nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste. 1. x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) = x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), 2. x = (x 1, x 2,..., x n ), a R = a x = (ax 1, ax 2,..., ax n ). Wektor 0 = (0,..., 0) nazywamy wektorem zerowym. Przykład 1. 5(2, 3, 2, 1) + 2( 2, 0, 4, 3) = (10, 15, 10, 5) + ( 4, 0, 8, 6) = (6, 15, 2, 1).
Liniowa zależność i niezależność wektorów Definicja 2. Kombinacją liniową wektorów v 1,..., v k nazywamy wektor v = a 1 v 1 +... + a k v k, gdzie a 1,..., a k R. Definicja 3. Wektory v 1,..., v k są liniowo zależne, jeśli istnieją a 1,..., a k R takie, że a 1 v 1 +... + a k v k = 0, oraz a i 0 dla pewnego i {1,..., k}. Uwaga 1. Jeśli powyżej a 1 0, to v 1 = a 2 a 1 v 2... a k a 1 v k, czyli jeden wektor wyraża jako kombinacja liniowa pozostałych. Przykład 2. Wektory (1, 2, 3), (4, 1, 2), (6, 3, 8) są liniowo zależne (6, 3, 8) = 2(1, 2, 3) + (4, 1, 2).
Definicja 4. Wektory są liniowo niezależne, jeśli nie są liniowo zależne. Zatem nie istnieją a 1,..., a k R takie, że a 1 v 1 +... + a k v k = 0, oraz (1) a i 0, dla pewnego i {1,..., k}. (2) Czyli nie mogą być spełnione jednocześnie warunki (1), (2). Fakt 1. Wektory v 1,..., v k są liniowo niezależne, jeśli prawdziwe jest stwierdzenie: Jeśli dla liczb a 1,..., a k R zachodzi równość a 1 v 1 +... + a k v k = 0, to a 1 =... = a k = 0. Przykład 3. Zbadać niezależnośc wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (1, 2, 2, 1), w = (0, 1, 2, 2). Rozwiązanie: Niech liczby a, b, c będą takie, że a(1, 1, 1, 1) + b(1, 2, 2, 1) + c(0, 1, 2, 2) = 0.
Czyli (a+b, a+2b+c, a+2b+2c, a+b+2c) = (0, 0, 0, 0). Dostajemy układ równań a + b = 0 a + 2b + c = 0 a + 2b + 2c = 0 a + b + 2c = 0 Jedynym rozwiązaniem tego układu jest a = b = c = 0. Zatem wektory u, v, w są liniowo niezależne.
Podprzestrzenie liniowe Definicja 5. Zbiór wektorów V zawarty w przestrzeni liniowej R n nazywamy podprzestrzenią liniową jeśli spełnione są warunki: 1. V jest niepusty, 2. jeśli v V oraz a R = a v V, 3. jeśli u, v V = u + v V. Uwaga 2. Warunki 2. i 3. można zastąpić warunkiem: u, v V, a, b R = a u + b v V. Przykład 4. Zbiór V = {(x, y) R 2 : x+y = 1} nie jest przestrzenią liniową. (1, 0) V oraz (0, 1) V, ale (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) V.
Przykład 5. Sprawdzić czy jest V R 3 podprzestrzenią liniową, jeżeli V = {(x, y, z) R 3 : x + 2y z = 0. 1. 0 V V jest niepusty. 2. niech v = (v 1, v 2, v 3 ) V oraz a R. Wtedy a v = (av 1, av 2, av 3 ). Ponieważ av 1 +2av 2 av 3 = a(v 1 +2v 2 v 3 ) = a 0 = 0, to a v V. 3. niech u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) V. Wtedy bo u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ) V, u 1 + v 1 + 2(u 2 + v 2 ) (u 3 + v 3 ) = (u 1 + 2u 2 u 3 ) + (v 1 + 2v 2 v 3 ) = 0 + 0 = 0.
operacja lin Definicja 6. Niech v 1, v 2,..., v k będą wektorami w przestrzeni liniowej V R n. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1, v 2,..., v k oznaczamy lin{ v 1, v 2,..., v k }. Mamy zatem lin{ v 1, v 2,..., v k } = k m=1 α m v m : α k R. Przykład 6. Niech A = {(3, 5)} R 2. Wtedy lin A = {x(3, 5): x R} = {(3x, 5x): x R} Przykład 7. Niech B = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} R 3. Wtedy lin B = {x(1, 0, 0) + z(0, 0, 1): x, y R} = {(x, 0, z): x, z R}. Czyli lin B = płaszczyzna Oxz.
Fakt 2. Niech A i B zbiory wektorów w przestrzeni R n. Wtedy 1. Jeżeli A B to lin A lin B 2. lin A jest podprzestrzenią liniową R n i jest to najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca A. Ćwiczenie 1. Znaleźć najmniejszy zbiór A (w sensie liczby elementów) taki, że lin A = {(x, y, z) R 3 : x = 2y + z}. Rozwiązanie. {(x, y, z) R 3 : x = 2y + z} = {(2y + z, y, z) R 3 : y, z R} = {(2y, y, 0) + (z, 0, z) R 3 : y, z R} = {y(2, 1, 0) + z(1, 0, 1) R 3 : y, z R} = lin{(2, 1, 0), (1, 0, 1)}. Zatem A = {(2, 1, 0), (1, 0, 1)}. Uwaga 3. To jest dobra metoda pokazywania, że coś jest podprzestrzenią liniową!
baza i wymiar Przykład 8. Rozważmy zbiór B = {1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} R 3. Niech v = (x, y, z) R 3. Mamy wtedy (x, y, z) = x(1, 1, 0)+(y x z)(0, 1, 0)+z(0, 1, 1). Czyli każdy wektor należący do R 3 jest kombinacją liniową wektorów ze zbioru B. Ponadto B jest liniowo niezależny. Taki zbiór nazywamy bazą przestrzeni liniowej. Definicja 7. Bazą przestrzeni liniowej V R n nazywamy zbiór B, który jest 1. liniowo niezależny, 2. lin B = V (B generuje całą podprzestrzeń).
Baza standardowa R n : e 1 = (1, 0,..., 0) e 2 = (0, 1,..., 0). e n = (0, 0,..., 1) Fakt 3. Jeśli baza przestrzeni liniowej V R n składa się z n wektorów, to każda inna baza też składa sie z n wektorów. Definicja 8. Wymiarem przestrzeni V nazywamy ilość wektorów w bazie przestrzeni V i oznaczamy dim V Mamy oczywiście dim R n = n Fakt 4. Jeśli przestrzeń liniowa V jest wymiaru n, to każdy układ n liniowo niezależnych wektorów tworzy bazę V.
Fakt 5. n wektorów v 1 = (v 11, v 12,..., v 1n ) v 2 = (v 21, v 22,..., v 2n ). v n = (v n1, v n2,..., v nn ) w przestrzeni R n jest liniowo niezależnych wtedy i tylko wtedy gdy v 11 v 12... v 1n v 21 v 22... v 2n...... v n1 v n2... v nn 0 Wniosek 1. Jeśli powyższy wyznacznik jest różny od zera, to wektory v 1,..., v n stanowią bazę R n Wniosek 2. Każdy układ wektorów liniowo niezaleznych w przestrzeni V R n mozna uzupełnic do bazy przestrzeni V.
Współrzędne wektora w bazie Przykład 9. Rozważmy zbiór B = {1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} R 3. Niech u = (4, 8, 3) R 3. Mamy wtedy (4, 8, 3) = 4(1, 1, 0)+7(0, 1, 0)+( 3)(0, 1, 1). Liczby [4, 7, 3] nazywamy współrzędnymi wektora u w bazie B. Definicja 9. Niech B = { v 1, v 2,..., v k } będzie bazą przestrzeni V R n. Współrzędnymi wektora u w bazie B nazywamy współczynniki α i R, gdy u = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α k v k Uwaga 4. Normalnie wektory piszemy w bazie standardowej R n.