 1) W ( x) y qy y 2! 2 1 2 ( 0.5) 0.5 W( x) 0.631 ( 0.5) 0.054 ( 0.006) 0.60475 2 47