Współczynniki Greckie

Transkrypt

1 Wojciech Antniak r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej części wyprowadzę wzory na współczynniki oraz omówię związane z nimi strategie. Rozważmy europejską opcję call na pewien instrument nie wypłacającą dywidendy o cenie wykonania oraz terminie realizacji T. Niech ponadto będzie zmiennością instrumentu podstawowego oraz r stopą wolną od ryzyka. Wówczas model Blacka-choelsa wyceny opcji w momencie t 0, T opisany jest następująco: Ct, = Φ d exp rt Φ d w przypadku opcji put: gdzie Ct, = Φ d exp rt Φ d d = ln r T d = ln T Φx = x y exp π r dy T T Wniosek Dla powyższych oznaczeń zachodzi Lemat Dla x R zachodzi Lemat Dla powyższych oznaczeń zachodzi: d = d T x Φx = x exp π Φd = exp rt Φd d

2 orzystając z Lematu. mam: Φd = d exp d π = d T T exp π = exp d T T d T π = ln T T r T t Φd exp Co daje tezę. = T T Φd exp = Φd exp ln = exp rt Φd Współczynnik delta. Wyprowadzenie wzorów ln T t r T t T t T T r T T Definicja Współczynnik jest pochodną po cenie instrumentu podstawowego funkcji wyceny: = C 3 Wniosek Współczynnik określa wrażliwość wyceny opcji na zmiany ceny instrumentu. podstawowego, czyli o ile zmieni się cena opcji w wyniku zwiększenia się ceny instrumentu podstawowego o jedną jednostkę. Wniosek Oczywiście współczynnik dowolnego instrumentu podstawowego wynosi. Twierdzenie Współczynnik dla europejskiej opcji call o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: = Φ ln T r T, t [0, T ], R 4 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

3 orzystając z wzoru i Wniosku. mam: = C = Φ d exp rt Φ d = Φ d exp rt Φ d = Φ d Φ d exp rt Φ d d = Φ d Φ d exp rt Φ d d T = Φ d Φ d exp rt Φ d T } {{ } =0 = Φ d Φ d exp rt Φ d Następnie korzystając z Lematu. otrzymuję tezę. Twierdzenie Współczynnik dla europejskiej opcji put o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: = Φ ln T r T = Φ ln T analogiczny do Twierdzenia. pozostawiam czytelnikowi. r T, t [0, T ], R 5 Wniosek 3 Wprost z własności dystrybuanty mam, że [0, ] dla opcji call oraz [, 0] dla opcji put. Definicja Rozważmy portfel inwestycyjny składający się z n, n N, instrumentów finansowych o współczynnikach greckich odpowiednio,,..., n. Wówczas współczynnik takiego portfela inwestycyjnego jest definiowany jako ważona suma współczynników delta poszczególnych składników, gdzie wagami są ilości poszczególnych składników x k : = x k k.. trategia Delta-Hedgingu trategia delta-hedgingu polega na minimalizacji ryzyka związanego z wachaniami ceny instrumentu podstawowego. Jej celem jest stworzenie portfela, instrumentów podstawowych i opcji, niewrażliwego na wahania cen. Zbudowany portfel inwestycyjny jest jednak wolny od ryzyka dla pewnej ceny. W momencie jej zmiany ryzyko zwiększa się. Dlatego powstały dwa rodzaje strategii delta-hedgingu:. dynamiczna strategia delta-hedgingu delta-gamma hedgingu. statyczna strategia delta-hedgingu Pierwsza z nich zapewnia, poprzez dokupywanie instrumentów finansowych, niski poziom ryzyka w czasie, druga natomiast zakłada tylko stworzenie portfela o niskim poziomie ryzyka. Przykład Rozważmy portfel składający się z akcji firmy PN Orlen i opcji put na tę akcję z terminem wygaśnięcia za 30 dni 3 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

4 oraz cena wykonania 30zł, = dane pobrane z strony internetowej Aktualna cena akcji wynosi 34zł oraz stopa wolna od ryzyka wynosi r = 0.0%. Jaki musi być stosunek ilości akcji do ilości opcji aby portfel był niewrażliwy na zmiany ceny akcji. 30 O = Φ ln A = gdzie A, O oznaczają odpowiednio współczynnik delta akcji oraz opcji. Aby zbudować portfel niewrażliwy na wahanie się cen akcji portfela musi się równać 0. Niech x A,x O oznacza odpowiednio ilość akcji i opcji w portfelu. Wówczas współczynnik całego portfela wynosi: 0 = = x A A x O O x A x O = O A = Tak więc na każde 00 akcji musi przypadać 305 opcji aby portfel był niewrażliwy na wahanie cen. 3 Współczynnik Γ gamma 3. Wyprowadzenie wzorów Definicja Współczynnik Γ jest pochodną po cenie instrumentu podstawowego współczynnika delta 3: Γ = Wniosek Współczynnik Γ można także definiować jako drugą pochodną po cenie instrumentu podstawowego funkcji wyceny opcji: Γ = C Wniosek Współczynnik Γ mierzy o ile zmieni się wartość współczynnika. Został on stworzony na potrzebę utworzenia strategii dynamicznych delta-hedgingu delta-gamma hedgingu. Twierdzenie Współczynnik Γ dla europejskiej opcji call o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: Γ = Φ d T orzystając z wzoru 4 oraz Lemtau. mam: Γ = = Φ ln T Co kończy dowód. = Φ ln d T = Φ d, t [0, T ], R 6 r T T r T = Φ d T 4 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

5 Twierdzenie Współczynnik Γ dla europejskiej opcji put o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: Γ = Φ d T, t [0, T ], R 7 analogiczny do Twierdzenia 3. pozostawiam czytelnikowi Wniosek 3 Wprost z określenia współczynnika Γ w modelu Blacka-cholesa wynika, że przyjmuje on wartości nieujemne. Wniosek 4 Oczywiście współczynnik Γ dowolnego instrumentu podstawowego wynosi 0. Definicja Rozważmy portfel inwestycyjny składający się z n, n N, instrumentów finansowych o współczynnikach greckich Γ odpowiednio Γ, Γ,..., Γ n. Wówczas współczynnik Γ takiego portfela inwestycyjnego jest zdefiniowany jako ważona suma współczynników gamma poszczególnych składników, gdzie wagami są ilości poszczególnych składników x k : Γ = x k Γ k 3. trategia Delta-gamma hedgingu trategia Delta-gamma hedgingu jest ulepszeniem delta-hedgingu. Portfel zbudowany za jej pomocą charakteryzuje się niewrażliwością na zmiany ceny w danym momencie oraz w przyszłości. Warunkiem aby dany portfel składający się z n, n N, instrumentów finansowych, których skład oraz współczynniki greckie wynoszą odpowiednio: x, x,..., x n,,,..., n, Γ, Γ,..., Γ n, działał za pomocą delta-gamma hedgingu jest aby: 4 Współczynnik ν vega 4. Wyprowadzenie wzorów x k k = 0 x k Γ k = 0 Definicja Współczynnik vega bądź kappa κ jest pochodną po zmienności instrumentu podstawowego funkcji wyceny opcji: ν = C Wniosek Współczynnik vega mierzy o ile zmieni się wartość wyceny opcji na jednostkową zmianę instrumentu podstawowego. Twierdzenie Współczynnik vega dla europejskiej opcji call o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: ν = Φ ln T r T T, t [0, T ], R 5 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

6 Dla przejrzystości przekształceń najpierw policzę pochodne z d, d po. = ln r T T T T ln T = r T T = T ln rt T t T d = ln r T T = T ln rt T t T ln = r T = T T T ln = r T ln T T = d r T = d T Następnie korzystając z Lematu., Lematu., Wniosku. oraz powyższych przekształceń mam: C = Φ d {d } exprt Φ d {d } = Φ d d exp rt Φ d exprt d = Φ d d Φ d d = Φ d d d = Φ d d T d = Φ d T Co było do udowodnienia. Twierdzenie Współczynnik vega dla europejskiej opcji put o cenie wykonania, terminie realizacji T, zmienności instrumentu podstawowego, stopie wolnej od ryzyka r w modelu Blacka-cholesa wzór jest postaci: ν = Φ ln T r analogiczny do Twierdzenia 4. pozostawiam czytelnikowi. 4. trategia Delta-Gamma-vega hedgingu T T, t [0, T ], R trategia delta-gamma-vega hedgindu jest kolejnym ulepszeniem prezentowanych wcześniej strategii. Portfele inwestycyjne stworzone za pomocą tej strategii mają taką samą charakterystykę jak portfele strategii deltagamma hedgingu. Ponadto są one niewrażliwe na zmianę instrumentu podstawowego. Warunkiem aby dany portfel składający się z n, n N, instrumentów finansowych, których skład oraz współczynniki greckie wynoszą odpowiednio: x, x,..., x n,,,..., n, Γ, Γ,..., Γ n,ν, ν,..., ν 3, działał za pomocą delta-gamma-vega hedgingu jest aby: x k k = 0 x k Γ k = 0 x k ν k = 0 6 Wydział Matematyki i Informatyki UŁ