Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki e mogą być zmiee, a czyików wpływających a przebieg zjawiska może być wiele. W celu usaleia prawa rządzącego zjawiskiem koiecze jes zaem wykoywaie doświadczeia, czyli obserwacji zjawiska w warukach sworzoych szuczie, korolowaych przez badacza. (Przykład: Chcemy wyzaczyć okres drgań wahadła uworzoego z kuli zawieszoej a ice. Obserwujemy, że wahadło wykoae z lekkiej piłeczki wychyloe z położeia rówowagi wykouje ylko kilka wahięć o malejącej ampliudzie, podczas gdy wahadło uworzoe z pełej kulki salowej o ej samej średicy i zawieszoej a ej samej ici będzie wahać się przez czas sosukowo długi. Z obserwacji ej moża by wyciągąć wiosek (lecz błędy) o zależości ruchu wahadła od własości ciała zawieszoego p. od jego masy. Wysarczy jedak umieścić oba wahadła pod kloszem szklaym, kóry opróżiamy z powierza, by przekoać się, że czyikiem zakłócającym ruch wahadeł był opór powierza, po jego wyelimiowaiu oba wahadła wykoują ruch drgający o iemalejącej ampliudzie i ym samym okresie). Aaliza czyików i waruków wpływających a przebieg obserwowaego zjawiska jes szczególie ruda gdy przedmioem badań są maeriały biologicze, lub orgaizmy żywe. Doświadczeia przeprowadza się w laboraorium posługując się przyrządami skosruowaymi w oparciu o akualy sa wiedzy. Za pomocą przyrządów dokouje się pomiarów wielkości fizyczych. Pomiar wielkości fizyczej polega a porówaiu jej z wielkością ego samego rodzaju przyjęą za jedoskę. Zaem liczba orzymaa jako wyik pomiaru zależy od wyboru jedoski (przykład: pomiar długości w cm, m, f, i ip.). Wyik pomiaru musi więc zawsze składać się z dwóch części: warości liczbowej oraz jedoski. Pomiary wielkości fizyczych dzielimy a bezpośredie i pośredie. Pomiary bezpośredie są ajprossze polegają wpros a porówaiu daej wielkości z odpowiedią miarą wzorcową p. pomiar wymiarów ciała za pomocą liijki, suwmiarki, śruby mikromeryczej ip., pomiar czasu rwaia jakiegoś procesu przy użyciu sopera, pomiar aężeia prądu amperomierzem. W przypadku pomiarów pośredich warość badaej wielkości wyzaczaa jes a podsawie pomiarów bezpośredich iych wielkości fizyczych, kóre są z ią związae zaym am prawem fizyczym. Przykład: Wyzaczaie przyspieszeia ziemskiego, a podsawie okresu drgań wahadła π l maemayczego. Jak wiadomo okres drgań wahadła opisuje wzór: T π l / g, sąd g. T Widzimy, że w celu wyzaczeia warości g musimy dokoać pomiarów (bezpośredich) okresu drgań wahadła (T) oraz długości ici (L). Iym przykładem jes wyzaczaie aężeia prądu
elekryczego a podsawie pomiarów spadku apięcia a oporiku wzorcowym oraz prawa Ohma I U / R. Widzimy, że w zależości od wyboru meody pomiarowej, warości iekórych wielkości fizyczych mogą być wyzaczae zarówo drogą pomiarów bezpośredich, jak i pośredich. Niezależie od meody pomiarów ie możemy igdy bezwzględie dokładie wyzaczyć rzeczywisej warości wielkości fizyczej. Różicę pomiędzy wyikiem pomiaru, a rzeczywisą warością mierzoej wielkości azywamy błędem pomiaru. Błędy pomiarów radycyjie dzielimy a grube (omyłki), przypadkowe oraz sysemaycze. Błędy grube powsają zwykle a skuek ieuwagi lub iesaraości obserwaora przy odczyywaiu lub zapisywaiu wyików lub w wyiku agłej zmiay waruków pomiaru (p. wsrząsy). Jeśli mamy serię pomiarów wyiki obarczoe błędem grubym są ławe do wykrycia i usuięcia. Błędy sysemaycze wyikają z iedoskoałości przyrządów i meod pomiarowych. Moża je redukować sosując bardziej doskoałe i precyzyje meody i przyrządy, jedak całkowie wyelimiowaie błędów sysemayczych jes iemożliwe. Rozpozae błędy sysemaycze ależy uwzględiać poprzez wprowadzeie odpowiedich poprawek do wyiku, p. kiedy ważymy a wadze, kórej wskazaie bez obciążeia wyosi m 0 zamias 0 o m 0 jes błędem sysemayczym, kóry ależy odjąć od wyiku ważeia, iym ypowym przykładem jes poprawka a opór wewęrzy wolomierza przy pomiarze apięcia. Z błędami przypadkowymi mamy do czyieia zawsze. Wyikają oe z różych przypadkowych i ie dających się uwzględić czyików (p. wahaia emperaury, lub ruch powierza w pobliżu przyrządu pomiarowego, czasem wielkość mierzoą charakeryzuje auraly rozrzu (p. akywość promieiowórcza)). O isieiu błędów przypadkowych świadczy iepowarzalość wyików pomiaru jedej i ej samej wielkości. Błędy przypadkowe redukuje się poprzez wielokroe powarzaie pomiaru zachodzi wówczas częściowa kompesacja przypadkowych zawyżających i zaiżających odchyłek wyiku. Poieważ igdy ie zamy rzeczywisej warości wielkości mierzoej, więc posługiwaie się w prakyce pojęciem błędu pomiaru ie jes wygode. Obecie przy opracowywaiu wyików pomiarów ależy sosować się do zaleceń Międzyarodowej Normy Ocey Niepewości Pomiaru. Norma a uzgodioa w 99 r. i przyjęa usawowo w Polsce w 999 r. zajduje zasosowaie w wielu różych dziedziach auki i echologii. Międzyarodowa Norma zaleca posługiwaie się ermiem iepewość pomiarowa zdefiiowaym jako paramer charakeryzujący wąpliwości doyczące warości wyiku pomiarowego. Miarą iepewości pomiarowej jes iepewość sadardowa, kóra może być szacowaa a sposoby: ypu A wykorzysujący aalizę saysyczą serii pomiarów oraz ypu B opary a aukowym osądzie obserwaora. Symbolem iepewości sadardowej jes u (od ag. uceraiy), kóry moża zapisywać a róże sposoby, p. u, u(x) lub u(sężeie NaCl). Zaleą ego
zapisu jes o, że iformacja o wielkości mierzoej może być wyrażoa słowie, co uławia worzeie dokumeacji pomiaru. Należy jedak pamięać, że u ie jes fukcją ylko liczbą! Niepewość sadardowa pomiarów bezpośredich Przypuśćmy, że wykoaliśmy serię pomiarów bezpośredich wielkości fizyczej orzymując wyiki,.... Jeśli wyiki pomiarów ie są akie same, wówczas za ajbardziej zbliżoą do warości prawdziwej przyjmujemy średią arymeyczą ze wszyskich wyików pomiarów: i i Swierdzeie o jes ym bardziej słusze im większa jes liczba przeprowadzoych pomiarów (dla, ). W celu określeia iepewości sadardowej posługujemy się w ym wypadku sposobem ypu A, czyli korzysamy ze wzoru a odchyleie sadardowe średiej u( ) s i ( ) i ( ) Jeśli aomias wyiki pomiarów ie wykazują rozrzuu, czyli (), ()..., lub eż gdy isieje ylko jede wyik pomiaru, wówczas iepewość sadardową szacujemy sposobem ypu B. Moża p. wykorzysać iformację o iepewości maksymalej określoej przez producea przyrządu pomiarowego, jeśli ie mamy iych dodakowych iformacji, wówczas iepewość sadardową obliczamy ze wzoru u( ). () Dla prosych przyrządów (j. liijka, śruba mikromerycza czy ermomer) jako częso moża przyjąć działkę elemearą przyrządu (p. l mm dla pomiaru długości za pomocą liijki). W wielu wypadkach eksperymeaor usala wielkość iepewości maksymalej kierując się własym osądem. Przykłady:. Dla pomiaru czasu za pomocą sopera przyjmuje się 0, s, chociaż działka elemeara dla ego przyrządu o 0.0 s. Jes o związae z czasem reakcji człowieka włączającego i wyłączającego soper. Przy pomiarze długości sołu za pomocą liijki o długości 0 cm iepewość maksymala będzie z pewością większa iż mm (elemeara działka przyrządu), ze względu a koieczość kilkakroego przykładaia miarki.
. W elekroiczych przyrządach cyfrowych iepewość maksymala podawaa jes przez producea w isrukcji obsługi i jes zwykle kilkakroie większa od działki elemearej. Najczęściej zależy oa od wielkości mierzoej i zakresu a kórym mierzymy Z: c + cz Gdy wysępują oba ypy iepewości (z. zarówo rozrzu wyików jak i iepewość wzorcowaia) i żada z ich ie może być zaiedbaa (z. obie są ego samego rzędu), wówczas iepewość sadardową (całkowią) obliczamy ze wzoru ( ) u( ) s +. () Niepewość sadardowa pomiarów pośredich iepewość złożoa (u c ) W przypadku pomiarów pośredich wielkość mierzoą Y obliczamy korzysając ze związku fukcyjego, kóry moża zapisać w ogólej posaci: Y f,,..., ), gdzie symbolami ( k,,..., k ozaczamy k wielkości fizyczych mierzoych bezpośredio. Zakładamy, że zae są wyiki pomiarów ych wielkości,,..., k oraz ich iepewości sadardowe u ( ), u( ),..., u( Y Y k f (,,..., k ). Wyik (końcowy) pomiaru oblicza się wówczas ze wzoru: ) W przypadku pomiarów pośredich ieskorelowaych (z. gdy każdą z wielkości,...,, mierzy się iezależie) iepewość złożoą wielkości Y szacujemy przy pomocy przybliżoego wzoru: (,,..., k ) u ( j ) k f uc ( Y). () j j k Niepewość rozszerzoa Niepewość sadardowa całkowicie i jedozaczie określa warość wyiku, jedak do wioskowaia o zgodości wyiku pomiaru z iymi rezulaami (p. z warością abelaryczą) oraz dla celów komercyjych i do usalaia orm przemysłowych, zdrowia, bezpieczeńswa ip. Międzyarodowa Norma wprowadza pojęcie iepewości rozszerzoej ozaczaej symbolem U (dla pomiarów bezpośredich), lub U c (dla pomiarów pośredich). Warość iepewości rozszerzoej oblicza się ze wzoru U ( ) ku( ) lub U c ( ) kuc ( ). (6)
Liczba k, zwaa współczyikiem rozszerzeia, jes umowie przyjęą liczbą wybraą ak, aby w przedziale ± U ( ) zalazła się większość wyików pomiaru porzeba dla daych zasosowań. Warość współczyika rozszerzeia mieści się ajczęściej w przedziale -. W większości zasosowań zaleca się przyjmowaie umowej warości k. Zapis wyików pomiaru Wyiki pomiaru zapisujemy zawsze łączie z iepewością i jedoską. Niepewość podajemy zawsze z dokładością do dwu cyfr, zaś liczbę cyfr zaczących wyiku dobieramy ak, aby osaia cyfra rezulau i iepewości ależały do ego samego rzędu. Dla iepewości sadardowych zalecay jes zapis z użyciem awiasów, zaś dla iepewości rozszerzoej sosoway jes zapis z użyciem symbolu ±. Przykłady zapisu Dobrze: Niepewość sadardowa: m 00,0 g, u(m), mg m 00,0() g m 00,0(0,00) g Niepewość rozszerzoa: Źle: m 00,0 g, U (m) 0,0070 g m (00,0 ± 0, 0070) g m 00,0 g ie podao iepewości, m 00,0(0,00) g osaie cyfry rezulau i iepewości ie są ego samego rzędu, m 00,0 g, u(m) mg przy zapisie iepewości podao zby mało cyfr, m 00,07(0,00) g - przy zapisie iepewości podao zby dużo cyfr. Przykład opracowaia wyików pomiaru W celu wyzaczeia przyspieszeia ziemskiego przeprowadzoo pomiary czasu spadku ciała z pewej wysokości. Wysokość spadku h zmierzoo -kroie aśmą miericzą z podziałką milimerową uzyskując za każdym razem wyik 70 mm. Czas spadku zmierzoo razy orzymując asępujące wyiki (w s) 0, 09, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0. Dokładość czasomierza wyosiła 0,00 s, zaś iepewość sysemayczą związaą z wyborem chwili włączeia i wyłączeia oszacowao a 0,0 s. Obliczyć z ych daych przyspieszeie ziemskie i jego iepewość.
Przyspieszeie ziemskie będziemy obliczać ze wzoru h g. Warość g orzymamy wsawiając do powyższego rówaia średie arymeycze wysokości spadku ( h ) oraz czasu spadku ( ) (wzór ()). Dla daych z ego przykładu mamy: h 70mm,7 m, (0,09 + 0, + 0,0 + 0,0 + 0,0) s 0,07 s,,7 m m sąd g 9,87 (0,07 s) s Aby obliczyć iepewość złożoą pomiaru pośrediego g musimy ajpierw określić iepewości sadardowe pomiaru czasu i wysokości. Oszacowaie iepewości sadardowej (bezpośrediego) pomiaru czasu u(): Ocea ypu A: Korzysając ze wzoru () oraz z abeli obliczamy odchyleie sadardowe średiej : Nr pomiaru i [s] i [ms] i [ms ] 0,09 0, 0,0 0,0 0,0,8,8,8, 6,,,0 7,8 0, 8, Suma: 8,80 8,80 ms s, ms,0 ms Ocea ypu B: Możemy przyjąć, że iepewość maksymala związaa z pomiarem czasu wyika przede wszyskim z iepewości chwili włączeia i wyłączeia, a zaem wyosi 0, 0s 0 ms (zaiedbujemy przy ym 0-kroie miejszą iepewość związaą z dokładością czasomierza). Niepewość sadardowa ypu B wyosi zaem,8 ms (wzór ()). Jak widać w ym wypadku ależy uwzględić oba ypy iepewości sadardowych (poieważ są oe ego samego rzędu). Osaeczie więc całkowia iepewość sadardowa pomiaru czasu wyosi (wzór ()): u ( ) (,0 +,8 ) ms 6, ms 0,006 s. Końcowy wyik pomiaru czasu moża zapisać w posaci: 0,07(0,006) s. Oszacowaie iepewości sadardowej (bezpośrediego) pomiaru wysokości u(h): Poieważ w ym wypadku ie wysąpił rozrzu wyików więc poprzesaiemy a określeiu iepewości sadardowej ypu B. Najmiejsza działka przyrządu pomiarowego wyosi w ym wypadku mm. Poieważ jedak pewie wpływ a wyik pomiaru może mieć rówież sposób usawieia miarki oraz sposób odczyu, rozsądie będzie przyjąć, że iepewość maksymala ego pomiaru jes większa od działki elemearej p. dwukroie: h mm. Zgodie ze wzorem (), iepewość sadardowa pomiaru wysokości wyosi zaem: u( h) h /, mm 0,00 m, a więc h 70,0(,) mm. Oszacowaie iepewości złożoej pomiaru pośrediego u c (g): Korzysamy ze wzoru (). Obliczmy ajpierw pochode cząskowe: 6
g (, h) h g h (, h),. Aby iepewość u c (g) wyrażoa była w m/s, przy podsawiaiu daych do wzoru () musimy pamięać o uzgodieiu jedosek ( i u() ależy wyrazić w s, zaś h i u(h) ależy wyrazić w m). u c h,700 m ( ) ( ) 0,00 m 0,006s u h + + u ( 0,07 s) ( 0,07 s) m m m ( 8,7 0 + 0,07) 0,07 0, u c s s s Jak widać, przyczyek do iepewości złożoej u c (g) związay z iepewością pomiaru wysokości okazał się zaiedbywalie mały. Obliczeie iepewości rozszerzoej U c (g): m m Podsawiając dae do wzoru (6) orzymujemy: U c uc 0, 0,8. s s Osaeczie końcowy rezula pomiaru przyspieszeia ziemskiego, kóry możemy porówywać z wielkością ablicową, wygląda asępująco: g ( 9,87 ± 0,8) m/s 7