RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE opsą zmenność ssemów zależnc od klk zmennc naczęśce od czas zmennc przesrzennc. Wsępą one np. w zagadnenac: ELEKTROTECHNIKI: pole elekrosaczne elekrczne magneosaczne elekromagneczne PRZYKŁADY: rozkład pola elekrcznego w okolc zolaora naężene pola elekromagnecznego pod lną przesłową wsokego napęca dr nż. B. Szszka
WYMIANY MASY I CIEPŁA: przewodzene cepła dfza PRZYKŁADY: rozkład emperar rozgrzewanc pł lb pręów MECHANIKI: eora sprężsośc PRZYKŁADY: saczne odkszałcena pł membran skręcane pręów prosc drgana poprzeczne pł belek drgana membran srn drgana podłżne oraz skręne pręów ermonaprężena saconarne nesaconarne dr nż. B. Szszka
HYDROMECHANIKI: rc płn lepkego AKUSTYKI: drgana membran srn IZYKI KWANTOWEJ nnc. dr nż. B. Szszka 3
Zadane. Wznaczć przblżone warośc poencał V( płaskego pola elekrosacznego w kwadrace D=(a (a. W rozważanm obszarze ne ma ładnków przesrzennc zaem poencał V( spełna równane Laplace a: V V Dan es rozkład poencałów na ln ogranczaące obszar D w posac nasępącc warnków brzegowc: V V V V a V e a V e dla dla a a dr nż. B. Szszka
Zadane. Kabel Tompsona o dłgośc L es zaslan na ob końcac napęcem o przebegac f( g(. W cwl począkowe = rozkład napęca wzdłż kabla es opsan fnkcą φ(. Wznaczć przblżone warośc fnkc ( określaące przebeg zman napęca wzdłż ln dla >. nkca ( spełna równane: RC oraz warnk granczne ( f ( L g dla dla L a prząć k = RC / b prząć dowolne k. dr nż. B. Szszka 5
Zadane 3. Dana es ednorodna lna elekrczna o dłgośc L. Lna a es bezndkcna bez płwnośc zaem e parameram są gęsośc lnowe opornośc R poemnośc C. Wznaczć przblżone przebeg napęca wzdłż ln wedząc że dla = napęce wzdłż ln dla każdego es sałe równe U >. Dla > lna es zwara na krańc = a na drgm krańc =L es zaslana źródłem energ elekrczne o sałm napęc równm / U. nkca ( opsąca przebeg zman napęca wzdłż ln es rozwązanem równana RC spełnaącm warnk granczne U dla L L U dla dr nż. B. Szszka 6
Zadane. Jednorodna lna elekrczna p RC (kabel Tompsona o dłgośc L es zaslana na krańc = sałm napęcem U > dla > podczas gd drg kranec ln =L es neobcążon. W cwl począkowe = napęce oraz naężene prąd w dowolnm pnkce : <<L są równe zer. Wznaczć przblżone warośc fnkc ( opsące przebeg zman napęca dla <<L >. nkca a spełna równane RC gdze R lnowa gęsość opornośc ln C lnowa gęsość poemnośc mędzprzewodowe oraz spełna warnek począkow warnk brzegowe dla L U L dla dr nż. B. Szszka 7
nazwam RR w kórm wsępe szkana fnkca (np. dwóc lb węce zmennc (np. e pocodne cząskowe. Rzędem nazwam nawższ rząd pocodne newadome fnkc rz. I: rz. II: 8. m... m m......... m m m m m dr nż. B. Szszka
W pewnc może wsępować zmenna czasowa wed np. fnkca zależna od czas dwóc zmennc przesrzennc: nkca es rozwązanem. 9 7 dr nż. B. Szszka. m
KLASYIKACJA: Ze względ na zasosowana w ecnce rozważane są naczęśce lnowe z dwoma zmennm nezależnm. Take równane można zapsać w posac kanonczne: A B (* gdze D. Wróżnam 3 podsawowe rodzae lnowc rzęd II ze względ na wróżnk kwadraow B AC oblczon ze współcznnków równana (*: C D lnowe II rzęd. < elpczne. = parabolczne 3. > perbolczne wag bez zmenne czasowe rozkład fnkc w czase przesrzen dr nż. B. Szszka
PRZYKŁADY:. p elpcznego dla a Równane Possona: b Równane Laplace a: c Równane Helmolza: f f k dr nż. B. Szszka
PRZYKŁADY:. p parabolcznego: a Równane przewodncwa dla np. równane dfz cepła dla gdze α - współcznnk dfz f a dr nż. B. Szszka
PRZYKŁADY: 3. p perbolcznego: a Równane falowe b Równane elegrafsów gdze a b c >. 3 c c b a dr nż. B. Szszka
W wel zagadnenac poszke sę rozwązań określonc w pewnc obszarac domknęc lb częścowo domknęc spełnaącc pewne warnk brzegowe na brzegac lb częśc brzegów c obszarów a ponado mogącc spełnać pewne warnk począkowe. dr nż. B. Szszka
W przpadk zadana dwóc zmennc nezależnc = ( (gdze każda ze zmennc: lb może oznaczać zmenną przesrzenną lb czas wprowadza sę nasępące oznaczena w cel orzmana wers dskrene: n n n n m m k k m m dr nż. B. Szszka 5
Zaem w pewnm obszarze ( n m szkam przblżonc warośc fnkc = ( na sace pnków (. Warośc = ( = ( można zapsać ( ± ± k = ( ± ± ±±. Y =m =3 = + = = =k - - + = X = = = =3 =n dr nż. B. Szszka 6
Warnk brzegowe (Drclea dla = ( =(. Określane na brzeg obszar ( n m dla n Y m : m Jeżel w ne wsępe zmenna czasowa zn. = ( wed wsępą z regł dodakowe warnk brzegowe dla 3 m Y m n X n : nkce 3 są dane w zadan. n X dr nż. B. Szszka 7
Na pasmo <<L <<L nanosm sakę prosokąną o odległoścac k mędz sąsednm węzłam rs. A. Nasępne sporządzam pomocncz rsnek B na kórm każdem węzłow odpowada kraka. Do c kraek zosaną wpsane oblczone przblżone warośc. Na brzegac kraek (w m przkładze wpsem warośc granczne oblczone z warnków brzegowc (/lb począkowc. Każde krace odpowadaą odpowedne współrzędne oraz. 5 5 5 35 5 3 5 3 3 3 3 33 3 53 3 3 5 3 5 3 3 3 rs. A 5 dr nż. B. Szszka rs. B 8
Jedną z podsawowc meod rozwązwana es Meoda Różnc Skończonc w kóre pocodne są zasępowane przblżenam ze wzor Talora. dr nż. B. Szszka 9
(. (3. (. (5. MAT B. Szszka. ( ( (. ( ( (. ( ( ( ( ( ( (
Pocodna fnkc = ( rzęd perwszego: dr nż. B. Szszka. ( ( ( k n n n m k m m
Pocodna fnkc = ( rzęd drgego: 3 k ( ( ( ( dr nż. B. Szszka n n n m k m m
Warnk począkowe (Cac ego: dla = ( = (. Określane dla znanc warośc fnkc w cwl począkowe dla : n? f g T dla danc fnkc f(=f( g( =g(. m k n X dr nż. B. Szszka 3
Wzór ( na przblżene pocodne rzęd perwszego dla fnkc w przpadk gd fnkca = ( es posac k k ( ( (. Wed drg warnek począkow (Cac ego dla n można dla f f zapsać nasępąco:? k g g f kg kg. T m k X n dr nż. B. Szszka
Przkład. (Dwwmarow Wznaczć rozkład emperar w płce dwwmarowe kóra es podgrzewana różnm emperaram ze wszskc sron. 8 o 5 o o o Usalon przepłw cepła Równane Laplace a. dr nż. B. Szszka 5
Równane Laplace a zasępem wzoram (3: orzmem dla = n- = m-: 6. k k k k dr nż. B. Szszka k
Przmąc k= orzmem k k k dla = n- = m- Y m + - + - + + - k - n X dr nż. B. Szszka 7
Przmąc =k oraz n=m=5 8 o orzmem sakę 5 5 5 35 5 kwadraową posac: 3 5 5 o 3 3 3 3 33 3 3 53 5 o 3 5 3 warnk brzegowe: 5 5 5 5 : : : 8 : 5 5 5 5 3 53 3 35 5 5 5 8 o 3.... 5 dr nż. B. Szszka 8
Równane ( rozpsem koleno dla wszskc pnków ( = dla wszskc = 3 : 9 : 3: : : : 3 3: 3 : 3 : 3 : 3: : : : 3: : : 3 5 3 5 3 33 53 3 3 5 3 5 3 33 35 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 5 3 3 3 33 3 3 3 3 5 3 3 3 3 dr nż. B. Szszka
Po podsawen warnków brzegowc (5 orzmem: 3 8 8 8 8 5 5 5 5 3 3 3 33 3 3 3 3 33 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 dr nż. B. Szszka
Po przenesen wrazów wolnc na prawą sronę każdego równana orzmem 3 8 8 3 5 5 5 3 3 3 33 3 3 3 3 33 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 dr nż. B. Szszka
Zaem orzmem kład równań lnowc z macerzą smerczną 5-dagonalną (6 równań z 6 newadomm: 3 5 6 7 8 9 3 5 6 v 3 5 6 7 8 9 3 5 6 =b[] 3 3 3 3 33 3 3 dr nż. B. Szszka 3
Rozwązane kład (po zaokrąglen do lczb całkowc: v v v v v v v v v v v v v v v v 3 5 6 7 8 9 3 5 6 3 3 3 3 33 3 3 7 9 6 9 3 6 6 6 9 58 5 33 8 8ºC 8ºC 8ºC 8ºC 5ºC 6ºC 6ºC 58ºC 8ºC ºC 5ºC 9ºC 6ºC ºC 33ºC ºC 5ºC ºC 3ºC 9ºC ºC ºC 5ºC 7ºC 9ºC 6ºC 5ºC ºC ºC ºC ºC ºC dr nż. B. Szszka 33
Rozwązane kład dla podanego przkład (n=5 8 8 8 8 5 6. 6.97 57.5379 7.773 5 9.53 6.5.773 33.37 5 39.96 33.57 8.75.83 5 7.77 9.88 5.797 5. dr nż. B. Szszka 3
Rozwązane kład dla n= 8 8... 8 8 5 6.698 7.36... 6.5857 9.868 5 58.666 63.799... 9.53 37.8655......... 5 35.59 5.587....7.558 5 5.37 5.3897... 6.69.38 dr nż. B. Szszka 35
Przkład rozwązana równana falowego: spełnaącego warnk brzegowe: warnk począkowe: dla n m.5 Przmąc podzał sak: n= m=. Rozwązane dokładne równana: ( sn( cos( sn( ( ( ( sn( sn( dr nż. B. Szszka 36
Pocodne w równan zasępem przblżenam pocodnc: orzmem meodę różnc cenralnc dla równana falowego: Z warnkam brzegowm: warnkam począkowm: UWAGA: Drg warnek począkow orzmano z przedsawonego podczas wkład wzor: 37 dr nż. B. Szszka k. k. kg f sn( sn( ( sn( ( k ( ( n
Przkład rozwązana równana falowego: dr nż. B. Szszka 38
Przkład rozwązana równana falowego:
Przkład rozwązana równana falowego: _falowe_wklad.fg