04062008
Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła
Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech miesi cach T = 3/12 wyznacza zmienna losowa S T, która przyjmuje dwie warto±ci: S d = 18 i S u = 22 Zatem przewidujemy,»e albo nast pi wzrost ceny o 5% albo nastapi spadek ceny o 15% z pewnym prawdopodobie«stwem Zakªadamy,»e na ten okres roczna stopa procentowa (kredytu i depozytu) dla kapitalizacji ci gªej r = 12% Opcja call to instrument nansowy, który pozwala jego nabywcy kupi akcj za okre±lon cen np K = 21, zwan cen wykonania Zazwyczaj dochodzi do rozliczenia opcji Wystawca opcji musi nabywcy opcji wypªaci kwot o prolu wypªaty dla opcji call równym { ST K = 22 21 = 1 o ile S (S T K) + = u = 22 0 o ile S d = 18 W ogólno±ci rozwa»a si wypªat losow { fu o ile S f = u f d o ile S d
Miara martyngaªowa i wycena opcji call Wiadomo,»e cena europejskiej opcji call jest równa Dla losowego instrumentu f C = E Q [(S T K) + ] e rt C(f ) = E Q [f ] e rt Miara Q jest miar martyngaªow jednoznacznie wyznaczon z równa«{ E Q [S T ] = 22q e rt 1 e 0,12 3/12 + 18q 2 e 0,12 3/12 = 21 = S 0, (1) q 1 + q 2 = 1 St d q 1 = 0, 9099 za± q 2 = 0, 0901 za± cena opcji call C = 0, 881
dla opcji binarnych Wystawca opcji call (czy ogólnie losowego instrumentu o prolu wypªaty f ) dostaje zatem kwot C = 0, 883 (C(f)) + mar»a Kwota C musi wystarczy do zabezpieczenia jego pozycji Wystawca opcji MUSI kupi akcji = f u f d S u S d = 1 4 Potrzebuje zatem 21 = 525 Poniewa» otrzymaª C = 0, 881 na rynku pieni»nym po»ycza 525 0, 881 = 4, 367 Jego portfel skªada si z: 1 short call, long akcji i po»yczki 4, 367 Zauwa»my,»e warto± portfela 1 short call, long akcji po trzech miesi cach jest staªa i równa kwocie nale»no±ci wymagalnej przez po»yczkodawc 4, 367 e 0,12 3/12 = 4, 5 gdy» f u + S u = f d + S d = 4, 5 Pieni dze te ±ci gamy z rynku akcji i oddajemy Zrobili±my doskonaªe zabezpieczenie
Model Blacka Scholesa Denicja Rozwa»amy rynek akcji, gdzie cena akcji o warto±ci pocz tkowej S 0 opisana jest równaniem ds t = S t (µdt + σdw t ), t [0, T ] Ponadto warto± pieni dza ro±nie wg rocznej stopy procentowej dla kapitalizacji ci gªej r staªej w okresi [0, T ] Potrzeba znale¹ miar martyngaªow Q wg której zdyskontowany proces cen jest martyngaªem Mo»na pokaza,»e miara dq dp = exp( r µ σ W T 1 ( ) 2 r µ T ) 2 σ jest probabilistyczna i równowa»na mierze P Proces jest Q procesem Wienera W t = W t r µ σ t
Wycena opcji w modelu Blacka Scholesa Korzystaj c z formuªy ITO zdyskontowany proces cen S t speªnia równanie ds t = σs d dw t, czyli jest Q-martyngaªem = S t /e r t Twierdzenie Niech f (S T ) b dzie opcj tak,»e E Q [f (S T )] 2 < Wówczas warto± opcji w chwili t jest równa C t = F (t, S t ), gdzie F (t, x) = e r(t t) E Q [f (xe r(t t) e σξ T t σ 2 (T t)/2 )], za± ξ N(0, 1) W szczególno±ci C 0 = e rt E Q f (S T ) Ponadto dynamika zdyskontowanego procesu C t = C t /e rt dana jest równaniem dc t = F (t, S t ) ds t (2) x czyli C t jest martyngaªem
Hedging w modelu Blacka Scholesa Poniewa» dc t = F (t, S t ) ds t x zatem aby zabezpieczy swoje pozycje nale»y stosowa strategie (t, S t ) = F (t, S t ), x czyli je±li oznaczymy S 0 = x za± proces cen St x, to w chwili zero = x e rt E Q [f (S x T )]
Hedging w modelu ogólnym Zaªózmy,»e cena akcji opisana jest równaniem wzgl miary martyngaªowej Q dx t = a(x t )dt + b(x t )dw t funkcje a, b : R R odpowiednio regularne Warto± poczatkowa X 0 = x Rozwi zanie b dziemy oznacza przez Xt x Dla prostoty zakªadamy,»e r = 0 Jak ju» zauwa»yli±my strategia zabezpieczaj ca wymaga od wystawcy opcji g(x x T ) kupienia akcji, gdzie = x E Q [g(x x T ) F { ] Problem polega na tym,»e procedury numeryczne s niestabilne je±li 1 ɛn N (g(x x+ɛ j,t j=1 gdzie parametr j oznacza niezale»ne kopie g(x x j,t )),
Narz dzia potrzebne do rozwi zania problemu Izonormalny proces Wienera Proces Wienera w przestrzeń Hilberta Rachunek Malliavin Całka stochastyczna Ito wzgl uogólnionego procesu Wienera + całka Bochnera
DZI KUJE ZA UWAG