Krzyszof Borowski, Paweł Skrzypczyński Szkoła Główna Handlowa Analiza spekralna indeksów giełdowych DJIA i WIG 1 Wprowadzenie We współczesnych analizach ekonomicznych doyczących pomiaru cyklu koniunkuralnego bardzo popularnym podejściem sała się procedura polegająca na wyizolowaniu z wejściowego zesawu danych, pewnego komponenu, kórego przebieg obrazuje oscylacje o określonej charakerysyce częsoliwościowej Esymacja owego komponenu polega na usunięciu określonego pasma częsoliwości z zw spekrum mocy wejściowego szeregu czasowego za pomocą filra o odpowiedniej charakerysyce częsoliwościowej Spekrum mocy (widmo mocy) jes o funkcja w dziedzinie częsoliwości, kóra sanowi rozkład wariancji szeregu czasowego w ej dziedzinie (por Hamilon (1994), s 152) Spekrum mocy jes zdefiniowane w przypadku sacjonarnego szeregu czasowego jako ransformaa Fouriera jego ciągu auokowariancyjnego, w przypadku szeregów niesacjonarnych mówi się o zw pseudospekrum mocy Filry umożliwiają esymację komponenu długookresowego rendu, komponenu obrazującego wahania koniunkuralne czy eż komponenu obrazującego wahania sezonowe i losowe W przypadku esymacji rendu wykorzysywany jes filr dolnoprzepusowy, kóry opuszcza zakres niskich częsoliwości i usuwa częsoliwości wysokie Filr górno-przepusowy ma działanie odwrone do filra dolno-przepusowego, usuwa częsoliwości niskie i pozosawia wysokie, w wyniku, czego uzyskany komponen obrazuje wahania pojawiające się wokół długookresowego rendu Filr pasmowo-przepusowy również umożliwia esymację wahań pojawiających się wokół długookresowego rendu, jednakże pozbawionych wahań o charakerze sezonowym i losowym Filr pasmowo-przepusowy pozosawia określone pasmo częsoliwości i usuwa jego dopełnienie Najpopularniejszymi filrami służącymi do pomiaru cyklu koniunkuralnego, są pasmowo-przepusowy filr Baxer-Kinga (por Baxer M, King R G (1995)) i górno-przepusowy filr Hodricka-Prescoa (por Hodrick R J, Presco E C (1997)) Celem niniejszej pracy jes analiza indeksów giełdowych Dow Jones Indusrial Average (DJIA) oraz Warszawskiego Indeksu Giełdowego (WIG) pod kąem idenyfikacji cykli mających dominujący wpływ na kszałowanie obserwowanego przebiegu indeksów Prezenowana analiza sprowadza się kolejno do dekompozycji przyjęych szeregów czasowych na podsawowe składowe za pomocą odpowiednich filrów ypu Baxer-Kinga i Hodricka-Prescoa, a nasępnie przedsawienia uzyskanych komponenów cyklicznych w dziedzinie częsoliwości i określenia na ej podsawie długości cykli, mających dominujące znaczenie w opisywaniu analizowanych szeregów czasowych W analizie przyjęo podział szeregu czasowego na rzy składowe, zn: komponen długookresowego rendu (wahania długookresowe) komponen zawierający wahania koniunkuralne (wahania średniookresowe) komponen zawierający wahania sezonowe i losowe (wahania krókookresowe) W przypadku filra Hodricka-Prescoa, kóry jes filrem górno-przepusowym komponen cykliczny obrazuje łączny efek wahań o charakerze koniunkuralnym, sezonowym i losowym W analizie przyjęo, iż pasmo wahań koniunkuralnych odpowiada definicji A F Burnsa oraz W C Michella (1946), mówiącej o długościach cyklu koniunkuralnego pomiędzy 6 a 32 kwarałami, zn pomiędzy 1,5 roku a 8 laami (por Baxer M, King R G (1995), s 8) W - 1 -
konsekwencji komponen zawierający wahania koniunkuralne odpowiada cyklom o długościach od 1,5 roku do 8 la, długookresowy rend o wahania o długościach wyższych niż 8 la, naomias komponen zawierający wahania sezonowe i losowe o cykle o długościach krószych niż 1,5 roku Analizowane szeregi czasowe oraz uzyskane w wyniku dekompozycji składowe cykliczne zosały również poddane esowaniu sacjonarności Wykorzysano w ym celu es pierwiaska jednoskowego (ang uni roo es), rozszerzony es Dickeya-Fullera (es ADF) 2 Analiza indeksu Dow Jones Indusrial Average w laach 1896 24 Indeks DJIA jes głównym wskaźnikiem giełdy papierów warościowych w Nowym Jorku (ang New York Sock Exchange) i równocześnie sanowi najważniejszy wskaźnik obrazujący zachowanie amerykańskiego rynku kapiałowego Dla porzeb analizy przyjmujemy, iż indeks DJIA będzie rozparywany na danych kwaralnych W związku z powyższym, przyjęy szereg czasowy obejmuje okres od II kwarału 1896 roku do IV kwarału 24 roku i składa się z 435 obserwacji, będących kursami zamknięcia indeksu DJIA na osaniej sesji giełdowej danego kwarału Oznaczmy en szereg czasowy przez 435 P, gdzie 1 P oznacza kurs zamknięcia indeksu na koniec -ego kwarału Dla celów analizy przyjęo, że indeks zosanie przedsawiony w układzie skumulowanej logarymicznej sopy zwrou, zn rozparujemy szereg czasowy x 435, gdzie x ln P P ln P P 1 1 ln 1 Rozważmy nasępującą dekompozycję, szereg czasowy x zosał rozbiy na rzy składowe S1, i S3, zn x S1 S3 Komponen S1 jes wynikiem zasosowania dolno-przepusowego filra Baxer-Kinga, kóry opuszcza wahania o okresach dłuższych niż 32 kwarały ( T 32), a więc jes o komponen rendu Komponen wynika z zasosowania pasmowo-przepusowego filra Baxer-Kinga, kóry opuszcza wahania o okresach pomiędzy 6 a 32 kwarałami ( 6 T 32 ), a więc jes o komponen zawierający wahania koniunkuralne Z kolei komponen S3 jes efekem zasosowania górno-przepusowego filra Baxer-Kinga, kóry opuszcza wahania o okresach krószych niż 6 kwarałów ( T 6 ), a więc jes o komponen zawierający szum składający się z wahań sezonowych i losowych Przy konsrukcji wszyskich filrów Baxer-Kinga wykorzysano 12 opóźnień w czasie Powyższe usawienia odpowiadają ym sugerowanym przez auorów filra dla danych kwaralnych (por Baxer M, King R G (1995), s 8) Dodajmy, że szeregi czasowe komponenów uzyskanych przyjęymi filrami Baxer-Kinga składają się z 411 obserwacji Rysunek 21 przedsawia kolejno szereg czasowy x i komponen S1, komponen, komponen S3 oraz komponen S3, kóry zawiera wahania koniunkuralne, sezonowe i losowe, innymi słowy jes o wynik zasosowania górno-przepusowego filra Baxer-Kinga dla K 12, kóry opuszcza wahania o okresach krószych niż 32 kwarały ( T 32) Rysunek 21 DJIA i jego składowe uzyskane za pomocą filra Baxer-Kinga 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 x S1,6,4 - -,4 -,6 -,8 1 2 3 4-2 -
,4,3,1 -,1 - -,3 1 2 3 4 S3,8,6,4 - -,4 -,6 -,8-1, 1 2 3 4 +S3 Podobną dekompozycję szeregu czasowego x przeprowadzamy przy użyciu filra Hodricka- Prescoa, wówczas szereg x jes sumą komponenu rendu d i komponenu cyklicznego c, zn x d c Przyjęy paramer wygładzający filra Hodricka-Prescoa wynosi 16 1, a więc odpowiada usawieniom przyjęym przez auorów dla danych kwaralnych (por Hodrick R J, Presco E C (1997), s 4) Dla parameru 16, komponen d wynika z zasosowania dolno-przepusowego filra Hodricka-Prescoa, kóry opuszcza wahania o okresach dłuższych niż 39,7 kwarału ( T 39, 7) (por Maravall A, del Rio A (21), s 18) Nauralnie komponen c jes wówczas wynikiem zasosowania górno-przepusowego filra Hodricka-Prescoa, kóry opuszcza wahania o okresach krószych niż 39,7 kwarału ( T 39, 7) Szeregi czasowe komponenów uzyskanych filrem Hodricka-Prescoa składają się z 435 obserwacji, ak jak szereg czasowy x Rysunek 22 przedsawia kolejno szereg czasowy x i komponen d oraz komponen c Nauralnie składowa d ma zbliżony przebieg do składowej S1, naomias składowa c ma zbliżony przebieg do składowej S3 Rysunek 22 DJIA i jego składowe uzyskane za pomocą filra Hodricka-Prescoa 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 x d,8,6,4 - -,4 -,6 -,8-1, -1,2 1 2 3 4 c Szereg czasowy x i jego składowe cykliczne zosały nasępnie poddane esowi ADF (ang augmened Dickey-Fuller), kórego hipoeza zerowa zakłada wysępowanie pierwiaska jednoskowego, a więc zakłada niesacjonarność badanego szeregu czasowego, wobec hipoezy 1 Pod pojęciem parameru wygładzającego w filrze Hodricka-Prescoa należy rozumieć dodanią wielkość deerminującą rozgraniczenie pomiędzy komponenem rendu a komponenem cyklicznym szeregu czasowego w dziedzinie częsoliwości Wybór parameru decyduje o częsoliwości rozdzielającej szereg na rend i cykl, a więc ym samym decyduje o gładkości uzyskiwanego rendu W przypadku, gdy, mamy do czynienia z coraz lepszym dopasowaniem rendu do obserwowanego szeregu czasowego (rend nieliniowy), naomias w przeciwnym przypadku, gdy, rend saje się rendem liniowym - 3 -
alernaywnej zakładającej jego sacjonarność Tes ADF we wszyskich przypadkach zosał przeprowadzony na podsawie równania regresji bez sałej (zw dryfu) i rendu deerminisycznego, posaci K x x 1 k k x k 1, gdzie x jes badanym szeregiem czasowym (por Syczewska E M (1999), s 37) Opymalna liczba opóźnień K zosała usalona w każdym przypadku na podsawie minimalizacji informacyjnego kryerium Schwarza Odrzucenie hipoezy zerowej na rzecz alernaywnej oznacza, że badany szereg czasowy jes zinegrowany w sopniu zero i odbywa się wówczas, gdy warość saysyki ADF jes mniejsza niż odpowiednia dla danego poziomu isoności warość kryyczna Saysyka ADF jes obliczana jako iloraz -Sudena dla oszacowanego MNK parameru Wyniki esu ADF dla poziomu isoności, 5 zosały zamieszczone w abeli 21 Tabela 21 Tes ADF dla DJIA i jego składowych przy poziomie isoności, 5 szereg saysyka ADF warość kryyczna decyzja - H wniosek I 1 x 2,327647-1,94157 przyjęa x -19,971134-1,941572 odrzucona I -6,18114-1,941628 odrzucona I S3-7,74148-1,941634 odrzucona I 2 S -9,711228-1,941619 odrzucona I c -9,14427-1,941575 odrzucona I S 3 Jedynie w przypadku szeregu czasowego x nie było podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o wysępowaniu pierwiaska jednoskowego Z kolei esowanie pierwszych przyrosów x doprowadziło do odrzucenia hipoezy zerowej, a w związku z ym szereg ~ I jes sacjonarny, naomias szereg 1 x ~ I jes niesacjonarny Również w przypadku składowych cyklicznych, S3, S3 oraz c, hipoeza zerowa zosała odrzucona, co wskazuje na zinegrowanie badanych komponenów w sopniu zero, a więc komponeny e są sacjonarne Analiza spekralna uzyskanych komponenów umożliwi idenyfikację cykli mających dominujące znaczenie w opisywaniu zmienności indeksu DJIA 2 Prezenowane periodogramy szeregów czasowych zosały przedsawione dla znormalizowanych dyskrenych częsoliwości f j j n gdzie j 1,2,, n 1 2 i n odpowiada liczbie obserwacji szeregu czasowego Należy zaznaczyć, że z uwagi na niesacjonarność szeregu czasowego x, odpowiadający mu periodogram powinien być rakowany jako pseudo-spekrum mocy Rysunek 23 przedsawia periodogram szeregu czasowego x Nauralnie z uwagi na obecność rendu, większość wariancji szeregu x jes skupiona w paśmie niskich częsoliwości Nauralnym wnioskiem w ym przypadku jes swierdzenie, iż dominujące znaczenie w opisywaniu zmienności indeksu DJIA odgrywa rend, ma on najsilniejszy wpływ na kszałowanie przebieg szeregu x x 2 Podsawowa miara analizy spekralnej, czyli spekrum mocy (bądź jego znormalizowana wersja, czyli funkcja gęsości spekralnej) przyjmuje wysokie warości w przypadku częsoliwości, kóre odpowiadają długościom cykli mających największy wpływ na kszałowanie przebiegu analizowanego szeregu czasowego Innymi słowy cykle e wnoszą największy wkład do całkowiej wariancji szeregu czasowego Na wykresie periodogramu jes o zobrazowane wyróżniającymi się na le pozosałych częsoliwości pikami, czyli isonie wysokimi warościami periodogramu - 4 -
Rysunek 23 Periodogram DJIA 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 Rozważmy nasępnie periodogramy składowych cyklicznych indeksu DJIA Zauważmy, że są o składowe, kórych wariancje nie są powiązane z pasmem niskich częsoliwości Rysunek 24 przedsawia kolejno periodogramy składowych, S3, S3 oraz c Rysunek 24 Periodogramy składowych cyklicznych DJIA 7 35 S3 6 3 5 25 4 2 3 15 2 1 1 5 7 +S3 7 c 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Jako pierwszy przeanalizujemy periodogram składowej częsoliwości koniunkuralnych, f 1 32,1 6-5 - W paśmie znormalizowanych, wysępuje wyraźny pik dla częsoliwości f 29 76 Dodajmy, że częsoliwości f j odpowiada okres T n j W związku z ym częsoliwości f 29 odpowiada okres T 411 29 14, 17 kwarału (3,54 roku) Cykl o ym okresie ma znaczący wpływ na kszałowanie szeregu czasowego x w paśmie wahań koniunkuralnych (składowa ma największą moc dla częsoliwości o okresie 3,54 roku) Nauralnie isnieją akże mniej wyraźne piki dla innych częsoliwości, kóre wiążą się z cyklami o mniejszej mocy niż cykl o okresie 3,54 roku Analogiczne wnioski płyną z analizy periodogramu sumy składowych i S3 Nauralnie periodogram składowej S3 ma
zbliżony przebieg do periodogramu składowej c Analiza periodogramu składowej c prowadzi do podobnych wniosków jak w przypadku składowej i S3 Periodogram składowej c wskazuje na dwa isone piki w paśmie częsoliwości f 1 397,1 2, pierwszy z nich wysępuje dla częsoliwości f 11, 253, kórej odpowiada okres T 435 11 39, 55 kwarału (9,89 roku), naomias drugi dla częsoliwości f 31, 713, kórej odpowiada okres T 435 31 14,3 kwarału (3,51 roku) Jeżeli chodzi o periodogram składowej S3, o należy zaznaczyć, że jego inerpreacja jes dosyć skomplikowana z uwagi na dużą liczbę pików W celu uławienia inerpreacji periodogramu składowej S3, jak również periodogramów pozosałych składowych cyklicznych, rozważmy esymację spekrum mocy za pomocą wygładzania periodogramu w dziedzinie częsoliwości Rysunek 25 przedsawia kolejno spekra mocy składowych, S3, S3 oraz c, kóre zosały uzyskane dzięki zasosowaniu okna rójkąnego o szerokości pasma h 3 Rysunek 25 Spekra mocy składowych cyklicznych DJIA (okno rójkąne dla h 3) 25 2 15 1 5 S3 18 16 14 12 1 8 6 4 2 +S3 3 25 2 15 1 5 c 4 35 3 25 2 15 1 5 Uzyskane spekrum mocy składowej wskazuje na rzy dominujące cykle w obrębie pasma częsoliwości koniunkuralnych Pierwszy z ych cykli jes powiązany z pikiem dla częsoliwości f 11, 268, kórej odpowiada okres T 411 11 37, 36 kwarału (9,34 roku) Cykl en ma okres leżący powyżej górnej granicy okresu wahań koniunkuralnych (8 la) Drugi cykl przypada dla częsoliwości f 19, 462, kórej odpowiada okres T 411 19 21, 63 kwarału (5,41 roku) Trzeci z dominujących cykli przypada dla częsoliwości f 29, 76, zn dla T 14, 17 kwarałów (3,54 roku) i zidenyfikowano go również na podsawie periodogramu składowej S 2 Z uwagi na najwyższą warość periodogramu składowej dla częsoliwości f 29, cykl o ej częsoliwości ma największą moc w rozparywanym paśmie częsoliwości Z kolei uzyskane poprzez wygładzanie periodogramu spekrum mocy składowej S 2 wskazuje na zbliżone znaczenie cykli przypadających dla częsoliwości f 11, f 19 i f 29-6 -
Isnieją również dwa kolejne cykle, kórych moc jes dużo mniejsza w porównaniu z rzema pierwszymi cyklami Cykl czwary przypada dla częsoliwości f 42, 122, dla kórej okres T 411 42 9,79 kwarału (2,45 roku), naomias cykl piąy wysępuje dla częsoliwości f 51,1241, dla kórej cykl T 411 51 8, 6 kwarału (2,1 roku) Cykl czwary i piąy mają wyjąkowo zbliżone znaczenie Nauralnie podobne informacje zawiera spekrum mocy składowej S3, kóre wskazuje również na rzy dominujące i dwa mniej isone cykle powiązane z wahaniami koniunkuralnymi Okresy ych cykli są oczywiście idenyczne z ymi, kóre zidenyfikowano dla składowej S 2 Ponado spekrum mocy składowej S3 wskazuje również na isnienie szósego cyklu w obrębie górnej granicy pasma częsoliwości koniunkuralnych Cykl szósy przypada dla częsoliwości f 71, 1727, kórej odpowiada okres T 411 71 5, 87 kwarału (1,47 roku) Okres ego cyklu leży nieco poniżej dolnej granicy okresu wahań koniunkuralnych (1,5 roku) Cykl en ma nieco mniejszą moc niż cykl o okresie 2,1 roku Analiza spekrum mocy składowej c wskazuje również na isnienie sześciu cykli o charakerze koniunkuralnym, ak jak w przypadku składowej i S3 Pierwszy ze znalezionych cykli wynika z piku dla częsoliwości f 12, 276, kórej odpowiada okres T 435 12 36,25 kwarału (9,6 roku) Drugi cykl jes powiązany z częsoliwością f 2 46, dla kórej okres T 435 2 21, 75 kwarału (5,44 roku) Cykl rzeci obrazuje pik dla częsoliwości f 31, 713, a jego okres wynosi T 435 31 14, 3 kwarału (3,51 roku) Cykl czwary przypada dla częsoliwości f 46, 157, a jego okres o T 435 46 9,46 kwarału (2,36 roku) Cykl piąy wynika z częsoliwości f 54, 1241, dla kórej okres wynosi T 435 54 8, 6 kwarału (2,1 roku) Cykl szósy jes powiązany z częsoliwością f 73, 1678, a jego okres o T 435 73 5, 96 kwarału (1,49 roku) Jeżeli chodzi o znaczenie cykli zidenyfikowanych na podsawie składowej c, o należy zaznaczyć, iż jes ono zbliżone do układu przedsawionego dla składowych i S3 Isnieją jednak pewne różnice, w przypadku składowej c, uzyskane spekrum mocy wskazuje na cykl pierwszy jako cykl dominujący, z kolei cykl drugi i rzeci mają podobne znaczenie W przypadku analizy periodogramu składowej c, swierdzono, iż cykl pierwszy i rzeci są dominujące i mają wyjąkowo zbliżoną moc Uzyskane spekrum mocy składowej c wskazuje ponado, iż pozosałe cykle pozosają w akiej samej relacji mocy jak w przypadku składowej S3 W związku z powyższym, uzyskane wyniki dla składowych, S3 i c w paśmie częsoliwości koniunkuralnych są zbliżone Przeanalizujmy nasępnie spekrum mocy składowej S3 W paśmie częsoliwości f 1 6,1 2 wysępują czery isone cykle, pierwszy z nich przypada dla częsoliwości f 85, 268, kórej odpowiada okres T 411 85 4, 84 kwarału (1,21 roku) Pik dla częsoliwości f 84 jes najwyższą warością mocy składowej S3, co oznacza, że cykl o okresie 1,21 roku ma największe znaczenie w rozparywanym paśmie częsoliwości Oznaczmy en cykl jako cykl siódmy Drugi pik przypada dla częsoliwości f 129,3139, a odpowiadający jej okres o T 411 129 3, 19 kwarału (,8 roku) Jes o cykl ósmy Trzeci pik wysępuje dla częsoliwości f 161, 3917, kórej odpowiada okres T 411 161 2,55 kwarału (,64 roku) Jes o cykl dziewiąy Czwary pik przypada dla częsoliwości f 194, 472, kórej odpowiada okres T 411 194 2, 12 kwarału (,53 roku) Jes o cykl dziesiąy Z uwagi na zbliżone warości spekrum mocy dla częsoliwości f 129 i f 161, cykle o ych częsoliwościach mają podobne znaczenie, z kolei cykl przypadający dla częsoliwości f 194 jes najmniej isony - 7 -
Tabela 22 sanowi podsumowanie przeprowadzonej analizy i przedsawia okresy dziesięciu cykli, kóre zosały zidenyfikowane jako cykle mające największy wpływ na kszałowanie indeksu DJIA Każdy okres zosał przypisany do filra Baxer-Kinga lub filra Hodricka- Prescoa, w zależności od ego, kóry z filrów umożliwił idenyfikację cyklu o ym okresie Cykle I VI mają charaker wahań koniunkuralnych, naomias cykle VII X są efekem wahań o charakerze sezonowym i losowym Należy jednak podkreślić, że zgodnie z przyjęą definicją wahań koniunkuralnych, okres cyklu I (zarówno dla filra Baxer-Kinga i filra Hodricka-Prescoa) leży powyżej górnej granicy okresu wahań o akim charakerze Z kolei okres cyklu VII (zarówno dla filra Baxer-Kinga i filra Hodricka-Prescoa) leży nieco poniżej dolnej granicy okresu wahań o charakerze koniunkuralnym Tabela 22 Dominujące cykle DJIA cykl okres (w laach) filr Baxer-Kinga okres (w laach) filr Hodricka-Prescoa I 9,34 9,6 II 5,41 5,44 III 3,54 3,51 IV 2,45 2,36 V 2,1 2,1 VI 1,47 1,49 VII 1,21 - VIII,8 - IX,64 - X,53 - Podsumowując, należy podkreślić, że indeks DJIA jes kszałowany przez wiele cykli, kóre nakładają się na siebie i są powiązane z różnymi częsoliwościami Jes o wyraźnie widoczne na przedsawionych periodogramach, jak również na rysunkach obrazujących poszczególne składowe analizowanego szeregu czasowego w dziedzinie czasu Cykle I X powinny być rozumiane jako oscylacje, kóre mają najwyższe znaczenie wśród wszyskich możliwych cykli zawarych w analizowanym szeregu czasowym Generalnie możemy swierdzić, że im dłuższy okres danego cyklu, ym większe jes jego znaczenie w opisywaniu indeksu DJIA Eksremalnym przypadkiem jes rend, kóry jes powiązany z wahaniami o wyjąkowo długich okresach, co przekłada się na jego dominujące znaczenie w kszałowaniu analizowanego szeregu czasowego Powierdza o abela 23, kóra przedsawia dekompozycję wariancji indeksu DJIA na rzy składowe, kóre kolejno odpowiadają długookresowemu rendowi, wahaniom o charakerze koniunkuralnym oraz wahaniom sezonowym i losowym Prezenowane warości zosały odczyane na podsawie periodogramu szeregu czasowego x Tabela 23 Dekompozycja wariancji DJIA okres (w kwarałach) wariancja udział T 2, - wszyskie cykle 2,3394 1% T 32 - długookresowy rend 2,226 94,15% 6 T 32 - wahania koniunkuralne,1137 4,86% T 6 - wahania sezonowe i losowe 231,99% - 8 -
3 Analiza Warszawskiego Indeksu Giełdowego w laach 1991 24 Warszawski Indeks Giełdowy jes głównym wskaźnikiem Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Dla porzeb analizy przyjmujemy, iż WIG będzie rozparywany na danych miesięcznych W związku z powyższym, przyjęy szereg czasowy obejmuje okres od kwienia 1991 roku do grudnia 24 roku i składa się ze 165 obserwacji, będących kursami zamknięcia WIG-u na osaniej sesji giełdowej danego miesiąca Oznaczmy en szereg czasowy przez P 165, gdzie P 1 oznacza kurs zamknięcia indeksu na koniec -ego miesiąca Dla celów analizy przyjęo, że indeks zosanie przedsawiony w układzie skumulowanej logarymicznej sopy zwrou, zn rozparujemy szereg czasowy x 165, gdzie x 1 ln P P1 ln P ln P1 Szereg czasowy x zosał rozbiy na rzy składowe S1, i S3, zn x S1 S3 Składowe e zosały uzyskane dzięki zasosowaniu odpowiednich filrów Baxer-Kinga Składowa S1 o komponen rendu, zawierający wahania o okresach dłuższych niż 96 miesięcy ( T 96), składowa o komponen zawierający wahania koniunkuralne o okresach krószych niż 96 miesięcy i dłuższych niż 18 miesięcy ( 18 T 96), naomias składowa S3 o komponen zawierający wahania sezonowe i losowe o okresach krószych niż 18 miesięcy ( T 18) Z uwagi na małą liczbę obserwacji szeregu czasowego x przy konsrukcji wszyskich filrów Baxer-Kinga wykorzysano 24 opóźnienia w czasie, zn K 24, zamias sugerowanych przez auorów filra 36 opóźnień w przypadku danych miesięcznych Dodajmy, że szeregi czasowe komponenów uzyskanych przyjęymi filrami Baxer-Kinga składają się ze 117 obserwacji Rysunek 31 przedsawia kolejno szereg czasowy x i komponen S1, komponen, komponen S3 oraz komponen S3, kóry zawiera wahania koniunkuralne, sezonowe i losowe Komponen S3 jes wynikiem zasosowania górnoprzepusowego filra Baxer-Kinga dla K 24, kóry opuszcza wahania o okresach krószych niż 96 miesięcy ( T 96) Rysunek 31 WIG i jego składowe uzyskane za pomocą filra Baxer-Kinga 4 3 2 1-1 25 5 75 1 125 15 x S1,5,4,3,1 -,1 - -,3 -,4 -,5 25 5 75 1 125 15 S3 1,2 1,,8,6,4 - -,4 -,6 25 5 75 1 125 15 1,8 1,5 1,2,9,6,3 -,3 -,6 25 5 75 1 125 15 +S3-9 -
Podobną dekompozycję szeregu czasowego x przeprowadzamy przy użyciu filra Hodricka- Prescoa Szereg x jes sumą komponenu rendu d i komponenu cyklicznego c, zn x d c Przyjęy paramer wygładzający o 54535, 3 Paramer en odpowiada okresowi 96 miesięcy (por Maravall A, del Rio A (21), s 17 18), a więc komponen d wynika w ym przypadku z zasosowania dolno-przepusowego filra Hodricka-Prescoa, kóry opuszcza wahania o okresach dłuższych niż 96 miesięcy ( T 96), naomias komponen c jes wynikiem zasosowania górno-przepusowego filra Hodricka-Prescoa, kóry opuszcza wahania o okresach krószych niż 96 miesięcy ( T 96) Szeregi czasowe komponenów uzyskanych filrem Hodricka-Prescoa składają się ze 165 obserwacji, ak jak szereg czasowy x Rysunek 32 przedsawia kolejno szereg czasowy x i komponen d oraz komponen c Nauralnie składowa d ma zbliżony przebieg do składowej S1, naomias składowa c ma zbliżony przebieg do składowej S3 Rysunek 32 WIG i jego składowe uzyskane za pomocą filra Hodricka-Prescoa 4 3 2 1-1 25 5 75 1 125 15 x d 2, 1,5 1,,5 -,5-1, 25 5 75 1 125 15 c Nasępnie szereg czasowy x i jego składowe cykliczne zosały poddane esowi pierwiaska jednoskowego (es ADF) Tes zosał przeprowadzony we wszyskich przypadkach na podsawie równania regresji bez sałej (dryfu) i rendu deerminisycznego, naomias opymalna liczba opóźnień w równaniu zosała usalona na podsawie minimalizacji informacyjnego kryerium Schwarza Wyniki esu ADF dla poziomu isoności, 5 zosały zamieszczone w abeli 31 Tabela 31 Tes ADF dla WIG i jego składowych przy poziomie isoności, 5 Szereg saysyka ADF warość kryyczna decyzja - H wniosek I 1 x,968668-1,942787 przyjęa x -11,496498-1,942799 odrzucona I -4,13273-1,943742 odrzucona I S3-4,78287-1,943883 odrzucona I 2 S -6,41211-1,943854 odrzucona I c -5,93364-1,94292 odrzucona I S 3-1 -
W przypadku szeregu czasowego x nie było podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o wysępowaniu pierwiaska jednoskowego, esowanie pierwszych przyrosów x doprowadziło do odrzucenia hipoezy zerowej, a w związku z ym szereg ~ I jes sacjonarny, naomias szereg 1 x ~ I jes niesacjonarny W przypadku składowych cyklicznych, S3, S3 oraz c, hipoeza zerowa zosała odrzucona, co wskazuje na sacjonarność badanych komponenów Kolejnym eapem jes przeprowadzenie analizy spekralnej uzyskanych komponenów indeksu WIG Prezenowane periodogramy szeregów czasowych zosały przedsawione dla znormalizowanych dyskrenych częsoliwości f j j n gdzie j 1,2,, n 1 2 i n odpowiada liczbie obserwacji szeregu czasowego Dodajmy, że uzyskane periodogramy wynikają z szeregów czasowych o sosunkowo małych liczbach obserwacji, co sprawia, że ich inerpreacja jes dużo ławiejsza, niż miało o miejsce w przypadku analizy indeksu DJIA W związku z powyższym, w analizie spekralnej WIG-u, oprócz periodogramu nie uwzględniono innych esymaorów spekrum mocy W związku z niesacjonarnością szeregu czasowego x, odpowiadający mu periodogram o pseudo-spekrum mocy Rysunek 33 przedsawia periodogram szeregu czasowego x Z uwagi na wysępowanie rendu w szeregu x, najwyższe warości jego periodogramu są osiągane dla częsoliwości bliskich zeru Rysunek 33 Periodogram WIG x 6 5 4 3 2 1 Rozważmy nasępnie periodogramy składowych cyklicznych indeksu WIG Dodajmy, że wariancja składowej cyklicznej nie jes powiązana z pasmem niskich częsoliwości Rysunek 34 przedsawia kolejno periodogramy składowych, S3, S3 oraz c Rysunek 34 Periodogramy składowych cyklicznych WIG,6,5,4,3,1 S3 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2-11 -
,6 +S3,6 c,5,5,4,4,3,3,1,1 Jako pierwszy rozważmy periodogram składowej częsoliwości koniunkuralnych, f 1 96,1 18 W paśmie znormalizowanych, wysępuje jeden wyraźny pik dla częsoliwości f 3, 256, kórej odpowiada okres T 117 3 39 miesięcy (3,25 roku) Oznaczmy en cykl jako cykl pierwszy Cykl en ma znaczący wpływ na kszałowanie szeregu czasowego x w paśmie wahań koniunkuralnych Isnieje również dużo mniej wyraźny piki dla częsoliwości f 5, 427, kórej odpowiada okres T 117 5 23, 4 miesiąca (1,95 roku) Jes o cykl drugi Analogiczne wnioski płyną z analizy periodogramu sumy składowych i S3, a ponado periodogram en wskazuje również na rzeci cykl przypadający dla częsoliwości f 7, 598, o okresie T 117 7 16, 71 miesiąca (1,39 roku) Jeżeli chodzi o periodogram składowej c o ma on zbliżony przebieg do periodogramu składowej S3 Analiza periodogramu składowej c prowadzi do podobnych wniosków jak w przypadku składowej i S3 Jednakże periodogram składowej c wskazuje ylko na dwa cykle w paśmie częsoliwości koniunkuralnych Pierwszy pik przypada dla częsoliwości f 4, 242, kórej odpowiada cykl o okresie T 165 4 41, 25 miesiąca (3,44 roku), naomias drugi dla częsoliwości f 1, 66, kórej odpowiada cykl o okresie T 165 1 16, 5 miesiąca (1,38 roku) Cykl przypadający dla częsoliwości f 4 o odpowiednik cyklu pierwszego, naomias cykl przypadający dla częsoliwości f 1 o odpowiednik cyklu rzeciego Jeżeli chodzi o periodogram składowej S3, o wskazuje on na isnienie czerech dominujących cykli o charakerze sezonowym i losowym Najwyższy pik przypada dla częsoliwości f 1, 855, kórej odpowiada okres T 117 1 11, 7 miesiąca (,97 roku) Oznaczmy en cykl jako cykl czwary Cykl piąy przypada dla częsoliwości f 13, 1111, o okresie T 117 13 9, miesięcy (,75 roku), cykl szósy dla częsoliwości f 16, 1368, o kresie T 117 16 7, 31 miesiąca (,61 roku) naomias cykl siódmy dla częsoliwości f 2, 179, o okresie T 117 2 5,85 miesiąca (,49 roku) Jeżeli chodzi o znaczenie zidenyfikowanych cykli, o należy podkreślić, iż wraz ze wzrosem długości cyklu, rośnie jego wpływ na kszałowanie WIG-u Tabela 32 sanowi podsumowanie przeprowadzonej analizy i przedsawia okresy siedmiu cykli, kóre zosały zidenyfikowane jako cykle mające największy wpływ na kszałowanie WIG-u Każdy okres zosał przypisany do filra Baxer-Kinga lub filra Hodricka-Prescoa, w zależności od ego, kóry z filrów umożliwił idenyfikację cyklu o ym okresie Cykle I III mają charaker wahań koniunkuralnych, naomias cykle IV VII są efekem wahań o charakerze sezonowym i losowym Należy jednak podkreślić, że zgodnie z przyjęą definicją wahań koniunkuralnych, okres cyklu III (zarówno dla filra Baxer-Kinga i filra Hodricka-Prescoa) - 12 -
leży nieco poniżej dolnej granicy okresu wahań o charakerze koniunkuralnym W przypadku filra Hodricka-Prescoa nie zidenyfikowano cyklu II Tabela 32 Dominujące cykle WIG cykl okres (w laach) filr Baxer-Kinga okres (w laach filr Hodricka-Prescoa I 3,25 3,44 II 1,95 nie zidenyfikowano III 1,39 1,38 IV,97 - V,75 - VI,61 - VII,49 - Cykle I VII powinny być rakowane jako wahania mające najwyższe znaczenie wśród wszyskich możliwych cykli zawarych w analizowanym szeregu czasowym Generalnie możemy swierdzić, że im dłuższy okres danego cyklu, ym większe jes jego znaczenie w opisywaniu WIG-u Jednakże w przeciwieńswie do indeksu DJIA, rend WIG-u nie wywiera ak ogromnego wpływu na jego przebieg Jes o związane z o wiele krószą próbą obserwacji WIG-u w porównaniu z indeksem DJIA Relacje długookresowe nie są w przypadku WIG-u ak wyraźnie widoczne jak ma o miejsce w przypadku indeksu DJIA, ponieważ z uwagi na króką próbę obserwacji WIG-u, długookresowego rendu nie da się obecnie sklasyfikować jako składowej dominującej Powierdza o abela 33, kóra przedsawia dekompozycję wariancji indeksu DJIA na rzy składowe, kóre kolejno odpowiadają długookresowemu rendowi, wahaniom o charakerze koniunkuralnym oraz wahaniom sezonowym i losowym Prezenowane warości zosały odczyane na podsawie periodogramu szeregu czasowego x Tabela 33 Dekompozycja wariancji WIG okres (w miesiącach) wariancja udział T 2, - wszyskie cykle 1,79 1% T 96 - długookresowy rend,424 39,25% 18 T 96 - wahania koniunkuralne,5798 54,14% T 18 - wahania sezonowe i losowe 77 6,6% 4 Podsumowanie Przeprowadzona analiza wskazuje przede wszyskim na złożony charaker wahań cyklicznych wyodrębnionych na podsawie indeksu DJIA oraz na bardzo prosy schema, kóry reprezenuje indeks WIG Nauralnie indeks DJIA obejmuje okres ponad su la, naomias WIG zaledwie czernasu la, co sprawia, iż związki, kóre zosały zidenyfikowane w przypadku WIG-u mają o wiele prosszą srukurę niż ma o miejsce w przypadku indeksu DJIA Cykl I o okresie około 9 la, kóry zosał zidenyfikowany w przypadku indeksu DJIA, może być rakowany w przybliżeniu jako przykład cyklu Juglara, kórego średnia długość wynosi właśnie około 9 la Jednakże należy pamięać, iż w lieraurze nie ma jednoznacznego określenia długości cyklu Juglara Długość a waha się od 6 do 1 la, jednakże można również spokać się z przedziałami od 7 do 1 la, jak również od 5 do 7 la Ponado należy zaznaczyć, iż w przypadku analizy - 13 -
periodogramu składowej cyklicznej indeksu DJIA, kóra zosała uzyskana za pomocą filra HP, swierdzono, że długość cyklu I wynosi niemal 1 la, co wskazywałoby na pokrywanie się ego okresu z górną granicą długości cyklu Juglara Z kolei cykl II, kórego okres wynosi około 5,5 roku może być rakowany jako przykład cyklu, kórego okres pokrywa się z dolną granicą długości cyklu Juglara W związku z powyższym należy zaznaczyć, iż nie można jednoznacznie swierdzić, iż cykl I i II w przypadku indeksu DJIA winny być rakowane jako cykle Juglara Niemniej jednak są o cykle średniookresowe obrazujące wahania o naurze koniunkuralnej Na szczególną uwagę zasługuje cykl o okresie zbliżonym do 3,5 roku, kóry zidenyfikowano jako isony zarówno w przypadku indeksu DJIA (cykl III) i WIG (cykl I) Cykl en w przypadku indeksu DJIA charakeryzuje się wyjąkowo wysokim poziomem mocy, kóry jes porównywalny z mocą cykli o dłuższych okresach pozosających w paśmie wahań koniunkuralnych Cykl o okresie około 3,5 roku może być rakowany jako przykład cyklu Kichina, kórego okres waha się od 4 do 53 miesięcy ze średnią długością około 4 la Ponado cykl en, może w przybliżeniu sanowić zw 4-leni cykl prezydencki, kóry według analizy echnicznej wpływa na zachowanie rynku kapiałowego Cykl en jes nazywany prezydenckim, ponieważ zbiega się z wyborami na prezydena Sanów Zjednoczonych (por Murphy J J (1999), s 326) Należy zaznaczyć, że w przypadku indeksu DJIA możliwe jes, jednoznaczne swierdzenie, iż długookresowy rend sochasyczny jes główną deerminaną obserwowanego przebiegu ego indeksu Przypomnijmy, że wahania długookresowe sanowią w ym przypadku ponad 94% zmienności wyrażonej za pomocą wariancji szeregu czasowego W przypadku WIGu, największy udział w wariancji przypada dla wahań o charakerze koniunkuralnym, ponad 54% Należy podkreślić, iż wynik en jednoznacznie powierdza fak, iż relacje długookresowe WIG-u, nie są ak wyraźnie zarysowane jak w przypadku indeksu DJIA Wydaje się, że wraz z dalszym rozwojem Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie układ wychwyconych zależności dla WIG-u, winien zmieniać się w kierunku wzrosu udziału wahań długookresowych przy równoczesnym spadku udziału wahań cyklicznych w ogólnej zmienności WIG-u, dążąc do schemau widocznego w przypadku indeksu DJIA Należy podkreślić, iż większość pozosałych cykli o okresach krószych niż 3,5 roku, zidenyfikowanych na podsawie indeksu DJIA, znajduje również swoje odpowiedniki wśród cykli zidenyfikowanych na podsawie WIG-u W związku z powyższym niewąpliwie ciekawym zagadnieniem w przypadku WIG-u pozosaje analiza cykli, kóre na chwilę obecną wysąpiły jednokronie bądź wcale Na szczególną uwagę zasługują u cykle o okresach około 5,5 roku oraz 9 1 la, kóre zosały uznane za wyjąkowo isone w przypadku indeksu DJIA i być może w przyszłości również saną się isone w przypadku WIG-u, kóry reprezenuje dużo młodszy rynek kapiałowy aniżeli nowojorski DJIA 5 Bibliografia 1 Baxer M, King R G (1995), Measuring Business Cycles: Approximae Band-Pass Filers for Economic Time Series, Naional Bureau of Economic Research, Working Paper No 522, srona inerneowa hp://wwwnberorg/papers/w522pdf z dnia 23128 2 Benai L (21), Band-pass filering, coinegraion, and business cycle analysis, Bank of England, Working Paper No 142, srona inerneowa hp://wwwbankofenglandcouk/ wp/wp142pdf z dnia 24528 3 Burns A F, Michell W C (1946), Measuring Business Cycles, NY: NBER, New York 4 Hamilon J D (1994), Time Series Analysis, Princeon Universiy Press, Princeon 5 Hodrick R J, Presco E C (1997), Poswar US Business Cycles: An Empirical Invesigaion, Journal of Money Credi and Banking, Vol 29, No 1, s 1 16 6 King R, Plosser C, Sock J, Wason M (1987), Sochasic Trends and Economic Flucuaions, Naional Bureau of Economic Research, Working Paper No 2229, srona inerneowa hp://wwwnberorg/papers/w2229pdf z dnia 24528 7 Kydland F, Presco E C (199), Business Cycles: Real Facs and Moneary Myh, Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarerly Review, Vol 14, Spring, s 3 18-14 -
8 Maravall A, del Rio A (21), Time Aggregaion and he Hodrick-Presco Filer, Documeno de Trabajo n o 18, Servicio de Esudios, Banco de España, srona inerneowa hp://wwwbdees/informes/be/docs/d18epdf z dnia 22129 9 Murphy J J (1999), Analiza echniczna rynków finansowych, WIG-Press, Warszawa 1 Nelson C R, Plosser C I (1982), Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series; Some Evidence and Implicaions, Journal of Moneary Economics, Vol 1, s 129 162 11 Skrzypczyński P, Borowski K (23), Teoria impulsu i jej empiryczne powierdzenie przy użyciu meod filracji szeregów czasowych, Sudia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, Zeszy Naukowy 38, Wydawnicwo SGH, Warszawa, s 6 77 12 Sock J M, Wason M W (1998), Business Cycle Flucuaions in US Macroeconomic Time Series, Naional Bureau of Economic Research, Working Paper No 6528, srona inerneowa hp://wwwnberorg/papers/w6528pdf z dnia 23128 13 Syczewska E M (1999), Analiza relacji długookresowych: esymacja i weryfikacja, Monografie i Opracowania 462, Wydawnicwo SGH, Warszawa - 15 -